考研數(shù)學二模擬417

考研數(shù)學二模擬417一、選擇題下列每題給出的四個選項中，只有一個選項符合題目要求．1.

設(shè)則F(x)在x=0處______A.極限不存在．B.極限存在但不連續(xù)．C.連續(xù)但不可導．D.可導．正確答案：C[解析]法一

寫出F(x)的表達式進行討論．由f(x)的表達式知，

當x＜0時，

當x≥0時，

即

可知F(x)在x=0處連續(xù)．再看是否可導．

所以選C．

法二

有下述定理：

設(shè)f(x)在[a，b]上除點c∈(a，b)外連續(xù)，而點x=c是f(x)的跳躍間斷點．又設(shè)

則：①F(x)在[a，b]上必連續(xù)；

②當x∈[a，b]但x≠c時，F(xiàn)'(x)=f(x)；

③F'(c)必不存在，并且F'+(c)=f(c+)，F(xiàn)'-(c)=f(c-)．

在做選擇題時可套用此結(jié)論．

由此定理可知應(yīng)選C．

2.

曲線的漸近線______A.只有水平的與鉛直的，無斜的．B.只有水平的與斜的，無鉛直的．C.只有鉛直的與斜的，無水平的．D.水平的、鉛直的與斜的都有．正確答案：D[解析]所以有鉛直漸近線x=0；

所以有水平漸近線y=0(沿x→+∞方向)；

所以有斜漸近線y=x．

3.

設(shè)f(x)與g(x)在x=a處均為極大值．又設(shè)F(x)=f(x)g(x)，則F(x)在x=a處______A.必為極大值．B.必為極小值．C.必不是極值．D.不能確定是否為極值．正確答案：D[解析]舉反例排除A，B，C．

A的反例：取f(x)=-x2，g(x)=-x2，x=0均是f(x)與g(x)的極大值點，而F(x)=f(x)g(x)=x4，x=0是它的極小值點，不選A．

B的反例：取f(x)=1-x2，g(x)=1-x2，x=0均是f(x)與g(x)的極大值點，而F(x)=f(x)g(x)=1-2x2+x4，F(xiàn)'(x)=-4x+4x3，F(xiàn)"(x)=-4+12x2，F(xiàn)'(0)=0，F(xiàn)"(0)＜0，故F(0)=1為極大值．不選B．

由A，B反例可見，x=0可以是F(x)的極值點，所以不選C，只能選D．

4.

設(shè)f(x，y)=|x-y|φ(x，y)，其中φ(x，y)在點(0，0)的某鄰域內(nèi)連續(xù)，則φ(0，0)=0是f(x，y)在點(0，0)處可微的______A.必要條件但非充分條件．B.充分條件但非必要條件．C.充分必要條件．D.既非充分又非必要條件．正確答案：C[解析]先證充分性．設(shè)φ(0，0)=0，由于φ(x，y)在點(0，0)處連續(xù)，所以由于

故

所以

按可微定義，f(x，y)在點O(0，0)處可微，且df(x，y)=0·Δx+0·Δy，即f'x(0，0)=0，f'y(0，0)=0．

再證必要性．設(shè)f(x，y)在點(0，0)處可微，則f'x(0，0)與f'y(0，0)必都存在．

其中x→0+時，取“+”，x→0-時，取“-”．

由于f'x(0，0)存在，所以φ(0，0)=-φ(0，0)，從而φ(0，0)=0．證畢．

5.

設(shè)n=0，1，2，…．則關(guān)于an關(guān)系式成立的是______A.an+2=an+1+an．B.an+3=an．C.an+4=an+2+an．D.an+6=an．正確答案：D[解析]由得f(0)=1，再由

f(x)(x2-x+1)=x+1，

(*)

兩邊對x求一階導數(shù)，得

f'(x)(x2-x+1)+f(x)(2x-1)=1．

將x=0代入，得

f'(0)-f(0)=1，f'(0)=f(0)+1=2．

將(*)兩邊對x求n階導數(shù)，n≥2，有

將x=0代入，得

即f(n)(0)=nf(n-1)(0)-n(n-1)f(n-2)(0)，n=2，3，…．

又因為n=0，1，2，…，所以有

或?qū)懗?/p>

an+2=an+1-an，n=0，1，2，…．

(**)

現(xiàn)在驗算A～D中哪一個正確．

顯然，由遞推公式(**)知，A的左邊an+2=an+1-an，僅當an=0時才有A的左邊等于A的右邊，故A不正確．

再驗算B．B的左邊

an+3=an+2-an+1=an+1-an-an+1=-an，

所以僅當an=0時，B的左邊等于B的右邊，故B不正確．

再驗算C．C的左邊

an+4=an+3-an+2=an+2-an+1-an+2=-an+1．

C的右邊

an+2+an=an+1-an+an=an+1．

C的左邊等于C的右邊，得an+1=0，n=0，1，2…．但這不正確．所以C也不對．

余下只有D．

以下可直接驗算D正確．由已證(**)式，所以對一切n，有

an+6=an+5-an+4=an+4-an+3-an+4=-an+3，

從而

an+6=-an+3=-(-an)=an，n=0，1，2，…．

所以D正確．

6.

