結(jié)構(gòu)力學(xué) 第五章 力法

第五章超靜定結(jié)構(gòu)(jiégòu)的解法—力法共九十三頁(yè)§

5-1超靜定(jìnɡdìnɡ)結(jié)構(gòu)概述和力法基本概念靜力特征:僅由靜力平衡方程(fāngchéng)不能求出所有內(nèi)力和反力.超靜定問(wèn)題的求解要同時(shí)考慮結(jié)構(gòu)的“變形、本構(gòu)、平衡”.幾何特征:有多余約束的幾何不變體系。

超靜定結(jié)構(gòu)是相對(duì)于靜定結(jié)構(gòu)而言的。靜定結(jié)構(gòu)是幾何不變而又沒(méi)有多余約束的體系，其反力和內(nèi)力只需靜力平衡方程即可求得。所謂幾何不變體系是指如果不考慮材料應(yīng)變所產(chǎn)生的變形，體系在受到任何載荷作用后能夠保持其固有的幾何形狀和位置的體系。超靜定結(jié)構(gòu)有以下幾個(gè)特征：概述共九十三頁(yè)

拱

組合(zǔhé)結(jié)構(gòu)

1）超靜定結(jié)構(gòu)的類(lèi)型

桁架(héngjià)

超靜定梁

剛架

桁架§

5-1超靜定結(jié)構(gòu)概述和力法基本概念共九十三頁(yè)（1）超靜定次數(shù)——結(jié)構(gòu)多余約束或多余未知力的數(shù)目，即為超靜定次數(shù)。（2）確定超靜定次數(shù)的方法(fāngfǎ)——通過(guò)去掉多余約束來(lái)確定。（去掉n個(gè)多余約束，即為n次超靜定）。（3）去掉（解除）多余約束的方式2）超靜定(jìnɡdìnɡ)次數(shù)確定a、撤去一個(gè)活動(dòng)鉸支座、去掉或切斷一根鏈桿——去掉1個(gè)約束（聯(lián)系）；X1§

5-2超靜定次數(shù)和力法基本概念共九十三頁(yè)b、去掉一個(gè)單鉸或一個(gè)固定(gùdìng)鉸支座——

去掉2個(gè)約束；c、切斷剛性(ɡānɡxìnɡ)聯(lián)系（梁式桿）或去掉一個(gè)固定端——去掉3個(gè)約束；X1X2X1X2X3X1X2X3§

5-1超靜定結(jié)構(gòu)概述和力法基本概念共九十三頁(yè)d、將剛性連接(liánjiē)改為單鉸——去掉1個(gè)約束。注意事項(xiàng)（1）對(duì)于同一超靜定結(jié)構(gòu)(jiégòu)，可以采取不同方式去掉多余約束，而得到不同形式的靜定結(jié)構(gòu)，但去掉多余約束的總個(gè)數(shù)應(yīng)相同。（2）去掉多余約束后的體系，必須是幾何不變的體系，因此，某些約束是不能去掉的。X1§

5-1超靜定結(jié)構(gòu)概述和力法基本概念共九十三頁(yè)幾何可變體系不能作為(zuòwéi)基本體系§

5-1超靜定(jìnɡdìnɡ)結(jié)構(gòu)概述和力法基本概念共九十三頁(yè)舉例(jǔlì)：X1X2X1X2X1X3X2§

5-1超靜定結(jié)構(gòu)(jiégòu)概述和力法基本概念共九十三頁(yè)X4X3X1X2X1X2舉例：§

5-1超靜定結(jié)構(gòu)(jiégòu)概述和力法基本概念共九十三頁(yè)X1X1X2X2X3X3X1X2X3平衡(pínghéng)方程個(gè)數(shù)：2×8＝16

未知數(shù)個(gè)數(shù)：16+3=19多余(duōyú)約束力：19-16＝3計(jì)算桁架超靜定次數(shù)的簡(jiǎn)單公式(m+r)-2j=16+3-2×8=3m（桿個(gè)數(shù)）；r（支反力數(shù)目）；j（節(jié)點(diǎn)數(shù)）§

5-1超靜定結(jié)構(gòu)概述和力法基本概念共九十三頁(yè)X1X2X3X1X2X3每個(gè)無(wú)鉸封閉(fēngbì)框超三次靜定超靜定(jìnɡdìnɡ)次數(shù)3×封閉框數(shù)=3×5=15超靜定次數(shù)3×封閉框數(shù)－單鉸數(shù)目=3×5－3=12舉例：§

5-1超靜定結(jié)構(gòu)概述和力法基本概念共九十三頁(yè)一個(gè)(yīɡè)無(wú)鉸封閉框有三個(gè)多余約束.3×封閉(fēngbì)框數(shù)－單鉸數(shù)目=3×3－4=53×封閉框數(shù)－單鉸數(shù)目=3×3－3=6§

5-1超靜定結(jié)構(gòu)概述和力法基本概念共九十三頁(yè)此兩鏈桿任一根都不能去掉此鏈桿不能去掉共九十三頁(yè)

力法的基本思想:1.找出未知問(wèn)題(wèntí)不能求解的原因,2.將其化成能求解的問(wèn)題,3.找出改造后的問(wèn)題與原問(wèn)題的差別,4.消除差別后,改造后的問(wèn)題的解即為原問(wèn)題的解§

