2025千題百煉-高考數(shù)學(xué)100個(gè)熱點(diǎn)問(wèn)題（二）：第57煉 放縮法證明數(shù)列不等式含答案

2025千題百煉——高考數(shù)學(xué)100個(gè)熱點(diǎn)問(wèn)題（二）：第57煉放縮法證明數(shù)列不等式含答案第57煉放縮法證明數(shù)列不等式一、基礎(chǔ)知識(shí)：在前面的章節(jié)中，也介紹了有關(guān)數(shù)列不等式的內(nèi)容，在有些數(shù)列的題目中，要根據(jù)不等式的性質(zhì)通過(guò)放縮，將問(wèn)題化歸為我們熟悉的內(nèi)容進(jìn)行求解。本節(jié)通過(guò)一些例子來(lái)介紹利用放縮法證明不等式的技巧1、放縮法證明數(shù)列不等式的理論依據(jù)——不等式的性質(zhì)：（1）傳遞性：若，則（此性質(zhì)為放縮法的基礎(chǔ)，即若要證明，但無(wú)法直接證明，則可尋找一個(gè)中間量，使得，從而將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為只需證明即可）（2）若，則，此性質(zhì)可推廣到多項(xiàng)求和：若，則:（3）若需要用到乘法，則對(duì)應(yīng)性質(zhì)為：若，則，此性質(zhì)也可推廣到多項(xiàng)連乘，但要求涉及的不等式兩側(cè)均為正數(shù)注：這兩條性質(zhì)均要注意條件與結(jié)論的不等號(hào)方向均相同2、放縮的技巧與方法：（1）常見(jiàn)的數(shù)列求和方法和通項(xiàng)公式特點(diǎn)：①等差數(shù)列求和公式：，（關(guān)于的一次函數(shù)或常值函數(shù)）②等比數(shù)列求和公式：，（關(guān)于的指數(shù)類(lèi)函數(shù)）③錯(cuò)位相減：通項(xiàng)公式為“等差等比”的形式④裂項(xiàng)相消：通項(xiàng)公式可拆成兩個(gè)相鄰項(xiàng)的差，且原數(shù)列的每一項(xiàng)裂項(xiàng)之后正負(fù)能夠相消，進(jìn)而在求和后式子中僅剩有限項(xiàng)（2）與求和相關(guān)的不等式的放縮技巧：①在數(shù)列中，“求和看通項(xiàng)”，所以在放縮的過(guò)程中通常從數(shù)列的通項(xiàng)公式入手②在放縮時(shí)要看好所證不等式中不等號(hào)的方向，這將決定對(duì)通項(xiàng)公式是放大還是縮?。☉?yīng)與所證的不等號(hào)同方向）③在放縮時(shí)，對(duì)通項(xiàng)公式的變形要向可求和數(shù)列的通項(xiàng)公式靠攏，常見(jiàn)的是向等比數(shù)列與可裂項(xiàng)相消的數(shù)列進(jìn)行靠攏。④若放縮后求和發(fā)現(xiàn)放“過(guò)”了，即與所證矛盾，通常有兩條道路選擇：第一個(gè)方法是微調(diào)：看能否讓數(shù)列中的一些項(xiàng)不動(dòng)，其余項(xiàng)放縮。從而減小放縮的程度，使之符合所證不等式；第二個(gè)方法就是推翻了原有放縮，重新進(jìn)行設(shè)計(jì)，選擇放縮程度更小的方式再進(jìn)行嘗試。（3）放縮構(gòu)造裂項(xiàng)相消數(shù)列與等比數(shù)列的技巧：①裂項(xiàng)相消：在放縮時(shí)，所構(gòu)造的通項(xiàng)公式要具備“依項(xiàng)同構(gòu)”的特點(diǎn)，即作差的兩項(xiàng)可視為同一數(shù)列的相鄰兩項(xiàng)（或等距離間隔項(xiàng)）②等比數(shù)列：所面對(duì)的問(wèn)題通常為“常數(shù)”的形式，所構(gòu)造的等比數(shù)列的公比也要滿足，如果題目條件無(wú)法體現(xiàn)出放縮的目標(biāo)，則可從所證不等式的常數(shù)入手，，常數(shù)可視為的形式，然后猜想構(gòu)造出等比數(shù)列的首項(xiàng)與公比，進(jìn)而得出等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，再與原通項(xiàng)公式進(jìn)行比較，看不等號(hào)的方向是否符合條件即可。例如常數(shù)，即可猜想該等比數(shù)列的首項(xiàng)為，公比為，即通項(xiàng)公式為。