1.3 集合的基本運(yùn)算（解析版）

.3集合的基本運(yùn)算知識(shí)點(diǎn)一交集【【解題思路】求集合A∩B的常見類型(1)若A，B的元素是方程的根，則應(yīng)先解方程求出方程的根后，再求兩集合的交集.(2)若A，B的元素是有序數(shù)對(duì)，則A∩B是指兩個(gè)方程組成的方程組的解集，交集是點(diǎn)集.(3)若A，B是無限數(shù)集，可以利用數(shù)軸來求解，但要注意利用數(shù)軸表示不等式時(shí)，含有端點(diǎn)的值用實(shí)心點(diǎn)表示，不含有端點(diǎn)的值用空心圈表示.【例1-1】（2024·全國(guó)·高考真題）若集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】依題意得，對(duì)于集合中的元素，滿足，則可能的取值為，即，于是.故選：C【例1-2】（浙江省金華市十校2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期6月期末調(diào)研考試數(shù)學(xué)試題）已知集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】集合，，則.故選：A.【變式】1．（2024天津河?xùn)|）若集合，集合，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】,,則,故選:D.2．（23-24高一下·貴州遵義·期中）已知集合，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由題意可得，所以.故選：A.3．（2024·青海海西·模擬預(yù)測(cè)）已知集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由，將集合中的元素代入中，可得.故選：D4．（2024·湖南衡陽·模擬預(yù)測(cè)）若集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】依題得，則．故選：C.5．（23-24山西長(zhǎng)治·期末）已知集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】直接計(jì)算知，，.故中的三個(gè)元素中，在集合內(nèi)的是和，所以.故選：A.知識(shí)點(diǎn)二并集【【解題思路】求集合并集的兩種方法1.定義法：對(duì)于元素個(gè)數(shù)有限的集合，可直接根據(jù)集合的并集定義求解，但要注意集合中元素的互異性．2.數(shù)形結(jié)合法：對(duì)于元素個(gè)數(shù)無限的集合，進(jìn)行并集運(yùn)算時(shí)，可借助數(shù)軸求解．注意兩個(gè)集合的并集等于兩個(gè)集合在數(shù)軸上的相應(yīng)圖形所覆蓋的全部范圍，建立不等式時(shí)，要注意端點(diǎn)值是否能取到，最好是把端點(diǎn)值代入題目驗(yàn)證．【例2-1】（23-24·浙江·期末）已知集合，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因?yàn)?，所以．故選：A．【例2-2】．（24-25高一上·全國(guó)·假期作業(yè)）已知集合，，則（）A． B．C． D．【答案】A【解析】因?yàn)榧?，，所以，故選：A.【變式】1．（2024·浙江·三模）集合，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由，解得，即，，.故選：C.2．（23-24高三下·內(nèi)蒙古赤峰·開學(xué)考試）已知集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由集合，，得.故選：D.3．（23-24山東菏澤·開學(xué)考試）已知集合，，則下列關(guān)系一定正確的是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】因?yàn)榧?，，則集合B一定含有2，3，可能含有0，1，對(duì)比選項(xiàng)可知，只有C正確.故選：C知識(shí)點(diǎn)三補(bǔ)集【解題思路】1.【解題思路】1.列舉法表示：從全集U中去掉屬于集合A的所有元素后，由所有余下的元素組成的集合.2.由不等式構(gòu)成的無限集表示：借助數(shù)軸，取全集U中集合A以外的所有元素組成的集合.【例3-1】（23-24云南省曲靖市）已知全集，則（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】依題意，，所以.故選：D【例3-2】（2024·山西·模擬預(yù)測(cè)）已知全集，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因?yàn)椋?，故選：A.【變式】1．（24-25高一上·全國(guó)·假期作業(yè)）已知集合，，則（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意得，又因?yàn)?，所以，故選：C.2．（2024·四川綿陽·模擬預(yù)測(cè)）集合，，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題，，所以.故選：B.3．（2024·天津·三模）設(shè)全集，集合，，則=（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】依題意，全集，則，，得，所以.故選：B知識(shí)點(diǎn)四交并補(bǔ)的綜合運(yùn)用【例4-1】．（23-24高二下·浙江·期中）已知集合，，，則（）A． B． C． D．【答案】B【解析】集合，，∴，則．故選：B．【例4-2】（2024·安徽合肥·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)全集，集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】對(duì)于A，由題意得，所以．故A正確；對(duì)于B，，，所以，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，或，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，或，或，故D錯(cuò)誤.故選：A.【變式】1．（2024·天津北辰·三模）已知集合，，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】∵集合，，∴，又＝{0,1}，∴()∩N＝{0,1}．故選：C．2．（2024·四川成都·三模）設(shè)全集，集合M、N滿足，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】，，故，又，故，，A選項(xiàng)，由題意得交集，并集和，故A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，由于，故，B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，由于，故，C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，由于，故，且，又，故.故選：D3（2024·廣東廣州·三模）已知集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由題得：，，，或，或，所以，故A錯(cuò)誤；或，故B錯(cuò)誤；或，故C錯(cuò)誤；，故D正確；故選：D.4．（23-24高二下·甘肅白銀·期末）設(shè)全集，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因?yàn)?，所以或，因?yàn)?，所?故選：D.知識(shí)點(diǎn)五韋恩圖表示集合的運(yùn)算【例5-1】（23-24重慶·階段練習(xí)）已知全集，集合，，則圖中陰影部分表示的集合的子集個(gè)數(shù)為（

