考研數(shù)學二分類模擬題71

考研數(shù)學二分類模擬題71一、選擇題1.

微分方程y"-y=ex+1的一個特解應具有形式(式中a，b為常數(shù))______.A.aex+bB.axex+bC.aex+bxD.axex+bx參考答（江南博哥）案：B[解]y"-y=0的特征方程為λ2-1=0，特征值為λ1=-1，λ2=1，

y"-y=ex的特解形式為y1=axex，y"-y=1的特解形式為y2=b，

故方程y"-y=ex+1的特解形式為y=axex+b，應選B．

2.

在下列微分方程中以y=C1ex+C2cos2x+C3sin2x(C1，C2，C3為任意常數(shù))為通解的是______.A.y'''+y"-4y'-4y=0B.y'''+y"+4y'+4y=0C.y'''-y"-4y'+4y=0D.y'''-y"+4y'-4y=0正確答案：D[解]因為通解為y=C1ex+C2cos2x+C3sin2x，

所以特征值為λ1=1，λ2，3=±2i，

特征方程為(λ-1)(λ-2i)(λ+2i)=0，整理得λ3-λ2+4λ-4=0，

對應為微分方程為y'''-y"+4y'-4y=0，應選D．

二、解答題1.

設函數(shù)y=y(x)滿足且y(0)=0，求函數(shù)y=y(x)．正確答案：[解]由得y=y(x)可導且

即解得

由y(0)=0得故

2.

設f(x)在(-∞，+∞)上有定義，且對任意實數(shù)a，b，都有等式f(a+b)=eaf(b)+ebf(a)成立，又f'(0)=1，求f(x)．正確答案：[解]取a=0，b=0得f(0)=0.

通解為

由f(0)=0得C=0，故f(x)=xex．

3.

設當u＞0時f(u)一階連續(xù)可導，且f(1)=0，又二元函數(shù)z=f(ex-ey)滿足求f(u).正確答案：[解]

由

由f(1)=0得C=0，故f(u)=lnu．

4.

求微分方程滿足條件y|x=e=2e的特解．正確答案：[解]由

令原方程化為

整理得積分得

將x=e，u=2代入得C=1，所求的特解為y2=2x2lnx+2x2．

5.

微分方程的通解．正確答案：[解]

令原方程化為

變量分離得

積分得ln(lnu-1)-lnx+lnC，

解得lnu-1=Cx，于是u=eCx+1，故通解為y=xeCx+1．

6.

求微分方程的通解．正確答案：[解]通解為

7.

求微分方程xy'+(1-x)y=e2x(x＞0)的滿足的特解．正確答案：[解]原方程化為

由得C=-1，故特解為

8.

求微分方程y'+ycosx=(lnx)e-sinx的通解．正確答案：[解]通解為

9.

求微分方程的滿足初始條件y(1)=0的特解．正確答案：[解]原方程化為

由y(1)=0得C=1，故y=x2-x(1+lnx)．

10.

求微分方程(1-x2)y"-xy'=0的滿足初始條件y(0)=0，y'(0)=1的特解．正確答案：[解]由(1-x2)y"-xy'=0的

由y'(0)=1得C1=1，從而

于是y=arcsinx+C2，再由y(0)=0得C2=0，

故y=arcsinx．

11.

已知微分方程y'+y=f(x)，其中求該微分方程的解y=y(x)滿足y(0)=0.正確答案：[解]當0≤x≤1時，y'+y=2的通解為

y=C1e-x+2；

當x＞1時，y'+y=0的通解為

y=C2e-x，

即

由y(0)=0得C1=-2，再由C1e-1+2=C2e-1得C2=2e-2，

故所求的特解為

12.

解方程(3x2+2)y"=6xy'，已知其解與ex-1(x→0)為等價無窮小．正確答案：[解]由

從而y'=C1(3x2+2)，解得y=C1x3+2C1x+C2，

因為C1x3+2C1x+C2～ex-1～x，所以

故所求的解為

13.

求微分方程yy"+(y')2=0的滿足初始條件的特解．正確答案：[解]由yy"+(y')2=0得(yy')'=0，從而yy'=C1，

進一步得于是

由得故

14.

設函數(shù)y=y(x)滿足微分方程y"-3y'+2y=2ex，且其圖形在點(0，1)處的切線與曲線y=x2-x+1在該點的切線重合，求函數(shù)y=y(x)．正確答案：[解]特征方程為λ2-3λ+2=0，特征值為λ1=1，λ2=2，

y"-3y'+2y=0的通解為y=C1ex+C2e2x．

令特解y0=axex，代入得a=-2，

原方程的通解為y=C1ex+C2e2x-2xex．

曲線y=x2-x+1在(0，1)處的斜率為y'|x=0=-1，

由題意得y(0)=1，y'(0)=-1，從而解得C1=1，C2=0，

故所求的特解為y=ex-2xex．

15.

求微分方程y"-y=4cosx+ex的通解．正確答案：[解]特征方程為λ2-1=0，特征值為λ1=-1，λ2=1，

y"-y=0的通解為y=C1e-x+C2ex，

令y"-y=4cosx的特解為y1=acosx+bsinx，代入得a=-2，b=0；

令y"-y=ex的特解為y3=cxex，代入得

特解為

16.

設連續(xù)函數(shù)f(x)滿足：正確答案：[解]

因為

即f'(x)+f(x)=0，解得f(x)=Ce-x．

17.

設f(x)二階可導，且正確答案：[解]

兩邊求導得

兩邊再求導得

f'(x)