3-2力法的基本原理及典型(diǎnxíng)方程

解除多余約束，轉(zhuǎn)化為靜定結(jié)構(gòu)。將多余約束以多余未知力代替。這種把多余約束力作為基本量的計(jì)算方法——力法。共九十三頁(yè)§

3-2力法的基本原理及典型(diǎnxíng)方程看下面(xiàmian)簡(jiǎn)單的例子：llq123

如圖3-6所示的雙跨梁，它是二次超靜定結(jié)構(gòu)。在用力法計(jì)算時(shí)，可將其兩個(gè)多余聯(lián)系去掉。llR1R2qllM1M2M2(2)122圖3-6a圖3-6c圖3-6b共九十三頁(yè)§

3-2力法的基本原理及典型(diǎnxíng)方程

為了求出基本結(jié)構(gòu)中多余的約束力，必須考慮原結(jié)構(gòu)在多余聯(lián)系處的已知變形條件。下面(xiàmian)以求M1和M2（圖3-6b）為例來(lái)說(shuō)明。原結(jié)構(gòu)（圖3-6a）在均布載荷q作用下在固定端處的轉(zhuǎn)角為零，在中間支座處轉(zhuǎn)角連續(xù)。為使基本結(jié)構(gòu)的受力和變形與原結(jié)構(gòu)完全一致，就應(yīng)使基本結(jié)構(gòu)在多余約束力M1

、M2

載荷q作用下在支座1處的轉(zhuǎn)角為零，在支座2處的轉(zhuǎn)角連續(xù)，即：支座1處的轉(zhuǎn)角支座2處的轉(zhuǎn)角共九十三頁(yè)§

3-2力法的基本原理及典型(diǎnxíng)方程

上式即為變形協(xié)調(diào)條件(tiáojiàn)。利用兩端自由支持單跨梁的彎曲要素表，可以得到轉(zhuǎn)角與彎矩和外載荷之間的關(guān)系式，并將他們代入到上式，得到：根據(jù)變形條件求解：共九十三頁(yè)§

3-2力法的基本原理及典型(diǎnxíng)方程

求出基本未知量M1和M2后，就可分別(fēnbié)對(duì)兩個(gè)靜定單跨梁進(jìn)行計(jì)算，并用疊加法畫(huà)出梁1-2和2-3的彎矩圖和剪力圖，此即原雙跨梁的彎矩圖和剪力圖。0.071ql2

0.107ql2-0.125ql2-0.125ql2

0.5ql-0.5ql0.036ql0.036ql-0.5ql0.5ql

-0.107ql-0.107ql0.393ql0.464ql

0.607ql0.536ql0.713ql2

0.107ql2

共九十三頁(yè)第二種等效(děnɡxiào)方法固定(gùdìng)端支反力在均布載荷q作用下:變形條件求解：

0.464ql0.536ql0.607ql0.393ql0.713ql20.107ql2§

3-2力法的基本原理及典型方程在集中載荷R1作用下:在集中載荷R2作用下:共九十三頁(yè)

力法基本原理：把去掉原結(jié)構(gòu)上的多余聯(lián)系后所得的靜定結(jié)構(gòu)作為基本結(jié)構(gòu)，以多余約束力作為基本未知量，根據(jù)原結(jié)構(gòu)在多余聯(lián)系處的變形條件列力法方程，解之即得多余約束力；而以后的計(jì)算與靜定結(jié)構(gòu)相同。必須指出(zhǐchū)，基本結(jié)構(gòu)的選取雖然可以不同，但它必須是幾何不變的。否則不能用作計(jì)算超靜定結(jié)構(gòu)的計(jì)算圖形。上述基本原理可以用于分析任何類(lèi)型的超靜定(jìnɡdìnɡ)結(jié)構(gòu)，例如連續(xù)梁，剛架和桁架等?！?/p>

3-2力法的基本原理及典型方程共九十三頁(yè)

如果把圖3-6b中的M1稱(chēng)為第一個(gè)多余約束力，記做X1；M2稱(chēng)為第二個(gè)多余約束力，記做X2。并且(bìngqiě)把力法方程組改寫(xiě)成：

式中：(a)§

3-2力法的基本原理及典型(diǎnxíng)方程共九十三頁(yè)

與圖3-6b對(duì)照，可以看出(kànchū)：力法方程組(c)中的系數(shù)

11就是當(dāng)X1=1單獨(dú)作用于基本結(jié)構(gòu)時(shí)，在X1作用點(diǎn)沿X1方向的轉(zhuǎn)角（廣義位移），而

21就是在X2作用點(diǎn)沿X2方向的轉(zhuǎn)角；

22就是當(dāng)X2=1單獨(dú)作用于基本結(jié)構(gòu)時(shí)，在X2作用點(diǎn)沿X2方向的轉(zhuǎn)角（注意基本結(jié)構(gòu)有一對(duì)X2），而

12在X1作用點(diǎn)沿X1方向的轉(zhuǎn)角；

1p就是當(dāng)外載荷單獨(dú)作用于基本結(jié)構(gòu)時(shí)在X1作用點(diǎn)沿X1方向的轉(zhuǎn)角；而2p就是當(dāng)外載荷單獨(dú)作用于基本結(jié)構(gòu)時(shí)在X2作用點(diǎn)沿X2方向的轉(zhuǎn)角§

