4.5 函數(shù)的應(yīng)用（二）（原卷版）

.5函數(shù)的應(yīng)用（二）知識點一求函數(shù)的零點【【解題思路】探究函數(shù)零點的兩種求法(1)代數(shù)法：求方程f(x)＝0的實數(shù)根，若存在實數(shù)根，則函數(shù)存在零點，否則函數(shù)不存在零點．(2)幾何法：與函數(shù)y＝f(x)的圖象聯(lián)系起來，圖象與x軸的交點的橫坐標即為函數(shù)的零點【例1】（2024·山東青島·二模）函數(shù)的零點為（

）A．0 B．1 C． D．【變式】1．（23-24北京順義·期末）函數(shù)的零點是（

）A． B． C．10 D．2．（2024湖南）函數(shù)的零點是（

）A．0 B．1 C．2 D．3．（2023高一上·全國·專題練習(xí)）若函數(shù)的兩個零點是2和3，則函數(shù)的零點是．4．（23-24高一上·河北石家莊·階段練習(xí)）已知定義在上的函數(shù)為單調(diào)函數(shù)，且對任意，恒有，則函數(shù)的零點是.知識點二判斷零點所在的區(qū)間【【解題思路】確定函數(shù)f(x)零點所在區(qū)間的常用方法(1)解方程法：當(dāng)對應(yīng)方程f(x)＝0易解時，可先解方程，再看求得的根是否落在給定區(qū)間上．(2)利用函數(shù)零點存在定理：首先看函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是否連續(xù)，再看是否有f(a)·f(b)<0.若f(a)·f(b)<0，則函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)必有零點．(3)數(shù)形結(jié)合法：通過畫函數(shù)圖象，觀察圖象與x軸在給定區(qū)間上是否有交點來判斷．【例2-1】（2024遼寧·期末）已知函數(shù)，則的零點所在的區(qū)間為（

）A． B． C． D．【例2-2】（23-24高一下·云南曲靖·階段練習(xí)）若函數(shù)在上是單調(diào)函數(shù)，且滿足對任意，都有，則函數(shù)的零點所在的區(qū)間為（

）A． B． C． D．【例2-3】（23-24高三上·浙江紹興·期末）已知命題：函數(shù)在內(nèi)有零點，則命題成立的一個必要不充分條件是（

）A． B． C． D．【變式】1．（23-24高一下·江蘇揚州·期末）方程的解所在區(qū)間為（

）A． B． C． D．2．（2024安徽蕪湖·階段練習(xí)）已知函數(shù)，在下列區(qū)間中，包含零點的區(qū)間是（

）A． B． C． D．3．（23-24高一下·海南·階段練習(xí)）函數(shù)的零點所在區(qū)間為（

）A． B． C． D．4．（23-24高一上·湖南株洲·期末）若方程的實根在區(qū)間上，則（

）A． B．2 C．或2 D．1知識點三二分法概念的理解【【解題思路】運用二分法求函數(shù)的零點應(yīng)具備的條件(1)函數(shù)圖象在零點附近連續(xù)不斷．(2)在該零點左右函數(shù)值異號．只有滿足上述兩個條件，才可用二分法求函數(shù)零點．【例3-1】（23-24高一上·吉林延邊·期末）下列函數(shù)中，不能用二分法求零點的是（）A． B．C． D．【例3-2】（23-24高一上·天津·階段練習(xí)）下列函數(shù)圖象與x軸均有交點，其中不能用二分法求圖中交點橫坐標的是下圖中的（

