4.3.1等比數(shù)列的概念（第1課時）課件高二上學期數(shù)學人教A版選擇性

第四章數(shù)列4.3.1等比數(shù)列的概念第1課時等比數(shù)列的概念及通項公式人教A版

數(shù)學

選擇性必修第二冊課程標準1.理解等比數(shù)列的概念,理解等比中項的概念.2.掌握等比數(shù)列的通項公式,能運用公式解決相關(guān)問題.3.掌握等比數(shù)列的判斷與證明方法.基礎(chǔ)落實·必備知識全過關(guān)知識點1

等比數(shù)列一般地,如果一個數(shù)列從

起,每一項與它的前一項的比都等于

,那么這個數(shù)列叫做等比數(shù)列,這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的

,公比通常用字母q表示(顯然q≠0).

第2項

同一個常數(shù)公比名師點睛對等比數(shù)列定義的理解(1)定義中強調(diào)“從第2項起”,因為第1項沒有前一項.(2)每一項與它的前一項的比必須是同一個常數(shù)(因為同一個常數(shù)體現(xiàn)了等比數(shù)列的基本特征).(3)公比q是每一項(從第2項起)與它的前一項的比,不要把分子與分母弄顛倒.(4)等比數(shù)列中的任何一項均不能為零.(5)等比數(shù)列的公比可以是正數(shù)、負數(shù),但不能為零.過關(guān)自診1.常數(shù)列可以是等比數(shù)列嗎?提示

各項不為0的常數(shù)列是等比數(shù)列;各項為0的常數(shù)列不是等比數(shù)列.(2)0,1,2,4,8;2.判斷下列數(shù)列是否為等比數(shù)列:(1)1,1,1,1,1;解

所給數(shù)列是首項為1,公比為1的等比數(shù)列.解

因為0不能作除數(shù),所以這個數(shù)列不是等比數(shù)列.解

所給數(shù)列是首項為1,公比為-的等比數(shù)列.知識點2

等比中項如果在a與b中間插入一個數(shù)G,使a,G,b成等比數(shù)列,那么G叫做a與b的等比中項,此時

.

G2=ab名師點睛等比中項概念的理解(1)只有同號的兩個實數(shù)才有等比中項.(2)若兩個實數(shù)有等比中項,則一定有兩個,它們互為相反數(shù).過關(guān)自診1.等比中項與等差中項有什么區(qū)別?提示

(1)任意兩個數(shù)都存在等差中項,但不是任意兩個數(shù)都存在等比中項,當且僅當兩數(shù)同號且均不為0時,才存在等比中項.(2)任意兩個數(shù)的等差中項是唯一的,而若兩個數(shù)有等比中項,則這兩個數(shù)的等比中項有兩個,且互為相反數(shù).2.[人教B版教材習題]求下列各組數(shù)的等比中項.(1)4,9;答案

±6.知識點3

等比數(shù)列的通項公式首項為a1,公比為q的等比數(shù)列{an}的通項公式為an=

.

名師點睛已知等比數(shù)列的首項和公比,可以求得任意一項.已知a1,n,q,an四個量中的三個,可以求得第四個量.a1qn-1過關(guān)自診[人教B版教材習題]已知{an}為等比數(shù)列,填寫下表.序號a1qnan(1)3-25

(2)

4

(3)-2

4-32(4)3

548(5)32

2448±24重難探究·能力素養(yǎng)全提升重難探究·能力素養(yǎng)全提升探究點一等比數(shù)列通項公式的應用【例1】

在等比數(shù)列{an}中,求解下列問題:分析

先根據(jù)等比數(shù)列的通項公式,結(jié)合條件列出方程(組)求得a1,q,再解決其他問題.(2)若a2=4,q=2,an=128,求n;(3)若a2+a5=18,a3+a6=9,求a7.解

由a2=4,q=2,得a1=2,所以2×2n-1=128,解得n=7.規(guī)律方法

等比數(shù)列的計算(1)等比數(shù)列的基本量是a1,q和n,很多等比數(shù)列問題都可以歸結(jié)為其基本量的運算問題.解決這類問題時,最核心的思想方法是解方程(組)的方法,即依據(jù)題目條件,先根據(jù)等比數(shù)列的通項公式建立關(guān)于a1和q的方程(組),再解方程(組),求得a1和q的值,最后解決其他問題.(2)在等比數(shù)列的基本量運算問題中,建立方程(組)進行求解時,要注意運算的技巧性,特別注意整體思想的應用.變式訓練1在等比數(shù)列{an}中,(1)已知a1=3,q=-2,求a6;(2)已知a3=20,a6=160,求an.

