專題09 圓相關(guān)證明與計(jì)算問(wèn)題（專項(xiàng)訓(xùn)練）（解析版）-二輪基礎(chǔ)過(guò)關(guān)與直擊中考

專題09圓相關(guān)證明與計(jì)算問(wèn)題專項(xiàng)訓(xùn)練【基礎(chǔ)過(guò)關(guān)|直擊中考】1．（2021·四川廣元市·中考真題）如圖，從一塊直徑是2的圓形鐵片上剪出一個(gè)圓心角為的扇形，將剪下來(lái)的扇形圍成一個(gè)圓錐．那么這個(gè)圓錐的底面圓的半徑是（）A． B． C． D．1【答案】B【分析】先計(jì)算的長(zhǎng)度，然后圍成的圓錐底面周長(zhǎng)等同于的長(zhǎng)度，根據(jù)公式計(jì)算即可．【詳解】解：如下圖：連接BC，AO，∵，∴BC是直徑，且BC=2，又∵，∴，

又∵，，∴，∴的長(zhǎng)度為：，∴圍成的底面圓周長(zhǎng)為，設(shè)圓錐的底面圓的半徑為，則：，∴．故選：【點(diǎn)睛】本題考查扇形弧長(zhǎng)的計(jì)算，圓錐底面半徑的計(jì)算，解直角三角形等相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，根據(jù)條件計(jì)算出扇形的半徑是解題的關(guān)鍵．2．（2021·四川內(nèi)江·中考真題）如圖，是的外接圓，，若的半徑為2，則弦的長(zhǎng)為（）A．4 B． C．3 D．【答案】B【分析】過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)，根據(jù)圓周角定理以及垂徑定理可得結(jié)果．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)，是的外接圓，，，又，，，，在中，，，，，故選：．【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理，圓周角定理，勾股定理，熟知相關(guān)性質(zhì)定理是解本題的關(guān)鍵．3．（2021·四川廣安市·中考真題）如圖，公園內(nèi)有一個(gè)半徑為18米的圓形草坪，從地走到地有觀賞路（劣?。┖捅忝衤罚ň€段）.已知、是圓上的點(diǎn)，為圓心，，小強(qiáng)從走到，走便民路比走觀賞路少走（）米.A． B．C． D．【答案】D【分析】作OC⊥AB于C，如圖，根據(jù)垂徑定理得到AC=BC，再利用等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和計(jì)算出∠A，從而得到OC和AC，可得AB，然后利用弧長(zhǎng)公式計(jì)算出的長(zhǎng)，最后求它們的差即可．【詳解】解：作OC⊥AB于C，如圖，則AC=BC，∵OA=OB，∴∠A=∠B=（180°-∠AOB）=30°，在Rt△AOC中，OC=OA=9，AC=，∴AB=2AC=，又∵=，∴走便民路比走觀賞路少走米，故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理：垂徑定理和勾股定理相結(jié)合，構(gòu)造直角三角形，可解決計(jì)算弦長(zhǎng)、半徑、弦心距等問(wèn)題．4．（2021·遼寧沈陽(yáng)·中考真題）如圖，是的內(nèi)接三角形，，，連接，，則的長(zhǎng)是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】過(guò)點(diǎn)作于，根據(jù)垂徑定理求出，根據(jù)圓周角定理求出，根據(jù)正弦的定義求出，根據(jù)弧長(zhǎng)公式計(jì)算求解．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)作于，則，由圓周角定理得：，，，，故選：．【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形的外接圓與外心，掌握垂徑定理、圓周角定理、弧長(zhǎng)公式是解題的關(guān)鍵．5．（2021·浙江中考真題）如圖，已知在矩形中，，點(diǎn)是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)，點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)也隨之運(yùn)動(dòng)．若點(diǎn)從點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)，則線段掃過(guò)的區(qū)域的面積是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】先判斷出點(diǎn)Q在以BC為直徑的圓弧上運(yùn)動(dòng)，再判斷出點(diǎn)C1在以B為圓心，BC為直徑的圓弧上運(yùn)動(dòng)，找到當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A重合時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)D重合時(shí)，點(diǎn)C1運(yùn)動(dòng)的位置，利用扇形的面積公式及三角形的面積公式求解即可．