）A．B．C． D．【變式】1．（23-24高一上·湖北恩施·期末）下列方程中，不能用二分法求近似解的為（

）A． B． C． D．2．（2023高一上·全國·專題練習(xí)）以下每個圖象表示的函數(shù)都有零點，但不能用二分法求函數(shù)零點近似值的是（

）A．

B．

C．

D．

3．（23-24高一上·陜西西安·階段練習(xí)）多選下列函數(shù)圖象與軸均有交點，其中能用二分法求函數(shù)零點近似值的有（

）A．

B．

C．

D．

知識點四用二分法求方程的近似解【【解題思路】利用二分法求方程的近似解的步驟(1)構(gòu)造函數(shù)，利用圖象確定方程的解所在的大致區(qū)間，通常取區(qū)間(n，n＋1)，n∈Z.(2)利用二分法求出滿足精確度的方程的解所在的區(qū)間M.(3)區(qū)間M內(nèi)的任一實數(shù)均是方程的近似解，通常取區(qū)間M的一個端點．【例4-1】（23-24高一下·江蘇揚州·階段練習(xí)）用二分法研究函數(shù)的零點時，第一次經(jīng)過計算得，，則其中一個零點所在區(qū)間和第二次應(yīng)計算的函數(shù)值分別為（

）A．， B．，C．， D．，【例4-2】（23-24高一上·湖南·期末）用二分法求函數(shù)的一個正零點的近似值（精確度為時，依次計算得到如下數(shù)據(jù)；，關(guān)于下一步的說法正確的是（

）A．已經(jīng)達到精確度的要求，可以取1.1作為近似值B．已經(jīng)達到精確度的要求，可以取1.125作為近似值C．沒有達到精確度的要求，應(yīng)該接著計算D．沒有達到精確度的要求，應(yīng)該接著計算【變式】1．（23-24高一上·江蘇蘇州·期末）若函數(shù)的一個正數(shù)零點附近的函數(shù)值用二分法計算，其參考數(shù)據(jù)如下：那么方程的一個近似根精確度為可以是（）A． B． C． D．2．（23-24高一上·云南昆明·期末）若函數(shù)的一個正零點用二分法計算，零點附近函數(shù)值的參考數(shù)據(jù)如下：，，，，，，那么方程的一個近似根（精確度）為（

）A．1.2 B．1.3 C．1.4 D．1.53．（23-24高一上·上海浦東新·階段練習(xí)）用二分法求函數(shù)的一個零點的近似值（精確度為0.1）時，依次計算得到如下數(shù)據(jù)：，，，，則下列說法正確的是（

）A．函數(shù)在上不一定有零點B．已經(jīng)達到精確度，可以取1.375作為近似值C．沒有達到精確度，應(yīng)該接著計算D．沒有達到精確度，應(yīng)該接著計算重難點一零點的個數(shù)【【解題思路】判斷函數(shù)零點個數(shù)的四種常用方法(1)利用方程根，轉(zhuǎn)化為解方程，有幾個不同的實數(shù)根就有幾個零點．(2)畫出函數(shù)y＝f(x)的圖象，判定它與x軸的交點個數(shù)，從而判定零點的個數(shù)．(3)結(jié)合單調(diào)性，利用函數(shù)零點存在定理，可判定y＝f(x)在(a，b)上零點的個數(shù)．(4)轉(zhuǎn)化成兩個函數(shù)圖象的交點個數(shù)問題．【例5-1】（2025高三·全國·專題練習(xí)）函數(shù)的零點個數(shù)為（）A．0 B．1 C．2 D．3【例5-2】（23-24陜西漢中·期末）設(shè)函數(shù),則的零點個數(shù)為（

