2025屆新高考數(shù)學(xué)沖刺復(fù)習(xí) 突破爪型三角形的八大妙手

2025屆新高考數(shù)學(xué)沖刺復(fù)習(xí)突破爪型三角形的八大“妙手”目錄CONTENTS爪型三角形的幾何特征01中線公式與向量方法02為角平分線：角平分線定理03斯特瓦爾特定理04張角定理05等面積思想06三角形相似0708坐標(biāo)法基本原理01爪型三角形的幾何特征PART爪型三角形的幾何特征基本幾何特征:如圖，

例1．（2022全國(guó)甲卷）已知

中，點(diǎn)

在邊

上，

，

，

．當(dāng)

取得最小值時(shí)，_____．解析：設(shè)

，

，在三角形

中，

，可得：

，在三角形

中，

，可得：

，要使得

最小，即

最小，

，其中

，此時(shí)

，當(dāng)且僅當(dāng)

時(shí)，即

時(shí)取等號(hào)，故答案為：

．例2.（2021新高考1卷）記

是內(nèi)角

的對(duì)邊分別為

.已知

，點(diǎn)

在邊

上，

.（1）證明：

；（2）若

，求解析：（1）由題設(shè)，

，由正弦定理知：

，即

，∴

，又

，∴

，得證.（2）由題意知：

，∴

，同理

，∵

，∴

，整理得

，又

∴

，整理得

，

解得

或

，由余弦定理知：

當(dāng)時(shí)

，

不合題意；當(dāng)

時(shí)

，

；綜上，

.例3．（23年新高考2卷17題）記

的內(nèi)角

的對(duì)邊分別為

，已知

的面積為

，

為

中點(diǎn)，且

．(1)若

，求

；(2)若

，求

．【詳解】（1）在

中，因?yàn)?/p>

為

中點(diǎn)，

，

，

則

，解得

，在

中，

，由余弦定理得

，即

，解得

，則

，

，所以

.（2）在

與

中，由余弦定理得

，整理得

，而

，則

，又

，解得

，而

，于是

，所以

.02中線公式與向量方法PART若已知頂角

的大小，且

時(shí)，可利用向量共線的基本結(jié)論求得.例4（廣州市2023屆高三一模）在

中，內(nèi)角

的對(duì)邊分別為

，

.（1）求

；（2）若

的面積為

，求

邊上的中線

的長(zhǎng).解析：（1）因?yàn)?/p>

，所以

，所以

，即

，所以

，由余弦定理

及得：

，又

，所以

，即，

，所以

.（2）由

，所以

，由（1）

，所以

，因?yàn)?/p>

為邊

上的中線，所以

，所以，所以

，所以

邊上的中線

的長(zhǎng)為：

.例5．（湖北省七市（州）2023屆高三下學(xué)期3月聯(lián)合統(tǒng)一調(diào)研測(cè)試）記

的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知

．

（1）求B；（2）設(shè)

，若點(diǎn)M是

邊上一點(diǎn)，

，且

，求

的面積．【詳解】（1）

．（2）如圖所示：因?yàn)?/p>

，所以

，

．又

，所以

．在

中，由余弦定理得

，即

．①又

，所以

，兩邊平方得

，即

，所以

．②，②－①得

，所以

，代入①得

，在

中，

，所以

是以

為直角的三角形，所以

的面積為

．例6.（23年甲卷12題）己知橢圓

，

為兩個(gè)焦點(diǎn)，O為原點(diǎn)，P為橢圓上一點(diǎn)，

，則

（

）A．

B．

C．

D．解析：因?yàn)?/p>

①，

，即

②，聯(lián)立①②，解得：

，由中線定理可知，

，易知

，解得：

．故選：B．

例7．（23年新高考2卷17題）記

的內(nèi)角

的對(duì)邊分別為

，已知

的面積為

，

為

中點(diǎn)，且

．(1)若

，求

；(2)若

，求

．【詳解】（1）在

中，因?yàn)?/p>

為

中點(diǎn)，

，

，

則

，解得

，在

中，

，由余弦定理得

，即

，解得

，則

，

，所以

.（2）在

與

中，由余弦定理得

，整理得

，而

，則

，又

，解得

，而

，于是

，所以

.03為角平分線：角平分線定理PART如圖，可設(shè)

，這樣可得

.另一方面，設(shè)

的高為

，則

，聯(lián)立上面兩式可得：

，即角平分線性質(zhì)定理.例8.（2015全國(guó)2卷）

中，

是

上的點(diǎn)，

平分

，

面積是

面積的2倍．（1）求

；（2）若

=1，

=

求

和

的長(zhǎng).解析：（1）

，.因?yàn)?/p>

，

，所以

，由正弦定理可得（2）因?yàn)?/p>

，所以

，在

和

中，由余弦定理知

，故

，由（1）知

，所以

.04斯特瓦爾特定理PART斯特瓦爾特定理：設(shè)

為

的

邊上異于

的任一點(diǎn)，則有證明：由余弦定理，可得：

①

②，將上述兩式分別乘

后相加整理，可得.注：可以看到，斯特瓦爾特定理的證明關(guān)鍵是利用爪型三角形中兩角互補(bǔ)，即：這個(gè)隱含條件，而這個(gè)條件是處理爪型三角形的一個(gè)重要技巧.推論1.當(dāng)設(shè)

為

的

邊中點(diǎn)時(shí)，

.注：該結(jié)論還可由

證得.推論2.當(dāng)設(shè)

為

的角平分線時(shí)，

.推論3.當(dāng)設(shè)

滿足

時(shí)，

.例9.記

是內(nèi)角

的對(duì)邊分別為

.已知

，點(diǎn)