注：此方法會(huì)存在風(fēng)險(xiǎn)，所猜出的等比數(shù)列未必能達(dá)到放縮效果，所以是否選擇利用等比數(shù)列進(jìn)行放縮，受數(shù)列通項(xiàng)公式的結(jié)構(gòu)影響（4）與數(shù)列中的項(xiàng)相關(guān)的不等式問(wèn)題：①此類(lèi)問(wèn)題往往從遞推公式入手，若需要放縮也是考慮對(duì)遞推公式進(jìn)行變形②在有些關(guān)于項(xiàng)的不等式證明中，可向求和問(wèn)題進(jìn)行劃歸，即將遞推公式放縮變形成為可“累加”或“累乘”的形式，即或（累乘時(shí)要求不等式兩側(cè)均為正數(shù)），然后通過(guò)“累加”或“累乘”達(dá)到一側(cè)為，另一側(cè)為求和的結(jié)果，進(jìn)而完成證明3、常見(jiàn)的放縮變形：（1），其中：可稱(chēng)為“進(jìn)可攻，退可守”，可依照所證不等式不等號(hào)的方向進(jìn)行選擇。注：對(duì)于，可聯(lián)想到平方差公式，從而在分母添加一個(gè)常數(shù)，即可放縮為符合裂項(xiàng)相消特征的數(shù)列，例如：，這種放縮的尺度要小于（1）中的式子。此外還可以構(gòu)造放縮程度更小的，如：（2），從而有：注：對(duì)于還可放縮為：（3）分子分母同加常數(shù)：此結(jié)論容易記混，通常在解題時(shí)，這種方法作為一種思考的方向，到了具體問(wèn)題時(shí)不妨先構(gòu)造出形式再驗(yàn)證不等關(guān)系。（4）可推廣為：二、典型例題：例1：已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，且（1）求證：數(shù)列是等差數(shù)列，并求出的通項(xiàng)公式（2）設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：解：（1）即即，由令可得：，驗(yàn)證符合上式（2）由（1）得：可知當(dāng)時(shí)，不等式得證例2：設(shè)數(shù)列滿足：，設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式（2）求證：對(duì)任意的且，有解：（1）為公比是的等比數(shù)列在中，令，是公比為的等比數(shù)列（2）證明：例3：已知正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且（1）求證：數(shù)列是等差數(shù)列（2）記數(shù)列，證明：解：（1）為等差數(shù)列（2）思路：先利用（1）可求出的公式進(jìn)而求出，則，考慮進(jìn)行放縮求和，結(jié)合不等號(hào)的方向向裂項(xiàng)相消的形式進(jìn)行放縮。解：令代入可得：即由為等差數(shù)列可得：考慮先證時(shí)時(shí)，再證綜上所述：小煉有話說(shuō)：本題在證明中用到一個(gè)常見(jiàn)的根式放縮：例4：已知數(shù)列滿足（1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列，并求出數(shù)列的通項(xiàng)公式（2）設(shè)，求證：解：（1）是公比為的等比數(shù)列（2）思路：，無(wú)法直接求和，所以考慮放縮成為可求和的通項(xiàng)公式（不等號(hào)：），若要放縮為裂項(xiàng)相消的形式，那么需要構(gòu)造出“順序同構(gòu)”的特點(diǎn)。觀察分母中有，故分子分母通乘以，再進(jìn)行放縮調(diào)整為裂項(xiàng)相消形式。解：而所以小煉有話說(shuō)：（1）本題先確定放縮的類(lèi)型，向裂項(xiàng)相消放縮，從而按“依序同構(gòu)”的目標(biāo)進(jìn)行構(gòu)造，在構(gòu)造的過(guò)程中注意不等號(hào)的方向要與所證一致。（2）在求和過(guò)程中需要若干項(xiàng)不動(dòng)，其余進(jìn)行放縮，從而對(duì)求和的項(xiàng)數(shù)會(huì)有所要求（比如本題中才會(huì)有放縮的情況），對(duì)于較少項(xiàng)數(shù)要進(jìn)行驗(yàn)證。