2023版高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)第八章統(tǒng)計(jì)與統(tǒng)計(jì)分析第二講用樣本估計(jì)總體課件

第二講用樣本估計(jì)總體課標(biāo)要求考情分析1.能用樣本估計(jì)總體的集中趨勢(shì)參數(shù)(平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù))，理解集中趨勢(shì)參數(shù)的統(tǒng)計(jì)含義.2.能用樣本估計(jì)總體的離散程度參數(shù)(標(biāo)準(zhǔn)差、方差、極差)，理解離散程度參數(shù)的統(tǒng)計(jì)含義.3.能用樣本估計(jì)總體的取值規(guī)律，能用樣本估計(jì)百分位數(shù)，理解百分位數(shù)的統(tǒng)計(jì)含義1.考查平均數(shù)、方差的計(jì)算及頻率分布直方圖的簡(jiǎn)單應(yīng)用.2.題型以選擇題、填空題為主，出現(xiàn)解答題時(shí)常與概率結(jié)合1.總體取值規(guī)律的估計(jì)(1)繪制頻率分布直方圖的步驟①求極差：即一組數(shù)據(jù)中最大值與最小值的差.②決定組距和組數(shù)：當(dāng)樣本容量不超過100時(shí)，常分

成5～12組，組距＝

③將數(shù)據(jù)分組：通常對(duì)組內(nèi)數(shù)值所在區(qū)間取左閉右開區(qū)間，最后一組取閉區(qū)間，也可以將樣本數(shù)據(jù)多取一位小數(shù)分組.④列頻率分布表：登記頻數(shù)，計(jì)算頻率，列出頻率分布表.

將樣本數(shù)據(jù)分成若干個(gè)小組，每個(gè)小組內(nèi)的樣本個(gè)數(shù)稱作頻數(shù)，頻數(shù)與樣本容量的比值叫做這一小組的頻率.頻率反映各個(gè)數(shù)據(jù)在每組所占比例的大小.

⑤畫頻率分布直方圖：把橫軸分成若干段，每一段對(duì)應(yīng)一個(gè)組距，然后以線段為底作一小長(zhǎng)方形，它的高等于

頻率該組的 組距，這樣得到一系列的長(zhǎng)方形，每個(gè)長(zhǎng)方形的面積恰好是該組的頻率.這些矩形就構(gòu)成了頻率分布直方圖，各個(gè)長(zhǎng)方形的面積總和等于1.(2)不同統(tǒng)計(jì)圖的特點(diǎn)

扇形圖主要用于直觀描述各類數(shù)據(jù)占總數(shù)的比例；條形圖和直方圖主要用于直觀描述不同類別或分組數(shù)據(jù)的頻數(shù)和頻率；折線圖主要用于描述數(shù)據(jù)隨時(shí)間的變化趨勢(shì).條形圖適用于描述離散型數(shù)據(jù)，直方圖適用于描述連續(xù)性數(shù)據(jù).2.總體百分位數(shù)的估計(jì)(1)第p百分位數(shù)的定義

一般地，一組數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù)是這樣一個(gè)值，它使得這組數(shù)據(jù)中至少有p%的數(shù)據(jù)小于或等于這個(gè)值，且至少有(100－p)%的數(shù)據(jù)大于或等于這個(gè)值. (2)計(jì)算一組n個(gè)數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù)的步驟 第1步，按從小到大排列原始數(shù)據(jù).

第2步，計(jì)算i＝n×p%.

第3步，若i不是整數(shù)，而大于i的比鄰整數(shù)為j，則第p百分位數(shù)為第j項(xiàng)數(shù)據(jù)；若i是整數(shù)，則第p百分位數(shù)為第i項(xiàng)與第(i＋1)項(xiàng)數(shù)據(jù)的平均數(shù).(3)四分位數(shù)

25%,50%,75%這三個(gè)分位數(shù)把一組由小到大排列后的數(shù)據(jù)分成四等份，因此稱為四分位數(shù).其中第25百分位數(shù)也稱為第一四分位數(shù)或下四分位數(shù)，第75百分位數(shù)也稱為第三四分位數(shù)或上四分位數(shù).3.總體集中趨勢(shì)的估計(jì)(1)眾數(shù)在一組數(shù)據(jù)中，出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)叫做這組數(shù)據(jù)的眾數(shù).(2)中位數(shù)