【詳解】解：設(shè)BP與CC1相交于Q，則∠BQC=90°，∴當(dāng)點(diǎn)P在線段AD運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)Q在以BC為直徑的圓弧上運(yùn)動(dòng)，延長(zhǎng)CB到E，使BE=BC，連接EC，∵C、C1關(guān)于PB對(duì)稱，∴∠EC1C=∠BQC=90°，∴點(diǎn)C1在以B為圓心，BC為直徑的圓弧上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A重合時(shí)，點(diǎn)C1與點(diǎn)E重合，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)D重合時(shí)，點(diǎn)C1與點(diǎn)F重合，此時(shí)，，∴∠PBC=30°，∴∠FBP=∠PBC=30°，CQ=，BQ=，∴∠FBE=180°-30°-30°=120°，，線段掃過(guò)的區(qū)域的面積是．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)、三角形中位線定理、直角三角形的性質(zhì)、三角函數(shù)以及扇形面積公式等知識(shí)；熟練掌握矩形的性質(zhì)和軸對(duì)稱的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．6．（2021·江蘇鎮(zhèn)江·中考真題）設(shè)圓錐的底面圓半徑為r，圓錐的母線長(zhǎng)為l，滿足2r+l＝6，這樣的圓錐的側(cè)面積（）A．有最大值π B．有最小值π C．有最大值π D．有最小值π【答案】C【分析】由2r+l＝6，得出l＝6﹣2r，代入圓錐的側(cè)面積公式：S側(cè)＝πrl，利用配方法整理得出，S側(cè)＝﹣2π(r﹣)2+π，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解．【詳解】解：∵2r+l＝6，∴l(xiāng)＝6﹣2r，∴圓錐的側(cè)面積S側(cè)＝πrl＝πr(6﹣2r)＝﹣2π(r2﹣3r)＝﹣2π[(r﹣)2﹣]＝﹣2π(r﹣)2+π，∴當(dāng)r＝時(shí)，S側(cè)有最大值．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了圓錐的計(jì)算,二次函數(shù)的最值,圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖為一扇形,這個(gè)扇形的弧長(zhǎng)等于圓錐底面的周長(zhǎng)，扇形的半徑等于圓錐的母線長(zhǎng).熟記圓錐的側(cè)面積:是解題的關(guān)鍵．7．（2021·四川廣元市·中考真題）如圖，在邊長(zhǎng)為2的正方形中，是以為直徑的半圓的切線，則圖中陰影部分的面積為（）A． B． C．1 D．【答案】D【分析】取BC的中點(diǎn)O，設(shè)AE與⊙O的相切的切點(diǎn)為F，連接OF、OE、OA，由題意可得OB=OC=OA=1，∠OFA=∠OFE=90°，由切線長(zhǎng)定理可得AB=AF=2，CE=CF，然后根據(jù)割補(bǔ)法進(jìn)行求解陰影部分的面積即可．【詳解】解：取BC的中點(diǎn)O，設(shè)AE與⊙O的相切的切點(diǎn)為F，連接OF、OE、OA，如圖所示：∵四邊形ABCD是正方形，且邊長(zhǎng)為2，∴BC=AB=2，∠ABC=∠BCD=90°，∵是以為直徑的半圓的切線，∴OB=OC=OF=1，∠OFA=∠OFE=90°，∴AB=AF=2，CE=CF，∵OA=OA，∴Rt△ABO≌Rt△AFO（HL），同理可證△OCE≌△OFE，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴；故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查切線的性質(zhì)定理、切線長(zhǎng)定理、正方形的性質(zhì)及相似三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握切線的性質(zhì)定理、切線長(zhǎng)定理、正方形的性質(zhì)及相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．8．