例：已知數(shù)列的前項(xiàng)和，且（1）求（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和（3）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和，且滿足，求證：解：（1）在中，令可得：（2）①②①②可得：是公差為6的等差數(shù)列（3）由（2）可得：例6：已知數(shù)列滿足（1）試判斷數(shù)列是否為等比數(shù)列，并說(shuō)明理由（2）設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：對(duì)任意的解：（1）為公比是的等比數(shù)列（2）思路：首先由（1）可求出的通項(xiàng)公式，對(duì)于可發(fā)現(xiàn)為奇數(shù)時(shí)，，為偶數(shù)時(shí)，，結(jié)合通項(xiàng)公式可將其寫(xiě)成，從而求出，無(wú)法直接求和，所以考慮對(duì)通項(xiàng)公式進(jìn)行放縮，可聯(lián)想到等比數(shù)列，進(jìn)而，求和后與所證不等式右端常數(shù)比較后再進(jìn)行調(diào)整（需前兩項(xiàng)不動(dòng)）即可。解：，由（1）可得：而當(dāng)時(shí)，因?yàn)闉檎?xiàng)數(shù)列例7：已知數(shù)列滿足：，且（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式（2）證明：對(duì)于一切正整數(shù)，均有解：（1）設(shè)即為公比是的等比數(shù)列而（2）思路：所證不等式可化簡(jiǎn)為：，由于是連乘形式，所以考慮放縮為分子分母可相消的特點(diǎn)，觀察分母的形式為，所以結(jié)合不等號(hào)方向，將分子向該形式轉(zhuǎn)化：，再根據(jù)右邊的值對(duì)左邊放縮的程度進(jìn)行調(diào)整即可。證明：所證不等式為：等價(jià)于證明：設(shè)即不等式得證小煉有話說(shuō)：（1）對(duì)于一側(cè)是連乘形式的表達(dá)式，在放縮時(shí)可考慮通過(guò)分子分母相消達(dá)到化簡(jiǎn)式子的目的。與裂項(xiàng)相消相似按照“依序同構(gòu)”的原則構(gòu)造。（2）本題中用到了分式放縮的常用方法：通過(guò)分子分母加上相同的數(shù)達(dá)到放縮目的，但要注意不等號(hào)的方向（建議驗(yàn)證），常用的放縮公式為：（分子小與分母），（分子大于分母）例8：已知函數(shù)（1）若函數(shù)在處切線斜率為，，已知，求證：（2）在（1）的條件下，求證：解：（1）整理后可得：下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)時(shí)，成立假設(shè)成立，則時(shí)時(shí)，不等式成立（2）由（1）可知例9：已知數(shù)列的各項(xiàng)均為正值，對(duì)，，且（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式（2）當(dāng)且時(shí)，證明對(duì)，都有成立解：（1）由可得：為公比是的等比數(shù)列（2）思路：所證不等式為：左邊含有兩個(gè)變量，考慮通過(guò)消元簡(jiǎn)化所證不等式。設(shè)，則只需證明：，易知為遞增數(shù)列。所以只需證明，即，左邊共項(xiàng)，結(jié)合的特點(diǎn)可考慮將項(xiàng)分為3組：，再求和即證不等式解：所證不等式由（1）可得：只需證：設(shè)為遞增數(shù)列只需證而例10：數(shù)列是公差不為零的等差數(shù)列，，數(shù)列滿足：（1）當(dāng)時(shí)，求證：（2）當(dāng)且時(shí)，為等比數(shù)列①求②當(dāng)取最小值時(shí)，求證：解：（1）由可得：兩式相除可得：（2）①思路：本題的突破口在于既在等差數(shù)列中，又在等比數(shù)列中，從而在兩個(gè)不同風(fēng)格的數(shù)列中均能夠用進(jìn)行表示，然后便得到與的關(guān)系式，抓住的特點(diǎn)即可求出的值為等差數(shù)列另一方面，為等比數(shù)列可視為以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列前項(xiàng)和能夠被6整除且或經(jīng)檢驗(yàn)：或均符合題意②思路：所證不等式兩側(cè)均為數(shù)列求和的形式，所以先觀察兩側(cè)是否有能直接求和的式子，從而化簡(jiǎn)一側(cè)的表達(dá)式，由（1）和（2）①可知，，，所以對(duì)于右側(cè)，顯然無(wú)法直接找到求和方法。而對(duì)于，雖然沒(méi)有通項(xiàng)公式，但可對(duì)向可求和的方式進(jìn)行變形，得到，從而可想到利用裂項(xiàng)相消的方式進(jìn)行求和，得到。對(duì)于右側(cè)只能考慮進(jìn)行放縮，針對(duì)的特點(diǎn)可向等比數(shù)列靠攏，結(jié)合不等號(hào)方向可得：。所以。