第五章 第4講 數(shù)列求和

第五章數(shù)列第4講數(shù)列求和

命題點五年考情命題分析預(yù)測用公式法和分組轉(zhuǎn)化法求和2023新高考卷ⅡT18；2021新高考卷ⅠT17；2020新高考卷ⅠT18本講是高考熱點，主要考查數(shù)列求和，常用方法有公式法、錯位相減法、裂項相消法、分組轉(zhuǎn)化法、倒序相加法，在客觀題與主觀題中都有可能出現(xiàn)，難度中等.預(yù)計2025年高考命題穩(wěn)定，常規(guī)備考的同時也要關(guān)注分段數(shù)列的形式.用錯位相減法求和2023全國卷甲T17；2021新高考卷ⅠT16；2021全國卷乙T19；2020全國卷ⅠT17；2020全國卷ⅢT17用裂項相消法求和2022新高考卷ⅠT17用倒序相加法求和

2.分組轉(zhuǎn)化法(1)利用分組轉(zhuǎn)化法求和的常見類型

注意

對含有參數(shù)的數(shù)列求和時要對參數(shù)進行討論.3.錯位相減法(1)適用的數(shù)列類型：{

anbn

}，其中數(shù)列{

an

}是公差為

d

的等差數(shù)列，{

bn

}是公比為

q

(

q

≠1)的等比數(shù)列.(2)求解思路：

Sn

＝

a

1

b

1＋

a

2

b

2＋…＋

anbn

①，

qSn

＝

a

1

b

2＋

a

2

b

3＋…＋

an

－1

bn

＋

anbn

＋1

②，①－②得(1－

q

)

Sn

＝

a

1

b

1＋

d

(

b

2＋

b

3＋…＋

bn

)－

anbn

＋1，進而利用公式法求和.4.裂項相消法(1)利用裂項相消法求和的基本步驟(2)常見數(shù)列的裂項方法數(shù)列(n為正整數(shù))裂項方法5.倒序相加法已知數(shù)列的特征是“與首末兩端等距離的兩項之和等于同一常數(shù)”，可用倒序相加

法求和.解題時先把數(shù)列的前

n

項和表示出來，再把數(shù)列求和的式子倒過來寫，然后

將兩個式子相加，即可求出該數(shù)列的前

n

項和的2倍，最后求出該數(shù)列的前

n

項和.

1.[教材改編]已知{

an

}為等差數(shù)列，

Sn

為其前

n

項和，若

a

1＋

a

3＋

a

5＝105，

a

2＋

a

4＋

a

6＝99，則

S

20＝

?.

400

12342.[教材改編]已知

an

＝(－1)

nn

，則

a

1＋

a

2＋…＋

a

2

n

＝

?.[解析]由題意可得，

a

2

n

－1＋

a

2

n

＝－(2

n

－1)＋2

n

＝1，∴

a

1＋

a

2＋…＋

a

2

n

＝(

a

1＋

a

2)＋(

a

3＋

a

4)＋…＋(

a

2

n

－1＋

a

2

n

)＝1＋1＋…＋1＝

n

.n

12343.已知等差數(shù)列的前三項和為2，后三項和為4，且所有項和為64，則該數(shù)列

有

項.

64

12344.[易錯題]數(shù)列{

an

}的通項公式為

an

＝2

n

－10，則｜

a

1｜＋｜

a

2｜＋…＋｜

a

15｜

＝

?.[解析]易知{

an

}為等差數(shù)列.設(shè){

an

}的前

n

項和為

Sn

，當

an

＝2

n

－10＝0時，

n

＝

5，所以｜

a

1｜＋｜

a

2｜＋…＋｜

a

15｜＝－(

a

1＋

a

2＋…＋

a

5)＋

a

6＋

a

7＋…＋

a

15

＝

S

15－2

S

5＝130.130

1234

命題點1

用公式法和分組轉(zhuǎn)化法求和

例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3訓(xùn)練3例4訓(xùn)練4(1)記

bn

＝

a

2

n

，寫出

b

1，

b

2，并求數(shù)列{

bn

}的通項公式；

例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3訓(xùn)練3例4訓(xùn)練4(2)求{

an

}的前20項和.

