《數列的概念與簡單表示法》（數學人教A版必修）

《數列的概念與簡單表示法（第1課時）》教學設計

教材分析

本節(jié)選自高中新教材人教A版必修5第二章1.1.2的內容，是數列的開啟課。數列是高

中數學的重要內容之一，不僅有著廣泛的實際應用，還起著承前啟后的作用。一方面，數列

與前面學習的函數等知識有著密切的聯(lián)系，另一方面，學習數列又為進一步學習數列的極限

等內容奠定了基礎。因此有必要研究數列。

教學目標

【知識與技能】

1.理解數列及其有關概念，了解數列和函數之間的關系；

2.了解數列的通項公式，并會用通項公式寫出數列的任意一項；

3.對于比較簡單的數列，會根據其前幾項寫出它的通項公式.

【過程與方法】

L采用探究法，按照思考、交流、實驗、觀察、分析、得出結論的方法進行啟發(fā)式教學；

2.發(fā)揮學生的主體作用，作好探究性學習；

3.理論聯(lián)系實際，激發(fā)學生的學習積極性.

【情感態(tài)度與價值觀】

L通過日常生活中的大量實例，鼓勵學生動手試驗.理論聯(lián)系實際，激發(fā)學生對科學的探究

精神和嚴肅認真的科學態(tài)度，培養(yǎng)學生的辯證唯物主義觀點；

2.通過本節(jié)課的學習，體會數學來源于生活，提高數學學習的興趣.

教學重難點

教學難點根據一些數列的前幾項抽象、歸納數列的通項公式.

教具準備

課件

教學過程

導入新課

師課本圖2.1T中的正方形數分別是多少？

生1,3,6,10,

師圖2.『2中正方形數呢？

生1,4,9,16,25,

師像這樣按一定次序排列的一列數你能否再舉一些？

生~1的正整數次整:T,1,T,1,

無窮多個數排成一列數：1,1,1,1,….

生一些分數排成的一列數：—,—,—,—,

315356399

【設計意圖】由學生們熟悉的找規(guī)律入手，學生易接受。

推進新課

［合作探究］

折紙問題

師請同學們想一想，一張紙可以重復對折多少次？請同學們隨便取一張紙試試（學生們興趣

一定很濃）.

生一般折5、6次就不能折下去了，厚度太高了.

師你知道這是為什么嗎？我們設紙原來的厚度為1長度單位，面積為1面積單位，隨依次

折的次數，它的厚度和每層紙的面積依次怎樣？

生隨著對折數厚度依次為：2,4,8,16,256,???；①

隨著對折數面積依次為,???,▲，….

24816256

生對折8次以后，紙的厚度為原來的256倍，其面積為原來的分1口256式，再折下去太

困難了.

師說得很好，隨數學水平的提高，我們的思維會更加理性化.請同學們觀察上面我們列出的

這一列一列的數，看它們有何共同特點？

生均是一列數.

生還有一定次序.

師它們的共同特點：都是有一定次序的一列數.

【設計意圖】合作探究，培養(yǎng)學生合作能力，折紙實驗，鍛煉學生的動手能力。

［教師精講］

1.數列的定義：按一定順序排列著的一列數叫做數列.

注意：

（1）數列的數是按一定次序排列的，因此，如果組成兩個數列的數相同而排列次序不同，

那么它們就是不同的數列；

（2）定義中并沒有規(guī)定數列中的數必須不同，因此，同一個數在數列中可以重復出現(xiàn).

2.數列的項:數列中的每一個數都叫做這個數列的項.各項依次叫做這個數列的第1項（或首

項），第2項，…，第〃項，….同學們能舉例說明嗎？

生例如，上述例子均是數列，其中①中，“2”是這個數列的第1項（或首項），“16”是這

個數列中的第4項.

3.數列的分類：

1）根據數列項數的多少分：

有窮數列：項數有限的數歹!J.例如數列1,2,3,4,5,6是有窮數列.

無窮數列：項數無限的數列.例如數列1,2,3,4,5,6…是無窮數列.

2）根據數列項的大小分：

遞增數列：從第2項起，每一項都不小于它的前一項的數列.

遞減數列：從第2項起，每一項都不大于它的前一項的數列.

常數數列：各項相等的數列.

擺動數列：從第2項起，有些項大于它的前一項，有些項小于它的前一項的數列.

請同學們觀察：課本P33的六組數列，哪些是遞增數列、遞減數列、常數數列、擺動數列？

生這六組數列分別是（1）遞增數列，（2）遞增數列，（3）常數數列，（4）遞減數列，（5）擺動數

列，（6）1.遞增數列，2.遞減數列.

