2022屆重慶市高三高考模擬調(diào)研三數(shù)學(xué)試題解析版

2022屆重慶市高三高考模擬調(diào)研（三）數(shù)學(xué)試題一、單選題1．設(shè)為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（

）A．第一象限 B．第四象限 C．實(shí)軸上 D．虛軸上【答案】D【分析】首先根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法法則化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，再根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義判斷即可；【詳解】解：，所以復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，位于虛軸；故選：D2．已知集合，，則集合中元素個(gè)數(shù)為（

）A．3個(gè) B．4個(gè) C．5個(gè) D．6個(gè)【答案】C【分析】先寫(xiě)出集合B，再按照并集進(jìn)行運(yùn)算.【詳解】由題意知，，，元素個(gè)數(shù)有5個(gè).故選：C.3．設(shè)，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】首先解分式不等式，再根據(jù)充分條件、必要條件的定義判斷即可；【詳解】解：由，即，即，解得或，所以由推得出，由推不出，故“”是“”的充分不必要條件；故選：A4．已知雙曲線：的左右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)在軸上，為等邊三角形，且線段的中點(diǎn)恰在雙曲線上，則雙曲線的離心率為（

）A． B．2 C． D．【答案】C【分析】設(shè)線段的中點(diǎn)為，根據(jù)雙曲線的定義，可得，再根據(jù)等邊三角形的特點(diǎn)可知，由此可得，即可求出離心率.【詳解】如圖所示，設(shè)，，設(shè)線段的中點(diǎn)為，則在雙曲線的右支上，又為等邊三角形，所以，所以，所以連接，則在等邊三角形中，且，所以，所以，即雙曲線的離心率為.故選：C.5．已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，，成等差數(shù)列，則（

）A． B． C．3 D．4【答案】B【分析】先利用，，成等差數(shù)列解出，再利用求和公式化簡(jiǎn)求值即可.【詳解】設(shè)等比數(shù)列公比為，由，，成等差數(shù)列可得，，化簡(jiǎn)得，解得，.故選：B.6．已知曲線：的部分圖象如圖所示，要得到曲線的圖象，可將曲線的圖象（

）A．先向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再將各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的倍，縱坐標(biāo)不變B．先向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再將各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍，縱坐標(biāo)不變C．先向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再將各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的倍，縱坐標(biāo)不變D．先向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再將各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍，縱坐標(biāo)不變【答案】A【分析】首先根據(jù)函數(shù)過(guò)點(diǎn)，即可求出，再根據(jù)五點(diǎn)作圖法求出，即可得到函數(shù)解析式，再根據(jù)三角函數(shù)的變換規(guī)則判斷即可；【詳解】解：因?yàn)楹瘮?shù)過(guò)點(diǎn)，即，又，所以，即，又函數(shù)過(guò)點(diǎn)，根據(jù)五點(diǎn)作圖法可知，解得，所以，由向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到，再將各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的倍，縱坐標(biāo)不變得到，即；故選：A7．設(shè)函數(shù)，若，，，則（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】首先判斷的單調(diào)性，再根據(jù)指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)判斷、、的大小，即可判斷.【詳解】解：因?yàn)椋衷谏蠁握{(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則在上單調(diào)遞減且，又在上單調(diào)遞減且，所以在上單調(diào)遞減，又因?yàn)椋矗?，即，，即，所以，所以；故選：D8．十八世紀(jì)，數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)現(xiàn)簡(jiǎn)單凸多面體的頂點(diǎn)數(shù)V、棱數(shù)E及面數(shù)F之間有固定的關(guān)系，即著名的歐拉公式：.如圖所示為上世紀(jì)八十年代科學(xué)家首次發(fā)現(xiàn)的碳60的電子顯微鏡圖，它是由五邊形和六邊形面構(gòu)成的多面體，共有60個(gè)頂點(diǎn)，每個(gè)頂點(diǎn)均為碳原子，且每個(gè)頂點(diǎn)引出三條棱，形似足球.根據(jù)以上信息知，碳60的所有面中五邊形的個(gè)數(shù)是（

