第一章 第1講 集合

第一章集合、常用邏輯用語與不等式第1講集合

課標要求命題點五年考情命題分析預(yù)測1.(1)了解集合的

含義，理解元素

與集合的屬于關(guān)

系.(2)能在自然

語言和圖形語言

的基礎(chǔ)上，用符

號語言刻畫集

合.(3)了解全集

與空集的含義.集合的

概念2022全國卷乙T1；

2020全國卷ⅢT1本講是高考必考內(nèi)容.命題熱點有

集合的交、并、補運算，集合的

含義及集合間的基本關(guān)系，常與

不等式、函數(shù)等相結(jié)合命題，考

查學(xué)生的數(shù)學(xué)運算和邏輯推理素

養(yǎng).題型以選擇題為主，屬于送分

題，解題時常借助數(shù)軸和Venn圖.

預(yù)計2025年高考命題點變化不

大，但應(yīng)加強對集合中創(chuàng)新問題

的重視.集合間

的基本

關(guān)系2023新高考卷

ⅡT2；2021全國卷

乙T2課標要求命題點五年考情命題分析預(yù)測2.理解集合之間包含與相等的含義能識別給定集合的子集.集合的基本運算2023新高考卷ⅠT1；2023全國卷乙T2；2023全國卷甲T1；2022新高考卷ⅠT1；2022新高考卷ⅡT1；2022全國卷乙T1；2022全國卷甲T3；2021新高考卷ⅠT1；2021新高考卷ⅡT2；2021全國卷甲T1；2021全國卷乙T2；2020新高考卷ⅠT1；2020全國卷ⅠT2；2020全國卷ⅡT1；2020全國卷ⅢT1；2019全國卷ⅠT1；2019全國卷ⅡT1；2019全國卷ⅢT1本講是高考必考內(nèi)容.命題熱點有集合的交、并、補運算，集合的含義及集合間的基本關(guān)系，常與不等式、函數(shù)等相結(jié)合命題，考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運算和邏輯推理素養(yǎng).題型以選擇題為主，屬于送分題，解題時常借助數(shù)軸和Venn圖.預(yù)計2025年高考命題點變化不大，但應(yīng)加強對集合中創(chuàng)新問題的重視.課標要求命題點五年考情命題分析預(yù)測3.(1)理解兩個集合的并集與交集的含義，能求兩個集合的并集與交集.(2)理解在給定集合中一個子集的補集的含義，能求給定子集的補集.(3)能使用Venn圖表達集合的基本關(guān)系與基本運算，體會圖形對理解抽象概念的作用.集合中的計數(shù)問題2019全國卷ⅢT3本講是高考必考內(nèi)容.命題熱點有集合的交、并、補運算，集合的含義及集合間的基本關(guān)系，常與不等式、函數(shù)等相結(jié)合命題，考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運算和邏輯推理素養(yǎng).題型以選擇題為主，屬于送分題，解題時常借助數(shù)軸和Venn圖.預(yù)計2025年高考命題點變化不大，但應(yīng)加強對集合中創(chuàng)新問題的重視.集合的新定義問題

1.集合的概念集合中元素的特征①

、②

?、無序性集合的表示方法③

、④

?、圖示法常見數(shù)集的記法自然數(shù)集(非負整數(shù)集)，記作⑤

?；正整數(shù)集，記作

⑥

或⑦

；整數(shù)集，記作⑧

?；有理數(shù)集，

記作⑨

；實數(shù)集，記作⑩

?元素與集合之間的

關(guān)系“屬于”或“不屬于”，分別記為“?

”或

“?

?”確定性

互異性

列舉法

描述法

N

N*

N＋

Z

Q

R

∈

?

2.集合間的基本關(guān)系關(guān)系定義符號語言子集一般地，對于兩個集合A，B，如果集合A中

?

都是集合B中的元素，就

稱集合A為集合B的子集A?B(或B?A)真子

集如果集合A?B，但存在元素x∈B，且?