）A．0 B．1 C．2 D．3【例5-3】（23-24高一下·廣東韶關(guān)·階段練習(xí)）函數(shù)的零點個數(shù)為（

）A．0 B．1 C．2 D．3【變式】1．（23-24高一下·廣西南寧·階段練習(xí)）已知分段函數(shù)，則方程的解的個數(shù)是（

）A．4個 B．3個 C．2個 D．1個2．（2024高一上·湖南邵陽·競賽）函數(shù)的零點個數(shù)為（

）A．0 B．1 C．2 D．33．（23-24高一上·甘肅武威·期末）已知函數(shù)則函數(shù)的零點個數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．44（23-24高一下·浙江·期中）已知函數(shù)則函數(shù)的零點個數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4重難點二根據(jù)零點情況求參數(shù)范圍【例6-1】（23-24浙江寧波·期末）若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)恰有一個零點，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【例6-2】（23-24高一上·廣東茂名·期中）已知函數(shù)，若方程有三個不同的實數(shù)根，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【變式】1．（23-24高一上·安徽亳州·期末）若函數(shù)在區(qū)間上存在零點，則常數(shù)a的取值范圍為．2．（22-23甘肅定西·階段練習(xí)）已知函數(shù)，若關(guān)于的方程恰有三個實數(shù)根，則的取值范圍為．3．（2024·寧夏銀川）函數(shù)有兩個零點,求a的范圍4．（23-24高一下·遼寧撫順·期中）若函數(shù)只有1個零點，則的取值范圍是．5．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，若關(guān)于的方程有3個不相等的實數(shù)根，則的取值范圍是．重難點三零點大小的比較【例7-1】（2024·廣東梅州）三個函數(shù)，，的零點分別為，則之間的大小關(guān)系為（

）A． B．C． D．【變式】1．（23-24高一下·河南·開學(xué)考試）已知函數(shù)的零點分別是，則的大小關(guān)系為（

）A． B．C． D．2（23-24高一上·湖南株洲·期末）.已知函數(shù)的零點分別為，則的大小關(guān)系為（

）A． B．C． D．3（23-24高一上·湖北·階段練習(xí)）已知函數(shù)，，的零點分別為則（

）A． B． C． D．4．（23-24高三上·寧夏石嘴山·階段練習(xí)）函數(shù)，，的零點分別為a，b，c，則（

）A． B．C． D．重難點四零點之和【例8-1】（22-23高一上·全國·單元測試）是上的偶函數(shù)，若方程有五個不同的實數(shù)根，則這些根之和為（

）A．2 B．1 C．0 D．【例8-2】（2024山東菏澤·期末）若，分別是方程，的根，則（

）A．2022 B．2023 C． D．【變式】1．（23-24高一上·寧夏石嘴山·期中）（多選）已知函數(shù)，若存在，使得，則的取值可以是（

）A． B．3 C． D．2．（22-23江西南昌·期末）（多選）已知函數(shù)，若有四個不同的解且，則可能的取值為（）A． B． C． D．重難點五函數(shù)模型的應(yīng)用【【解題思路】應(yīng)用函數(shù)模型解決問題的基本過程1．審題——弄清題意，分清條件和結(jié)論，理順數(shù)量關(guān)系，初步選擇模型．2．建模——將自然語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言，將文字語言轉(zhuǎn)化為符號語言，利用數(shù)學(xué)知識建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型．3．求?！蠼鈹?shù)學(xué)模型，得出數(shù)學(xué)模型．4．還原——將數(shù)學(xué)結(jié)論還原為實際問題．【例9-1】（24-25高一上·全國·課堂例題）天文學(xué)中天體的明暗程度可以用星等或亮度來描述．兩顆星的星等與亮度滿足．其中星等為的星的亮度為．已知“心宿二”的星等是1.00，“天津四”的星等是1.25，“宿二”的亮度是“天津四”的倍，則與最接近的是（）（注：當(dāng)較小時，）A．1.24 B．1.25 C．1.26 D．1.27【變式】1．（23-24高一上·云南昆明·期末）酒駕是嚴重危害交通安全的違法行為．為了保障交通安全，根據(jù)國家有關(guān)規(guī)定：血液中酒精含量達到的駕駛員即為酒后駕車，及以上認定為醉酒駕車，都屬于違法駕車．假設(shè)某駕駛員喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了．如果停止喝酒以后，他血液中的酒精含量會以每小時的速度減少，要保證他不違法駕車，則他至少要休息(結(jié)果精確到小時，參考數(shù)據(jù)：)（