將一組數(shù)據(jù)按大小依次排列，把處在最中間位置的一個(gè)數(shù)據(jù)(或最中間兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù))叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù).在頻率分布直方圖中，中位數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積應(yīng)該相等.(3)平均數(shù)4.總體離散程度的估計(jì)

(3)標(biāo)準(zhǔn)差刻畫了數(shù)據(jù)的離散程度或波動(dòng)幅度，標(biāo)準(zhǔn)差越大，數(shù)據(jù)的離散程度越大；標(biāo)準(zhǔn)差越小，數(shù)據(jù)的離散程度越小.【名師點(diǎn)睛】(1)頻率分布直方圖中的常見結(jié)論①眾數(shù)的估計(jì)值為最高矩形的中點(diǎn)對(duì)應(yīng)的橫坐標(biāo).②平均數(shù)的估計(jì)值等于頻率分布直方圖中每個(gè)小矩形的面積乘以小矩形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和.③中位數(shù)的估計(jì)值的左邊和右邊的小矩形的面積和是相等的.題組一走出誤區(qū)

1.(多選題)樂樂家共有七人，已知今年這七人年齡的眾數(shù)為35，平均數(shù)為44，中位數(shù)為55，標(biāo)準(zhǔn)差為19，則5年后，下列說(shuō)法中正確的是()A.這七人歲數(shù)的眾數(shù)變?yōu)?0B.這七人歲數(shù)的平均數(shù)變?yōu)?9C.這七人歲數(shù)的中位數(shù)變?yōu)?0D.這七人歲數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差變?yōu)?4答案：ABC

2.某廠10名工人在一小時(shí)內(nèi)生產(chǎn)零件的個(gè)數(shù)分別是15,17,14,10,15,17,17,16,14,12，設(shè)該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為a，)第50百分位數(shù)為b，則有( A.a＝13.7，b＝15.5 B.a＝14，b＝15 C.a＝12，b＝15.5 D.a＝14.7，b＝15

答案：D題組二走進(jìn)教材3.(教材改編題)一個(gè)容量為32的樣本，已知某組樣本的頻率為0.25，則該組樣本的頻數(shù)為()B.8D.16A.4C.12答案：B

4.(教材改編題)已知樣本容量為200，在樣本的頻率分布直方圖中，共有n個(gè)小矩形，若中間一個(gè)小矩形的面積________.答案：50題組三真題展現(xiàn)

5.(2021年天津)從某網(wǎng)絡(luò)平臺(tái)推薦的影視作品中抽取400部，統(tǒng)計(jì)其評(píng)分?jǐn)?shù)據(jù)，將所得400個(gè)評(píng)分?jǐn)?shù)據(jù)分為8組：[66,70)，[70,74)，…，[94,98]，并整理得到如下的頻率分布直方圖8-2-1，則評(píng)分在區(qū)間[82,86)內(nèi)的影視作品數(shù)量是()圖8-2-1A.20B.40C.64D.80答案：D6.(多選題)(2021年新高考Ⅱ)下列統(tǒng)計(jì)量中，能度量樣本x1，x2，…，xn的離散程度的有(

)A.樣本x1，x2，…，xn的標(biāo)準(zhǔn)差B.樣本x1，x2，…，xn的中位數(shù)C.樣本x1，x2，…，xn的極差D.樣本x1，x2，…，xn的平均數(shù)答案：AC考點(diǎn)一頻率分布直方圖

[例1](1)為了了解某校九年級(jí)1600名學(xué)生的體能情況，隨機(jī)抽查了部分學(xué)生，測(cè)試1分鐘仰臥起坐的成績(jī)(次數(shù))，將數(shù)據(jù)整理后繪制成如圖8-2-2所示的頻率分布直方圖，根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖的數(shù)據(jù)，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是()圖8-2-2A.該校九年級(jí)學(xué)生1分鐘仰臥起坐的次數(shù)的中位數(shù)為26.25B.該校九年級(jí)學(xué)生1分鐘仰臥起坐的次數(shù)的眾數(shù)為27.5C.該校九年級(jí)學(xué)生1分鐘仰臥起坐的次數(shù)超過30的人數(shù)約為320D.該校九年級(jí)學(xué)生1分鐘仰臥起坐的次數(shù)少于20的人數(shù)約為32