3-2力法的基本原理及典型(diǎnxíng)方程共九十三頁(yè)

對(duì)于n次超靜定(jìnɡdìnɡ)結(jié)構(gòu)，其力法方程組可寫(xiě)為。（3-1）

注：對(duì)于有支座沉降的情況，右邊相應(yīng)的項(xiàng)就等于(děngyú)已知位移（沉降量），而不等于(děngyú)零?！?/p>

3-2力法的基本原理及典型方程共九十三頁(yè)（1）系數(shù)(xìshù)（柔度系數(shù)(xìshù)）、自由項(xiàng)

主系數(shù)δii(i＝1,2,…n)——單位多余未知力單獨(dú)作用(zuòyòng)于基本結(jié)構(gòu)時(shí)，所引起的沿其本身方向上的位移，恒為正；Xi＝1

副系數(shù)δ

i

j(

i≠j)——單位多余未知力單獨(dú)作用于基本結(jié)構(gòu)時(shí)，所引起的沿Xi方向的位移，可為正、負(fù)或零，且由位移互等定理：δi

j=δj

iX

j＝1

自由項(xiàng)ΔiP

——荷載FP單獨(dú)作用于基本體系時(shí)，所引起Xi方向的位移，可正、可負(fù)或?yàn)榱恪?/p>

ii和ΔiP的計(jì)算，一般可用材料力學(xué)中的位移計(jì)算方法，如單位力法§

3-2力法的基本原理及典型方程共九十三頁(yè)（3）最后(zuìhòu)彎矩（2）典型(diǎnxíng)方程的矩陣表示§

3-2力法的基本原理及典型方程共九十三頁(yè)力法基本思路小結(jié)(xiǎojié)

解除多余約束，轉(zhuǎn)化為靜定(jìnɡdìnɡ)結(jié)構(gòu)。多余約束代以多余未知力——基本未知力。

分析基本結(jié)構(gòu)在單位基本未知力和外界因素作用下的位移，建立位移協(xié)調(diào)條件——力法方程。

從力法方程解得基本未知力，由疊加原理獲得結(jié)構(gòu)內(nèi)力。超靜定結(jié)構(gòu)分析通過(guò)轉(zhuǎn)化為靜定結(jié)構(gòu)獲得了解決。§

3-2力法的基本原理及典型方程共九十三頁(yè)§

3-3剛性支座上連續(xù)梁與不可(bùkě)動(dòng)節(jié)點(diǎn)簡(jiǎn)單剛架計(jì)算共九十三頁(yè)§

3-3剛性支座上連續(xù)(liánxù)梁與不可動(dòng)節(jié)點(diǎn)簡(jiǎn)單剛架計(jì)算1）剛性支座上連續(xù)梁與三彎距方程

1i-12I1l1n-1ii+1nIi-1IiIn-1li-1liln-1qi-1qiM1l1M2I1Mi-1li-1MiIi-1qi-1Mi+1MiliIiqiMn-1ln-1MnIn-1圖3-1(a)圖3-1(b)共九十三頁(yè)

圖(3.1a)所示的為n-1跨的剛性支座上的連續(xù)梁，其兩端剛性固定。首先判斷它是一個(gè)n次超靜定梁（無(wú)軸向載荷，故無(wú)軸向約束反力），將連續(xù)梁兩端的剛性固定端改為固定鉸支座，并以相應(yīng)的多余約束力（端面彎距）代替，在每個(gè)中間支座處將梁切斷，并以相應(yīng)的約束反力（梁截面上的彎距）代替。得到如圖（3.1b）所示的基本(jīběn)結(jié)構(gòu)—單跨梁。它會(huì)使得力法方程簡(jiǎn)化。§

3-3剛性支座(zhīzuò)上連續(xù)梁與不可動(dòng)節(jié)點(diǎn)簡(jiǎn)單剛架計(jì)算共九十三頁(yè)

根據(jù)原結(jié)構(gòu)在剛性固定端轉(zhuǎn)角為零和在支座(zhīzuò)處轉(zhuǎn)角連續(xù)性條件，列出方程：（3-2a）i=2,3,…,n-1§

3-3剛性支座上連續(xù)梁與不可動(dòng)節(jié)點(diǎn)(jiédiǎn)簡(jiǎn)單剛架計(jì)算共九十三頁(yè)

將上式整理(zhěnglǐ)后得到：（3-2b）§

3-3剛性支座(zhīzuò)上連續(xù)梁與不可動(dòng)節(jié)點(diǎn)簡(jiǎn)單剛架計(jì)算共九十三頁(yè)

式中，i＝2,3,…,n-1；

i(qi-1)——第i-1跨梁上所有外荷引起(yǐnqǐ)得在支座i處的梁右端的轉(zhuǎn)角；

i(qi)表示第i跨梁上所有外荷引起的在支座i處梁左端的轉(zhuǎn)角；1(q1)、n(qn-1)同理，并規(guī)定沿順時(shí)針?lè)较虻霓D(zhuǎn)角為正，反之為負(fù)。由式（3-2）可見(jiàn)，每個(gè)方程中最多含三個(gè)未知彎距，故式（3-2）稱(chēng)為三彎距方程，改寫(xiě)為矩陣形式為：§