例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3訓(xùn)練3例4訓(xùn)練4訓(xùn)練1

公差為2的等差數(shù)列{

an

}中，

a

1，

a

2，

a

4成等比數(shù)列.(1)求{

an

}的通項公式；[解析]

(1)因為等差數(shù)列{

an

}的公差為2，所以

a

2＝

a

1＋2，

a

4＝

a

1＋6.因為

a

1，

a

2，

a

4成等比數(shù)列，所以(

a

1＋2)2＝

a

1(

a

1＋6)，解得

a

1＝2.所以{

an

}的通項公式為

an

＝2＋(

n

－1)×2＝2

n

.例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3訓(xùn)練3例4訓(xùn)練4

例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3訓(xùn)練3例4訓(xùn)練4命題點2

用錯位相減法求和例2

[2023全國卷甲]記

Sn

為數(shù)列{

an

}的前

n

項和，已知

a

2＝1，2

Sn

＝

nan

.(1)求{

an

}的通項公式；

例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3訓(xùn)練3例4訓(xùn)練4

例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3訓(xùn)練3例4訓(xùn)練4方法技巧用錯位相減法求和的注意事項(1)在書寫

qSn

時注意“錯位對齊”，以方便后續(xù)運算.(2)兩式相減時注意最后一項的符號.(3)注意相減后的和式結(jié)構(gòu)的中間為(

n

－1)項的和.例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3訓(xùn)練3例4訓(xùn)練4

(1)求{

an

}和{

bn

}的通項公式.

例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3訓(xùn)練3例4訓(xùn)練4

例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3訓(xùn)練3例4訓(xùn)練4命題點3

用裂項相消法求和

例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3訓(xùn)練3例4訓(xùn)練4

例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3訓(xùn)練3例4訓(xùn)練4

例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3訓(xùn)練3例4訓(xùn)練4方法技巧利用裂項相消法求和時，既要注意檢驗裂項前后是否等價，又要注意求和時正負項

消去哪些項，保留哪些項.例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3訓(xùn)練3例4訓(xùn)練4

(1)求{

an

}的通項公式.

例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3訓(xùn)練3例4訓(xùn)練4

例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3訓(xùn)練3例4訓(xùn)練4

－8098

例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3訓(xùn)練3例4訓(xùn)練4方法技巧可以利用倒序相加法求和的數(shù)列所對應(yīng)的函數(shù)的圖象一般有對稱中心，所以可以對

比理解記憶.例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3訓(xùn)練3例4訓(xùn)練4

A.98B.99C.100D.101

C例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3訓(xùn)練3例4訓(xùn)練4

1.[命題點1]已知數(shù)列{

an

}滿足

an

＋2＋(－1)

nan

＝3，

a

1＝1，

a

2＝2.(1)記

bn

＝

a

2

n

－1，求數(shù)列{

bn

}的通項公式；[解析]

(1)

an

＋2＋(－1)

nan

＝3，令

n

取2

n

－1，則

a

2

n

＋1－

a

2

n

－1＝3，即

bn

＋1－

bn

＝3，又

b

1＝

a

1＝1，所以數(shù)列{

bn

}是以1為首項，3為公差的等差數(shù)列，所以

bn

＝3

n

－2.123(2)記數(shù)列{

an

}的前

n

項和為

Sn

，求

S

30.[解析]

(2)令

n

取2

n

，則

a

2

n

＋2＋

a

2

n

＝3，所以

S

30＝(

a

1＋

a

3＋…＋

a

29)＋(

a

2＋

a

4＋…＋

a

30)，由(1)可知，

a

1＋

a

3＋…＋

a

29＝

b

1＋

b

2＋…＋

b

15＝330，

a

2＋

a

4＋…＋

a

30＝

a

2＋(

a

4＋

a

6)＋…＋(

a

28＋

a

30)＝2＋21＝23.所以

S

30＝330＋23＝353.1232.[命題點2/2023四川綿陽南山中學(xué)模擬]在①

Sn

＋1＝2

Sn

＋2，②

an

＋1－

an

＝2

n

這兩

個條件中任選一個，補充在下面的問題中，并解答該問題.已知數(shù)列{

an

}的前

n

項和為

Sn

，

a

1＝2，且

.123(1)求

an

；

123(2)若

bn

＝(

n

＋1)·

an

，求數(shù)列{

bn

}的前

n

項和

Tn

.