（2021·遼寧鞍山·中考真題）如圖，AB為的直徑，C，D為上的兩點(diǎn)，若，則的度數(shù)為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】連接AD，如圖，根據(jù)圓周角定理得到，，然后利用互余計(jì)算出，從而得到的度數(shù)．【詳解】解：連接AD，如圖，AB為的直徑，，，．故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了同弦所對(duì)的圓周角相等，直徑所對(duì)的圓周角是直角，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握相關(guān)知識(shí)進(jìn)行求解.9．（2021·黑龍江綏化市·中考真題）邊長(zhǎng)為的正六邊形，它的外接圓與內(nèi)切圓半徑的比值是_______．【答案】【分析】依題意作出圖形，找出直角三角形，它的外接圓與內(nèi)切圓半徑為直角三角形的兩條邊，根據(jù)三角函數(shù)值即可求出．【詳解】如圖：正六邊形中，過(guò)作中，,它的外接圓與內(nèi)切圓半徑的比值是．故答案為．【點(diǎn)睛】本題考查了正多邊形的外接圓和內(nèi)切圓的相關(guān)知識(shí)，對(duì)稱性，特殊角的銳角三角函數(shù)，依題意作出圖形是解決本題的關(guān)鍵．10．（2021·甘肅蘭州·中考真題）如圖，傳送帶的一個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)輪的半徑為，轉(zhuǎn)動(dòng)輪轉(zhuǎn)，傳送帶上的物品被傳送，則______．【答案】108【分析】根據(jù)傳送的距離等于轉(zhuǎn)動(dòng)了的圓弧的長(zhǎng)，進(jìn)而即可求得．【詳解】解得．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了弧長(zhǎng)的公式的應(yīng)用，牢記弧長(zhǎng)公式是解題的關(guān)鍵．11．（2021·四川涼山彝族自治州·中考真題）如圖，將繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到．已知，則線段AB掃過(guò)的圖形（陰影部分）的面積為_(kāi)_________________．【答案】【分析】由于將△ABC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)120°得到△A′B′C′，可見(jiàn)，陰影部分面積為扇形ACA′減扇形BCB′，分別計(jì)算兩扇形面積，再計(jì)算其差即可．【詳解】解：如圖：由旋轉(zhuǎn)可得：∠ACA′=∠BCB′=120°，又AC=3，BC=2，S扇形ACA′==，S扇形BCB′==，則線段AB掃過(guò)的圖形的面積為=，故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了扇形面積的計(jì)算和陰影部分的面積，將陰影部分面積轉(zhuǎn)化為兩扇形面積的查是解題的關(guān)鍵．12．（2021·廣西河池·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，以為圓心，AB為直徑的圓與x軸相切，與y軸交于A，C兩點(diǎn)，則點(diǎn)B的坐標(biāo)是____________．【答案】【分析】如圖，連接，設(shè)圓與x軸相切于點(diǎn)，連接交與點(diǎn)，結(jié)合已知條件，則可得，勾股定理求解，進(jìn)而即可求得的坐標(biāo)．【詳解】如圖，連接，設(shè)圓與x軸相切于點(diǎn)，連接交與點(diǎn)，則軸，為直徑，則，，軸，，，，，，，軸，．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了圓的性質(zhì)，直徑所對(duì)的圓周角是直角，垂徑定理，切線的性質(zhì)，勾股定理，坐標(biāo)與圖形，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．13．（2021·江蘇揚(yáng)州市·中考真題）如圖，四邊形中，，，，連接，以點(diǎn)B為圓心，長(zhǎng)為半徑作，交于點(diǎn)E．（1）試判斷與的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；（2）若，，求圖中陰影部分的面積．【答案】（1）相切，理由見(jiàn)解析；（2）【分析】（1）過(guò)點(diǎn)B作BF⊥CD，證明△ABD≌△FBD，得到BF=BA，即可證明CD與圓B相切；（2）先證明△BCD是等邊三角形，根據(jù)三線合一得到∠ABD=30°，求出AD，再利用S△ABD-S扇形ABE求出陰影部分面積．