）A．2 B．4 C．8 D．16【答案】B【解析】由圖可知：陰影部分表示的集合為.因?yàn)榧希?，則，所以陰影部分表示的集合的子集個(gè)數(shù)為.故選：B.【例5-2】（23-24高一上·上海楊浦·開學(xué)考試）如圖表示圖形陰影部分的是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】圖中陰影部分表示元素滿足：是A中的元素，或者是B與C的公共元素故可以表示為，也可以表示為：.故選：B．【變式】1．（2024·安徽·三模）已知集合，，則圖中所示的陰影部分的集合可以表示為（

）

A． B．C． D．【答案】C【解析】由圖可知，陰影部分表示的集合為集合中的元素去掉集合的元素構(gòu)成，而，，則，得，故所求集合為.故選：C.2．（2024·湖南邵陽·三模）已知全集，集合，，如圖所示，則圖中陰影部分表示的集合是（

）A． B． C． D．或【答案】D【解析】因?yàn)?，，所以，所以圖中陰影部分表示的集合或.故選：D3．（2024·福建泉州·模擬預(yù)測(cè)）若全集是實(shí)數(shù)集，集合，，則如圖陰影部分表示的集合為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】∵全集是實(shí)數(shù)集，集合，∴，∴故圖中陰影部分所表示的集合為集合去掉中的元素,即.故選：A.重難點(diǎn)一交集求參數(shù)【解題思路】1.【解題思路】1.依據(jù)：A∩B＝A?A?B，A∪B＝A?B?A.（交小并大）2.關(guān)注點(diǎn)：當(dāng)集合A?B時(shí)，若集合A不確定，運(yùn)算時(shí)要考慮A＝?的情況，否則易漏解.3.要進(jìn)行集合運(yùn)算時(shí)，首先必須熟練掌握基本運(yùn)算法則，可按照如下口訣進(jìn)行：交集元素仔細(xì)找，屬于A且屬于B；并集元素勿遺漏，切忌重復(fù)僅取一；全集U是大范圍，去掉U中A元素，剩余元素成補(bǔ)集．【例6-1】（2024·甘肅蘭州·三模）設(shè)集合，若，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因?yàn)榧?，若，則，即集合，所以.故選：A【例6-2】（2024·河南·模擬預(yù)測(cè)）已知集合，，若中有2個(gè)元素，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由中有2個(gè)元素可知：，，，可得，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選：A.【變式】1．（2024·寧夏銀川·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)集合，，若，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由，所以，，則，，，.故選：A.2．（23-24高三下·河北滄州·期中）已知集合，若，則實(shí)數(shù)（

）A．-1或2 B．1 C． D．2【答案】D【解析】因?yàn)?，則，若，解得，此時(shí)，根據(jù)集合中元素的互異性，不合題意；若，即，解得或，若，此時(shí)，不合題意；當(dāng)時(shí)成立.故選：D.3．（2024·山東泰安·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)集合，，若，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因?yàn)?，所以，即，，所以，解得或，?故選：B.4．（2024·湖北荊州·三模）已知集合，若，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由題意知，又且，故，即的取值范圍為.故選：D.5．（2024·山東·模擬預(yù)測(cè)）已知集合，，若，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題意，再由，所以集合中最小元素應(yīng)在集合中，所以，即的取值范圍是.故選：B.重難點(diǎn)二并集求參數(shù)【例7-1】（2024·內(nèi)蒙古呼倫貝爾）已知集合，，若中恰有三個(gè)元素，則由a的取值組成的集合為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因?yàn)橹星∮腥齻€(gè)元素，所以或或，結(jié)合集合中元素的互異性，解得或或（舍去）或.故選：D．【例7-2】（2024·安徽阜陽）設(shè)集合或，集合，且，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】因?yàn)榛?，，且，所以，解得，即?shí)數(shù)的取值范圍為.故選：B．【例7-3】（23-24江西宜春·階段練習(xí)）（多選）設(shè)，，若，則實(shí)數(shù)的值可以是（