1233.[命題點3/2023南京市二模]已知數(shù)列{

an

}的前

n

項和為

Sn

，

a

1＝2，(

n

－2)

Sn

＋1＋

2

an

＋1＝

nSn

，

n

∈N*.(1)求數(shù)列{

an

}的通項公式；

123解法二因為(

n

－2)

Sn

＋1＋2

an

＋1＝

nSn

，所以

n

(

Sn

＋1－

Sn

)－2(

Sn

＋1－

an

＋1)＝0，所以2

Sn

＝

nan

＋1，①所以當

n

≥2時，2

Sn

－1＝(

n

－1)

an

，②

123

123

123

D12345678910

12345678910

A.98B.99C.100D.101C12345678910

12345678910

12345678910

502

123456789104.[2023惠州調(diào)研]已知數(shù)列{

an

}的前

n

項和為

Sn

，

n

∈N*，現(xiàn)有如下三個條件：條件①

a

5＝5；條件②

an

＋1－

an

＝2；條件③

S

2＝－4.請從上述三個條件中選擇能夠確定一個數(shù)列的兩個條件，并完成解答.(1)求數(shù)列{

an

}的通項公式；

12345678910解法一由

an

＋1－

an

＝2可知數(shù)列{

an

}是公差

d

＝2的等差數(shù)列.又

a

5＝5，

a

5＝

a

1＋(5－1)×

d

，所以

a

1＝－3，故

an

＝－3＋2(

n

－1)，即

an

＝2

n

－5(

n

∈N*).[解析]

(1)選①②時.12345678910解法二由

an

＋1－

an

＝2可知數(shù)列{

an

}是公差

d

＝2的等差數(shù)列.又

a

5＝5，

an

＝

a

5＋(

n

－5)×

d

，所以

an

＝5＋(

n

－5)×2，即

an

＝2

n

－5(

n

∈N*).選②③時.由

an

＋1－

an

＝2可知數(shù)列{

an

}是公差

d

＝2的等差數(shù)列.由

S

2＝－4可知

a

1＋

a

2＝－4，即2

a

1＋2＝－4，解得

a

1＝－3，故

an

＝－3＋2(

n

－1)，即

an

＝2

n

－5(

n

∈N*).(備注：選①③這兩個條件無法確定數(shù)列.)12345678910

123456789105.[2024江西分宜中學(xué)、臨川一中等校聯(lián)考]已知{

an

}是等差數(shù)列，{

bn

}是等比數(shù)

列，且

b

2＝2，

b

5＝16，

a

1＝2

b

1，

a

3＝

b

4.(1)求{

an

}，{

bn

}的通項公式；

12345678910(2)設(shè)

cn

＝

an

·

bn

，求數(shù)列{

cn

}的前

n

項和

Sn

.

123456789106.[2023大同學(xué)情調(diào)研]已知數(shù)列{

an

}的前

n

項和

Sn

滿足

Sn

＋2＝2

an

(

n

∈N*).(1)證明：數(shù)列{

Sn

＋2}是等比數(shù)列.

12345678910

12345678910

7.已知等比數(shù)列{

an

}的前

n

項和為

Sn

，

S

6＝－7

S

3，且

a

2，1，

a

3成等差數(shù)列，則

數(shù)列{

an

}的通項公式為

；設(shè)

bn

＝｜

an

－1｜，則數(shù)列{

bn

}的前2

n

項和

T

2

n

＝

?.an

＝

(－2)

n

－1

22

n

－1

12345678910

12345678910

(1)求數(shù)列{

an

}的通項公式；

123456789