自考離散數(shù)學(xué)命題演算筆記

自考離散數(shù)學(xué)命題演算筆記一、命題演算的基本概念1.命題：可以明確判斷真假的陳述句稱為命題。2.命題符號：用字母（如p、q、r等）表示的命題稱為命題符號。3.命題演算：研究命題符號之間關(guān)系的數(shù)學(xué)分支。二、命題演算的基本運算1.否定（?）：表示對命題的否定，如?p表示對p的否定。2.合?。ā模罕硎緝蓚€命題的合取，如p∧q表示p和q同時為真。3.析?。ā牛罕硎緝蓚€命題的析取，如p∨q表示p和q至少有一個為真。4.蘊含（→）：表示兩個命題的蘊含關(guān)系，如p→q表示如果p為真，則q必為真。5.雙條件（?）：表示兩個命題的雙條件關(guān)系，如p?q表示p和q同時為真或同時為假。三、命題演算的基本法則1.雙重否定律：??p=p2.假言三段論：p→q,?q→?p3.假言換位：p→q??q→?p4.交換律：p∧q?q∧p,p∨q?q∨p5.結(jié)合律：p∧(q∧r)?(p∧q)∧r,p∨(q∨r)?(p∨q)∨r6.分配律：p∧(q∨r)?(p∧q)∨(p∧r),p∨(q∧r)?(p∨q)∧(p∨r)7.吸收律：p∧(p∨q)?p,p∨(p∧q)?p8.德摩根律：?(p∧q)??p∨?q,?(p∨q)??p∧?q9.互補律：p∨?p?1,p∧?p?010.等冪律：p∧p?p,p∨p?p自考離散數(shù)學(xué)命題演算筆記四、命題邏輯函數(shù)命題邏輯函數(shù)是指對命題進行運算的函數(shù)，它將命題作為輸入，輸出也是一個命題。常見的命題邏輯函數(shù)包括：1.常函數(shù)：常函數(shù)的輸出是一個固定的命題，無論輸入是什么。例如，常真函數(shù)T的輸出始終為真，常假函數(shù)F的輸出始終為假。2.投影函數(shù)：投影函數(shù)的輸出是其輸入之一。例如，p的投影函數(shù)為p。3.合取函數(shù)：合取函數(shù)的輸出是其輸入的合取。例如，p∧q的合取函數(shù)為p∧q。4.析取函數(shù)：析取函數(shù)的輸出是其輸入的析取。例如，p∨q的析取函數(shù)為p∨q。5.否定函數(shù)：否定函數(shù)的輸出是其輸入的否定。例如，?p的否定函數(shù)為?p。6.蘊含函數(shù)：蘊含函數(shù)的輸出是其輸入的蘊含。例如，p→q的蘊含函數(shù)為p→q。7.雙條件函數(shù)：雙條件函數(shù)的輸出是其輸入的雙條件。例如，p?q的雙條件函數(shù)為p?q。五、范式范式是命題邏輯中的一種標(biāo)準(zhǔn)形式，用于簡化命題邏輯表達式。常見的范式包括：1.合取范式（CNF）：將命題邏輯表達式轉(zhuǎn)換為多個合取項的合取。例如，p∧(q∨r)的合取范式為(p∧q)∨(p∧r)。2.析取范式（DNF）：將命題邏輯表達式轉(zhuǎn)換為多個析取項的析取。例如，(p∧q)∨(p∧r)的析取范式為p∧(q∨r)。六、等價關(guān)系等價關(guān)系是命題邏輯中的一種關(guān)系，表示兩個命題邏輯表達式在邏輯上等價。常見的等價關(guān)系包括：1.雙重否定等價：p???p2.德摩根等價：?(p∧q)??p∨?q,?(p∨q)??p∧?q3.交換等價：p∧q?q∧p,p∨q?q∨p4.結(jié)合等價：p∧(q∧r)?(p∧q)∧r,p∨(q∨r)?(p∨q)∨r5.分配等價：p∧(q∨r)?(p∧q)∨(p∧r),p∨(q∧r)?(p∨q)∧(p∨r)6.吸收等價：p∧(p∨q)?p,p∨(p∧q)?p7.互補等價：p∨?p?1,p∧?p?08.等冪等價：p∧p?p,p∨p?p自考離散數(shù)學(xué)命題演算筆記七、邏輯推理邏輯推理是命題演算中的重要應(yīng)用，它包括演繹推理和歸納推理。在演繹推理中，我們從已知的前提推導(dǎo)出結(jié)論。歸納推理則是從具體的實例推導(dǎo)出一般性的結(jié)論。1.演繹推理：如果前提是真的，那么結(jié)論也必然是真的。例如，如果所有人都喜歡蘋果，而小明是人，那么我們可以推出小明喜歡蘋果。2.歸納推理：如果前提是真的，那么結(jié)論可能是真的。例如，觀察到的所有天鵝都是白色的，我們可能推斷出所有天鵝都是白色的。八、邏輯證明邏輯證明是使用邏輯規(guī)則和已知事實來證明一個命題的過程。常見的邏輯證明方法包括直接證明、間接證明和反證法。1.直接證明：從已知的事實出發(fā)，使用邏輯規(guī)則推導(dǎo)出結(jié)論。2.間接證明：通過證明結(jié)論的否定是假的，從而證明結(jié)論是真的。3.反證法：假設(shè)結(jié)論是假的，然后推導(dǎo)出矛盾，從而證明結(jié)論是真的。九、邏輯謬誤邏輯謬誤是指在邏輯推理過程中出現(xiàn)的錯誤。常見的邏輯謬誤包括：1.謬誤的前提：推理的前提是錯誤的。2.謬誤的結(jié)論：推理的結(jié)論是錯誤的。3.謬誤的推理：推理的過程存在邏輯錯誤。4.謬誤的假設(shè)：推理的假設(shè)是錯誤的。5.謬誤的歸納：歸納推理的結(jié)論不是必然的。十、邏輯思維訓(xùn)練邏輯思維訓(xùn)練是提高邏輯推理能力的重要方法。通過解決邏輯題目和練習(xí)邏輯推理，我們可以提高我們的邏輯思維能力。常見的邏輯思維訓(xùn)練方法包括：1.分析邏輯題目：分析邏輯題目的條