3-3剛性支座(zhīzuò)上連續(xù)梁與不可動(dòng)節(jié)點(diǎn)簡(jiǎn)單剛架計(jì)算共九十三頁(yè)（3-3）§

3-3剛性支座上連續(xù)(liánxù)梁與不可動(dòng)節(jié)點(diǎn)簡(jiǎn)單剛架計(jì)算共九十三頁(yè)式中系數(shù)(xìshù)矩陣是對(duì)稱(chēng)矩陣，

ij=ji,且（3-4）§

3-3剛性支座上連續(xù)梁與不可動(dòng)節(jié)點(diǎn)(jiédiǎn)簡(jiǎn)單剛架計(jì)算共九十三頁(yè)

式中，i＝2,3,…,n-1。（3-5）

式中，i＝2,3,…,n-1。

式（3-3）在數(shù)學(xué)上稱(chēng)為三對(duì)角方程。當(dāng)連續(xù)梁上支座(zhīzuò)數(shù)目較多時(shí)，可以采用追趕法在計(jì)算機(jī)上求解?！?/p>

3-3剛性支座(zhīzuò)上連續(xù)梁與不可動(dòng)節(jié)點(diǎn)簡(jiǎn)單剛架計(jì)算共九十三頁(yè)

例題(lìtí)

1：計(jì)算圖3.2所示的等截面三跨連續(xù)梁。已知l＝8m，P=ql/2=40kN,q=10kN/m

解：取其基本結(jié)構(gòu)如圖(b)所示。根據(jù)基本結(jié)構(gòu)在支座1處的轉(zhuǎn)角為零，在中間支座處轉(zhuǎn)角連續(xù)(liánxù)的條件，列出三個(gè)力法方程。M3M1M2M2M3q(b)l/2l/2llPq1234圖3-2(a)共九十三頁(yè)

將以上(yǐshàng)三個(gè)方程兩邊同乘以6EI/l，整理得：

解得：共九十三頁(yè)

得到固定(gùdìng)端和各截面的彎距后，就可以采用疊加法繪制剪力圖和彎距圖。共九十三頁(yè)

對(duì)于僅受到均布載荷的等截面、等跨度的連續(xù)梁，則連續(xù)梁每一跨度的變形均相同，中間支座處的轉(zhuǎn)角為零。這種連續(xù)梁可作簡(jiǎn)化計(jì)算，只需取出一跨，將其作為兩端(liǎnɡduān)剛性固定的單跨梁計(jì)算，無(wú)需對(duì)整個(gè)連續(xù)梁進(jìn)行計(jì)算。目前，船體結(jié)構(gòu)中的甲板縱骨及船體縱骨大都滿(mǎn)足以上條件，所以都可以作為兩端(liǎnɡduān)剛性固定的單跨梁處理。共九十三頁(yè)

回顧(huígù)：超靜定(jìnɡdìnɡ)結(jié)構(gòu)靜定結(jié)構(gòu)多余聯(lián)系多余約束力力法方程連續(xù)性條件力法共九十三頁(yè)

船體結(jié)構(gòu)中的甲板縱骨、舷側(cè)縱骨和船底縱骨這些縱向構(gòu)件（超靜定結(jié)構(gòu)）可以采用三彎矩方程得以解決(jiějué)。對(duì)于由橫梁、肋骨和肋板組成的橫向框架結(jié)構(gòu)？共九十三頁(yè)2）不可動(dòng)節(jié)點(diǎn)簡(jiǎn)單剛架計(jì)算

船體結(jié)構(gòu)中的剛架大都是由橫梁、肋骨和肋板組成的橫向(hénɡxiànɡ)框架結(jié)構(gòu)。剛架中桿件的相交點(diǎn)叫作剛架的節(jié)點(diǎn)。多個(gè)桿件（多余兩根）匯交于一個(gè)節(jié)點(diǎn)復(fù)雜剛架兩根桿件匯交于一個(gè)節(jié)點(diǎn)簡(jiǎn)單剛架圖3.3共九十三頁(yè)

實(shí)際(shíjì)結(jié)構(gòu)中，大多數(shù)剛架受力變形后節(jié)點(diǎn)位移可以不計(jì)，于是計(jì)算強(qiáng)度時(shí)在節(jié)點(diǎn)處加上固定鉸支座，稱(chēng)為不可動(dòng)節(jié)點(diǎn)剛架。少數(shù)情況，對(duì)于大開(kāi)口船舶，艙口端橫梁在載荷作用下會(huì)有較大線(xiàn)位移，因此在計(jì)算強(qiáng)度時(shí)只能加彈性支座或給定一個(gè)已知線(xiàn)位移，這種剛架稱(chēng)為可動(dòng)節(jié)點(diǎn)剛架?？蓜?dòng)節(jié)點(diǎn)剛架共九十三頁(yè)

例題2：計(jì)算圖3.3所示的單甲板船在艙口部位(bùwèi)的肋骨剛架l1l2l3q1q1q2q2q3I1I1I2I2I3q1q1q2q2q3M2M2M3M3M4M2M4M5M5圖3.4a圖3.4b共九十三頁(yè)