，就稱集合A是集合B的真子集?

(或B?A)相等若A?B，且?

，則A＝BA＝B任意一個元素

x?A

A?B

空集：不含任何元素的集合叫做空集，記為?.B?A

3.集合的基本運算運算集合語言圖形語言符號語言并集{x｜x∈A，或x∈B}

?

?交集{x｜x∈A，且x∈B}

?

?補集{x｜x∈U，且x?A}

?

?A∪B

A∩B

?UA

常用結(jié)論集合的運算性質(zhì)(1)

A

?

B

?

A

∩

B

＝

A

?

A

∪

B

＝

B

??

UA

??

UB

.

(2)?

U

(

A

∩

B

)＝(?

UA

)∪(?

UB

)，?

U

(

A

∪

B

)＝(?

UA

)∩(?

UB

).

1.下列說法正確的是

(

D

)A.{x｜y＝x2}＝{y｜y＝x2}＝{(x，y)｜y＝x2}C.若{x2，1}＝{0，1}，則x＝0或1D.對任意兩個集合A，B，(A∩B)?(A∪B)恒成立D12345

A.a∈PB.{a}∈PC.{a}?PD.a?PD123453.集合{

a

，

b

}的真子集的個數(shù)為

?.[解析]

解法一集合{

a

，

b

}的真子集為?，{

a

}，{

b

}，有3個.3

解法二集合{

a

，

b

}有2個元素，則集合{

a

，

b

}的真子集的個數(shù)為22－1＝3.123454.設(shè)

a

，

b

∈R，

P

＝{2，

a

}，

Q

＝{－1，－

b

}，若

P

＝

Q

，則

a

－

b

＝

?.

1

123455.已知集合

U

＝{1，2，3，4，5，6，7}，

A

＝{2，4，5}，

B

＝{1，3，5，7}，則

A

∩(?

UB

)＝

，(?

UA

)∩(?

UB

)＝

?.[解析]

∵?

UA

＝{1，3，6，7}，?

UB

＝{2，4，6}，∴

A

∩(?

UB

)＝{2，4，5}∩{2，4，6}＝{2，4}，(?

UA

)∩(?

UB

)＝{1，3，6，7}∩{2，4，6}＝{6}.{2，4}

{6}

12345

命題點1

集合的概念例1

(1)[2022全國卷乙]設(shè)全集

U

＝{1，2，3，4，5}，

集合

M

滿足?

UM

＝{1，3}，則

(

A

)A.2∈MB.3∈MC.4?MD.5?M[解析]由題意知

M

＝{2，4，5}，故選A.A例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3例4訓(xùn)練3例5訓(xùn)練4例6訓(xùn)練5(2)[全國卷Ⅲ]已知集合

A

＝{(

x

，

y

)｜

x

，

y

∈N*，

y

≥

x

}，

B

＝{(

x

，

y

)｜

x

＋

y

＝

8}，則

A

∩

B

中元素的個數(shù)為(

C

)A.2B.3C.4D.6[解析]由題意得，

A

∩

B

＝{(1，7)，(2，6)，(3，5)，(4，4)}，所以

A

∩

B

中元素

的個數(shù)為4，故選C.C例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3例4訓(xùn)練3例5訓(xùn)練4例6訓(xùn)練5方法技巧1.解決集合含義問題的三個關(guān)鍵點：一是確定構(gòu)成集合的元素；二是分析元素的限

制條件；三是根據(jù)元素的特征(滿足的條件)構(gòu)造關(guān)系式解決相應(yīng)問題.2.常見集合的

含義集合{x｜f(x)＝0}{x｜f(x)＞0}{x｜y＝f(x)}{y｜y＝f(x)}{(x，y)｜y＝f(x)}代表元素方程f(x)＝0的根不等式f(x)＞0的解函數(shù)y＝f(x)的自變量的取值函數(shù)y＝f(x)的函數(shù)值函數(shù)y＝f(x)圖象上的點例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3例4訓(xùn)練3例5訓(xùn)練4例6訓(xùn)練5訓(xùn)練1