【詳解】解：（1）過(guò)點(diǎn)B作BF⊥CD，∵AD∥BC，∴∠ADB=∠CBD，∵CB=CD，∴∠CBD=∠CDB，∴∠ADB=∠CDB，又BD=BD，∠BAD=∠BFD=90°，∴△ABD≌△FBD（AAS），∴BF=BA，則點(diǎn)F在圓B上，∴CD與圓B相切；（2）∵∠BCD=60°，CB=CD，∴△BCD是等邊三角形，∴∠CBD=60°∵BF⊥CD，∴∠ABD=∠DBF=∠CBF=30°，∴∠ABF=60°，∵AB=BF=，∴AD=DF==2，∴陰影部分的面積=S△ABD-S扇形ABE==．【點(diǎn)睛】本題考查了切線的判定，全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，扇形面積，三角函數(shù)的定義，題目的綜合性較強(qiáng)，難度不小，解題的關(guān)鍵是正確做出輔助線．14．（2021·甘肅蘭州·中考真題）如圖，內(nèi)接于，是的直徑，為上一點(diǎn)，，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，．（1）求證：是的切線；（2）若，，求的長(zhǎng)．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）【分析】（1）根據(jù)，可得，根據(jù)對(duì)頂角相等可得，進(jìn)而可得，根據(jù)，可得，結(jié)合，根據(jù)角度的轉(zhuǎn)化可得，進(jìn)而即可證明是的切線；（2）根據(jù)，可得，設(shè)，則，分別求得，進(jìn)而根據(jù)勾股定理列出方程解方程可得，進(jìn)而根據(jù)即可求得．【詳解】（1），，，，，，是直徑，，，是的切線；（2），，，設(shè)，則，，，在中，，即，解得（舍去），．【點(diǎn)睛】本題考查了切線的判定，勾股定理解直角三角形，正切的定義，利用角度相等則正切值相等將已知條件轉(zhuǎn)化是解題的關(guān)鍵．15．（2021·山東濟(jì)南·中考真題）已知：如圖，是的直徑，，是上兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的切線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，，連接，．（1）求證：；（2）若，，求的半徑．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）【分析】（1）連接，根據(jù)切線的性質(zhì)，已知條件可得，進(jìn)而根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，根據(jù)圓周角定理可得，等量代換即可得證；（2）連接，根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角相等，可得，進(jìn)而根據(jù)正切值以及已知條件可得的長(zhǎng)，勾股定理即可求得，進(jìn)而即可求得圓的半徑．【詳解】（1）連接，如圖，是的切線，，，，，，，．（2）連接是的直徑，，，，，，，，，．即的半徑為．【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)，圓周角定理，正切的定義，同弧所對(duì)的圓周角相等，勾股定理，理解題意添加輔助線是解題的關(guān)鍵．16．（2021·湖北隨州市·中考真題）等面積法是一種常用的、重要的數(shù)學(xué)解題方法．它是利用“同一個(gè)圖形的面積相等”、“分割圖形后各部分的面積之和等于原圖形的面積”、“同底等高或等底同高的兩個(gè)三角形面積相等”等性質(zhì)解決有關(guān)數(shù)學(xué)問(wèn)題，在解題中，靈活運(yùn)用等面積法解決相關(guān)問(wèn)題，可以使解題思路清晰，解題過(guò)程簡(jiǎn)便快捷．（1）在直角三角形中，兩直角邊長(zhǎng)分別為3和4，則該直角三角形斜邊上的高的長(zhǎng)為_(kāi)____，其內(nèi)切圓的半徑長(zhǎng)為_(kāi)_____；（2）①如圖1，是邊長(zhǎng)為的正內(nèi)任意一點(diǎn)，點(diǎn)為的中心，設(shè)點(diǎn)到各邊距離分別為，，，連接，，，由等面積法，易知，可得_____；（結(jié)果用含的式子表示）②如圖2，是邊長(zhǎng)為的正五邊形內(nèi)任意一點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)到五邊形各邊距離分別為，，，，，參照①的探索過(guò)程，試用含的式子表示的值．（參考數(shù)據(jù)：，）（3）①如圖3，已知的半徑為2，點(diǎn)為外一點(diǎn)，，切于點(diǎn)，弦，連接，則圖中陰影部分的面積為_(kāi)_____；（結(jié)果保留）②如圖4，現(xiàn)有六邊形花壇，由于修路等原因需將花壇進(jìn)行改造．