解：對(duì)圖3.4a所示的剛架，可將其作為剛性支座上連續(xù)梁“折合”的結(jié)果,可以按照連續(xù)梁的方法求解。取其基本結(jié)構(gòu)(jiégòu)形式如圖3.4b所示，另由于此剛架結(jié)構(gòu)為左右載荷對(duì)稱(chēng)、結(jié)構(gòu)形式對(duì)稱(chēng)結(jié)構(gòu)，所以M2=M5、M3=M4,這樣就可以根據(jù)原結(jié)構(gòu)在剛性支座處轉(zhuǎn)角的連續(xù)性條件，列出兩個(gè)力法方程：共九十三頁(yè)共九十三頁(yè)

求出節(jié)點(diǎn)(jiédiǎn)彎距后，就可以繪制剛架的彎距圖。由上式可見(jiàn)，剛架的內(nèi)力與各桿的截面慣性距的比值有關(guān)，因而并不需要給出各桿件的慣性距，只要給出各桿件之間慣性距的比值即可。此外，當(dāng)肋板的剛度遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于肋骨的剛度時(shí)，即I3>>I2時(shí)，

2→0，故可得：共九十三頁(yè)l1l3q1q2I1I2

這說(shuō)明肋板可以作為肋骨的剛性(ɡānɡxìnɡ)支撐，肋骨相當(dāng)于剛性(ɡānɡxìnɡ)固定在肋板上，這也就是如圖3.5所示的肋骨剛架的計(jì)算結(jié)果。圖3.5共九十三頁(yè)

例題3：計(jì)算(jìsuàn)圖3.6所示的剛架，畫(huà)出彎距圖，不計(jì)各桿的拉壓變形。已知P=16kN，l=1m,I2/I1=61243l/2l/2lI1I2I2I1PP圖3.6a圖3.6b1443I1I2PI112I22P3M1M2M2M3M3M4M1M4共九十三頁(yè)

解：圖3.6a所示的剛架，自身處于平衡狀態(tài)，在不計(jì)剛架各桿件拉壓變形的情況下，節(jié)點(diǎn)1、2、3、4處的線(xiàn)位移為零。因此，剛架屬于不可動(dòng)節(jié)點(diǎn)剛架，取其基本結(jié)構(gòu)如圖3.6b所示。由于剛架為幾何對(duì)稱(chēng)(duìchèn)結(jié)構(gòu)，載荷也完全對(duì)稱(chēng)(duìchèn)，所以由M1=M2=M3=M4。因此未知彎距只有一個(gè)，只需根據(jù)一個(gè)節(jié)點(diǎn)的轉(zhuǎn)角連續(xù)性條件，列出一個(gè)力法方程即可。共九十三頁(yè)2.2861.7141.7142.286彎距圖共九十三頁(yè)§

3-4彈性支座(zhīzuò)與彈性固定端的實(shí)際概念1）彈性支座

上一章我們?cè)?jīng)對(duì)彈性支座和彈性固定端下(duānxià)了定義，那么彈性支座和彈性固定端的實(shí)際概念是從何而來(lái)的呢？

我們看一下這個(gè)結(jié)構(gòu)。12345II1圖3.7a圖3.7bRl1/2l1/2Rl/2l/2l/2l/2A2圖3.7c共九十三頁(yè)

我們采用力法對(duì)其進(jìn)行求解(qiújiě)，取原結(jié)構(gòu)的基本結(jié)構(gòu)如圖3.7b所示。根據(jù)在節(jié)點(diǎn)2處的位移連續(xù)條件，建立立法方程：

上式與圖3.7c所示的梁節(jié)點(diǎn)2的撓度(náodù)算式：完全相同。這說(shuō)明原結(jié)構(gòu)中的梁1-3相當(dāng)于梁4-5的彈性支座，其柔性系數(shù)A=l31/(48EI1)：柔性系數(shù)A僅與梁的尺寸和兩端支座形式有關(guān)。當(dāng)梁1-3為剛性固定時(shí)，A=l31/(192EI1)。共九十三頁(yè)注意：梁1-3之所以可以作為梁4-5的彈性支座，是因?yàn)榱?-3僅受到兩梁之間的相互作用力，而且，此力的方向與梁撓度的方向相同，力的大小與撓度的大小成正比，即v∝R。這也與上一章講到的彈性支座定義相同。顯然如果梁上還有其他載荷，那么撓度就不單僅取決于R了。因此一根梁之所以能作為其他梁的彈性支座的條件是，此梁沒(méi)有外荷重復(fù)(chóngfù)作用。共九十三頁(yè)

在計(jì)算彈性支座的柔性系數(shù)時(shí)，只需把受外載荷(zàihè)的梁和不受外荷的梁在相交點(diǎn)處拆開(kāi)，并在拆開(kāi)處加上相互作用力R，計(jì)算無(wú)外荷重作用的梁在R作用處沿R方向的撓度v，v與R的比值就是柔性系數(shù)A。事實(shí)上，由于v∝R，所以，只需假定R=1，求出撓度v，求出撓度v該撓度就是柔性系數(shù)A。