【設計意圖】

［知識拓展］

師你能說出上述數列①中的256是這數列的第多少項？能否寫出它的第"項？

生256是這數列的第8項，我能寫出它的第〃項，應為a=2：

【設計意圖】師生共同得出新知，讓學生體驗得到新知的樂趣。

［合作探究］

同學們看數列2,4,8,16,…，256,…①中項與項之間的對應關系，

項2481632

IIIII

序號12345

你能從中得到什么啟示？

生數列可以看作是一個定義域為正整數集N(或它的有限子集｛1,2,3,…，〃｝)的函數

a產f(〃)，當自變量從小到大依次取值時對應的一列函數值.反過來，對于函數y=f(x),如果

f(i)(i=l、2、3、4…)有意義，那么我們可以得到一個數列f(l),f⑵，f⑶，…,f?,….

師說的很好.如果數列｛a｝的第〃項品與〃之間的關系可以用一個公式來表示，那么這個公

式就叫做這個數列的通項公式.

【設計意圖】合作探究，發(fā)現(xiàn)新知通項公式。

［例題剖析］

1.根據下面數列｛aj的通項公式，寫出前5項：

(1)a十---;(2)劣二(-1)”?77.

〃+1

師由通項公式定義可知，只要將通項公式中力依次取1,2,3,4,5,即可得到數列的前5

項.

12345

生解：(1)比1,2,3,4,5.3i=-；3z=-；33=—；&=—；3s=—.

23456

(2)TFI,2,3,4,5.ai=~l;az=2;a3=-3;a=4;a=-5.

師好！就這樣解.

2.根據下面數列的前幾項的值，寫出數列的一個通項公式：

/、c,/、246810

(1)3,5,7,9,11,…；(2)一,—,—，—,—，…；

315356399

(3)0,1,0,1,0,1,???；(4)1,3,3,5,5,7,7,9,9,???；

(5)2,-6,12,-20,30,-42,

師這里只給出數列的前幾項的值，哪位同學能寫出這些數列的一個通項公式？(給學生一定

的思考時間)

生老師，我寫好了！

In

解：(l)a0=2〃+l；(2)a=⑶

n(2n-l)(2n+l)2

(4)將數列變形為1+0,2+1,3+0,4+1,5+0,6+1,7+0,8+1,…,

，+,-i-+--(---i--r-

(5)將數列變形為1X2,-2X3,3X4,-4X5,5X6,…,

a?=(-1)^77(77+1).

師完全正確！這是由“數”給出數列的“式”的例子，解決的關鍵是要找出這列數呈現(xiàn)出

的規(guī)律性的東西，然后再通過歸納寫出這個數列的通項公式.

【設計意圖】講練結合，鞏固新知。

［合作探究］

師函數與數列的比較(由學生完成此表)：

函數數列(特殊的函數)

定義域R或R的子集N或它的有限子集U,2,…，加

解析式y(tǒng)=f(x)akf(77)

圖象點的集合一些離散的點的集合

師對于函數，我們可以根據其函數解析式畫出其對應圖象，看來，數列也可根據其通項公

式來畫出其對應圖象，下面同學們練習畫數列：

4,5,6,7,8,9,10…；②1,-,-,-，…③的圖象.

234

生根據這數列的通項公式畫出數列②、③的圖象為

以

0

9

8

7

6

5

41

-

32

21

-

14-1,

-8.1.,?

0\123456789~no|12345678?

師數列4,5,6,7,8,9,10,…②的圖象與我們學過的什么函數的圖象有關？

生與我們學過的一次函數y=x+3的圖象有關.

師數列1,,1，…③的圖象與我們學過的什么函數的圖象有關？

234

生與我們學過的反比例函數丁=」的圖象有關.

x

師這兩數列的圖象有什么特點？

生其特點為：它們都是一群孤立的點.

生它們都位于y軸的右側，即特點為：它們都是一群孤立的，都位于y軸的右側的點.

本課時的整個教學過程以學生自主探究為主，教師起引導作用，充分體現(xiàn)學生的主體作用,

體現(xiàn)新課程的理念.

【設計意圖】合作探究，研究數列和函數的關系，讓學生對知識之間的聯(lián)系有個認識研究。

課堂小結

對于本節(jié)內容應著重掌握數列及有關定義，會根據通項公式求其任意一項，并會根據數

列的前〃項求一些簡單數列的通項公式.