(1)[多選/2024黑龍江模擬]已知集合

A

＝{

x

｜4

ax

2－4(

a

＋2)

x

＋9＝0}中只有

一個元素，則實數(shù)

a

的可能取值為(

ABD

)A.0B.1C.2D.4

ABD例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3例4訓(xùn)練3例5訓(xùn)練4例6訓(xùn)練5(2)[多選/2023江蘇省鎮(zhèn)江中學(xué)模擬]已知集合

A

＝{

y

｜

y

＝

x

2＋2}，集合

B

＝{(

x

，

y

)｜

y

＝

x

2＋2}，下列關(guān)系正確的是(

AB

)A.(1，3)∈BB.(0，0)?BC.0∈AD.A＝B[解析]

∵集合

A

＝{

y

｜

y

≥2}＝[2，＋∞)，集合

B

＝{(

x

，

y

)｜

y

＝

x

2＋2}是由拋

物線

y

＝

x

2＋2上的點組成的集合，∴AB正確，CD錯誤，故選AB.AB例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3例4訓(xùn)練3例5訓(xùn)練4例6訓(xùn)練5(3)已知集合

A

＝{0，

m

，

m

2－5

m

＋6}，且2∈

A

，則實數(shù)

m

的值為

?.[解析]因為

A

＝{0，

m

，

m

2－5

m

＋6}，2∈

A

，所以

m

＝2或

m

2－5

m

＋6＝2.當

m

＝2時，

m

2－5

m

＋6＝0，不滿足集合中元素互異性，所以

m

＝2不符合題意.當

m

2

－5

m

＋6＝2時，

m

＝1或

m

＝4，若

m

＝1，

A

＝{0，1，2}符合題意；若

m

＝4，

A

＝{0，4，2}符合題意.所以實數(shù)

m

的值為1或4.1或4例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3例4訓(xùn)練3例5訓(xùn)練4例6訓(xùn)練5命題點2

集合間的基本關(guān)系例2

(1)[2023新高考卷Ⅱ]設(shè)集合

A

＝{0，－

a

}，

B

＝{1，

a

－2，2

a

－2}，若

A

?

B

，則

a

＝(

B

)A.2B.1D.－1[解析]依題意，有

a

－2＝0或2

a

－2＝0.當

a

－2＝0時，解得

a

＝2，此時

A

＝{0，

－2}，

B

＝{1，0，2}，不滿足

A

?

B

；當2

a

－2＝0時，解得

a

＝1，此時

A

＝{0，

－1}，

B

＝{－1，0，1}，滿足

A

?

B

.

所以

a

＝1，故選B.B例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3例4訓(xùn)練3例5訓(xùn)練4例6訓(xùn)練5(2)[2024山西太原模擬]滿足條件{1，2}?

A

?{1，2，3，4，5}的集合

A

的個數(shù)是

(

C

)A.5B.6C.7D.8[解析]

解法一因為集合{1，2}?

A

?{1，2，3，4，5}，所以集合

A

可以是{1，

2}，{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，5}，{1，2，3，4}，{1，2，3，5}，{1，2，

4，5}，共7個.故選C.C解法二問題等價于求集合{3，4，5}的真子集的個數(shù)，則共有23－1＝7個.故選C.例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3例4訓(xùn)練3例5訓(xùn)練4例6訓(xùn)練5方法技巧1.求集合的子集個數(shù)，常借助列舉法和公式法求解.2.根據(jù)兩集合間的關(guān)系求參數(shù)，常根據(jù)集合間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為方程(組)或不等式(組)求

解，求解時注意集合中元素的互異性和端點值能否取到.注意

在涉及集合之間的關(guān)系時，若未指明集合非空，則要考慮空集的情況，如已

知集合

A

、非空集合

B

滿足

A

?