例：如圖3.8所示一空間(kōngjiān)剛架結(jié)構(gòu)，試求桿1-2剛性固定端處的彎距。已知各桿截面慣性矩均相同。共九十三頁(yè)圖3.8al/2l/2lq123456lR34562l/2l/2lq12l圖3.8b圖3.8c共九十三頁(yè)解：因桿5-3、3-4、4-6組成的平面剛架上無(wú)外荷重作用，故它可作為桿1-2的一個(gè)彈性支座(zhīzuò)，于是桿1-2就變成一端剛性固定一端自由支持在彈性支座上的單跨梁3.7b。彈性支座的柔性系數(shù)A，可通過(guò)計(jì)算圖3.7c所示剛架求得。534634R共九十三頁(yè)

利用上一節(jié)的方法可以計(jì)算得到節(jié)點(diǎn)3和4的彎距M3=M4=Rl/2,再由兩端自由支持(zhīchí)單跨梁彎曲要素表，求出在M3、M4和R共同作用下桿3-4中點(diǎn)的撓度：v=Rl3/96EI,即A=l3/96EI。

既而利用第二章介紹的初參數(shù)法求出梁在剛性(ɡānɡxìnɡ)固定端處的彎距。可以計(jì)算得到節(jié)點(diǎn)3和4的彎距M1=3ql3/22,共九十三頁(yè)2）彈性固定端

如圖3.8所示的剛架結(jié)構(gòu)（船舶上，雙甲板船結(jié)構(gòu)，上甲板橫梁與甲板間肋骨組成(zǔchénɡ)的剛架），選取其基本結(jié)構(gòu)如圖3.8b。根據(jù)原結(jié)構(gòu)在節(jié)點(diǎn)2處相鄰兩桿轉(zhuǎn)角連續(xù)性條件，列出力法方程。3l1I1M12圖3.8Alq1l1I1I12alq1Ilq1I23bcM共九十三頁(yè)

圖c所示的彈性(tánxìng)固定端表達(dá)式為：

這兩個(gè)式子完全相同。由此可見(jiàn)，原結(jié)構(gòu)中甲板間肋骨（桿1-2）相當(dāng)于橫梁（桿2-3）的彈性固定端。彈性固定端的柔性(róuxìnɡ)系數(shù)A

=l1/3EI1,：A

僅與桿1-2尺寸及其支座形式有關(guān)。若桿1-2下端為剛性固定，則A

=l1/4EI1。共九十三頁(yè)注意幾點(diǎn)：（1）甲板間肋骨（1-2桿）能夠作為橫梁（桿2-3）的彈性固定端是因?yàn)閷⑺鼈儾痖_(kāi)后，1-2桿的1端僅受未知彎距M作用，且此彎距與該端的轉(zhuǎn)角始終同方向成正比，即有∝M。這也與上一章(yīzhānɡ)講到的彈性固定端定義相同。顯然如果梁上還有其他載荷，那么轉(zhuǎn)角就不單僅取決于M了。由此可知，實(shí)際結(jié)構(gòu)中桿件的彈性固定端是與其相鄰的不受外載荷的桿件作用的結(jié)果；換言之，受載桿件與不受載桿件相連時(shí)，不受載桿件是受載桿件的彈性固定端。共九十三頁(yè)

（2）為了計(jì)算彈性固定端的柔性系數(shù)A

，我們只需把受外載荷桿與不受外載荷桿在他們相連處切開(kāi)并加上相互作用的未知彎距M，計(jì)算無(wú)外載桿在彎距M作用處的轉(zhuǎn)角，與M的比值就是柔性系數(shù)A

。由于在計(jì)算柔性系數(shù)時(shí)M的大小不需知道(zhīdào)，所以只需假定M＝1，求出轉(zhuǎn)角，該轉(zhuǎn)角就是柔性系數(shù)A

的值。（3）柔性系數(shù)的數(shù)值主要取決于無(wú)載桿件的長(zhǎng)度與斷面慣性距，而與無(wú)載桿件端點(diǎn)的固定情況關(guān)系不大。

共九十三頁(yè)

（4）在實(shí)際(shíjì)船體結(jié)構(gòu)中，甲板間肋骨的下端還與下甲板橫梁及主肋骨相連接，如圖3.9所示。它們將影響甲板間肋骨下端的固定程度。實(shí)際上甲板間肋骨下端的固定是介于自由支持和剛性固定之間的某種情況。數(shù)值介于l1/3EI1,

和l1/4EI1之間。數(shù)值范圍不大，在近似計(jì)算時(shí)，可不必考慮下甲板橫梁及主肋骨對(duì)上甲板橫梁的影響。

結(jié)論：在桿系結(jié)構(gòu)(jiégòu)計(jì)算中，如果要計(jì)算受外載荷的桿件，則可以只考慮與它直接相連的不受外載荷的桿件對(duì)它的影響，無(wú)須考慮不與它直接相連的不受外載荷的桿件對(duì)它的影響。圖3.9l1l2l1l212345II1I2I3q共九十三頁(yè)例：將圖3-10所示的剛架中桿1-2化為單跨梁來(lái)計(jì)算，試確定其彈性固定端的(duāndì)柔性系數(shù)A