解析：由頻率分布直方圖可知，中位數(shù)是頻率分布直方圖面積等分線對(duì)應(yīng)的數(shù)值，是26.25；眾數(shù)是最高矩形的中間值27.5；1分鐘仰臥起坐的次數(shù)超過30的頻率為0.2，所以估計(jì)1分鐘仰臥起坐的次數(shù)超過30的人數(shù)為320；1分鐘仰臥起坐的次數(shù)少于20的頻率為0.1，所以估計(jì)1分鐘仰臥起坐的次數(shù)少于20的人數(shù)為160.故選D.答案：D

(2)(2019年全國(guó)Ⅲ)為了解甲、乙兩種離子在小鼠體內(nèi)的殘留程度，進(jìn)行如下試驗(yàn)：將200只小鼠隨機(jī)分成A，B兩組，每組100只，其中A組小鼠給服甲離子溶液，B組小鼠給服乙離子溶液，每只小鼠給服的溶液體積相同、摩爾濃度相同.經(jīng)過一段時(shí)間后用某種科學(xué)方法測(cè)算出殘留在小鼠體內(nèi)離子的百分比，根據(jù)試驗(yàn)數(shù)據(jù)分別得到如下直方圖(如圖8-2-3)：甲離子殘留百分比直方圖乙離子殘留百分比直方圖圖8-2-3記C為事件：“乙離子殘留在體內(nèi)的百分比不低于5.5”，根據(jù)直方圖得到P(C)的估計(jì)值為0.70. ①求乙離子殘留百分比直方圖中a，b的值；②分別估計(jì)甲、乙離子殘留百分比的平均值(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表).解：①由已知得0.70＝a＋0.20＋0.15，故a＝0.35，b＝1－0.05－0.15－0.70＝0.10.②甲離子殘留百分比的平均值的估計(jì)值為2×0.15＋3×0.20＋4×0.30＋5×0.20＋6×0.10＋7×0.05＝4.05.乙離子殘留百分比的平均值的估計(jì)值為3×0.05＋4×0.10＋5×0.15＋6×0.35＋7×0.20＋8×0.15＝6.00.【題后反思】頻率、頻數(shù)、樣本容量的計(jì)算方法

【變式訓(xùn)練】

1.為了了解某校高三學(xué)生的視力情況，隨機(jī)地抽查了該校100名高三學(xué)生的視力情況，得到頻率分布直方圖(如圖8-2-4)，由于不慎將部分?jǐn)?shù)據(jù)丟失，但知道后5組頻數(shù)和為62，設(shè)視力在4.6到4.8之間的學(xué)生數(shù)為a，最大頻率為0.32，則a的值為()圖8-2-4A.64B.54C.48D.27

解析：前兩組中的頻數(shù)為100×(0.05＋0.11)＝16.因?yàn)楹笪褰M頻數(shù)和為62，所以前三組頻數(shù)和為38.所以第三組頻數(shù)為38－16＝22.又最大頻率為0.32，對(duì)應(yīng)的最大頻數(shù)為0.32×100＝32.所以a＝22＋32＝54.故選B.答案：B

2.(2021年石家莊模擬)“一帶一路”是“絲綢之路經(jīng)濟(jì)帶”和“21世紀(jì)海上絲綢之路”的簡(jiǎn)稱.某市為了了解人們對(duì)“一帶一路”的認(rèn)知程度，對(duì)不同年齡和不同職業(yè)的人舉辦了一次“一帶一路”知識(shí)競(jìng)賽，滿分為100分(90分及以上為認(rèn)知程度高).現(xiàn)從參賽者中抽取了x人，按年齡分成5組，第一組：[20,25)，第二組：[25,30)，第三組：[30,35)，第四組：[35,40)，第五組：[40,45]，得到如圖8-2-5所示的頻率分布直方圖，已知第一組有6人.圖8-2-5(1)求x；(2)求抽取的x人的年齡的中位數(shù)(結(jié)果保留整數(shù))；