解

由等比數(shù)列的通項公式,得a6=3×(-2)6-1=-96.探究點二等比中項及其應用【例2】

(1)已知等比數(shù)列的前3項依次為x,2x+2,3x+3,求實數(shù)x的值.分析

可由等比中項的定義建立關(guān)于x的方程求解;解

因為等比數(shù)列的前3項依次為x,2x+2,3x+3,所以x(3x+3)=(2x+2)2,解得x=-1或x=-4.又因為當x=-1時,2x+2=3x+3=0不合題意,所以實數(shù)x的值為-4.(2)已知等比數(shù)列{an},a2a3a4=64,a3+a6=36,求a1和a5的等比中項.分析

先求出a1和a5的值,再根據(jù)等比中項的定義求解.規(guī)律方法

涉及3個數(shù)成等比數(shù)列時,常利用等比中項列式求解,使用等比中項時,要注意只有同號的兩個數(shù)才有等比中項,要注意根據(jù)題意選擇等比中項的符號.變式訓練2在等差數(shù)列{an}中,a1=9,公差d=1.若ak是a1和a2k的等比中項,則k=(

)A.2 B.4 C.6 D.8B解析

依題意,得

=a1a2k,即[9+(k-1)]2=9[9+(2k-1)],整理得k2-2k-8=0,解得k=4(k=-2舍去).

解

因為lg

a1,lg

a2,lg

a4成等差數(shù)列,所以2lg

a2=lg

a1+lg

a4,即

=a1·a4,設(shè){an}的公差為d,所以(a1+d)2=a1·(a1+3d)?d2=a1d?d=0或d=a1.①當d=0時,{an}為常數(shù)列且各項均為正數(shù),所以{bn}也為常數(shù)列且各項均為正數(shù).所以{bn}為等比數(shù)列.所以{bn}為等比數(shù)列.綜合①②可知,{bn}為等比數(shù)列.規(guī)律方法

判斷或證明一個數(shù)列是等比數(shù)列的主要方法如下:變式訓練3已知數(shù)列{an}是首項為3,公差為2的等差數(shù)列,令bn=,求證:數(shù)列{bn}是等比數(shù)列.證明依題意得an=3+(n-1)×2=2n+1,∴bn=52n+1,探究點四構(gòu)造等比數(shù)列求通項公式【例4】

(1)在數(shù)列{an}中,a1=1,an+1=2an+1,求通項公式an.分析

配常數(shù).解

由an+1=2an+1,可得an+1+1=2(an+1),∵a1=1,∴a1+1=2≠0,∴{an+1}是首項為2,公比為2的等比數(shù)列.∴an+1=2×2n-1=2n,即an=2n-1.分析

取對數(shù).規(guī)律方法

構(gòu)造新數(shù)列的技巧有些數(shù)列本身不是等差、等比數(shù)列,但是通過適當?shù)淖冃?可以構(gòu)造出等差、等比數(shù)列.常見的構(gòu)造方法有:(1)取倒數(shù)法;(2)配常數(shù)法;(3)取對數(shù)法;(4)配函數(shù)法等.變式訓練4數(shù)列{an}滿足an+1-3=4an,且a1=1,求此數(shù)列的通項公式.解

