考研數(shù)學(xué)二分類模擬題50

考研數(shù)學(xué)二分類模擬題50解答題1.

設(shè)求正確答案：[解]

2.

設(shè)f(x)連續(xù)，且求f(x).正確答案：[解]

兩邊求導(dǎo)數(shù)得f'(x)-2f(x)=ex，

則

因為f(0)=1，所以c=2，故f(x)=2e2x-ex．

3.

正確答案：[解]因為

所以

4.

正確答案：[解]

5.

正確答案：[解]因為(x2ex)'=(x2+2x)ex，

所以

6.

正確答案：[解]

而

所以

7.

正確答案：[解]由得

8.

正確答案：[解]令，則

9.

正確答案：[解]

令則

所以

10.

設(shè)F(x)為f(x)的原函數(shù)，且當(dāng)x≥0時，又F(0)=1，F(xiàn)(x)＞0，求f(x).正確答案：[解]兩邊積分得解得由F(0)=1，F(xiàn)(x)＞0，得于是

11.

設(shè)正確答案：[解]令lnx=t，則，當(dāng)t≤0時，f(t)=t+C1；當(dāng)t＞0時，f(t)=et+C2．

顯然f'(t)為連續(xù)函數(shù)，所以f(t)也連續(xù)，于是有C1=1+C2，

故

12.

正確答案：[解]

13.

正確答案：[解]令x=tant，則

14.

正確答案：[解]令當(dāng)0≤x≤1時，當(dāng)1＜x≤2時，

15.

設(shè)f(x)連續(xù)，正確答案：[解]由

得

兩邊求導(dǎo)得令得

設(shè)16.

證明：當(dāng)nπ≤x＜(n+1)π時，2n≤S(x)＜2(n+1)；正確答案：[證明]當(dāng)nπ≤x＜(n+1)π時，

17.

求正確答案：[解]由nπ≤x＜(n+1)π，得

從而，根據(jù)夾逼定理得

18.

設(shè)f(x)在[0，+∞)上連續(xù)，非負，且以T為周期，證明：正確答案：[證明]對充分大的x，存在自然數(shù)n，使得nT≤x＜(n+1)T，

因為f(x)≥0，所以

即得

注意到當(dāng)x→+∞時，n→+∞，且

由夾逼定理得

19.

設(shè)f(x)在[0，1]上連續(xù)，證明：存在ξ∈(0，1)，使得

正確答案：[證明]令因為f(x)在[0，1]上連續(xù)，所以φ(x)在[0，1]上連續(xù)，在(0，1)內(nèi)可導(dǎo)，又由羅爾定理，存在ξ∈(0，1)，使得φ'(ξ)=0，而，所以

設(shè)f(x)在(-a，a)(a＞0)內(nèi)連續(xù)，且f'(0)=2.20.

證明：對0＜x＜a，存在0<θ＜1，使得正確答案：[證明]令，顯然F(x)在[0，x]上可導(dǎo)，且F(0)=0，由微分中值定理，存在0＜θ＜1，使得F(x)=F(x)-F(0)=F'(θx)x，即

21.

求正確答案：[解]令由，得

于是

22.

設(shè)證明：正確答案：[證明]

同理因為tannx，tann+2x在上連續(xù)，tannx≥tann+2x，且tannx，tann+2x不恒等，所以

于是即同理可證

23.

設(shè)f(x)有界，且f'(x)連續(xù)，對任意的x∈(-∞，+∞)有|f(x)+f'(x)|≤1.證明：|f(x)|≤1.正確答案：[證明]令φ(x)=exf(x)，則φ'(x)=ex[f(x)+f'(x)]，

由|f(x)+f'(x)|≤1得|φ'(x)|≤ex，又由f(x)有界得φ(-∞)=0，則

兩邊取絕對值得

所以|f(x)|≤1.

24.

設(shè)f(x)在(-∞，+∞)上有定義，且對任意的x，y∈(-∞，+∞)有|f(x)-f(y)|≤|x-y|.證明：正確答案：[證明]因為

所以

25.

設(shè)f(x)在[0，1]上連續(xù)，且0＜m≤f(x)≤M，對任意的x∈[0，