第57講　成對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計分析

第57講成對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計分析【備選理由】例1是成對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計相關性判斷及應用;例2是線性回歸分析問題;例3是非線性回歸分析問題;例4是獨立性檢驗與線性回歸分析的綜合問題.例1[配例1使用]某中學有學生600人,要求學生在每天上午7:30之前進校,現(xiàn)有一個調(diào)查小組調(diào)查某天7:00~7:30進校人數(shù)的情況,得到如下表格(其中y表示第x分鐘內(nèi)到校的人數(shù),1≤x≤30,x∈N*,如當x=9時,y=4表示第9分鐘內(nèi),即在7:08~7:09這一分鐘內(nèi)到校的人數(shù)為4).x1591519212427282930y13451121366694101106根據(jù)調(diào)查所得數(shù)據(jù),甲同學得到的經(jīng)驗回歸方程是y=3.6x-27(對應圖中的實線),乙同學得到的經(jīng)驗回歸方程是y=0.82e0.16x(對應圖中的虛線),則下列結(jié)論中錯誤的是 (C)A.7:00~7:30內(nèi),y與x正相關B.乙同學的經(jīng)驗回歸方程擬合效果更好C.根據(jù)甲同學得到的經(jīng)驗回歸方程可知該校當天7:16~7:17這一分鐘內(nèi)的到校人數(shù)一定是34D.該校超過半數(shù)的學生都選擇在距離規(guī)定到校時間的5分鐘內(nèi)到校[解析]對于A,根據(jù)散點圖知,7:00~7:30內(nèi),y與x正相關,故A中結(jié)論正確;對于B,由題中圖知,曲線y=0.82e0.16x的擬合效果更好,故乙同學的經(jīng)驗回歸方程擬合效果更好,故B中結(jié)論正確;對于C,表格中并未給出7:16~7:17這一分鐘內(nèi)到校人數(shù)的值,即當x=17時,對應y的值,而由甲的經(jīng)驗回歸方程得到的只能是估計值,不一定就是實際值,故C中結(jié)論錯誤;對于D,全校有學生600人,從表格中的數(shù)據(jù)知,7:26~7:30到校的人數(shù)超過300,即該校超過半數(shù)的學生都選擇在距離規(guī)定到校時間的5分鐘內(nèi)到校,故D中結(jié)論正確.故選C.例2[配例2使用][2023·黑龍江哈爾濱九中二模]為調(diào)查某地區(qū)植被覆蓋面積x(單位:公頃)與野生動物數(shù)量y的關系,某研究小組將該地區(qū)等面積劃分為200個區(qū)塊,從中隨機抽取20個區(qū)塊,得到樣本數(shù)據(jù)(xi,yi)(i=1,2,…,20),部分數(shù)據(jù)如下:x…2.73.63.2…y…57.864.762.6…經(jīng)計算得∑i=120xi=60,∑i=120yi=1200,(1)利用最小二乘法建立y關于x的經(jīng)驗回歸方程.(2)記y關于x的經(jīng)驗回歸直線為l1,該小組又利用這組數(shù)據(jù)建立了x關于y的經(jīng)驗回歸方程,記x關于y的經(jīng)驗回歸直線為l2,并把這兩條擬合直線畫在同一坐標系xOy中,橫坐標x,縱坐標y的意義與植被覆蓋面積x和野生動物數(shù)量y一致.(i)比較l1與l2的斜率大小,并說明理由;(ii)求這兩條直線的公共點坐標.附:y關于x的經(jīng)驗回歸方程y=a+bx中,b=∑解:(1)由題意可知x=6020=3,y=120020b=∑i=120(xi-x)(yi-故y關于x的經(jīng)驗回歸方程為y=8x+36.(2)設l1,l2的斜率分別為k1,k2,x關于y的經(jīng)驗回歸方程為x=a1+b1y,則bk1=b=∑(i)k1<k2,理由如下.∵k1k假設k1=k2,則|r|=1,即yi=8xi+36(i=1,2,…,20)恒成立,將表格中的一對數(shù)據(jù)(2.7,57.8)代入上式得57.8≠8×2.7+36,與yi=8xi+36(i=1,2,…,20)恒成立矛盾,故假設不成立,則k1<k2.