【設計意圖】引導學生學會自己總結，讓學生進一步（回顧）體會知識的形成、發(fā)展、完善

的過程。

布置作業(yè)

課本第33頁習題2.1A組第1題.

板書設計

數列的概念與簡單表示法（一）

定義

1.數列例1

3.一般形式例2函數定義

備課資料

一、備用例題

列的一個通項公式，使它的前4項分別是下列各數:

1x2,2x3'3x4'4x5'

分析：

(1)項：1=2X1-13=2X2-15=2X3-17=2X4-1

序號：1234

所以我們得到了a.=2hl；

(2)序號：1234

33I

項分母：2=1+13=2+14=3+15=4+1

1l

項分子：22-1=(1+1)2-13-1=(2+1)-142T=(3+1)2-15-1=(4+1)-1

(n+1)2-(〃+2)?"

所以我們得到了a產或

n+1n+1

⑶序號：1234

]1

1111

1x22x33x44x5

13JJ

1111

lx(l+l)2x(2+l)3x(3+l)4x(4+l)

所以我們得到了a尸---------

Hx(n+1)

2.寫出下面數列的一個通項公式，使它的前〃項分別是下列各數:

,1+(—1嚴八

(1)1,0,1,0;(a-，刀￡/)

2

小23456----二一)

38152435(“+1)2-1

7

(3)7,77,777,7777;〔2=—x(10"-l))

9

(4)-1,7,-13,19,-25,31;(a二(T)"(6/?-5))

,「、35917,2"+1、

⑸一，—，—，---?為一〃1〕

241625622

點評：上述兩題都是根據數列的前幾項來寫出這數列的通項公式，根據數列的前幾項來寫出

這數列的通項公式時，?？陕?lián)想奇數、偶數、平方數、指數等等.遇到分數的時候，?？筛?/p>

據需要把分子和分母同時擴大再來看看分子和分母中數的規(guī)律性，有時可直截了當地研究分

子和分母之間的關系.

3.已知數列面｝的通項公式是a產2*〃，那么()

430是數列｛aj的一項區(qū)44是數列｛aj的一項

C.66是數列U｝的一項D.90是數列｛aj的一項

分析：注意到30,44,66,90均比較小，可以寫出這個數列的前幾項，如果這前幾項中出

現(xiàn)了這四個數中的某一個，則問題就可以解決了.若出現(xiàn)的數比較大，還可以用解方程求正

整數解的方法加以解決.

答案：C

點評：看一個數4是不是數列｛aj中的某一項，實質上就是看能不能找出一個非零自然數

使得a?=A.

4.（鏈接探究題）假定有一張極薄的紙，厚度為'em就是每200張疊起來剛好為1cm,

200

現(xiàn)在把這張紙裁一為二，疊起來，它的厚度記為a；再裁一為二，疊起來，它的厚度記為

包，又裁一為二，疊起來，它的厚度記為as,這樣一裁一疊，每次疊起來所得的厚度依次排

列，就得到一個數列：az,as,???,a,

你能求出這個數列的通項公式嗎？你知道a5。，即裁了50次、疊了50次后的厚度是多少

厘米嗎？是否有10層樓高呢？

2"

答案：這個數列的通項公式為a產——,

200

裁了50次、疊了50次后的厚度是5629499534213.12cm>56294995km,大于地球

到月球距離的146倍.

二、閱讀材料

無法實現(xiàn)的獎賞

相傳古印度舍罕王朝有一位宰相叫達依爾，據說是他發(fā)明了國際象棋，古印度的舍罕王

學會了下國際象棋以后，非常激動，他要重賞他的宰相達依爾.

達依爾對他的國王說：陛下，我不要您的重賞，只要您按我下面的辦法賞我一些麥粒就

可以了：在我的棋盤上（它有64個格）第一格賞1粒，第二格賞2粒，第三格賞4粒，第四

格賞8粒……依此類推每后一格的麥粒數都是前面一格的兩倍.國王答應了達依爾的要求，

但是幾天以后他就發(fā)現(xiàn)事實上這是一個無法兌現(xiàn)的獎賞.

請問國王為什么不能兌現(xiàn)他的獎賞呢？

【設計意圖】課堂練習，加深對知識的理解。給出閱讀材料，讓學生在理解知識的過程中,

更增加了學習數學的興趣。

教學反思:

1.采用探究法，按照思考、交流、實驗、觀察、分析、得出結論的方法進行啟發(fā)式教學；

2.發(fā)揮學生的主體作用，作好探究性學習；

3.理論聯(lián)系實際，激發(fā)學生的學習積極性.

