2024年高中數(shù)學(xué)第二三章平面向量三角恒等變換滾動測試含解析人教A版必修4

PAGEPAGE8其次、三章滾動測試班級____姓名____考號____分數(shù)____本試卷滿分150分，考試時間120分鐘．一、選擇題：本大題共12題，每題5分，共60分．在下列各題的四個選項中，只有一個選項是符合題目要求的．1．已知A(x,1)，B(1,0)，C(0，y)，D(－1,1)，若eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(CD,\s\up6(→))，則x＋y等于()A．1B．2C．3D．4答案：D解析：∵eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(CD,\s\up6(→))，∴(1－x，－1)＝(－1,1－y)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－x＝－1，,1－y＝－1，))得x＋y＝4.2．若a，b為非零向量，且|a＋b|＝|a|＋|b|，則()A．a(chǎn)與b的長度必相等B．a(chǎn)∥b且a與b同向C．a(chǎn)與b不肯定相等D．a(chǎn)是b的相反向量答案：B解析：由|a＋b|＝|a|＋|b|可知兩向量的夾角為0°或180°，依據(jù)a、b為非零向量可知假如有|a＋b|＝|a|＋|b|，則a與b必同向．3．已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－3)．若向量c滿意(c＋a)∥b，c⊥(a＋b)，則c等于()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,9)，\f(7,3)))B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(7,3)，－\f(7,9)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,3)，\f(7,9)))D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(7,9)，－\f(7,3)))答案：D解析：不妨設(shè)c＝(m，n)，則a＋c＝(1＋m,2＋n)，a＋b＝(3，－1)，對于(c＋a)∥b，則有－3(1＋m)＝2(2＋n)，又c⊥(a＋b)，則有3m－n＝0，∴m＝－eq\f(7,9)，n＝－eq\f(7,3).故選D.4．如圖，D、E、F分別是△ABC的邊AB、BC、CA的中點，則()A.eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(BE,\s\up6(→))＋eq\o(CF,\s\up6(→))＝0B.eq\o(BD,\s\up6(→))－eq\o(CF,\s\up6(→))＋eq\o(DF,\s\up6(→))＝0C.eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(CE,\s\up6(→))－eq\o(CF,\s\up6(→))＝0D.eq\o(BD,\s\up6(→))－eq\o(BE,\s\up6(→))－eq\o(FC,\s\up6(→))＝0答案：A解析：eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(BE,\s\up6(→))＋eq\o(CF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(CA,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→)))＝0.5．在△ABC中，A＝15°，則eq\r(3)sinA－cos(B＋C)的值為()A.eq\f(\r(2),2)B.eq\f(\r(3),2)C.eq\r(2)D．2答案：C解析：原式＝eq\r(3)sinA－cos(π－A)＝eq\r(3)sinA＋cosA＝2sin(A＋30)＝2sin(15°＋30°)＝eq\r(2).6．設(shè)f(sinx)＝cos2x，則feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)))等于()A．－eq\f(1,2)B．－eq\f(\r(3),2)C.eq\f(1,2)D.eq\f(\r(3),2)答案：A解析：解法一：由f(sinx)＝cos2x＝1－2sin2x，得f(x)＝1－2x2，則feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)))＝1－2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)))2＝－eq\f(1,2).解法二：由題意令x＝60°，得feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)))＝f(sin60°)＝cos120°＝－eq\f(1,2).7．已知tan(α＋β)＝eq\f(2,5)，taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(β－\f(π,4)))＝eq\f(1,4)，則eq\f(cosα＋sinα,cosα－sinα)＝()A.eq\f(5,22)B.eq\f(1,7)C.eq\f(1,6)D.eq\f(3,22)答案：D解析：∵α＋eq\f(π,4)＝α＋β－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(β－\f(π,4)))，∴taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝taneq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(α＋β－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(β－\f(π,4)))))＝eq\f(tanα＋β－tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(β－\f(π,4))),1＋tanα＋β·tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(β－\f(π,4))))＝eq\f(3,22)，∴eq\f(cosα＋sinα,cosα－sinα)＝eq\f(\r(2)sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4))),\r(2)cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4))))＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝eq\f(3,22).8．