若要將花壇形狀改造成五邊形，其中點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，且要保證改造前后花壇的面積不變，試確定點(diǎn)的位置，并說(shuō)明理由．【答案】（1），1；（2）①；②；（3）①；②見(jiàn)解析．【分析】（1）根據(jù)等積法解得直角三角形斜邊上的高的長(zhǎng)，及利用內(nèi)切圓的性質(zhì)解題即可；（2）①先求得邊長(zhǎng)為的正的面積，再根據(jù)解題即可；②設(shè)點(diǎn)為正五邊形的中心，連接，，過(guò)作于，先由正切定義，解得的長(zhǎng)，由①中結(jié)論知，，繼而得到，據(jù)此解題；（3）①由切線性質(zhì)解得，再由平行線性質(zhì)及等腰三角形性質(zhì)解得，根據(jù)平行線間的距離相等，及同底等高或等底同高的兩個(gè)三角形面積相等的性質(zhì)，可知圖中陰影部分的面積等于扇形OBC的面積，最后根據(jù)扇形面積公式解題；②連接，過(guò)點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，根據(jù)，據(jù)此解題．【詳解】解：（1）直角三角形的面積為：，直角三角形斜邊為：，設(shè)直角三角形斜邊上的高為，則設(shè)直角三角形內(nèi)切圓的半徑為，則，故答案為：，1；（2）①邊長(zhǎng)為的正底邊的高為，面積為：，故答案為：；②類比①中方法可知，設(shè)點(diǎn)為正五邊形的中心，連接，，由①得，過(guò)作于，，故，，故，從而得到：．（3）①是的切線，過(guò)點(diǎn)作，是的高，故答案為：；②如圖，連接，過(guò)點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，則點(diǎn)即為所求，連接，∵，∵，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查正多邊形和圓的知識(shí)，涉及含30°角的直角三角形、正切、切線的性質(zhì)、扇形面積公式、平行線的性質(zhì)等知識(shí)，是重要考點(diǎn)，有難度，掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵．1．（2021·四川內(nèi)江·中考真題）如圖，是的直徑，、是上兩點(diǎn)，且，過(guò)點(diǎn)的直線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連結(jié)、交于點(diǎn)．（1）求證：是的切線；（2）若，的半徑為2，求陰影部分的面積；（3）連結(jié)，在（2）的條件下，求的長(zhǎng)．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）；（3）【分析】（1）根據(jù)同圓中等弧所對(duì)的圓周角相等得到∠CAD=∠DAB，根據(jù)等邊對(duì)等角得到∠DAB=∠ODA，則∠CAD=∠ODA，即可判定OD∥AE，進(jìn)而得到OD⊥DE，據(jù)此即可得解；（2）連接BD，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出AE=3，AD=2，解直角三角形得到∠DAB=30°，則∠EAF=60°，∠DOB=60°，DF=2，再根據(jù)S陰影=S△DOF-S扇形DOB即可得解；（3）過(guò)點(diǎn)E作EM⊥AB于點(diǎn)M，連接BE，解直角三角形得到AM=，EM=，則MB=，再根據(jù)勾股定理求解即可．【詳解】解：（1）證明：如圖，連接，，，，，，，，，是的半徑，是的切線；（2）解：，，，，的半徑為2，，，如圖，連接，是的直徑，，，，，，即，，在中，，，，，，，，；（3）如圖，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，連接，在中，，，，．【點(diǎn)睛】此題是圓的綜合題，考查了切線的判定與性質(zhì)、扇形的面積、相似三角形的判定與性質(zhì)、解直角三角形，熟練掌握切線的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)并證明△OGD∽△EGA求出AE是解題的關(guān)鍵．2．（2021·山東菏澤市·中考真題）如圖，在中，是直徑，弦，垂足為，為上一點(diǎn)，為弦延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交直徑的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，若．（1）求證：是的切線；（2）若的半徑為8，，求的長(zhǎng)．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）【分析】（1）連接OE，證明OE⊥EF即可；（2）由證得，運(yùn)用正弦的概念可得結(jié)論．