B

或

A

?

B

，則有

A

＝?和

A

≠?兩種情況.例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3例4訓(xùn)練3例5訓(xùn)練4例6訓(xùn)練5訓(xùn)練2

(1)設(shè)集合

P

＝{

y

｜

y

＝

x

2＋1}，

M

＝{

x

｜

y

＝

x

2＋1}，則集合

M

與集合

P

的

關(guān)系是(

D

)A.M＝PB.P∈MC.M?PD.P?M[解析]

∵

P

＝{

y

｜

y

＝

x

2＋1}＝{

y

｜

y

≥1}，

M

＝{

x

｜

y

＝

x

2＋1}＝R，∴

P

?

M

.

故選D.(2)已知集合

A

＝{

x

｜－2≤

x

≤5}，

B

＝{

x

｜

m

＋1≤

x

≤2

m

－1}，若

B

?

A

，則實

數(shù)

m

的取值范圍為

?.[解析]因為

B

?

A

，所以分以下兩種情況：①若

B

＝?，則2

m

－1＜

m

＋1，此時

m

＜2；

由①②可得，符合題意的實數(shù)

m

的取值范圍為(－∞，3].D(－∞，3]

例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3例4訓(xùn)練3例5訓(xùn)練4例6訓(xùn)練5命題點3

集合的基本運算角度1

集合的交、并、補運算例3

(1)[2023新高考卷Ⅰ]已知集合

M

＝{－2，－1，0，1，2}，

N

＝{

x

｜

x

2－

x

－6≥0}，則

M

∩

N

＝(

C

)A.{－2，－1，0，1}B.{0，1，2}C.{－2}D.{2}[解析]

解法一因為

N

＝{

x

｜

x

2－

x

－6≥0}＝{

x

｜

x

≥3或

x

≤－2}，所以

M

∩

N

＝{－2}，故選C.C解法二因為1?

N

，所以1?

M

∩

N

，排除A，B；因為2?

N

，所以2?

M

∩

N

，排除

D.故選C.例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3例4訓(xùn)練3例5訓(xùn)練4例6訓(xùn)練5(2)[2023全國卷甲]設(shè)全集

U

＝Z，集合

M

＝{

x

｜

x

＝3

k

＋1，

k

∈Z}，

N

＝{

x

｜

x

＝

3

k

＋2，

k

∈Z}，則?

U

(

M

∪

N

)＝(

A

)A.{x｜x＝3k，k∈Z}B.{x｜x＝3k－1，k∈Z}C.{x｜x＝3k－2，k∈Z}D.?[解析]

解法一

M

＝{…，－2，1，4，7，10，…}，

N

＝{…，－1，2，5，8，11，…}，所以

M

∪

N

＝{…，－2，－1，1，2，4，5，7，8，10，11，…}，所以?

U

(

M

∪

N

)＝{…，－3，0，3，6，9，…}，其元素都是3的倍數(shù)，即?

U

(

M

∪

N

)＝{

x

｜

x

＝3

k

，

k

∈Z}，故選A.A解法二集合

M

∪

N

表示被3除余1或2的整數(shù)集，則它在整數(shù)集中的補集是恰好能

被3整除的整數(shù)集，故選A.例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3例4訓(xùn)練3例5訓(xùn)練4例6訓(xùn)練5角度2

已知集合運算結(jié)果求參數(shù)例4

(1)[全國卷Ⅰ]設(shè)集合

A

＝{

x

｜

x

2－4≤0}，

B

＝{

x

｜2

x

＋

a

≤0}，且

A

∩

B

＝

{

x

｜－2≤

x

≤1}，則

a

＝(

B

)A.－4B.－2C.2D.4

B例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3例4訓(xùn)練3例5訓(xùn)練4例6訓(xùn)練5(2)已知集合