(3)從該市大學(xué)生、軍人、醫(yī)務(wù)人員、工人、個(gè)體戶五種人中用分層隨機(jī)抽樣的方法依次抽取6人，42人，36人，24人，12人，分別記為1～5組，從這5個(gè)按年齡分的組和5個(gè)按職業(yè)分的組中每組各選派1人參加知識(shí)競(jìng)賽，分別代表相應(yīng)組的成績(jī)，年齡組中1～5組的成績(jī)分別為93,96,97,94,90，職業(yè)組中1～5組的成績(jī)分別為93,98,94,95,90.(ⅰ)分別求5個(gè)年齡組和5個(gè)職業(yè)組成績(jī)的平均數(shù)和方差；

(ⅱ)以上述數(shù)據(jù)為依據(jù)，評(píng)價(jià)5個(gè)年齡組和5個(gè)職業(yè)組對(duì)“一帶一路”的認(rèn)知程度，并談?wù)勀愕母邢? (ⅱ)從平均數(shù)來(lái)看兩組的認(rèn)知程度相同，從方差來(lái)看年齡組的認(rèn)知程度更穩(wěn)定.(感想合理即可)考點(diǎn)二樣本的數(shù)字特征

[例2](1)(2021年天河一模)高鐵、掃碼支付、共享單車、網(wǎng)購(gòu)被稱為中國(guó)的“新四大發(fā)明”，為評(píng)估共享單車的使用情況，選了n座城市作實(shí)驗(yàn)基地，這n座城市共享單車的使用量(單位：人次/天)分別為x1，x2，…，xn，下面給出的指標(biāo)中可以用來(lái)評(píng)估共享單車使用量的穩(wěn)定程度的是()A.x1，x2，…xn的平均數(shù)

B.x1，x2，…xn的標(biāo)準(zhǔn)差C.x1，x2，…xn的最大值

D.x1，x2，…xn的中位數(shù)解析：表示一組數(shù)據(jù)x1，x2，…xn的穩(wěn)定程度是方差或標(biāo)準(zhǔn)差.故選B.答案：A A.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本平均數(shù)相同

B.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本中位數(shù)相同

C.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本標(biāo)準(zhǔn)差相同

D.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本極差相同(2)(多選題)(2021年新高考Ⅰ)有一組樣本數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn，由這組數(shù)據(jù)得到新樣本數(shù)據(jù)y1，y2，…，yn，其中yi＝xi＋c(i＝1,2，…，n)，c為非零常數(shù)，則(

)

解析：對(duì)于A，兩組樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)的差為c，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本中位數(shù)的差是c，故B答案：CD錯(cuò)誤；對(duì)于C，∵標(biāo)準(zhǔn)差D(yi)＝D(xi＋c)＝D(xi)，∴兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本標(biāo)準(zhǔn)差相同，故C正確；對(duì)于D，∵yi＝xi＋c(i＝1,2，…，n)，c為非零常數(shù)，x的極差為xmax－xmin，y的極差為(xmax＋c)－(xmin＋c)＝xmax－xmin，∴兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本極差相同，故D正確.故選CD.

【變式訓(xùn)練】

1.(多選題)已知某樣本的容量為

50，平均數(shù)為70，方差為75.現(xiàn)發(fā)現(xiàn)在收集這些數(shù)據(jù)時(shí)，其中的兩個(gè)數(shù)據(jù)記錄有誤，一個(gè)錯(cuò)將80記錄為60，另一個(gè)錯(cuò)將70記錄為90.在對(duì)錯(cuò)誤的數(shù)據(jù)進(jìn)行更正后，重新求得樣本的平均數(shù)為x，方差為s2，則()答案：AC運(yùn)動(dòng)員第1次第2次第3次第4次第5次甲8791908993乙89909188922.抽樣統(tǒng)計(jì)甲、乙兩位射擊運(yùn)動(dòng)員的5次訓(xùn)練成績(jī)(單位：環(huán))，結(jié)果如下表：則成績(jī)較為穩(wěn)定的那位運(yùn)動(dòng)員成績(jī)的方差為______.答案：2⊙統(tǒng)計(jì)圖表及其應(yīng)用

