高中數(shù)學(xué)：導(dǎo)學(xué)案：合情推理 (一)

2.1.1合情推理

學(xué)習(xí)1標(biāo)

1.結(jié)合已學(xué)過的數(shù)學(xué)實例，了解歸納推理的含義；

2.能利用歸納進(jìn)行簡單的推理，體會并認(rèn)識歸納推理在數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)中的作用.

學(xué)習(xí)過程

一、課前準(zhǔn)備

（預(yù)習(xí)教材0P72,找出疑惑之處）

在日常生活中我們常常遇到這樣的現(xiàn)象：

（1）看到天空烏云密布，燕子低飛，螞蟻搬家，推斷天要下雨;

（2）八月十五云遮月，來年正月十五雪打燈.

以上例子可以得出推理是________________________

_________________________________的思維過程.

二、新課導(dǎo)學(xué)

學(xué)習(xí)探究

探究任務(wù)：歸納推理

問題1:哥德巴赫猜想：觀察6=3+3,8=5+3,10=5+5,12=5+7,12=7+7,16=13+3,

18=11+7,20=13+7,...,50=13+37,...,100=3+97,猜想：

問題2：由銅、鐵、鋁、金等金屬能導(dǎo)電，歸納出

新知：歸納推理就是由某些事物的，推出該類事物的

的推理，或者由的推理.簡言之，歸納推理是

由的推理.

典型例題

例1觀察下列等式：1+3=4=22,

1+3+5=9=32,

1+3+5+7=16=4?,

1+3+5+7+9=25=52,

你能猜想到一個怎樣的結(jié)論?

變式：觀察下列等式：1=1

1+8=9,

1+8+27=36,

1+8+27+64=100,

你能猜想到一個怎樣的結(jié)論?

例2已知數(shù)列｛風(fēng)｝的第一項4=1,且am試歸納出這個數(shù)列

1+4

的通項公式.

變式：在數(shù)列｛0｝中，??=1(??+-L)(?>2),試猜想這個數(shù)列的通項公式.

24

動手試試

練1.應(yīng)用歸納推理猜測7111---1-222---2的結(jié)果.

練2.在數(shù)列｛%｝中，4=1,q（〃eN*）,試猜想這個數(shù)列的通項公式.

2+%

三、總結(jié)提升

學(xué)習(xí)小結(jié)

1.歸納推理的定義.

2.歸納推理的一般步驟：

①通過觀察個別情況發(fā)現(xiàn)某些相同的性質(zhì)；

②從已知的相同性質(zhì)中推出一個明確表述的一般性命題（猜想）.

知識拓展

1.費馬猜想：法國業(yè)余數(shù)學(xué)家之王一費馬（1601-1665）在1640年通過對

223

=2°+1=3,6=2味+1=5,g=2"+1=17,F3=2+1=257,居=2?"+1=65537

的觀察，發(fā)現(xiàn)其結(jié)果都是素數(shù)，提出猜想：對所有的自然數(shù)“，任何形如￡=2,+1

的數(shù)都是素數(shù).后來瑞士數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)現(xiàn)

居=2哀+1=4294967297=641x6700417不是素數(shù),推翻費馬猜想.

2.四色猜想：1852年，畢業(yè)于英國倫敦大學(xué)的弗南西斯.格思里來到一家科研單

位搞地圖著色工作時，發(fā)現(xiàn)了一種有趣的現(xiàn)象：“每幅地圖都可以用四種顏色著

色，使得有共同邊界的國家著上不同的顏色.”，四色猜想成了世界數(shù)學(xué)界關(guān)注的

問題.1976年，美國數(shù)學(xué)家阿佩爾與哈肯在美國伊利諾斯大學(xué)的兩臺不同的電子

計算機上，用1200個小時，作了100億邏輯判斷，完成證明.

學(xué)習(xí)評價

當(dāng)堂檢測(時量：5分鐘滿分：10分)計分：

1.下列關(guān)于歸納推理的說法錯誤的是().

A.歸納推理是由一般到一般的一種推理過程

B.歸納推理是一種由特殊到一般的推理過程

C.歸納推理得出的結(jié)論具有或然性，不一定正確

D.歸納推理具有由具體到抽象的認(rèn)識功能

2.若/(〃)=/+"+41,下列說法中正確的是().

A./⑺可以為偶數(shù)B./⑺一定為奇數(shù)

C./(〃)一定為質(zhì)數(shù)D.7(〃)必為合數(shù)

3.已知/(x+l)="⑴，川)=1(無wN*),猜想/(%)的表達(dá)式為().

/(尤)+2

4B

A./(x)=------『加高

2*+2

C-"止占D./(尤)=--—

2x+l

4.f(n)^l+-+-+---+-(neN)經(jīng)計算得

23n+

357

/(2)=-,/(4)>2,/(8)>-,/(16)>3,/(32)>-猜測當(dāng)n>2時有

5.從1=12,2+3+4=32,3+4+5+6+7=52中得出的一般性結(jié)論是

課后作業(yè)

1.對于任意正整數(shù)n,猜想(2〃-1)與(“+1)2的大小關(guān)系.

2.已知數(shù)列｛應(yīng)｝的前〃項和S“，％=二，滿足5“+工+2=g（〃22）,計算

3S"

耳㈤偈㈤，并猜想S“的表達(dá)式.

3.在等差數(shù)列｛qj中，若4[0=0,則有

4+a2H---Fa”=a1+為+—F匍-<19,〃eN）成AL,類比上述性質(zhì)，在等比數(shù)列｛6.｝

中，若d=1,則存在怎樣的等式？

11

4.在各項為