A

＝{

x

｜

y

＝ln(1－

x

2)}，

B

＝{

x

｜

x

≤

a

}，若(?R

A

)∪

B

＝R，則實數(shù)

a

的取值范圍為(

B

)A.(1，＋∞)B.[1，＋∞)C.(－∞，1)D.(－∞，1][解析]由題可知

A

＝{

x

｜

y

＝ln(1－

x

2)}＝{

x

｜－1＜

x

＜1}，?R

A

＝{

x

｜

x

≤－1

或

x

≥1}，所以由(?R

A

)∪

B

＝R，

B

＝{

x

｜

x

≤

a

}，得

a

≥1.B例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3例4訓(xùn)練3例5訓(xùn)練4例6訓(xùn)練5方法技巧1.處理集合的交、并、補運算時，一是要明確集合中的元素是什么，二是要能夠化

簡集合，得出元素滿足的最簡條件.2.對于集合的交、并、補運算，如果集合中的元素是離散的，可借助Venn圖求解；

如果集合中的元素是連續(xù)的，可借助數(shù)軸求解，此時要注意端點的情況.例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3例4訓(xùn)練3例5訓(xùn)練4例6訓(xùn)練5訓(xùn)練3

(1)[2023全國卷乙]設(shè)集合

U

＝R，集合

M

＝{

x

｜

x

＜1}，

N

＝{

x

｜－1＜

x

＜

2}，則{

x

｜

x

≥2}＝(

A

)A.?U(M∪N)B.N∪?UMC.?U(M∩N)D.M∪?UN[解析]由題意知

M

∪

N

＝{

x

｜

x

＜2}，所以?

U

(

M

∪

N

)＝{

x

｜

x

≥2}，故選A.A例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3例4訓(xùn)練3例5訓(xùn)練4例6訓(xùn)練5(2)[2023江西省聯(lián)考]已知集合

A

＝{(

x

，

y

)｜(

x

－1)2＋

y

2＝1}，

B

＝{(

x

，

y

)｜

kx

－

y

－2＜0}.若

A

∩

B

＝

A

，則實數(shù)

k

的取值范圍是(

A

)

A例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3例4訓(xùn)練3例5訓(xùn)練4例6訓(xùn)練5命題點4

集合中的計數(shù)問題例5

[全國卷Ⅲ]《西游記》《三國演義》《水滸傳》和《紅樓夢》是中國古典文學(xué)瑰

寶，并稱為中國古典小說四大名著.某中學(xué)為了解本校學(xué)生閱讀四大名著的情況，隨

機調(diào)查了100位學(xué)生，其中閱讀過《西游記》或《紅樓夢》的學(xué)生共有90位，閱讀

過《紅樓夢》的學(xué)生共有80位，閱讀過《西游記》且閱讀過《紅樓夢》的學(xué)生共有

60位，則該校閱讀過《西游記》的學(xué)生人數(shù)與該校學(xué)生總數(shù)比值的估計值為(

C

)A.0.5B.0.6C.0.7D.0.8[解析]

解法一由題意得，閱讀過《西游記》的學(xué)生人數(shù)為90－80＋60＝70，則

該校閱讀過《西游記》的學(xué)生人數(shù)與該校學(xué)生總數(shù)比值的估計值為70÷100＝0.7.故

選C.C例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3例4訓(xùn)練3例5訓(xùn)練4例6訓(xùn)練5解法二用Venn圖表示調(diào)查的100位學(xué)生中閱讀過《西游記》和《紅樓夢》的人數(shù)

之間的關(guān)系，如圖，

例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3例4訓(xùn)練3例5訓(xùn)練4例6訓(xùn)練5方法技巧集合中元素的個數(shù)問題的求解策略關(guān)于集合中元素的個數(shù)問題，常借助Venn圖或用公式card(