【詳解】解：（1）證明：連接OE，如圖，∵OA=OE∴∠OAE=∠OEA．∵EF=PF，∴∠EPF=∠PEF∵∠APH=∠EPF，∴∠APH=∠EPF，∴∠AEF=∠APH．∵CD⊥AB，∴∠AHC=90°．∴∠OAE+∠APH=90°．∴∠OEA+∠AEF=90°∴∠OEF=90°∴OE⊥EF．∵OE是的半徑∴EF是圓的切線，（2）∵CD⊥AB∴是直角三角形∵∴設(shè)，則由勾股定理得，由（1）得，是直角三角形∴∴，即∵∴解得，【點(diǎn)睛】此題主要考查了圓的切線的判定，勾股定理和解直角三角形等知識(shí)，熟練掌握切線的判定是解答此題的關(guān)鍵．3．（2021·甘肅蘭州·中考真題）如圖，內(nèi)接于，是的直徑，為上一點(diǎn)，，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，．（1）求證：是的切線；（2）若，，求的長(zhǎng)．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）【分析】（1）根據(jù)，可得，根據(jù)對(duì)頂角相等可得，進(jìn)而可得，根據(jù)，可得，結(jié)合，根據(jù)角度的轉(zhuǎn)化可得，進(jìn)而即可證明是的切線；（2）根據(jù)，可得，設(shè)，則，分別求得，進(jìn)而根據(jù)勾股定理列出方程解方程可得，進(jìn)而根據(jù)即可求得．【詳解】（1），，，，，，是直徑，，，是的切線；（2），，，設(shè)，則，，，在中，，即，解得（舍去），．【點(diǎn)睛】本題考查了切線的判定，勾股定理解直角三角形，正切的定義，利用角度相等則正切值相等將已知條件轉(zhuǎn)化是解題的關(guān)鍵．4．（2021·山東濟(jì)南·中考真題）已知：如圖，是的直徑，，是上兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的切線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，，連接，．（1）求證：；（2）若，，求的半徑．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）【分析】（1）連接，根據(jù)切線的性質(zhì)，已知條件可得，進(jìn)而根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，根據(jù)圓周角定理可得，等量代換即可得證；（2）連接，根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角相等，可得，進(jìn)而根據(jù)正切值以及已知條件可得的長(zhǎng)，勾股定理即可求得，進(jìn)而即可求得圓的半徑．【詳解】（1）連接，如圖，是的切線，，，，，，，．（2）連接是的直徑，，，，，，，，，．即的半徑為．【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)，圓周角定理，正切的定義，同弧所對(duì)的圓周角相等，勾股定理，理解題意添加輔助線是解題的關(guān)鍵．5．（2021·江蘇鎮(zhèn)江·中考真題）如圖1，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，點(diǎn)P在邊BC上，⊙O經(jīng)過(guò)A，B，P三點(diǎn)．（1）若BP＝3，判斷邊CD所在直線與⊙O的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；（2）如圖2，E是CD的中點(diǎn)，⊙O交射線AE于點(diǎn)Q，當(dāng)AP平分∠EAB時(shí)，求tan∠EAP的值．【答案】（1）相切，見(jiàn)解析；（2）【分析】（1）如圖1中，連接AP，過(guò)點(diǎn)O作OH⊥AB于H，交CD于E．求出OE的長(zhǎng)，與半徑半徑，可得結(jié)論．（2）如圖2中，延長(zhǎng)AE交BC的延長(zhǎng)線于T，連接PQ．利用面積法求出BP，可得結(jié)論．【詳解】解：（1）如圖1﹣1中，連接AP，過(guò)點(diǎn)O作OH⊥AB于H，交CD于E．∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝AD＝4，∠ABP＝90°，∴AP＝＝＝5，∵OH⊥AB，∴AH＝HB，∵OA＝OP，AH＝HB，∴OH＝PB＝，∵∠D＝∠DAH＝∠AHE＝90°，∴四邊形AHED是矩形，∴OE⊥CE，EH＝AD＝4，∴OE＝EH＝OH＝4﹣＝，∴OE＝OP，∴直線CD與⊙O相切．（2）如圖2中，延長(zhǎng)AE交BC的延長(zhǎng)線于T，連接PQ．