4.通過日常生活中的大量實例，鼓勵學生動手試驗.理論聯(lián)系實際，激發(fā)學生對科學的探究

精神和嚴肅認真的科學態(tài)度，培養(yǎng)學生的辯證唯物主義觀點；

5.通過本節(jié)課的學習，體會數學來源于生活，提高數學學習的興趣.

《數列的概念與簡單表示法（第2課時）》教學設計

教材分析

本節(jié)選自高中新教材人教A版必修5第二章1.1.2的內容。數列是高中數學的重要內容

之一，不僅有著廣泛的實際應用，還起著承前啟后的作用。一方面，數列與前面學習的函數

等知識有著密切的聯(lián)系，另一方面，學習數列又為進一步學習數列的極限等內容奠定了基礎。

因此有必要研究數列。這節(jié)課承接上一課時，通過對數列通項公式的正確理解，讓學生進一

步了解數列的遞推公式，明確遞推公式與通項公式的異同。

教學目標

【知識與技能】

1.了解數列的遞推公式，明確遞推公式與通項公式的異同；

2.會根據數列的遞推公式寫出數列的前幾項.

【過程與方法】

1.經歷數列知識的感受及理解運用的過程；

2.發(fā)揮學生的主體作用，作好探究性實驗；

3.理論聯(lián)系實際，激發(fā)學生的學習積極性.

【情感態(tài)度與價值觀】

通過本節(jié)課的學習，體會數學來源于生活，提高數學學習的興趣.

教學重難點

【教學重點】

根據數列的遞推公式寫出數列的前幾項.

【教學難點】

理解遞推公式與通項公式的關系.

教具準備

多媒體

教學過程

導入新課

師同學們，昨天我們學習了數列的定義，數列的通項公式的意義等內容，哪位同學能談一

談什么叫數列的通項公式？

生如果數列｛a｝的第〃項與序號之間的關系可以用一個公式來表示，那么這個公式就叫做

這個數列的通項公式.

師你能舉例說明嗎？

生如數列0,1,2,3,…的通項公式為ftF/rlSeN);

1,1,1的通項公式為-=1D,1W〃W3);

1,-,-,-，…的通項公式為a產工(nGN).

234n

【設計意圖】復習引入，回顧知識。

［合作探究］

數列的表示方法

師通項公式是表示數列的很好的方法，同學們想一想還有哪些方法可以表示數列？

生〃為橫坐標，相應的項&為縱坐標，即以(〃,2)為坐標在平面直角坐標系中作出點(以前

面提到的數列1,』,工，,，…為例，作出一個數列的圖象)，所得的數列的圖形是一群孤

234

立的點，因為橫坐標為正整數，所以這些點都在y軸的右側，而點的個數取決于數列的項數.

從圖象中可以直觀地看到數列的項隨項數由小到大變化而變化的趨勢.

師說得很好，還有其他的方法嗎？

生……

師下面我們來介紹數列的另一種表示方法：遞推公式法

知識都來源于實踐，同時還要應用于生活，用其來解決一些實際問題.下面同學們來看右下

圖：鋼管堆放示意圖（投影片）.觀察鋼管堆放示意圖，尋其規(guī)律，看看能否建立它的一些數

學模型.

生模型一：自上而下

第1層鋼管數為4,即14=1+3;

第2層鋼管數為5,即25=2+3;

第3層鋼管數為6,即36=3+3;

第4層鋼管數為7,即47=4+3;

第5層鋼管數為8,即58=5+3;

第6層鋼管數為9,即69=6+3;

第7層鋼管數為10,即710=7+3.

若用為表示鋼管數，〃表示層數，則可得出每一層的鋼管數為一數列，且a產加3（1W〃W7）.

師同學們運用每一層的鋼管數與其層數之間的對應規(guī)律建立了數列模型，這完全正確，運

用這一關系，會很快捷地求出每一層的鋼管數.這會給我們的統(tǒng)計與計算帶來很多方便.讓同

學們繼續(xù)看此圖片，是否還有其他規(guī)律可循？（啟發(fā)學生尋找規(guī)律）

生模型二：上下層之間的關系

自上而下每一層的鋼管數都比上一層鋼管數多1,

即ai=4；a2=5=4+l=ai+l；a3=6=5+l=a2+l.

依此類推：a產a^i+1（2WA（7）.