設(shè)A，B，C為常數(shù)，則微分方程y"+2y'+5y=e-xcos2x有特解形式______A.e-x(A+Bcos2x+Csin2x)．B.e-x(A+Bxcos2x+Cxsin2x)．C.e-x(Ax+Bcos2x+Csin2x)．D.e-x(Ax+Bxcos2x+Cxsin2x)．正確答案：B[解析]原方程可寫成特征方程是r2+2r+5=0，特征根r1，2=-1±2i．對應(yīng)于自由項部分的一個特解形式為y1*=Ae-x．對應(yīng)于自由項部分的一個特解形式為y2*=xe-x(Bcos2x+Csin2x)．所以原方程的一個特解形式為

y1*+y2*=e-x(A+Bxcos2x+Cxsin2x)．

故應(yīng)選B．

7.

已知n維向量組α1，α2，α3，α4是線性方程組Ax=0的基礎(chǔ)解系，則向量組aα1+bα4，aα2+bα3，aα3+bα2，aα4+bα1也是Ax=0的基礎(chǔ)解系的充分必要條件是______A.a=b．B.a≠-b．C.a≠b．D.a≠±b．正確答案：D[解析]向量組aα1+bα4，aα2+bα3，aα3+bα2，aα4+bα1均是Ax=0的解，且共4個，故該向量組是Ax=0的基礎(chǔ)解系該向量組線性無關(guān)．因

且α1，α2，α3，α4線性無關(guān)，則

故應(yīng)選D．

B，C是充分條件，并非必要，A既非充分又非必要，均應(yīng)排除．

8.

設(shè)則A合同于______

A．

B．

C．

D．正確答案：C[解析]寫出A對應(yīng)的二次型，并用配方法化成標準形．

知f的秩為2，正慣性指數(shù)為1(負慣性指數(shù)也為1)，這可排除選項A，B．選項C的二次型為

正負慣性指數(shù)和題干中矩陣對應(yīng)的二次型一致．而選項D中二次型為

正慣性指數(shù)為2．故應(yīng)選C．

二、填空題1.

函數(shù)的間斷點的個數(shù)為______．正確答案：2[解析]應(yīng)先寫出f(x)的表達式，

故知f(x)有且僅有兩個間斷點

2.

設(shè)f(x)在區(qū)間[a，+∞)上存在二階導數(shù)，且其中a，b均為常數(shù)，則正確答案：0[解析]取常數(shù)h＞0，在區(qū)間[x，x+h]上用泰勒公式：

于是有

令x→+∞有ξ→+∞，并且由已知有

3.

正確答案：-ln2[解析]

4.

設(shè)常數(shù)a＞0，雙紐線(x2+y2)2=a2(x2-y2)圍成的平面區(qū)域記為D，則二重積分正確答案：[解析]由于被積函數(shù)及積分區(qū)域D關(guān)于兩坐標軸都對稱，所以

5.

設(shè)其中f，g均可微，則正確答案：2xyf'1[解析]

6.

設(shè)A，B是2階矩陣，且A相似于B，A有特征值λ=1，B有特征值μ=-2，則|A+2AB-4B-2E|=______．正確答案：-36[解析]因為A～B，所以A，B有相同的特征值1，-2．

|A+2AB-4B-2E|=|A(E+2B)-2(2B+E)|

=|(A-2E)(2B+E)|=|A-2E||2B+E|．

A，B有特征值1，-2，A-2E有特征值-1，-4，2B+E有特征值3，-3，故

|A+2AB-4B-2E|=|A-2E||2B+E|=(-1)×(-4)×3×(-3)=-36．

三、解答題解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．1.

正確答案：[解]先由

得

所以原式為型．再由式(*)，用等價無窮小替換，得

2.

設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間(0，+∞)上可導，且f'(x)＞0，

求F(x)的單調(diào)區(qū)間，并求曲線y=F(x)的圖形的凹凸區(qū)間及拐點坐標．正確答案：[解]由則

當0＜x＜1時，從而

當1＜x＜+∞時，從而

又在x=1處F(x)連續(xù)，所以F(x)在區(qū)間(0，+∞)上嚴格單調(diào)增加．

所以F"(1)=0，且當0＜x＜1時，F(xiàn)"(x)＜0，曲線y=F(x)是凸的；當x＞1時，F(xiàn)"(x)＞0，曲線y=F(x)是凹的．所以點(1，0)為曲線y=F(x)上的唯一拐點，且凸區(qū)間為(0，1)，凹區(qū)間為(1，+∞)．

3.

