高考數(shù)學總復習課后限時練習16 導數(shù)的綜合應用

高考數(shù)學總復習課后限時練習16導數(shù)的綜合應用

1.已知函數(shù),/(工)=丁+加+臥;+。在工=■:與x=l處都取得極值.

(1)求。，b的值及函數(shù)?工)的單調區(qū)間；

(2)若對于Vx￡[-1,2],不等式/(x)vc2恒成立，求c的取值范圍.

i

解析：(1)j(x)=x+a^+bx+cf

?t?f(x)=3x1+2ax+B.

又/(x)在x=與x=1處都取得極值，

???/'(-9=￡一%什方=0,/(1)=3+2。+匕=0，

兩式琰立解得。=b=-2,

，貝幻才-吳~2x+c,

八幻=3/-x-2=(3x+2)(x-1),

令八1)=0，得加=-：，及=1，

當％變化時，八的，兀t)的變化情況如下表：

X21(1,4-00)

(-,-|)3(IJ)

f(x)+0-0+

yw極大值極小值7

工函數(shù)?X)的遞增區(qū)間為(?8,?：)與(1，+8)；遞減區(qū)間為(?：，1).

(2)/(X)=A^~2x+Ct-1,2],

當尸]時，O=^+c為極大值，而足)=2+小

則<2)=2+c為最大值，要使用:)Vc2(x￡|7,2|)怛成立，只需/>(2)=2+c,解得eV-1或c>2.

工。的取值范圍為(-8,-1)U(2,4-00).

2.設函數(shù)段)=e2r-aln*

(1)討論/)的導函數(shù)八x)的零點的個數(shù)；

(2)證明：當。>0時，J(x)>2a+a\n

答案：(1)解火幻二楙-Hnx的定義域為(0,+co),

.\/(A：)=2e2t-p

當時，八1)>0恒成立，

故八外沒有零點.

當“>0時，,產e?'>在區(qū)間(0,+8)內單調遞增，在區(qū)間(0,+8)內單調遞增，

???/(力在區(qū)間(0,+8)內單調遞增.

■:當x—>0時,y=elv—?1,y-—?8，,W)T

又；A〃)>o，，當。>0時，導函數(shù)/V)存在唯一的零點.

(2)證明由(1)知，可設導函數(shù)/U)在區(qū)間(0,+8)內的唯一零點為即，

當xe(0,項)時，/(x)<0；

當工￡(即，+8)時，/(x)>0,

???4r)在區(qū)間(0,向)內單調遞減，在區(qū)間(a，+8)內單調遞增，

:.當X=XO時，兀0取得最小值，最小值為/xo).

?.?2e2xo-W=O,

出

?**Avc)=-^-+2aro+?ln->2a+a\n當且僅當工()二工時等號成立，此時a=e.

2XQdCL2

故當a>OBt,J(x)>2a+a\n*

3.已知函數(shù)危)=alnx(a>0)，e為自然對數(shù)的底數(shù).

(1)若過點A(2,12))的切線斜率為2,求實數(shù)。的值；

(2)當xA0時，求證：-1)；

(3)若在區(qū)間(1,e)內，8>1恒成立，求實數(shù)。的取值范圍.

答案：⑴解???八2)4=2,???a=4.

(2)證明令g(x)=a(\nxT+》

則g?)二°G-爰).

令g'a)>。，得”>i；

g'(x)<0,得0Vx<1；

所以g(x)在區(qū)間(0,1)內單調遞減，在區(qū)間(1,+8)內單調遞增.

所以g(x)的最小值為g(l)=0,

所以-x)2a(l-[).

(3)解要使也>1在區(qū)間(1,e)內恒成立，即使如7>0在區(qū)間(1,e)內恒成立，即膽里二>0在區(qū)間(1,

x-1x-1x-1

e)內恒成立.

令h(x)=a\nx+1-x,則h'(x)=^-1.

令人3>0,解得x〈A.

當a>e時，〃(X)在區(qū)間(1,e)內單調遞增，

所以mx)>%(1)=0.

當l<aWe時，/心)在區(qū)間(1,。)內單調遞噌，在區(qū)間(。，e)內單調遞減，

所以只需〃(。心0,即所以

當0<把1時，力⑶在區(qū)間(1，e)內單調遞減，則需力(e)K),而Me)=a+1-e<0,不符合題意.

綜上，實數(shù)。的取值范圍為[e-1,+00).

4.已知函數(shù)/)=〃+f-Hna(a>0,t#l).