在邊

上，

.（1）證明：

；（2）若

，求解析：（2）由斯特瓦特定理，得

.由

及

，得

.化簡(jiǎn)變形，得

.因?yàn)?/p>

，所以

.即

.解得

或

.當(dāng)

時(shí)，

.由余弦定理，得

（不合題意，舍去）.當(dāng)

時(shí)，

.由余弦定理，得

.所以

.05張角定理PART在

中，D是BC上的一點(diǎn)，連結(jié)AD，那么

.證明：因?yàn)?/p>

，由三角形面積公式可得兩邊同除

，得到例10.（2018年江蘇卷）在

中，角

的對(duì)邊分別為

，

，

的平分線交

于點(diǎn)

，且

，則

的最小值為________.解由張角定理有

，即

，整理得

.所以

.當(dāng)且僅當(dāng)

，即

時(shí)取得最小值9.6等面積思想PART設(shè)

為

的平分線，則設(shè)

，那么有等面積可得：進(jìn)一步可得：

，于是可以看到，倘若我們知道角

與角平分線

的長(zhǎng)度，則可得到

的轉(zhuǎn)化關(guān)系，配合均值不等式就可得到一些范圍問(wèn)題.例11.（2022成都一診）在

中，已知角

，角A的平分線AD與邊BC相交于點(diǎn)D，AD=2.則AB+2AC的最小值為___________.解析：

，依題意

是角

的角平分線，由三角形的面積公式得

，化簡(jiǎn)得

，

，當(dāng)且僅當(dāng)

，

時(shí)等號(hào)成立.故答案為：例12（江蘇省南通市2023屆高三下學(xué)期第一次調(diào)研測(cè)試）在

中，

的對(duì)邊分別為

.（1）若

，求

的值；（2）若

的平分線

交

于點(diǎn)

，求

長(zhǎng)度的取值范圍.解析：（1）已知

，由正弦定理可得

，

，

，

即

，

.（2）由（1）知

，由

，則

.設(shè)

，

，

，

，

.例13.（2021新高考1卷）在

中，

，點(diǎn)

在邊

上，

.（1）證明：

；（2）若

，求

.解析：（1）設(shè)

的外接圓半徑為R，由正弦定理，得

，因?yàn)?/p>

，所以

，即

．又因?yàn)?/p>

，所以

．方法2.（等面積思想）（2）如圖，已知

，則

，即

，而

，即

，故有

，從而

．由

，即

，即

，即

，故

，又

，所以

，則

．例14．（23年甲卷16題）在

中

，

，

，D為BC上一點(diǎn)，AD為的平分線，則_________．【詳解】如圖所示：記

，由余弦定理可得，

，因?yàn)?/p>

，解得：

，由

可得，解得：

．故答案為：

．07三角形相似PART如圖，在三角形

中，已知角

的大小，

為邊

上一點(diǎn).那么我們可利用初中的相似三角形來(lái)求解一些這種條件下的爪型三角形問(wèn)題，簡(jiǎn)直妙！如下圖，過(guò)點(diǎn)

做

的平行線交

延長(zhǎng)線于

，則

，且由平行的性質(zhì)可知：

，于是，已知角

的大小即可得

的大小，倘若我們進(jìn)一步指導(dǎo)

的長(zhǎng)度，以及點(diǎn)

為

邊上的具體位置，那么在

中可以解決很多問(wèn)題，下面通過(guò)例題來(lái)分析.例15.（2022成都一診）在

中，已知角

，角

的平分線

與邊

相交于

，

，則

的最小值為________.解析：如上圖，由于

，故由

可得

，再加之

為角

的平分線，則

，于是

為等邊，則

，最后由于

，可得：

.由于

，等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)

.注：用輔助線加相似的方法來(lái)做這些題目非常容易，比起向量法簡(jiǎn)單的多.前面的例題讀者也可嘗試能否用幾何方法思考，此處不再贅述.08坐標(biāo)法PART例16.記

是內(nèi)角

的對(duì)邊分別為

.已知

，點(diǎn)

在邊

上，

.（1）證明：

；（2）若

，求解析：以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，

所在直線為x軸，過(guò)點(diǎn)D垂直于

的直線為y軸，

長(zhǎng)為單位長(zhǎng)度建立直角坐標(biāo)系，如圖所示，則

．由（1）知，

，所以點(diǎn)B在以D為圓心，3為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)．設(shè)

，則

．⑤由

知，

，即

⑥，聯(lián)立⑤⑥解得

或

（舍去），

，代入⑥式得

，由余弦定理得

．例17．（23年乙卷18題）在

中，已知

，

，

.(1)求

；(2)若D為BC上一點(diǎn)，且

，求

的面積.【詳解】（1）由余弦定理可得：

，則

，

，

.（2）由三角形面積公式可得

，則

.例18．在

中，有

，其中

分別為角

的對(duì)邊.(1)求角

的大小；(2)設(shè)點(diǎn)

是

的中點(diǎn)，若

，求

的取值范圍.【詳解】（1）

.（2）如圖，延長(zhǎng)

到

滿足

，連接

則

為平行四邊形，則

，

，

，

在

中，由余弦定理得：

，則

，可變形為

，即

，由基本不等式可得

，即

，可得

，當(dāng)且僅當(dāng)

時(shí)，等號(hào)成立，由三角形三邊關(guān)系可得

，則

，故的取值范圍是

.例19．已知

中內(nèi)角

所對(duì)邊分別為

，

．(1)求

；(2)若

邊上一點(diǎn)

，滿足

且

，求

的面積最大值．【詳解】（1）（2）

，已知

，