設(shè)常數(shù)α＞0，積分試比較I1與I2的大小，要求寫明推導過程．正確答案：[解]

當時，從而且cosx＞sinx，

于是知I1＞I2，即

設(shè)b為常數(shù)．4.

求曲線L：的斜漸近線(記為l)的方程；正確答案：[解]

所以斜漸近線方程為y=2x-4(當x→-∞時，有相同的斜漸近線)．

5.

設(shè)L與l從x=1延伸到x→+∞之間的圖形的面積A為有限值，求b及A的值．正確答案：[解]面積

顯然h(x)在(1，+∞)上無奇點，又b為常數(shù)，則當x足夠大時，h(x)恒為正或恒為負．故A與的斂散性相同．

若2b+15+1≠0，即b≠-8，無論b＞-8還是b＜-8，均有

I發(fā)散，即A的值為∞，與A為有限值矛盾．

當b=-8時，此時面積

6.

設(shè)z=z(u，v)具有二階連續(xù)偏導數(shù)，且z=z(x-2y，x+3y)滿足

求z=z(u，v)所滿足的方程，并求z(u，v)的一般表達式．正確答案：[解]由z=z(x-2y，x+3y)，易知

代入原方程，得

以下求z的一般表達式．將上式寫成兩邊對u積分，v看成常數(shù)，得其中φ1(v)為v的具有連續(xù)導數(shù)的任意函數(shù)．再將上式看成z對v的一階線性微分方程，代入一階線性微分方程的通解公式，得

由于φ1(v)的任意性，記它表示為v的具有二階連續(xù)導數(shù)的任意函數(shù)，ψ(u)為u的具有二階連續(xù)導數(shù)的任意函數(shù)，于是得到z=z(u，v)的一般表達式為

7.

設(shè)計算二重積分

正確答案：[解]D是一塊矩形域，如圖所示．

8.

求y"-y=e|x|滿足初始條件y(1)=0，y'(1)=0的特解．正確答案：[解]原方程化成兩個微分方程

分別得到

由y(1)=0，y'(1)=0，從第一個表達式求得

又因為在x=0處，y(x)及y'(x)連續(xù)，所以

解得所以

故滿足初始條件的特解為

設(shè)A是3階矩陣，λ1，λ2，λ3是A的3個不同的特征值，對應(yīng)的特征向量分別是ξ1，ξ2，ξ3，令β=ξ1+ξ2+ξ3．

證明：9.

β不是A的特征向量；正確答案：[證]已知Aβ=A(ξ1+ξ2+ξ3)=λ1ξ1+λ2ξ2+λ3ξ3．

若β是A的特征向量，假設(shè)對應(yīng)的特征值為μ,則有

Aβ=μβ=μ(ξ1+ξ2+ξ3)=λ1ξ1+λ2ξ2+λ3ξ3，

從而得(μ-λ1)ξ1+(μ-λ2)ξ2+(μ-λ3)ξ3=0．

ξ1，ξ2，ξ3是不同特征值對應(yīng)的特征向量，由定理知ξ1，ξ2，ξ3線性無關(guān)，從而得λ1=λ2=λ3=μ，這和λ1，λ2，λ3互不相同矛盾．故β=ξ1+ξ2+ξ3不是A的特征向量．

10.

向量組β，Aβ，A2β線性無關(guān)．正確答案：[證]法一

用線性無關(guān)的定義證．

假設(shè)存在數(shù)k1，k2，k3，使得

k1β+k2Aβ+k3A2β=0．

由β=ξ1+ξ2+ξ3及Aξi=λiξi，i=1，2，3，代入得

整理得

因ξ1，ξ2，ξ3線性無關(guān)，則有

又λi(i=1，2，3)互不相同，故方程組(*)的系數(shù)矩陣的行列式

故方程組(*)僅有零解，即k1=k2=k3=0，所以β，Aβ，A2β線性無關(guān)．

法二

用等價向量組、初等變換、秩等論證．因

其中所以C是可逆矩陣．

故r(β，Aβ，A2β)=r(ξ1，ξ2，ξ3)=3．因此β，Aβ，A2β線性無關(guān)．

已知A，B均是2×4矩陣，其中

Ax=0有基礎(chǔ)解系α1=(1，1，2，1)T，α2=(0，-3，1，0)T；

Bx=0有基礎(chǔ)解系β1=(1，3，0，2)T，β2=(1，2，-1，a)T．11.

求矩陣A；正確答案：[解]記C=(α1，α2)，則有AC=A(α1，α2)=0，得CTAT=0，即AT的列向量(即A的行向量)是CTx=0的解向量．

解得CTx=0的基礎(chǔ)解系為ξ1=(1，0，0，-1)T，ξ2=(-7，1，3，0)T．

故

12.

若Ax=0和Bx=0有非零公共解，求參數(shù)a的值及公共解．正確答案：[解]若Ax=0和Bx=