A

∪

B

)＝card(

A

)＋

card(

B

)－card(

A

∩

B

)，card(

A

∪

B

∪

C

)＝card(

A

)＋card(

B

)＋card(

C

)－card(

A

∩

B

)－card(

A

∩

C

)－card(

B

∩

C

)＋card(

A

∩

B

∩

C

)(card(

A

)表示有限集合

A

中元素的個數(shù))求解.例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3例4訓(xùn)練3例5訓(xùn)練4例6訓(xùn)練5

21

例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3例4訓(xùn)練3例5訓(xùn)練4例6訓(xùn)練5

例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3例4訓(xùn)練3例5訓(xùn)練4例6訓(xùn)練5命題點5

集合的新定義問題例6

(1)[2024上海市晉元高級中學(xué)模擬]已知集合

M

＝{1，2，3，4，5，6}，集合

A

?

M

，定義

M

(

A

)為

A

中元素的最小值，當

A

取遍

M

的所有非空子集時，對應(yīng)的

M

(

A

)的和記為

S

，則

S

＝

?.[解析]由

M

＝{1，2，3，4，5，6}得，

M

的非空子集

A

共有26－1個，其中最小值

為1的有25個，最小值為2的有24個，最小值為3的有23個，最小值為4的有22個，

最

小值為5的有21個，最小值為6的有20個，故

S

＝25×1＋24×2＋23×3＋22×4＋2×5

＋1×6＝120.120

例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3例4訓(xùn)練3例5訓(xùn)練4例6訓(xùn)練5(2)若一個集合是另一個集合的子集，則稱這兩個集合構(gòu)成“全食”；若兩個集合有

公共元素但不互為對方的子集，則稱兩個集合構(gòu)成“偏食”.已知集合

A

＝{

x

｜－

t

＜

x

＜

t

，

t

＞0}和集合

B

＝{

x

｜

x

2－

x

－2＜0}，若集合

A

，

B

構(gòu)成“偏食”，則實

數(shù)

t

的取值范圍為

?.

(1，2)

例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3例4訓(xùn)練3例5訓(xùn)練4例6訓(xùn)練5方法技巧解決集合新定義問題的關(guān)鍵緊扣新定義，分析新定義的特點，把新定義所敘述的問題的本質(zhì)弄清楚，結(jié)合題目

所給定義和要求進行恰當轉(zhuǎn)化，切忌同已有概念或定義混淆.例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3例4訓(xùn)練3例5訓(xùn)練4例6訓(xùn)練5訓(xùn)練5

[多選/2023山東省淄博一中月考]在整數(shù)集Z中，被5除所得余數(shù)為

k

的所有整

數(shù)組成一個“類”，記為[

k

]，即[

k

]＝{5

n

＋

k

｜

n

∈Z}(

k

＝0，1，2，3，4)，給出

如下四個結(jié)論，正確結(jié)論為(

ACD

)A.2023∈[3]B.－2∈[2]C.Z＝[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]D.整數(shù)a，b屬于同一“類”的充要條件是a－b∈[0]ACD例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3例4訓(xùn)練3例5訓(xùn)練4例6訓(xùn)練5[解析]由2023÷5＝404……3，得2023∈[3]，故A正確；－2＝5×(－1)＋3，所以

－2∈[3]，故B錯誤；因為整數(shù)集中的被5除的數(shù)可以且只可以分成五類，所以Z＝

[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]，故C正確；因為整數(shù)

a

，

b

屬于同一“類”，所以整數(shù)

a

，

b

被5除的余數(shù)相同，從而

a

－

b

被5除的余數(shù)為0，反之也成立，故整數(shù)

a

，

b

屬于同

一“類”的充要條件是

a

－

b

∈[0]，故D正確.故選ACD.例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3例4訓(xùn)練3例5訓(xùn)練4例6訓(xùn)練5