師

對于上述所求關系，同學們有什么樣的理解？

生若知其第1項，就可以求出第二項，以此類推，即可求出其他項.

師看來，這一關系也較為重要，我們把數列中具有這種遞推關系的式子叫做遞推公式.

推進新課

1.遞推公式定義：

如果已知數列｛aj的第1項（或前幾項），且任一項為與它的前一項a片1（或前〃項）間的關系

可以用一個公式來表示，那么這個公式就叫做這個數列的遞推公式.

注意：遞推公式也是給出數列的一種方法.

如下列數字排列的一個數列：3,5,8,13,21,34,55,89.

遞推公式為：ai=3,3i=5,a0=aki+a巾2(3.

2.數列可看作特殊的函數，其表示也應與函數的表示法有聯(lián)系，函數的表示法有：列表法、

圖象法、解析式法.相對于數列來說也有相應的這幾種表示方法：即列表法、圖象法、解析

式法.

【設計意圖】由具體情景切入，引出遞推公式，讓學生自主發(fā)現(xiàn)新知。

［例題剖析］

%=1

【例1】設數列｛aj滿足|,1.寫出這個數列的前五項.

%=1+一

〔an-l

師分析：題中已給出｛aj的第1項即a=1,題目要求寫出這個數列的前五項，因而只要再

求出二到五項即可.這個遞推公式：a〃=l+」一我們將如何應用呢？

生這要將n的值2和&=1代入這個遞推公式計算就可求出第二項，然后依次這樣進行就可

以了.

師請大家計算一下！

］12158

生解：據題意可知：31=1,32=1+=2,as=l+——，&=1+=—,ck=一

axa23a335

師掌握遞推公式很關鍵的一點就是其中的遞推關系，同學們要注意探究和發(fā)現(xiàn)遞推公式中

的前項與后項，或前后幾項之間的關系.

【例2】已知ai=2,aMi=2,a?,寫出前5項，并猜想為.

師由例1的經驗我們先求前5項.

生前5項分別為2,4,8,16,32.

師對，下面來猜想第〃項.

2

生由a=2,a2=2X2=2,國=2X2三23觀察可得，我猜想&=2".

師很好！

生老師，本題若改為求a〃是否還可這樣去解呢？

師不能.必須有求解的過程.

生老師，我由a.Ea”變形可得arfae即％=2,依次向下寫，一直到第一項，然后

an-l

2

將它們乘起來，就有-…義一=2"1,所以昕a-21=2".

an-lan-2an-3。

師太妙了，真是求解的好方法.你所用的這種方法通常叫迭乘法，這種方法在已知遞推公式

求數列通項的問題中是比較常用的方法，對應的還有迭加法.

【設計意圖】講練結合，鞏固新知。

［知識拓展］

已知ai=2,,a^i=a?-4,求a?.

師此題與前例2比較，遞推式中的運算改為了減法，同學們想一想如何去求解呢?

生1與出：Si-2,a?=-2,a3=-6,a=-10,…

觀察可得：3^=2+(77-1)(zr4)=2-4(zrl).

生2他這種解法不行，因為不是猜出劣，而是要求出a.

我這樣解：由a.「a產-4依次向下寫，一直到第一項，然后將它們加起來，

a『a0=-4

a^i-a^2=-4

a^2_a^3=_4

+)&2—q=14

Cln_%=—4(/7—1)

a〃=2-4(/7-1).

師好極了，真是觸類旁通啊，這種方法也請同學們課后多體會.

【設計意圖】變式訓練，觸類旁通，提升學生舉一反三的能力，并且給出了累加和累乘方法,

這在之后數列求通項時便可直接總結了。

［教師精講］

(1)數列的遞推公式是由初始值和相鄰幾項的遞推關系確定的，如果只有遞推關系而無初始

值，那么這個數列是不能確定的.

例如，由數列｛aj中的遞推公式a.尸2al+1無法寫出數列｛a｝中的任何一項，若又知a=1,

則可以依次地寫出32=3,a3=7,&=15,….

(2)遞推公式是給出數列的一種方法，由遞推公式可能求出數列的通項公式，也可能求不出

通項公式.

【設計意圖】由老師精講，讓學生知識又上一個層面。

［學生活動］

根據各個數列的首項和遞推公式，寫出它的前五項，并歸納出通項公式.(投影片)

(1)ai=O,=(2/7-1)心；

(2)ai=l,a*=—①；

氏+2

(3)ai—3,a"i=3a「2①.

(讓學生思考一定時間后，請三位學生分別作答)