于是所證的不等式就變?yōu)橹恍枳C明，即證明，考慮對(duì)進(jìn)行放縮，抓住這個(gè)特點(diǎn)，由已知可得為遞增數(shù)列，則，但右側(cè)為，無(wú)法直接放縮證明，所以要對(duì)的放縮進(jìn)行調(diào)整，計(jì)算出可得，進(jìn)而，但此時(shí)只能證明時(shí)，不等式成立。對(duì)于有限的項(xiàng)，逐次驗(yàn)證即可。由（1）可得：當(dāng)時(shí)，只需證明：即可即證明：由可知為遞增數(shù)列由可得：時(shí)，時(shí)，當(dāng)時(shí)，可知成立得證時(shí)，成立當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，綜上所述：恒成立第58煉數(shù)學(xué)歸納法一、基礎(chǔ)知識(shí)：1、數(shù)學(xué)歸納法適用的范圍：關(guān)于正整數(shù)的命題（例如數(shù)列，不等式，整除問(wèn)題等），則可以考慮使用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明2、第一數(shù)學(xué)歸納法：通過(guò)假設(shè)成立，再結(jié)合其它條件去證成立即可。證明的步驟如下：（1）歸納驗(yàn)證：驗(yàn)證（是滿足條件的最小整數(shù)）時(shí)，命題成立（2）歸納假設(shè)：假設(shè)成立，證明當(dāng)時(shí)，命題也成立（3）歸納結(jié)論：得到結(jié)論：時(shí)，命題均成立3、第一歸納法要注意的地方：（1）數(shù)學(xué)歸納法所證命題不一定從開(kāi)始成立，可從任意一個(gè)正整數(shù)開(kāi)始，此時(shí)歸納驗(yàn)證從開(kāi)始（2）歸納假設(shè)中，要注意，保證遞推的連續(xù)性（3）歸納假設(shè)中的，命題成立，是證明命題成立的重要條件。在證明的過(guò)程中要注意尋找與的聯(lián)系4、第二數(shù)學(xué)歸納法：在第一數(shù)學(xué)歸納法中有一個(gè)細(xì)節(jié)，就是在假設(shè)命題成立時(shí)，可用的條件只有，而不能默認(rèn)其它的時(shí)依然成立。第二數(shù)學(xué)歸納法是對(duì)第一歸納法的補(bǔ)充，將歸納假設(shè)擴(kuò)充為假設(shè)，命題均成立，然后證明命題成立?？墒褂玫臈l件要比第一歸納法多，證明的步驟如下：（1）歸納驗(yàn)證：驗(yàn)證（是滿足條件的最小整數(shù)）時(shí)，命題成立（2）歸納假設(shè)：假設(shè)成立，證明當(dāng)時(shí)，命題也成立（3）歸納結(jié)論：得到結(jié)論：時(shí)，命題均成立二、典型例題例1：已知等比數(shù)列的首項(xiàng)，公比，設(shè)是它的前項(xiàng)和，求證：思路：根據(jù)等比數(shù)列求和公式可化簡(jiǎn)所證不等式：，時(shí)，不等式為；當(dāng)時(shí)，所證不等式為，可明顯看到與中，兩個(gè)不等式的聯(lián)系，從而想到利用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明證明：，所證不等式為：，下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：（1）驗(yàn)證：時(shí)，左邊右邊，不等式成立（2）假設(shè)時(shí)，不等式成立，則時(shí)，所以時(shí)，不等式成立，均有小煉有話說(shuō)：數(shù)學(xué)歸納法的證明過(guò)程，關(guān)鍵的地方在于尋找所證與條件之間的聯(lián)系，一旦找到聯(lián)系，則數(shù)學(xué)歸納法即可使用例2（2015，和平模擬）：已知數(shù)列滿足，其前項(xiàng)和，且（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式（2）設(shè)，并記為數(shù)列的前項(xiàng)和，求證：解：（1）①②①②可得：所以兩邊同除以可得：是公差為的等差數(shù)列，在中令可得：（舍）或（2）思路：利用（1）可求出和，從而簡(jiǎn)化不等式可得：，若直接證明則需要進(jìn)行放縮，難度較大。而如果選擇數(shù)學(xué)歸納法證明，則目標(biāo)相對(duì)明確，難度較小。