。1234ll2l1II2I1lIqq234l2l1M＝1234l2l1M2M1（a）（b）圖3.10（c）M2M3共九十三頁(yè)解：由前所述，將原結(jié)構(gòu)在節(jié)點(diǎn)2處拆開(kāi)為桿1-2（受外載荷桿）和桿3-2-4（不受外載桿），并假定拆開(kāi)處的彎距M=1（圖(b)所示）。在將桿3-2-4從節(jié)點(diǎn)2處拆開(kāi)為兩根單跨梁，在拆開(kāi)處分別(fēnbié)加上未知彎距M1和M2（圖(c)所示）?，F(xiàn)以圖b、c為研究對(duì)象，節(jié)點(diǎn)2處有彎距M=1的作用，依據(jù)節(jié)點(diǎn)2處彎距平衡條件，得：共九十三頁(yè)根據(jù)節(jié)點(diǎn)2處轉(zhuǎn)角(zhuǎnjiǎo)連續(xù)性條件，列力法方程：根據(jù)節(jié)點(diǎn)(jiédiǎn)3處轉(zhuǎn)角為0，列力法方程：共九十三頁(yè)這說(shuō)明(shuōmíng)彈性固定端的剛性系數(shù)等于桿3-2單獨(dú)作用時(shí)的剛性系數(shù)和桿2-4單獨(dú)作用時(shí)的剛性系數(shù)之和共九十三頁(yè)3）彈性固定端的固定系數(shù)

由上面的分析可知，如果桿系結(jié)構(gòu)所有的桿件上都有外載荷作用，那么其中任一根桿件都不能作為其他桿件的彈性固定端。因?yàn)槿嵝韵禂?shù)無(wú)法求出。這時(shí)為了實(shí)際結(jié)構(gòu)的分析需要，人們又引入了一個(gè)關(guān)于彈性固定端固定程度的新定義，叫“固定系數(shù)”，它是彈性固定端斷面的彎距與假想為剛性固定時(shí)的斷面彎距之比，常用(chánɡyònɡ)表示：（3-6）共九十三頁(yè)3）彈性固定端的固定系數(shù)

根據(jù)此定義

＝0，即Melastic＝0；表示自由支持(zhīchí)端，若

＝1，即

Melastic

＝Mrigid；表示剛性固定端。因此在0到1變化。

雖然和A

都用來(lái)表示彈性固定端的系數(shù)，但是在定義時(shí)，并沒(méi)有要求固定端的轉(zhuǎn)角一定與其彎距成正比。因此(yīncǐ)用定義的彈性固定端固定系數(shù)和用A

定義的彈性固定端的意義并不相同。換言之，如果一根梁的固定端的轉(zhuǎn)角與彎距不成正比，則A

無(wú)意義，但存在。共九十三頁(yè)§

3-5彈性支座上連續(xù)(liánxù)梁計(jì)算

上一節(jié)應(yīng)用彈性支座的概念可將某些板架結(jié)構(gòu)化為具有彈性支座的連續(xù)梁。在船體結(jié)構(gòu)計(jì)算中，還會(huì)遇到彈性支座上連續(xù)梁的的計(jì)算問(wèn)題。比如，船舶在建造過(guò)程中，將船體擱置在船塢內(nèi)的墩木上，圖3-11a所示，墩木對(duì)船體的支持就相當(dāng)于彈性支座。由于墩木的柔性系數(shù)可能不相同，船體橫截面的慣性距沿船長(zhǎng)又是變化的，因此(yīncǐ)船體擱置在墩木上就可近似地化為圖3-11b所示的彈性支座上的連續(xù)梁。共九十三頁(yè)§

3-5彈性(tánxìng)支座上連續(xù)梁計(jì)算a1a2P1P2(a)共九十三頁(yè)M1=P1a1M2=P2a2I1A1I2A2I3A3I4A4I5A5I6A6I7A7I8A8I9A9(b)(圖3-11)

一般起見(jiàn)，我們討論如圖3-12a所示的彈性支座(zhīzuò)梁，它是n次超靜定結(jié)構(gòu)。A1I1A1i-1A2Ii-1Ai-1IiAii+1Ai+1In-1An-1InAnq1q1q1q1l112in-1nli-1liln-1An(圖3-12a)共九十三頁(yè)

選取用力法計(jì)算的基本結(jié)構(gòu)如圖3-12b所示，它與彈性(tánxìng)支座上連續(xù)梁的基本結(jié)構(gòu)不同之處在于各支座處還存在撓度v1、v2，···vn。故在建立支座處轉(zhuǎn)角連續(xù)方程時(shí)，應(yīng)考慮因相鄰支座處的撓度不同而引起的轉(zhuǎn)角。1A1A

1M1q1v1v2A22A33i-1Ai-1vi－1qi-1viqii+1Ai+1Aiivi+1vn-1vnAn-1n-1InAn1AnA

n(圖3-12b)共九十三頁(yè)

由各支座處轉(zhuǎn)角(zhuǎnjiǎo)連續(xù)性，列力法方程：

支座(zhīzuò)1(3-8)

中間支座：

式中i=2,3,…,n-1：

支座n(3-8)(3-8)共九十三頁(yè)

式中在紅框內(nèi)的為撓度引起(yǐnqǐ)的轉(zhuǎn)角項(xiàng)。其他各項(xiàng)與剛性支座上連續(xù)梁相同：

由以上n個(gè)方程并不能求解未知彎距M1，M2,…,Mn，因?yàn)榉匠讨懈髦ё帗隙葀1、v2，···vn也是未知的。但是我們可以通過(guò)支座的柔性系數(shù)(xìshù)和支反力來(lái)求解。支座反力與支座處梁的剪力有關(guān)，而剪力又與梁上的載荷和未知彎距有關(guān)。下面就來(lái)尋求這些關(guān)系。共九十三頁(yè)