2

12345

A.B?AB.A＝BC.C?BD.A?C

D123453.[命題點2，3/2024四川省綿陽中學(xué)模擬]設(shè)集合

A

＝{(

x

，

y

)｜

x

＋

y

＝2}，

B

＝

{(

x

，

y

)｜

y

＝

x

2}，則

A

∩

B

的子集個數(shù)是(

B

)A.2B.4C.8D.16

B12345

A.{x｜0≤x＜4}B.{x｜0≤x≤1}C.{x｜－1≤x＜4}D.{x｜1≤x＜4}

C123455.[命題點5/2024寧夏銀川一中月考]已知集合

A

＝{

x

｜－1＜

x

≤1，

x

∈Z}，

B

＝

{

x

｜2≤｜

x

｜≤3，

x

∈N}，定義集合

A

⊕

B

＝{(

x

1＋

x

2，

y

1＋

y

2)｜

x

1，

y

1∈

A

，

x

2，

y

2∈

B

}，則

A

⊕

B

中元素個數(shù)為(

D

)A.6B.7C.8D.9[解析]

A

＝{

x

｜－1＜

x

≤1，

x

∈Z}＝{0，1}，

B

＝{

x

｜2≤｜

x

｜≤3，

x

∈N}＝

{2，3}，由

A

⊕

B

＝{(

x

1＋

x

2，

y

1＋

y

2)｜

x

1，

y

1∈

A

，

x

2，

y

2∈

B

}，得

x

1＋

x

2可

取2，3，4，

y

1＋

y

2可取2，3，4，所以

A

⊕

B

＝{(2，2)，(2，3)，(2，4)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，2)，(4，3)，(4，4)}，有9個元素.故選D.D12345

1.[2024武漢部分學(xué)校調(diào)考]已知集合

A

＝{

x

｜

x

2－2

x

－8＜0}，

B

＝{－2，－1，

0，1，2}，則

A

∩

B

＝(

B

)A.{－2，－1，0，1，2}B.{－1，0，1，2}C.{－1，0，1}D.{－2，－1，0，1}[解析]因為

A

＝{

x

｜

x

2－2

x

－8＜0}＝{

x

｜－2＜

x

＜4}，

B

＝{－2，－1，0，

1，2}，所以

A

∩

B

＝{－1，0，1，2}，故選B.B1234567891011121314151617

A.Q?PB.P?QC.P＝QD.Q??RP[解析]由已知，得

P

＝[0，＋∞)，

Q

＝(0，＋∞)，所以

Q

?

P

，故選A.A12345678910111213141516173.[2024遼寧聯(lián)考]設(shè)全集

U

＝{1，2，

m

2}，集合

A

＝{2，

m

－1}，?

UA

＝{4}，則

m

＝(

D

)A.3B.－2C.4D.2

D12345678910111213141516174.[2024江西南昌模擬]已知集合

A

＝{

x

｜2

x

≤8，

x

∈N}，

B

＝{

x

｜－2＜

x

＜5}，

則

A

∩

B

中元素的個數(shù)為(

B

)A.3B.4C.5D.6[解析]因為

A

＝{

x

｜2

x

≤8，

x

∈N}＝{0，1，2，3}，所以

A

∩

B

＝{0，1，2，

3}，則

A

∩

B

中元素的個數(shù)為4.故選B.B12345678910111213141516175.[2023全國卷乙]設(shè)全集

U

＝{0，1，2，4，6，8}，集合

M

＝{0，4，6}，

N

＝{0，

1，6}，則

M

∪?

UN

＝(

A

)A.{0，2，4，6，8}B.{0，1，4，6，8}C.{1，2，4，6，8}D.U[解析]由題意知，?

UN

＝{2，4，8}，所以

M

∪?