函數(shù)y＝sin2x＋cos2x的圖象，可由函數(shù)y＝sin2x－cos2x的圖象()A．向左平移eq\f(π,8)個單位得到B．向右平移eq\f(π,8)個單位得到C．向左平移eq\f(π,4)個單位得到D．向右平移eq\f(π,4)個單位得到答案：C解析：y＝sin2x＋cos2x＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,4)))＝eq\r(2)sin2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,8)))，y＝sin2x－cos2x＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,4)))＝eq\r(2)sin2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,8)))，其中x＋eq\f(π,8)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))－eq\f(π,8)，∴將y＝sin2x－cos2x的圖象向左平移eq\f(π,4)個單位可得y＝sin2x＋cos2x的圖象．9．假如eq\f(sinα＋β,sinα－β)＝eq\f(m,n)，那么eq\f(tanβ,tanα)等于()A.eq\f(m－n,m＋n)B.eq\f(m＋n,m－n)C.eq\f(n－m,n＋m)D.eq\f(n＋m,n－m)答案：A解析：∵eq\f(sinα＋β,sinα－β)＝eq\f(sinαcosβ＋cosαsinβ,sinαcosβ－cosαsinβ)＝eq\f(m,n)，∴eq\f(cosαsinβ,sinαcosβ)＝eq\f(m－n,m＋n)，∴eq\f(tanβ,tanα)＝eq\f(m－n,m＋n).10．A，B，C，D為平面上四個互異點，且滿意(eq\o(DB,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→))－2eq\o(DA,\s\up6(→)))·(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→)))＝0，則△ABC的形態(tài)是()A．直角三角形B．等腰三角形C．等腰直角三角形D．等邊三角形答案：B解析：∵(eq\o(DB,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→))－2eq\o(DA,\s\up6(→)))·(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→)))＝(eq\o(DB,\s\up6(→))－eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→))－eq\o(DA,\s\up6(→)))·(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→)))＝(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))·(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→)))＝eq\o(AB,\s\up6(→))2－eq\o(AC,\s\up6(→))2＝0，∴|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(AC,\s\up6(→))|.11．已知sinx－siny＝－eq\f(2,3)，cosx－cosy＝eq\f(2,3)，且x、y為銳角，則tan(x－y)的值是()A.eq\f(2\r(14),5)B．－eq\f(2\r(14),5)C．±eq\f(2\r(14),5)D．±eq\f(5\r(14),28)答案：B解析：由已知sinx－siny＝－eq\f(2,3)，cosx－cosy＝eq\f(2,3)，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sin2x－2sinxsiny＋sin2y＝\f(4,9)，,cos2x－2cosxcosy＋cos2y＝\f(4,9)，))相加得cos(x－y)＝eq\f(5,9).∵x、y均為銳角且sinx－siny<0，∴－eq\f(π,2)<x－y<0，∴sin(x－y)＝eq\f(－2\r(14),9)，∴tan(x－y)＝－eq\f(2\r(14),5).12．已知向量a＝(cos2α，sinα)，b＝(1,2sinα－1)，α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，若a·b＝eq\f(2,5)，則taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))等于()A.eq\f(1,3)B.eq\f(2,7)C.eq\f(1,7)D.eq\f(2,3)答案：C解析：由題意，得cos2α＋sinα(2sinα－1)＝eq\f(2,5)，解得sinα＝eq\f(3,5)，又α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，所以cosα＝－eq\f(4,5)，tanα＝－eq\f(3,4)，則taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝eq\f(tanα＋tan\f(π,4),1－tanαtan\f(π,4))＝eq\f(1,7).二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在題中橫線上．13．設(shè)向量a，b滿意|a|＝2eq\r(5)，b＝(2,1)，且a與b的方向相反，則a的坐標為________．答案：(－4，－2)解析：設(shè)a＝(x，y)，x<0，y<0，則x－2y＝0且x2＋y2＝20，解得x＝4，y＝2(舍去)，或者x＝－4，y＝－2，即a＝(－4，－2)．14．在△ABC中，M是BC的中點，AM＝3，BC＝10，則eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝________.答案：－16解析：eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)\o(BC,\s\up6(→))＋\o(AM,\s\up6(→))))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)\o(BC,\s\up6(→))＋\o(AM,\s\up6(→))))＝－eq\f(1,4)eq\o(BC,\s\up6(→))2＋eq\o(AM,\s\up6(→))2＝－eq\f(1,4)×102×32＝－16.15．化簡(eq\r(3)tan10°－1)·eq\f(cos10°,2sin20°)＝________.