解：由（1）可得：所證不等式為：下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)時(shí)，不等式為成立假設(shè)當(dāng)時(shí)成立，則時(shí)，所以只需證：即可，嘗試進(jìn)行等價(jià)變形：，所證不等式為：例3：設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足，且（1）求（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式解：（1）在中，時(shí)，有時(shí)，，另有，解得：（2）思路：由可得：，兩式相減可得：，從遞推公式很難直接求出通項(xiàng)公式。觀察，可猜想，從而考慮“先猜再證”利用數(shù)學(xué)歸納法證明：證明：由猜想，下面用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明：（1）驗(yàn)證當(dāng)時(shí)，符合題意（2）假設(shè)時(shí)，，則時(shí)，則所以，滿足通項(xiàng)公式例4：在數(shù)列中，已知，且，求證：證明：用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)時(shí)，，命題成立假設(shè)時(shí)，命題成立，即，則時(shí)考慮，即時(shí)，均有例5：已知數(shù)列滿足，當(dāng)時(shí)，求證：數(shù)列的第項(xiàng)能被3整除證明：（數(shù)學(xué)歸納法）（1）當(dāng)時(shí)，，能被3整除（2）假設(shè)當(dāng)時(shí)，能被3整除，那么當(dāng)時(shí)能被3整除，能被3整除能被3整除即時(shí)，命題成立對(duì)一切的，均能被3整除例6：設(shè)正整數(shù)數(shù)列滿足：，且對(duì)于任何，由（1）求（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式解：（1）思路：雖然所給條件為不等式，但因?yàn)闉檎麛?shù)，所以依然可由不等式確定的值，可先解出范圍，再求出滿足的整數(shù)即可。由已知不等式得：當(dāng)時(shí)，即解得：，則當(dāng)時(shí)，即解得：，則綜上：（2）思路：由可猜想，且條件為遞推的不等式，剛好能體現(xiàn)與的聯(lián)系。所以考慮利用數(shù)學(xué)歸納法證明證明：由，猜想，下面用數(shù)學(xué)歸納法證明的情況：驗(yàn)證：時(shí)，符合通項(xiàng)公式假設(shè)時(shí)，，則時(shí)，而因?yàn)闀r(shí)，，（均在時(shí)，取到1）所以時(shí)，，命題成立而均符合通項(xiàng)公式小煉有話說(shuō)：（1）利用整數(shù)的離散性，在求整數(shù)的值時(shí)，不僅可用等式（方程）去解，也可用不等式先求出范圍，再取范圍內(nèi)的整數(shù)，同樣可以達(dá)到求值的目的（2）為什么對(duì)開(kāi)始進(jìn)行數(shù)學(xué)歸納法而不是從開(kāi)始？因?yàn)樵冢袝r(shí)，不能滿足條件。所以也許一開(kāi)始入手是從開(kāi)始證明，但在證明過(guò)程中發(fā)現(xiàn)條件的對(duì)變量取值有所限制，則要進(jìn)行適當(dāng)?shù)恼{(diào)整。例7：已知數(shù)列滿足，其中常數(shù)（1）若，求的取值范圍（2）若，求證：對(duì)任意的，都有解：（1）由已知可得：時(shí)或（2）思路：條件給出遞推公式，故考慮利用的范圍去推出的范圍，可嘗試數(shù)學(xué)歸納法解：（數(shù)學(xué)歸納法）當(dāng)時(shí)，成立假設(shè)時(shí)，命題成立，即，則當(dāng)時(shí)，，即時(shí)，命題成立所以時(shí)，均有例8：已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且（1）求（2）設(shè)滿足：且，求證：解：（1）①②①②從第二項(xiàng)開(kāi)始成等差數(shù)列令則，代入可得：時(shí)，（2）解：由（1）可得所證不等式為：，考慮使用數(shù)學(xué)歸納法：當(dāng)時(shí)，假設(shè)時(shí)，命題成立，即，則時(shí)而所以時(shí)，命題成立時(shí)，例9：已知的三邊長(zhǎng)為有理數(shù)（1）求證：是有理數(shù)（2）求證：對(duì)任意的正整數(shù)，是有理數(shù)證明：（1）又，即是有理數(shù)（2）思路：題目條件很少，無(wú)法直接入手，所以考慮利用數(shù)學(xué)歸納法制造條件并