）A．12 B．20 C．32 D．40【答案】A【分析】設(shè)五邊形面有個(gè)，六邊形面有個(gè)，即可得到總棱數(shù)與頂點(diǎn)數(shù)，再根據(jù)歐拉公式得到方程組，解得即可；【詳解】解：設(shè)五邊形面有個(gè)，共條棱，六邊形面有個(gè)，共條棱，由于每條棱出現(xiàn)在兩個(gè)面中，故會(huì)被重復(fù)計(jì)算一次，因此總棱數(shù)，同理每個(gè)頂點(diǎn)出現(xiàn)在三個(gè)面中，總頂點(diǎn)數(shù)為，故，又，故，即，與聯(lián)立可解得．故選：A二、多選題9．下列命題正確的是（

）A．在回歸分析中，相關(guān)指數(shù)越大，說(shuō)明回歸效果越好B．已知，若根據(jù)2×2列聯(lián)表得到的觀測(cè)值為4.1，則有95%的把握認(rèn)為兩個(gè)分類(lèi)變量有關(guān)C．已知由一組樣本數(shù)據(jù)得到的回歸直線方程為，且，則這組樣本數(shù)據(jù)中一定有D．若隨機(jī)變量，則不論取何值，為定值【答案】ABD【分析】根據(jù)相關(guān)指數(shù)的定義及回歸直線方程的性質(zhì)判斷A、C，根據(jù)獨(dú)立性檢驗(yàn)的概念判斷B，根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)判斷D；【詳解】解：對(duì)于A：在回歸分析中，相關(guān)指數(shù)越大，說(shuō)明殘差平方和越小，回歸效果越好，故A正確；對(duì)于B：因?yàn)椋瑒t有的把握認(rèn)為兩個(gè)分類(lèi)變量有關(guān)系，故B正確；對(duì)于C：因?yàn)榛貧w直線方程為，且，所以，即回歸直線必過(guò)，但是樣本數(shù)據(jù)不一定有，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：若隨機(jī)變量，即，所以，故D正確；故選：ABD10．如圖，在圓錐SO中，AC為底面圓O的直徑，B是圓O上異于A，C的一點(diǎn)，，，則下列結(jié)論中一定正確的是（

）A．圓錐的體積為B．圓錐的表面積為C．三棱錐的體積的最大值為D．存在點(diǎn)B使得直線SB與平面SAC所成角為【答案】AC【分析】根據(jù)錐體的體積、表面積公式判斷A、B、C，過(guò)作于，連接，則為直線與平面所成角，求出的最大值，即可判斷D；【詳解】解：圓錐的體積為，故A正確，圓錐的母線長(zhǎng)為，所以圓錐的側(cè)面積為，底面面積為，故圓錐的表面積為，故B錯(cuò)誤，當(dāng)時(shí)，三棱錐的體積最大，此時(shí)為，故C正確，過(guò)作于，顯然底面，所以，，平面，所以平面，連接，∴為直線與平面所成角，由為定值，∴當(dāng)時(shí)與平面所成角最大，此時(shí)，所以，即，故D錯(cuò)誤．故選：AC11．已知直線的方程為，則下列說(shuō)法中正確的是（

）A．當(dāng)變化時(shí)，直線始終經(jīng)過(guò)第二、第三象限B．當(dāng)變化時(shí)，直線恒過(guò)一個(gè)定點(diǎn)C．當(dāng)變化時(shí)，直線始終與拋物線相切D．當(dāng)在內(nèi)變化時(shí)，直線可取遍第一象限內(nèi)所有點(diǎn)【答案】AC【分析】根據(jù)直線的性質(zhì)對(duì)選項(xiàng)A、B、D進(jìn)行逐項(xiàng)檢驗(yàn)即可求判斷是否正確；將直線方程與拋物線方程聯(lián)立進(jìn)行判斷，可判斷C是否正確.【詳解】由題斜率時(shí)，軸截距，此時(shí)直線經(jīng)過(guò)第一、第二、第三象限；斜率時(shí)，軸截距，此時(shí)直線經(jīng)過(guò)第二、第三、第四象限；故A正確；當(dāng)變化時(shí)，直線顯然不恒過(guò)一個(gè)定點(diǎn)，故B錯(cuò)誤；聯(lián)立方程，可得，所以，所以直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，又，所以當(dāng)變化時(shí)，直線始終與拋物線相切，故C正確；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以當(dāng)在內(nèi)變化時(shí)，直線不可以取遍第一象限內(nèi)所有點(diǎn)，故D錯(cuò)誤．故選：AC.12．已知為銳角三角形，且，則下列結(jié)論中正確的是（