(ii)根據(jù)經(jīng)驗回歸直線的求解過程可知兩條直線都過點(x,y),又k1<k2,故這兩條直線的公共點坐標為(x,y),即(3,60).例3[配例3使用][2023·山西呂梁三模]數(shù)據(jù)顯示中國車載音樂已步入快速發(fā)展期,隨著車載音樂的商業(yè)化模式進一步完善,市場將持續(xù)擴大,下表為2018~2022年中國車載音樂市場規(guī)模(單位:十億元),其中年份2018~2022對應的代碼分別為1~5.年份代碼x12345車載音樂市場規(guī)模y2.83.97.312.017.0(1)由上表數(shù)據(jù)知,可用指數(shù)函數(shù)模型y=a·bx擬合y與x的關系,請建立y關于x的經(jīng)驗回歸方程(a,b的值精確到0.1);(2)綜合考慮2023年及2024年的經(jīng)濟環(huán)境等因素,某預測公司根據(jù)上述數(shù)據(jù)求得y關于x的經(jīng)驗回歸方程后,通過修正,把b-1.3作為2023年與2024年這兩年的年平均增長率,請根據(jù)2022年中國車載音樂市場規(guī)模及修正后的年平均增長率預測2024年的中國車載音樂市場規(guī)模.參考數(shù)據(jù):v∑e0.524e0.4721.9433.821.71.6其中vi=lnyi,v參考公式:對于一組數(shù)據(jù)(u1,v1),(u2,v2),…,(un,vn),其經(jīng)驗回歸直線v=α+βu的斜率和截距的最小二乘估計分別為β=∑解:(1)因為y=a·bx,所以兩邊同時取自然對數(shù),得lny=lna+xlnb,設v=lny,α=lna,β=lnb,所以v=α+xβ.因為x=3,v=1.94,所以βα=v-βx=1.94-0.472×3=0.524,所以lna=0.524,lnb=0.所以a=e0.524=1.7,b=e0.472=1.6,所以y=1.7×1.6x.(2)由(1)知2023年與2024年這兩年的年平均增長率為1.6-1.3=0.3,因為2022年中國車載音樂市場規(guī)模為17,所以預測2024年的中國車載音樂市場規(guī)模為17×(1+0.3)2=28.73(十億元).例4[配例2、例4使用]小家電一般指除大功率、大體積家用電器(如冰箱、洗衣機、空調(diào)等)以外的家用電器,其應用場景比較廣泛,近年來隨著科技發(fā)展,智能小家電市場規(guī)模呈持續(xù)發(fā)展趨勢,下表為連續(xù)5年中國智能小家電市場規(guī)模(單位:千億元)與年份代碼的一組數(shù)據(jù).年份代碼x12345市場規(guī)模y0.91.21.51.41.6(1)由上表數(shù)據(jù)可知,可用線性回歸模型擬合y與x的關系,請用樣本相關系數(shù)加以說明(設樣本相關系數(shù)為r,若|r|≥0.75,則說明兩變量間的線性相關程度較高);(2)建立y關于x的經(jīng)驗回歸方程;(3)某傳媒公司為了了解中國智能小家電消費者的年齡分布,隨機調(diào)查了200名消費者,統(tǒng)計這200名消費者的年齡,按照青少年與中老年分為兩組,得到如下2×2列聯(lián)表:單位:人購買智能小家電年齡合計青少年中老年喜歡80不喜歡60合計110200依據(jù)小概率值α=0.001的獨立性檢驗,能否認為是否喜歡購買智能小家電與年齡有關聯(lián)?參考數(shù)據(jù):y=1.32,∑χ2=n(ad-bc附:α0.10.010.001xα2.7066.63510.828解:(1)由已知得x=1+2+3+4+55=3,y=1.∑所以r≈1.63.因為y與x的樣本相關系數(shù)近似為0.92>0.75,所以y與x的線性相關程度較高,可以用線性回歸模型擬合y與x的關系.(2)由題意得∑a=y-bx=1.32-0.16×3=0.故y關于x的經(jīng)驗回歸方程為y=0.16x+0.84.(3)由題意可得2×2列聯(lián)表如下,單位:人購買智能小家電年齡合計青少年中老年喜歡80