）A．0 B． C．4 D．1【答案】ABD【解析】，因?yàn)?，所以，所以或或或，若，則；若，則；若，則；若，無解．故選：ABD【變式】1．（2024·江西·模擬預(yù)測(cè)）（多選）設(shè)集合，，若，則的值可以為（

）A．1 B．0 C． D．【答案】ABD【解析】，因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則或，所以或，綜上所述，或或.故選：ABD.2．（2023·四川內(nèi)江·一模）集合，，若，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由數(shù)軸可知，當(dāng)時(shí)滿足題意，即的取值范圍為.故選：B3．（23-24高一下·浙江杭州·期末）已知集合．若，則實(shí)數(shù)．【答案】【解析】因?yàn)?，?必定在中，當(dāng)時(shí)，解得或，而此時(shí)有或，解得或，故此時(shí)，當(dāng)時(shí)，解得，此時(shí)，不滿足，故排除，綜上，即實(shí)數(shù)的值為.故答案為：重難點(diǎn)三已知補(bǔ)集求參【例8-1】（2023·河南駐馬店·一模）已知全集，若，則（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】由集合，，因?yàn)?，可?故選：C.【變式】1．（23-24高一上·遼寧·階段練習(xí)）設(shè)全集，集合，則（

）A．3 B． C．4 D．2【答案】D【解析】已知，由補(bǔ)集概念知，，由集合中元素的互異性知，，又全集，因?yàn)椋宜?，則解得．故選：D.2．（23-24高一上·湖北孝感·開學(xué)考試）設(shè)全集，且，若，則m的值等于（

）A．4 B．6 C．4或6 D．不存在【答案】A【解析】由全集，，得，即1，4是方程的兩個(gè)根，于是，解得，所以m的值等于4.故選：A3．（2024高一上·全國(guó)·專題練習(xí)）已知全集，集合，，則實(shí)數(shù)的值為．【答案】【解析】由集合，可得，解得，又由且，可得，解得，經(jīng)驗(yàn)證滿足條件，所以實(shí)數(shù)的值為.故答案為：.重難點(diǎn)四集合綜合運(yùn)算求參數(shù)【例9-1】（23-24高一上·安徽·階段練習(xí)）已知集合，，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因?yàn)?，，因?yàn)?，所以，所以，故選：A.【例9-2】（2024安徽蕪湖·階段練習(xí)）已知集合.(1)當(dāng)時(shí)，求的非空真子集的個(gè)數(shù)；(2)若，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(3)若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)254(2){m|m≤3}(3){m|m<2或m>4}【解析】（1）當(dāng)x∈Z時(shí)，A＝{x∈Z|－2≤x≤5}＝{－2，－1，0，1，2，3，4，5}，共有8個(gè)元素，所以A的非空真子集的個(gè)數(shù)為28－2＝254.（2）（2）因?yàn)锳∪B＝A，所以B?A，當(dāng)B＝?時(shí)，由m＋1>2m－1，得m<2，符合；當(dāng)B≠?時(shí)，根據(jù)題意，可得，解得2≤m≤3.綜上可得，實(shí)數(shù)m的取值范圍是{m|m≤3}.（3）（3）當(dāng)B＝?時(shí)，由（1）知m<2；當(dāng)B≠?時(shí)，根據(jù)題意作出如圖所示的數(shù)軸，可得或解得m>4.綜上可得，實(shí)數(shù)m的取值范圍是{m|m<2或m>4}.【變式】1．（23-24高一上·浙江·期中）已知全集，集合，.(1)當(dāng)時(shí)，求，；(2)若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)；(2)【解析】（1）因?yàn)?，所以，，所以，?）由得，得解得，所以，故實(shí)數(shù)的取值范圍為2．（23-24高一上·廣東珠海·期中）已知集合，.(1)若，求的值；(2)若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2)【解析】（1）集合，，，則由交集的定義可知，且，解得.（2）當(dāng)，即時(shí)，，符合題意；當(dāng)，即時(shí)，，符合題意；當(dāng)，即時(shí)，或，若，則，解得，綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是.3．（2024上海嘉定·階段練習(xí)）設(shè)集合，，．（1）若，求a的取值范圍；（2）若，求a的取值范圍．【答案】（1）或（2）【解析】（1）或，即或當(dāng)，即時(shí)，，此時(shí)不成立，舍去當(dāng)，即時(shí)，方程的兩根為，若使得成立，則需或，即或，解得.則成立時(shí)，或綜上所述：或.（2）即由（1）可知或，則，當(dāng)，即時(shí)，成立當(dāng)，即時(shí)，，若使得成立，則需滿足，即，解得（舍去）綜上所述.單選題1．（2024·四川·三模）已知集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題意，所以.故選：B.2．（2024·內(nèi)蒙古呼和浩特·二模）已知集合，，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】集合，，，，故選：D．3．（22-23·北京延慶·期末）已知集合，集合，則（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】由題意可得：，或.可得，故B錯(cuò)誤；可得或，可知集合不是集合的子集，故AC錯(cuò)誤；可得，故D正確.故選：D.4．（23-24浙江紹興·期末）已知集合，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】對(duì)于A，，故A錯(cuò)誤，對(duì)于B，或，所以，故B錯(cuò)誤，對(duì)于C，，但，故C錯(cuò)誤，對(duì)于D，，故D正確，故選：D5．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知全集，集合，，則圖中陰影部分表示的集合為（