UN

＝{0，2，4，6，8}.故選A.A12345678910111213141516176.[2024山東模擬]已知集合

M

＝{

x

｜

x

2－2

x

≤0}，

N

＝{

x

｜log2(

x

－1)＜1}，則

M

∩

N

＝(

B

)A.[0，2]B.(1，2]C.(0，3)D.[2，3)[解析]

解法一因為

M

＝{

x

｜

x

2－2

x

≤0}＝{

x

｜0≤

x

≤2}，

N

＝{

x

｜log2(

x

－

1)＜1}＝{

x

｜0＜

x

－1＜2}＝{

x

｜1＜

x

＜3}，所以

M

∩

N

＝(1，2]，故選B.B

12345678910111213141516177.[2024重慶渝北模擬]設(shè)集合

A

＝{

x

｜

x

2－8

x

＋15＝0}，集合

B

＝{

x

｜

ax

－1＝

0}，若

B

?

A

，則實數(shù)

a

取值集合的真子集的個數(shù)為(

C

)A.2B.3C.7D.8

C12345678910111213141516178.[2023遼寧名校聯(lián)考]設(shè)集合

A

＝{

x

｜

x

＞

a

}，集合

B

＝{0，1}，若

A

∩

B

≠?，

則實數(shù)

a

的取值范圍是(

C

)A.(－∞，1]B.(－∞，0]C.(－∞，1)D.(－∞，0)[解析]因為集合

A

＝{

x

｜

x

＞

a

}，集合

B

＝{0，1}，若

A

∩

B

＝?，則

a

≥1，故

當

A

∩

B

≠?時，

a

＜1.故選C.C12345678910111213141516179.[2024江西吉安模擬]若全集

U

＝{3，4，5，6，7，8}，

M

＝{4，5}，

N

＝{3，6}，則集合{7，8}＝(

D

)A.M∪NB.M∩NC.(?UM)∪(?UN)D.(?UM)∩(?UN)[解析]因為

M

＝{4，5}，

N

＝{3，6}，所以

M

∪

N

＝{3，4，5，6}，

M

∩

N

＝?，所以選項A，B不符合題意；又因為

U

＝{3，4，5，6，7，8}，所以(?

UM

)∪(?

UN

)＝{3，6，7，8}∪{4，5，7，8}＝{3，4，5，6，7，8}，(?

UM

)∩(?

UN

)＝{3，6，7，8}∩{4，5，7，8}＝{7，8}，因此選項C不符合題意，選項D符合題意，故選D.D123456789101112131415161710.[全國卷Ⅱ]已知集合

A

＝{(

x

，

y

)｜

x

2＋

y

2≤3，

x

∈Z，

y

∈Z}，則

A

中元素的個

數(shù)為(

A

)A.9B.8C.5D.4

A1234567891011121314151617解法二根據(jù)集合

A

中的元素特征及圓的方程

x

2＋

y

2＝3在平面直角坐標系中

作出圖形，如圖，易知在圓

x

2＋

y

2＝3中有9個整點，即集合

A

中元素的個數(shù)

為9，故選A.1234567891011121314151617

A.[－1，3]B.(3，＋∞)C.(－∞，3]D.[－1，3)

D123456789101112131415161712.[2023江西五校聯(lián)考]設(shè)集合

A

＝{

x

｜

m

－3＜

x

＜2

m

＋6}，

B

＝{

x

｜log2

x

＜

2}，若

A

∪

B

＝

A

，則實數(shù)

m

的取值范圍是(

D

)A.?B.[－3，－1]C.(－1，3)D.[－1，3]

D1234567891011121314151617

13.[2021全國卷乙]已知集合

S

＝{

s

｜

s

＝2

n

＋1，

n

∈Z}，

T

＝{

t

｜

t

＝4

n

＋1，

n

∈Z}，則

S

∩

T

＝(

C

)A.?B.SC.TD.Z[解析]

解法一在集合

T

中，令

n

＝

k

(

k

∈Z)，則

t

＝4

n

＋1＝2(2

k

)＋1(

k

∈Z)，

而集合

S

中，

s

＝2

n

＋1(

n

∈Z)，所以必有

T

?

S

，所以

T

∩

S

＝

T

，故選C.C解法二

S

＝{…，－3，－1，1，3，5，