∵∠D＝∠ECT＝90°，DE＝EC，∠AED＝∠TEC，∴△ADE≌△TCE（ASA），∴AD＝CT＝4，∴BT＝BC+CT＝4+4＝8，∵∠ABT＝90°，∴AT＝＝＝4，∵AP是直徑，∴∠AQP＝90°，∵PA平分∠EAB，PQ⊥AQ，PB⊥AB，∴PB＝PQ，設(shè)PB＝PQ＝x，∵S△ABT＝S△ABP+S△APT，∴×4×8＝×4×x+×4×x，∴x＝2﹣2，∴tan∠EAP＝tan∠PAB＝＝．【點(diǎn)睛】本題考查了直線與圓的位置關(guān)系，正方形的性質(zhì)，解直角三角形、相似三角形判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是掌握切線的證明方法：已知垂直證半徑，已知半徑證垂直，利用三角形面積不同的表示方法構(gòu)建方程解決問(wèn)題是難點(diǎn)．6．（2021·遼寧鞍山·中考真題）如圖，AB為的直徑，C為上一點(diǎn)，D為AB上一點(diǎn)，，過(guò)點(diǎn)A作交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，CE交于點(diǎn)G，連接AC，AG，在EA的延長(zhǎng)線上取點(diǎn)F，使．（1）求證：CF是的切線；（2）若，，求的半徑．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）5【分析】（1）根據(jù)題意判定，然后結(jié)合相似三角形的性質(zhì)求得，從而可得，然后結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)求得，從而判定CF是的切線；（2）由切線長(zhǎng)定理可得，從而可得，得到，然后利用勾股定理解直角三角形可求得圓的半徑．【詳解】（1）證明：，，，，，，，又，，，，，，，，AB是的直徑，，又，，，，即CF是的切線；（2）CF是的切線，，，，，又，在中，，設(shè)的半徑為x，則，，在中，，解得：，的半徑為5．【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理、切線的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等，熟練掌握相關(guān)定理與性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．7．（2021·廣東廣州·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線分別與x軸，y軸相交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)為直線在第二象限的點(diǎn)（1）求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）設(shè)的面積為S，求S關(guān)于x的函數(shù)解析式：并寫(xiě)出x的取值范圍；（3）作的外接圓，延長(zhǎng)PC交于點(diǎn)Q，當(dāng)?shù)拿娣e最小時(shí)，求的半徑．【答案】（1）A（-8，0），B（0，4）；（2），-8＜＜0；（3）4．【分析】（1）根據(jù)一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)即可求出A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）利用三角形面積公式及點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)即可求出結(jié)果；（3）根據(jù)圓周角性質(zhì)可得，．由等角的三角函數(shù)關(guān)系可推出，再根據(jù)三角形面積公式得，由此得結(jié)論當(dāng)最小時(shí)，的面積最小，最后利用圓的性質(zhì)可得有最小值，且為的直徑，進(jìn)而求得結(jié)果．【詳解】解：（1）當(dāng)時(shí)，，解得，∴A（-8，0）．當(dāng)時(shí)，，∴B（0，4）．（2）∵A（-8,0），∴．點(diǎn)P在直線上，∴，∴．∵點(diǎn)P在第二象限，∴＞0，且＜0．解得-8＜＜0；（3）∵B（0，4），∴．∵為的外接圓，∴，．∴．設(shè)，則．∴．∴當(dāng)最小時(shí)，的面積最?。喈?dāng)時(shí)，有最小值，且為的直徑．∴．即的半徑為4．【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、三角形面積計(jì)算及圓的相關(guān)性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、三角形面積計(jì)算及圓的相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．8．（2021·江蘇泰州·中考真題）如圖，在⊙O中，AB為直徑，P為AB上一點(diǎn)，PA＝1，PB＝m（m為常數(shù)，且m＞0）．過(guò)點(diǎn)P的弦CD