）

A． B． C． D．【答案】A【解析】由題圖可知圖中陰影部分表示的集合為，因?yàn)?，，，所以，則.故選：A．6．（2024·重慶·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)集合，，若，則（

）A．1 B． C．2 D．【答案】B【解析】當(dāng)時(shí)，，則，即此時(shí)，，不符合要求；當(dāng)時(shí)，，則，即此時(shí)，，符合要求；故.故選：B.7．（2024·山西臨汾·三模）已知集合，，且，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因?yàn)?，所以或，又，所?故選：A8．（23-24高一上·河南省直轄縣級(jí)單位·階段練習(xí)）已知集合.若，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C．或 D．【答案】A【解析】由，得到分兩種情況考慮：①當(dāng)，即時(shí)，，符合題意；②當(dāng)，即時(shí)，需，解得：，綜上得：，則實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選：A多選題9．（23-24高一上·江蘇揚(yáng)州·期中）已知集合，，且，則實(shí)數(shù)的值可以為（

）A． B． C．0 D．1【答案】BCD【解析】由可得，.當(dāng)時(shí)，滿足，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，，解可得，.因?yàn)?，所以?當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.綜上所述，或或.故選：BCD.10．（2024·浙江杭州·模擬預(yù)測(cè)）已知集合，則下列關(guān)系正確的是（

）A． B．C． D．【答案】ACD【解析】因?yàn)榧?，可得，，且，?duì)于A中，由，，可得，所以A正確；對(duì)于B中，由，可得，所以B不正確；對(duì)于C中，由，可得，所以C正確；對(duì)于D中，由，，所以，所以D正確.故選：ACD.11．（2024·江西南昌·三模）下列結(jié)論正確的是（）A．若，則的取值范圍是B．若，則的取值范圍是C．若，則的取值范圍是D．若，則的取值范圍是【答案】BD【解析】對(duì)于選項(xiàng)A和B，，，若，則的取值范圍是，所以A錯(cuò)誤，B正確；對(duì)于選項(xiàng)C和D，若，則的取值范圍是，所以D正確，C錯(cuò)誤.故選：BD.填空題12．（23-24高一上·全國(guó)·課后作業(yè)）設(shè)集合，，，若，則，．【答案】1【解析】因?yàn)?，則，注意到，可得，解得.故答案為：1；.13．（2024·海南海口·二模）已知集合，，若，則的取值范圍是.【答案】【解析】由，則，故有，解得，即.故答案為：.14．（2024·河北保定·二模）已知集合，，若中有2個(gè)元素，則a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】，因?yàn)橹兄挥?個(gè)元素，則，所以.故選：B四．解答題15．（23-24高三上·河北邢臺(tái)·階段練習(xí)）已知全集，集合，.(1)求；(2)若，且，求a的值；(3)設(shè)集合，若C的真子集共有3個(gè)，求m的值.【答案】(1)(2)2(3)【解析】（1）由題意知，，故；（2）由，且，可得若，則，不合題意；若，則，又，故；（3）由于，集合，C的真子集共有3個(gè)，則C中必有2個(gè)元素，故.16．（2023云南玉溪·期末）已知集合，．(1)若，求；(2)在①，②，③，這三個(gè)條件中任選一個(gè)作為已知條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)(2)答案見解析【解