(1)當。>1時，求證：函數(shù)段)在區(qū)間(0,+8)內單調遞增：

⑵若函數(shù)產依)7|-1有三個零點，求f的值.

答案：⑴證明/(x)=avlna+2x-Ina=2x+(ar-l)lna,

由于>1,當x￡(0,+oo)時，Ina>0,-1>0,

所以f(x)>0,故函數(shù)_/(%)在區(qū)間(0,+8)內單調遞增.

(2)解當u>0,即時,

f(x)=2x+(ax-l)Intz,

，［/W=2+d(lna)?>o,

.\ra)在R上單調遞增，

V/(0)=0,故戊0=0有唯一解戶0,

???x,f(x),?r)的變化情況如下表所示：

X(-00,0)0(0,+oo)

-04-

遞減極小值遞增

又函數(shù)y=|/(x)-1有三個零點，

???方程大x)二/±1有三個根，

而什1>［-1,所以1-1Mx)minM0)=l，解得Z=2.

5.已知函數(shù)危)=加+取-c-ln?r>0)在x=l處取極值，其中a,b為常數(shù).

(1)若。>0,求函數(shù)凡K)的單調區(qū)間；

(2)若函數(shù)“T)在x=l處取極值-1-C,且不等式凡ra-2,恒成立，求實數(shù)C的取值范圍；

(3)若。>0,且函數(shù)段)有兩個不相等的零點汨，如證明：汨+刈>2.

答案：⑴解因為J(x)=axi+bx-c-InM3>0)，

所以F(x)=2or+b-i(x>0).

因為函數(shù)40在x=l處取極值，所以"1)=2。+6-1=0,所以b=l-2a,

所以f(x)=2or+l-2a~~=(x-1)Q+2a)(x>0).

當a>0時，：+2a>0,則當x￡(0,1)時，八幻<0；

當工￡(1,+oo)時，/(x)>0.

所以函數(shù)人%)的單調遞增區(qū)間為(1,+oo),單調遞減區(qū)間為(0,1］,

(2)解由(1)知凡1)=加+(1-2a)x-c-Inx

因為函數(shù)/(x)在x=l處取極值-1-c,所以貝1)=-a+1-c--1-c,可得4=2.

因為>0,由(1)可知函數(shù)人的在區(qū)間(1,+8)內單調遞增，在區(qū)間(0,1］內單調遞減，所以於)minXD=-

1-C.

因為不等式/)2-2c2恒成立，

所以有-1-6-2d,解得企1或日-%所以實數(shù)c的取值范圍是c>\或談

⑶證明由⑴知危)=加+(1-2a)x-cTnx,函數(shù)於)在區(qū)間(0,1］上單調遞減，在區(qū)間(1,+8)內單調遞

增.

因為函數(shù)/(X)有兩個不相等的零點即，X2，所以人為)可(X2)=O.

若設曾<X2，則即￡(0，1),%2e(1?+8),

構造函數(shù)9⑴守⑴-人2-x),A-e(o,I),

則(p(x)=2x-2+ln(2-x)-Inx,,(x)=2~=?〈0’

所以尸Mx)在區(qū)間(0,1)內單調遞減，所以，當x￡(0,1)時，⑴=0.

所以其DM2-X).

因為曾￡(0,1),所以於|)次2』).

又因為“書)=/52)=0，

所以e2)42F),

而2-X],X2€(1?+8),

畫數(shù)其T)在區(qū)間(1,+8)內單調遞增，所以也>2-X[,即X]+X2>2,得證.

6.設函數(shù)段)=/+以-?lnx.

(I)若x=2是函數(shù)兒:)的極值點，1和xo是函數(shù)/(x)的兩個不同零點，且出￡(〃，〃+1),〃WN,求〃.

⑵若對任意b￡[-2,-1],都存在x￡(l,e),使得/(x)<0成立，求實數(shù)。的取值范圍.

解析：⑴+bx-alnxf

：.f(x)=2x+b_*x>0).

Vx=2是函數(shù)/(x)的極值點，?\f(2)=4+6-^=0.

?二是函數(shù)?r)的零點，/.y(l)=l+/?=0.

4+b--=0?

由2解得a=6,b=-L

1十人=0,

=/~x-61nx,f(x)=2x-1

令人處<0,得0vxv2,

令人x)>。，得x>2,

?\/U)在區(qū)間(0,2)內單調遞減，在區(qū)間(2,+oo)內單調遞增.

故函數(shù)?r)至多有兩個零點，其中1￡(0,2),M)W(2,+oo).