）A．小時 B．小時 C．小時 D．小時2．（24-25高一上·上海·隨堂練習(xí)）2020年12月17日凌晨，嫦娥五號返回器攜帶月球樣品在內(nèi)蒙古四子王旗預(yù)定區(qū)域安全著陸．嫦娥五號返回艙之所以能達到如此高的再入精度，主要是因為它采用彈跳式返回彈道，實現(xiàn)了減速和再入階段彈道調(diào)整，這與“打水漂”原理類似（如圖所示）．現(xiàn)將石片扔向水面，假設(shè)石片第一次接觸水面的速率為，這是第一次“打水漂”，然后石片在水面上多次“打水漂”，每次“打水漂”的速率為上一次的90%，若要使石片的速率低于，則至少需要“打水漂”的次數(shù)為．（參考數(shù)據(jù)：，）3．（23-24高一上·廣西崇左·期中）雙碳戰(zhàn)略之下，新能源汽車發(fā)展成為乘用車市場轉(zhuǎn)型升級的重要方向．根據(jù)工信部最新數(shù)據(jù)顯示，截至2022年一季度，我國新能源汽車已累計推廣突破1000萬輛大關(guān)．某企業(yè)計劃引進新能源汽車生產(chǎn)設(shè)備，通過市場分析，每生產(chǎn)（千輛）獲利（萬元），；該公司預(yù)計2022年全年其他成本總投入為萬元．由市場調(diào)研知，該種車銷路暢通，供不應(yīng)求．記2022年的全年利潤為（單位：萬元）．(1)求函數(shù)的解析式；(2)當(dāng)2022年產(chǎn)量為多少千輛時，該企業(yè)利潤最大？最大利潤是多少？請說明理由．單選題1．（2024湖北）下列關(guān)于二分法的敘述中，正確的是（

）A．用二分法可求所有函數(shù)零點的近似值B．用二分法可求函數(shù)零點的近似值，可精確到小數(shù)點后任一位C．二分法無規(guī)律可循，無法在計算機上完成D．只能用二分法求函數(shù)的零點2．（23-24高一下·江西吉安·期末）已知某種鉛蓄電池由于硫酸濃度的降低，每隔一個月其性能指數(shù)都要損失10%，且一般認為當(dāng)該種類型的電池的性能指數(shù)降低到原來的以下時就需要更換其中的硫酸來達到持久續(xù)航，則最多使用（

）個月就需要更換純硫酸（參考數(shù)據(jù)，）A．11 B．12 C．13 D．143．（2023·寧夏銀川）函數(shù)在區(qū)間上存在零點，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．4．（2023高一上·江蘇·專題練習(xí)）若函數(shù)在存在零點，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．∪5．（2024四川德陽·期末）函數(shù)有兩個零點的充分不必要條件是（

）A． B．C．或 D．6．（2024廣東江門·期末）已知，，的零點分別是，，，則，，的大小順序是（

）A． B． C． D．7．（2024江蘇南通·階段練習(xí)）已知，若互不相等的實數(shù)，，滿足，則的取值范圍為（

）．A． B． C． D．8．（2023·上?！ｎ}練習(xí)）已知函數(shù)，且m，n是方程的兩個根（m＜n），則實數(shù)a、b、m、n的大小關(guān)系可能是（

）A．m＜a＜b＜n B．a(chǎn)＜m＜n＜b C．m＜a＜n＜b D．a(chǎn)＜m＜b＜n多選題9．（23-24高一上·浙江溫州·期末）設(shè)，某同學(xué)用二分法求方程的近似解精確度為，列出了對應(yīng)值表如下：依據(jù)此表格中的數(shù)據(jù)，方程的近似解不可能為（

）A． B． C． D．10．（23-24高一上·河南駐馬店·階段練習(xí)）若函數(shù)的一個正數(shù)零點附近的函數(shù)值用二分法逐次計算，參考數(shù)據(jù)如下：，；，；．那么可以作為方程的一個近似解的是（精確度為0.1）（

）A．1.35 B．1.40 C．1.43 D．1.5011．（23-24高一上·河南鄭州·期中）若二次函數(shù)的一個零點恰落在內(nèi)，則實數(shù)的值可以是（

）A． B． C． D．1填空題12．（23-24高一下·河南信陽·開學(xué)考試）函數(shù)，若關(guān)于的方程恰有三個實數(shù)根，則的取值范圍是.13．（23-24高一上·上海虹口·期末）設(shè)，則函數(shù)的所有零點之和為．14．（22-23高一上·云南昆明·期末）已知是定義在區(qū)間的