將單跨梁取出，去掉支座(zhīzuò)以截面處剪力代之如圖3-13所示，根據(jù)靜力平衡條件，列靜力平衡方程。M1M2q1N1,1N2,1l1Mi-1Miqi-1Ni-1,i-1Ni,i-1l-1qi+1MiMi+1Ni,iNi＋1,iliMn-1Mnqn-1Nn-1,n-1Nn-1,nln-1(圖3-13)左端面上(miànshànɡ)剪力右端面上剪力(3-9)共九十三頁(yè)

Ni(qi)表示第i跨梁上所有外載荷(zàihè)引起的梁左端截面上的剪力(向下為正)；

Ni(qi-1)表示第i-1跨梁上所有外載荷引起的梁右端截面上的剪力(向上為正)；

彈性支座上連續(xù)(liánxù)梁的支反力（向上為正）與該支座處梁截面上剪力的關(guān)系為：(3-10)

根據(jù)彈性支座的定義可知：(3-11)共九十三頁(yè)

將式(3-9)代入到式(3-10),在代入到(3-11)，得：(3-12)

式(3-8)和(3-12)共有(ɡònɡyǒu)2n個(gè)方程，可解出2n個(gè)未知量M1，M2，…,M3。和v1,v2,…,vn

利用式(3-12)消去式(3-8)中所有的撓度，便可得到用矩陣(jǔzhèn)表示的方程：共九十三頁(yè)(3-13)式中系數(shù)矩陣是對(duì)稱(chēng)(duìchèn)矩陣，

ij=ji,每個(gè)

ji和

ip（j,i=1,2,..,n）的具體表達(dá)式見(jiàn)課本P47和P47頁(yè)。共九十三頁(yè)式（3-13）從第三式起至倒數(shù)第三式止，每一式中僅包含五個(gè)未知彎距，故稱(chēng)為五彎距方程。數(shù)學(xué)上也稱(chēng)為五對(duì)角方程。在連續(xù)(liánxù)梁的彈性支座很多時(shí)，計(jì)算一般采用電子計(jì)算機(jī)編程計(jì)算。例1：求圖3-14所示的階梯變截面(jiémiàn)梁中點(diǎn)撓度v2。123llI2I123llI2IA=

(圖3-14)IRRM113v22M2M2R1R2(a)(b)(c)RN21N232共九十三頁(yè)

解：在梁的截面突變(tūbiàn)處增加一個(gè)柔性系數(shù)為無(wú)窮大的彈性支座，這樣階梯變截面梁就變成彈性支座上的連續(xù)梁(3-14b)。然后我們就可以選取用力法計(jì)算的基本結(jié)構(gòu)(3-14c)所示。

根據(jù)連續(xù)梁在節(jié)點(diǎn)1處轉(zhuǎn)角(zhuǎnjiǎo)為0和節(jié)點(diǎn)2處轉(zhuǎn)角的連續(xù)性條件，列力法方程：

因A=

，所以支座反力等于零，利用式（3-9）和（3-10）注意節(jié)點(diǎn)2上有集中力R，得：共九十三頁(yè)聯(lián)立求解(qiújiě)得：共九十三頁(yè)例2：求圖3-15所示的彈性(tánxìng)支座上的連續(xù)梁，試求其固定端彎距和彈性(tánxìng)支座上的力。A＝11l3/(216EI)。4IIIl4llAAq12344IIIl4lAA123l234v2M1M2M2M3=

M2M4=

M1(圖3-15)(a)(b)共九十三頁(yè)解：考慮結(jié)構(gòu)的對(duì)稱(chēng)性，選取(xuǎnqǔ)基本結(jié)構(gòu)如圖3-15b所示。根據(jù)節(jié)點(diǎn)1處的轉(zhuǎn)角為零和節(jié)點(diǎn)2處的轉(zhuǎn)角連續(xù)性條件及v2=AR2,列出三個(gè)力法方程：聯(lián)立求解(qiújiě)得：共九十三頁(yè)§

3-5簡(jiǎn)單(jiǎndān)板架計(jì)算板架的節(jié)點(diǎn)(jiédiǎn)雙向交叉梁系主向梁（數(shù)目較多）交叉構(gòu)件共九十三頁(yè)

如圖所示船體結(jié)構(gòu)中，相互交叉(jiāochā)的梁系叫做板架。板架受垂直于桿系平面的載荷作用而彎曲，板架中梁的交叉(jiāochā)點(diǎn)又叫做板架的節(jié)點(diǎn)。船體結(jié)構(gòu)中的板架為雙向正交梁系。其中數(shù)目較多的叫主向梁，與其正交數(shù)目較少的為交叉構(gòu)件。

用力(yònglì)法計(jì)算板架時(shí)，步驟如下：

1、將主向梁和交叉構(gòu)件在相交點(diǎn)處拆開(kāi)，代之以相互作用的集中力，（在忽略梁的扭轉(zhuǎn)的情況下）；

2、利用拆開(kāi)