??7(2)</U)<0,,43)=6(1-ln3)<0,/(4)=6(2-In4)=12(1-In2)>0,

4),故〃=3.

(2)令8(。)二燦+f-alnx,b^[-2?-1],則g(b)為關于力的一次函數(shù)，且為增函數(shù)，

根據(jù)題意，對任意b￡[-2,-1],都存在x￡(l,e),使得貝x)<0成立，

則g(b)max招(-Dr2-x-alnxvO在x￡(l,e)有解，

令h(x)=jr-x-6?lnx,只需存在的￡(1,e)使得人(沏)〈0即可，

工，，/、-.a2x2-x-a

由于"(x)-2v-1----------------,

令口(的二房一x-a,x￡(l,e),則夕'(x)=4x-1>0,

故8(工)在區(qū)間(1,e)內單調遞增，°(x)>0(l)=1-A.

①當1-a>0,即好1時，3(x)>0,即〃。)>0,〃(幻在區(qū)間(1,e)內單調遞增，

：.h(x)>h(1)=O,不符合題意.

②當1-a<0,即a>l時，夕(1)=1-a<0,^(e)=2e2-e-a,

若?>2e2-e>l,則3(e)<0,

:.在區(qū)間(1,e)內p(x)<0恒成立，即〃'(x)<0恒成立，

工力在)在區(qū)間(1,e)內單調遞減，

；?存在&￡(1,e),使得/z(xo)v/i(l)=O,符合題意.

若2e?-e>a>l,則0(e)>O,

，在區(qū)間(1,e)內一定存在實數(shù)m,使得9(m)=0，

:.在區(qū)間(1,⑼內8(%)<0恒成立，即力(*)<0恒成立,人㈤在區(qū)間(1,m)內單調遞減，

工存在x()W(l，m),使得人(%0)</7(。=0,符合題意.

綜上所述，當。>1時，對任意b￡[-2,-1],都存在x￡(l,e),使得|x)<0成立.

7.已知函數(shù)危)=e，-ax2.

(1)若4=1,證明：當后0時，兀T巨1；

(2)若人外在區(qū)間(0,+8)內只有一個零點，求A.

答案：⑴證明當。=1時，等價于(f+De*?1W0.

設函數(shù)g(x)=Qct+\)t'x-1>

則g'a)=-(1-2v+l)er=-(X-l)2ex.

當今1時，gQ)<0,所以g(x)在區(qū)間(0,+oo)單調遞減.而g(0)=0,故當后0時，g(x)WO,即於巨1.

(2)解設函數(shù)，G)=1-ar%-*.

1工)在區(qū)間(0,+00)只有一個零點當且僅當力(x)在區(qū)間(0,+8)只有一個零點.

⑴當好0時,A(x)>0,〃(x)沒有零點；

(ii)當。>0時，h\x)=ax(x-2)e\

當工￡(0,2)時，/2r(x)<0；

當x￡(2,+oo)時，h\x)>0.

所以〃(x)在區(qū)間(0,2)單調遞減，在區(qū)間(2,+8)單調遞增.

故4(2)=1-號是力(x)在區(qū)間[0,+8)的最小值.

①若林2)>0,即々<針，人。)在區(qū)間(0,+8)沒有零點；

4

②若依2)=0,即〃(為在區(qū)間(0,+8)只有一個零點；

4

③若b(2)<0,即由于力(0)=1,所以力(x)在區(qū)間(0,2)有一個零點.

4

由(1)知，當x>0時，e'X2,

所以卜(曲)=1.喏=1-溫>1-霹勺4>0?

故人。)在(2,4a)有一個零點.

因此依幻在區(qū)間(0,+8)有兩個零點.

綜上，?X)在區(qū)間(0,+8)只有一個零點時，

8.已知函數(shù)兀i)=xlnx,g(x)=(-f-3)e*(〃為實數(shù)).

⑴當。=5時，求函數(shù).尸g(x)在彳=1處的切線方程；

(2)求/(x)在區(qū)間丘，什2](，>0)上的最小值；

(3)若方程g(x)=2ey㈤存在兩個不等實根如旦M，旌fe],求實數(shù)。的取值范圍.

解析：(1)因為當。=5時,g(x)=(+5x-3)e'所以g(l)=e,g'(x)=(-A2+31+2)8.

所以切線的斜率為g(l)=4e.

所以所求切線方程為y-e=4e(x-1),即y=4ex-3e.

(2)f(A)=lnx+1,

令人處=0,得

當x變化時，/(x),?x)的變化情況如下表：

X1