[例3]某地區(qū)經(jīng)過一年的新農(nóng)村建設(shè)，農(nóng)村的經(jīng)濟(jì)收入增加了一倍，實(shí)現(xiàn)翻番.為更好地了解該地區(qū)農(nóng)村的經(jīng)濟(jì)收入變化情況，統(tǒng)計(jì)了該地區(qū)新農(nóng)村建設(shè)前后農(nóng)村的經(jīng)濟(jì)收入構(gòu)成比例，得到如下餅圖(如圖8-2-6)：圖8-2-6則下面結(jié)論中錯(cuò)誤的是()

A.新農(nóng)村建設(shè)后，種植收入減少

B.新農(nóng)村建設(shè)后，其他收入增加了一倍以上

C.新農(nóng)村建設(shè)后，養(yǎng)殖收入增加了一倍

D.新農(nóng)村建設(shè)后，養(yǎng)殖收入與第三產(chǎn)業(yè)收入的總和超過了經(jīng)濟(jì)收入的一半收入類型新農(nóng)村建設(shè)前新農(nóng)村建設(shè)后新農(nóng)村建設(shè)后變化情況結(jié)論種植收入60%a37%×2a＝74%a增加A錯(cuò)其他收入4%a5%×2a＝10%a增加了一倍以上B對(duì)

解析：設(shè)新農(nóng)村建設(shè)前農(nóng)村的經(jīng)濟(jì)收入為a，則新農(nóng)村建設(shè)后，農(nóng)村的經(jīng)濟(jì)收入為2a.新農(nóng)村建設(shè)前后各項(xiàng)收入的對(duì)比如下表：收入類型新農(nóng)村建設(shè)前新農(nóng)村建設(shè)后新農(nóng)村建設(shè)后變化情況結(jié)論養(yǎng)殖收入30%a30%×2a＝60%a增加了一倍C對(duì)養(yǎng)殖收入＋第三產(chǎn) 業(yè)收入(30%＋6%)a

＝36%a

(30%＋28%)×2a＝116%a

超過經(jīng)濟(jì)收入2a的一半D對(duì)(續(xù)表)答案：A[例4]某企業(yè)2020年12個(gè)月的收入與支出數(shù)據(jù)的折線圖如圖8-2-7：圖8-2-7已知利潤(rùn)＝收入－支出，根據(jù)該折線圖，下列說(shuō)法正確的是()

A.該企業(yè)2020年1月至6月的總利潤(rùn)低于2020年7月至12月的總利潤(rùn)

B.該企業(yè)2020年1月至6月的平均收入低于2020年7月至12月的平均收入

C.該企業(yè)2020年8月至12月的支出持續(xù)增長(zhǎng)

D.該企業(yè)2020年11月份的月利潤(rùn)最大

解析：對(duì)于A，由收入曲線與支出曲線差的幅度可得，企業(yè)2020年1月至6月的總利潤(rùn)低于2020年7月至12月的總利潤(rùn)，故A正確；對(duì)于B,2020年下半年的收入曲線的點(diǎn)明顯高于2020年上半年的收入曲線的點(diǎn)，故該企業(yè)2020年1月至6月的平均收入低于2020年7月至12月的平均收入，故B正確；對(duì)于C，企業(yè)2020年8月至12月的支出曲線逐月上升，故C正確；對(duì)于D,7月，8月利潤(rùn)都大于11月，故D錯(cuò)誤.故選ABC.答案：ABC【反思感悟】(1)通過扇形統(tǒng)計(jì)圖可以很清楚地表示出各部分?jǐn)?shù)量同總數(shù)之間的關(guān)系.

(2)折線圖可以顯示隨時(shí)間(根據(jù)常用比例放置)而變化的連續(xù)數(shù)據(jù)，因此非常適用于顯示在相等時(shí)間間隔下數(shù)據(jù)的變化趨勢(shì).

【高分訓(xùn)練】

1.已知某地區(qū)中小學(xué)生人數(shù)和近視情況分別如圖8-2-8①和圖8-2-8②所示.為了了解該地區(qū)中小學(xué)生的近視形成原因，用分層隨機(jī)抽樣的方法抽取2%的學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，)則樣本容量和抽取的高中生近視人數(shù)分別為(

圖8-2-8A.20