）A． B．C． D．的最小值為4【答案】ABC【分析】利用誘導(dǎo)公式及兩角和的正弦公式得到，兩邊同除，即可得到，再利用基本不等式得到，再利用兩角和的正切公式得到，根據(jù)不等式的性質(zhì)判斷C，根據(jù)對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)判斷D；【詳解】解：因?yàn)?，兩邊同除得，故A正確；由均值不等式解得當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，，所以，故B正確；，由，所以，所以得，故C正確；，由且在上單調(diào)遞增，所以的最小值為，故D錯(cuò)誤．故選：ABC三、填空題13．已知二項(xiàng)式的展開(kāi)式中第四項(xiàng)與第七項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，則展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為_(kāi)___________.【答案】【分析】依題意可得，，從而可求得，利用其通項(xiàng)公式即可求得展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)．【詳解】解：由題意可得，，解得，所以展開(kāi)式的通項(xiàng)為，由得，，所以常數(shù)項(xiàng)為第七項(xiàng)．故答案為：14．已知一軸截面為正方形的圓柱體和一個(gè)小球的表面積相同，則此圓柱體與小球的體積之比為_(kāi)____________.【答案】【分析】設(shè)小球的半徑為，圓柱的底面半徑為，高為，依題意可得且，即可得到，再根據(jù)球及圓柱的體積公式計(jì)算可得；【詳解】解：設(shè)小球的半徑為，圓柱的底面半徑為，高為，則且，即，所以，所以；故答案為：15．已知甲每次來(lái)渝乘坐飛機(jī)和高鐵的概率分別為0.6和0.4，飛機(jī)和高鐵正點(diǎn)到達(dá)的概率分別為0.8和0.9，若甲已正點(diǎn)抵渝，則甲此次來(lái)渝乘坐高鐵的概率為_(kāi)___________.【答案】【分析】根據(jù)條件概率公式，結(jié)合題意，即可求出結(jié)果.【詳解】設(shè)事件為甲正點(diǎn)到達(dá)，事件為甲乘坐高鐵，則．故答案為：.16．已知平面向量，，滿(mǎn)足，，，，則_____________.【答案】6【分析】依題意根據(jù)平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律得到及，即可得到，再根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律計(jì)算可得；【詳解】解：因?yàn)?，所以，即，所以①，又，所以，即②，①②得，故．故答案為：四、解答題17．已知數(shù)列是單調(diào)遞增的等差數(shù)列，且，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)，前項(xiàng)和為(2)【分析】（1）根據(jù)等差中項(xiàng)的性質(zhì)得到，再根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式得到方程，求出與，即可求出的通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和；（2）由（1）可得，利用錯(cuò)位相減法求和即可；【詳解】(1)解：由題，∴，，又，即，即，解得或，由數(shù)列單調(diào)遞增可知，，，；(2)解：由（1）可知，所以①，∴②，①②得，∴.18．在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且a，b，c是公差為1的等差數(shù)列.(1)若，求的面積；(2)是否存在整數(shù)使得為鈍角三角形?若存在，求此鈍角的余弦值；否則，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】(1)(2)存在整數(shù)使得為鈍角三角形，此鈍角的余弦值為【分析】（1）利用余弦定理角化邊求出，再結(jié)合等差數(shù)列求出，余弦定理求出，再結(jié)合面積公式即可求解；（2）結(jié)合等差數(shù)列用b，c表示a，得到a的不等式，解出a進(jìn)而求出b，c，再計(jì)算即可.【詳解】(1)，∴，故，，∴；(2)為鈍角三角形，即，由a，b，c是公差為1的等差數(shù)列，得，顯然，，，不能構(gòu)成三角形，當(dāng)，，可構(gòu)成三角形，此時(shí).19．