答案：－1解析：原式＝eq\f(\f(\r(3),2)sin10°－\f(1,2)cos10°,sin20°)＝eq\f(sin10°－30°,sin20°)＝eq\f(－sin20°,sin20°)＝－1.16．在△ABC中，C＝eq\f(π,2)，AC＝1，BC＝2，則f(λ)＝|2λeq\o(CA,\s\up6(→))＋(1－λ)eq\o(CB,\s\up6(→))|的最小值是________．答案：eq\r(2)解析：如圖，以C為原點，CA，CB所在直線為y軸，x軸建立直角坐標系，所以eq\o(CA,\s\up6(→))＝(0,1)，eq\o(CB,\s\up6(→))＝(2,0)，故2λeq\o(CA,\s\up6(→))＋(1－λ)eq\o(CB,\s\up6(→))＝(0,2λ)＋(2－2λ，0)＝(2－2λ，2λ)，所以f(λ)＝2eq\r(2λ2－2λ＋1)＝2eq\r(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(λ－\f(1,2)))2＋\f(1,2))，故最小值為eq\r(2)，在λ＝eq\f(1,2)時取得．三、解答題：本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．(10分)已知cosθ＝eq\f(12,13)，θ∈(π，2π)，求sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,6)))以及taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4)))的值．解：∵cosθ＝eq\f(12,13)，θ∈(π，2π)，∴sinθ＝－eq\f(5,13)，tanθ＝－eq\f(5,12)，∴sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,6)))＝sinθcoseq\f(π,6)－cosθsineq\f(π,6)＝－eq\f(5,13)×eq\f(\r(3),2)－eq\f(12,13)×eq\f(1,2)＝－eq\f(5\r(3)＋12,26)；taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4)))＝eq\f(tanθ＋tan\f(π,4),1－tanθ·tan\f(π,4))＝eq\f(－\f(5,12)＋1,1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,12)))×1)＝eq\f(7,17).18．(12分)已知函數(shù)f(x)＝2cosx·sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3)))－eq\r(3)sin2x＋sinxcosx.將函數(shù)f(x)的圖象向右平移m個單位，使所得函數(shù)為偶函數(shù)，求m的最小值．解：f(x)＝2cosx·sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3)))－eq\r(3)sin2x＋sinxcosx＝2cosxeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sinxcos\f(π,3)＋cosxsin\f(π,3)))－eq\r(3)sin2x＋sinxcosx＝2sinxcosx＋eq\r(3)cos2x＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3))).函數(shù)f(x)的圖象向右平移m個單位后的解析式為g(x)＝2sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2x－m＋\f(π,3)))＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－2m＋\f(π,3)))，要使函數(shù)g(x)為偶函數(shù)，則－2m＋eq\f(π,3)＝kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)．又m>0，∴當k＝－1時，m取得最小值為eq\f(5,12)π.19．(12分)當0<x≤eq\f(π,4)時，求函數(shù)f(x)＝eq\f(1＋cos2x＋8sin2x,sin2x)－eq\f(cosx,sinx)的最大值．解：∵0<x≤eq\f(π,4)，則0<tanx≤1，∴f(x)＝eq\f(2cos2x＋8sin2x,2sinxcosx)－eq\f(cosx,sinx)＝eq\f(4sin2x＋cos2x,sinxcosx)－eq\f(cosx,sinx)＝eq\f(4tan2x＋1,tanx)－eq\f(1,tanx)＝4tanx＋eq\f(1,tanx)－eq\f(1,tanx)＝4tanx.∴f(x)≤4.∴f(x)max＝4.20．(12分)某同學(xué)在一次探討性學(xué)習(xí)中發(fā)覺，以下五個式子的值都等于同一個常數(shù)：①sin213°＋cos217°－sin13°cos17°；②sin215°＋cos215°－sin15°cos15°；③sin218°＋cos212°－sin18°cos12°；④sin2(－18°)＋cos248°－sin(－18°)cos48°；⑤sin2(－25°)＋cos255°－sin(－25°)cos55°.(1)試從上述五個式子中選擇一個，求出這個常數(shù)；(2)依據(jù)(1)的計算結(jié)果，將該同學(xué)的發(fā)覺推廣為三角恒等式，并證明你的結(jié)論．解：(1)選擇②式，計算如下：sin215°＋cos215°－sin15°cos15°＝1－eq\f(1,2)sin30°＝1－eq\f(1,4)＝eq\f(3,4).(2)三角恒等式為：sin2α＋cos2(30°－α)－sinαcos(30°－α)＝eq\f(3,4).證明如下：sin2α＋cos2(30°－α)－sinαcos(30°－α)sin2α＋(cos30°cosα＋sin30°sinα)2－sinα(cos30°·cosα＋sin30°sinα)＝sin2α＋eq\f(3,4)cos2α＋eq\f(\r(3),2)cosαsinα＋eq\f(1,4)sin2α－eq\f(\r(3),2)sinα·cosα－eq\f(1,2)sin2α＝eq\f(3,4)sin2α＋eq\f(3,4)cos2α＝eq\f(3,4).21．(12分)已知向量a與b的夾角為eq\f(2,3)π，|a|＝2，|b|＝3，記m＝3a－2b，n＝2a＋kb.(1)若m⊥n，求實數(shù)k的值；(2)是否存在實數(shù)k，使得m∥n？說明理由．解：(1)由m⊥n得m·n＝0，即(3a－2b)·(2a＋k整理得：6|a|2－(4－3k)a·b－2k|b|2＝0，∴27k＝36，∴k＝eq\f(4,3)，∴當k＝eq\f(4,3)時，m⊥n.(2