如圖，在三棱錐中，，，，.(1)證明：平面平面；(2)求二面角的大小.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）由勾股定理逆定理得到，再由，即可得到平面，從而得證；（2）取的中點(diǎn)，連接，即可得到⊥平面，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法求出二面角的余弦值，即可得解；【詳解】(1)證明：因?yàn)?，，，所以，所以，又，平面，，∴平面，又平面，∴平面⊥平面?2)解：取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)?，所以，又平面⊥平面，平面平面，平面，所以⊥平面，以的中點(diǎn)為原點(diǎn)，分別為軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，所以，，顯然為平面的法向量，設(shè)是平面的法向量，則，即，令，得，所以，顯然二面角為銳二面角，故所求二面角的平面角為.20．已知拋物線：的焦點(diǎn)為F，直線過(guò)F且與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)為M，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為2.(1)求拋物線的方程；(2)若直線與拋物線的準(zhǔn)線交于點(diǎn)D，點(diǎn)D關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為E，當(dāng)?shù)拿娣e取最小值時(shí)，求直線的方程.【答案】(1)(2)【分析】（1）設(shè)，根據(jù)焦點(diǎn)弦的性質(zhì)得到，從而求出，即可得解；（2）設(shè)，聯(lián)立直線與拋物線，消元、利用韋達(dá)定理得到，從而得到，則最后利用基本不等式求出最小值，即可得解；【詳解】(1)解：設(shè)，由題知時(shí)，，故拋物線方程為；(2)解：設(shè)，聯(lián)立拋物線方程得，∴，，而，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故直線的方程為．21．為有效防控新冠疫情從境外輸入，中國(guó)民航局根據(jù)相關(guān)法律宣布從2020年6月8日起實(shí)施航班熔斷機(jī)制，即航空公司同一航線航班，入境后核酸檢測(cè)結(jié)果為陽(yáng)性的旅客人數(shù)達(dá)到一定數(shù)量的民航局對(duì)其發(fā)出“熔斷”指令，暫停該公司該航線的運(yùn)行（達(dá)到5個(gè)暫停運(yùn)行1周，達(dá)到10個(gè)暫停運(yùn)行4周），并規(guī)定“熔斷期”的航班量不得調(diào)整用于其他航線，“熔斷期”結(jié)束后，航空公司方可恢復(fù)每周1班航班計(jì)劃.已知某國(guó)際航空公司A航線計(jì)劃每周有一次航班入境，該航線第一次航班被熔斷的概率是，且被熔斷的一次航班的下一次航班也被熔斷的概率是，未被熔斷的一次航班的下一次航班也未被熔斷的概率是.一條航線處于“熔斷期”的原計(jì)劃航班不記入該航線的航班次數(shù)，記該航空公司A航線的第n次航班被熔斷的概率為.(1)求；(2)證明：為等比數(shù)列；(3)求數(shù)列的前項(xiàng)和，并說(shuō)明的實(shí)際意義.【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析(3)，表示前次航班一共被熔斷的次數(shù)【分析】（1）分第1次航班被熔斷和不被熔斷計(jì)算即可；（2）先列出遞推關(guān)系式，再構(gòu)造等比數(shù)列證明；（3）按照分組求和等比數(shù)列求和計(jì)算即可.【詳解】(1)；(2)由題得，∴，又，∴數(shù)列是以為首項(xiàng)、為公比的等比數(shù)列；(3)由（2）知，故，從而，由于可以理解為第次航班平均被熔斷的次數(shù)，∴表示前次航班一共被熔斷的次數(shù).22．已知函數(shù).(1)證明：；(2)對(duì)，，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）令，求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，顯然單調(diào)遞增，根據(jù)零點(diǎn)存在性定理可得存在唯一使得，即可得到的單調(diào)性，求出的最小值，即可得證；（2）依題意對(duì)，恒成立，由（1）可知的最小值為，原命題等價(jià)于對(duì)恒成立，令，即可求出的取值范