由an+1-3=4an,可得an+1+1=4(an+1),由a1=1可知an+1≠0,則

=4.又a1=1,所以a1+1=2,所以數(shù)列{an+1}是以2為首項,4為公比的等比數(shù)列,則有an+1=2×4n-1=22n-1,即an=22n-1-1.本節(jié)要點歸納1.知識清單:(1)等比數(shù)列的概念.(2)等比中項的概念.(3)等比數(shù)列通項公式的推導及應用.(4)等比數(shù)列的判定或證明.2.方法歸納:定義法、累乘法、通項公式法、方程(組)思想.3.常見誤區(qū):(1)由a,G,b成等比數(shù)列能推出G2=ab,但由G2=ab不能推出a,G,b成等比數(shù)列;(2)當公比用分數(shù)、負數(shù)表示時,易忽略對公比加上括號.重難探究·能力素養(yǎng)全提升成果驗收·課堂達標檢測12345678910111213141516A級必備知識基礎(chǔ)練171819201.[探究點一]在等比數(shù)列{an}中,a3=1,a7=3,則a15的值為(

)A.9 B.27

C.81

D.243B解析

設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q,由a7=a3q4,得q4=3,所以a15=a3q12=a3(q4)3=33=27.故選B.12345678910111213141516171819202.[探究點一·2023福建福州月考]在數(shù)列{an}中,an+1=-2an,且a2=1,則an=(

)A.2n-2

B.(-2)n-2 C.2n-1

D.(-2)n-1B解析

∵an+1=-2an,a2=1,12345678910111213141516171819203.[探究點三·2023廣東佛山月考](多選題)已知函數(shù)f(x)=lgx,則下列說法正確的是(

)B.f(2),f(4),f(8)成等差數(shù)列C.f(2),f(4),f(16)成等比數(shù)列D.f(2),f(12),f(72)成等比數(shù)列ABC1234567891011121314151617181920A.①

B.②

C.③

D.④

AB12345678910111213141516171819205.[探究點二]在160與5中間插入4個數(shù),使它們同這兩個數(shù)成等比數(shù)列,則這4個數(shù)依次為

.

80,40,20,10解析

設(shè)這6個數(shù)所成等比數(shù)列的公比為q,∴這4個數(shù)依次為80,40,20,10.12345678910111213141516171819206.[探究點一]在數(shù)列{an}中,已知a1=3,且對任意正整數(shù)n都有2an+1-an=0,則an=

.

12345678910111213141516171819207.[探究點二]在等比數(shù)列{an}中,若a1=,公比q=2,則a4與a8的等比中項是

.

±4解析

依題意,得a6=a1q5=×25=4,而a4與a8的等比中項是±a6,故a4與a8的等比中項是±4.123456789101112131415161718192012345678910111213141516171819209.[探究點四]已知在數(shù)列{an}中,a1=1且2an+1=6an+2n-1(n∈N*).(2)求數(shù)列{an}的通項公式.B級關(guān)鍵能力提升練1234567891011121314151617181920A.唯一解

B.無解C.無數(shù)多組解

D.不能確定C1234567891011121314151617181920C1234567891011121314151617181920A123456789101112131415161718192013.(多選題)已知{an}為等比數(shù)列,下列結(jié)論正確的是(

)C.若a3=a5,則a1=a2

D.若a5>a3,則a7>a5ABD1234567891011121314151617181920123456789101112131415161718192014.已知一個等比數(shù)列的各項均為正數(shù),且它的任何一項都等于它后兩項的和,則它的公比q=

.

12345678910111213141516171819203212345678910111213141516171819202n-1所以數(shù)列{bn}是首項為1,公比為2的等比數(shù)列,所以bn=1×2n-1=2n-1.123456789101112131415161718192017.已知數(shù)列{an}的前n項和Sn=2an+1,(1)求證:{an}是等比數(shù)列,并求出其通項公式;(2)設(shè)bn=an+1+2an,求證:數(shù)列{bn}是等比數(shù)列.證明(1)∵Sn=2an+1,∴Sn+1=2an+1+1,Sn+1-Sn=an+1=(2an+1+1)-(2an+1)=2an+1-2an,∴an+1=2an.由已知及上式可知an≠0.∴由

=2知{an}是等比數(shù)列.由a1=S1=2a1+1,得a1=-1,∴an=-2n-1.1234567891011121314151617181920(2)由(1)知,an=-2n-1,∴bn=an+1+2an=-2n-2×2n-1=-2×2n=-2n+1=-4×2n-1.123456789101112131415161718192018.已知數(shù)列{an}和{bn}滿足:a1=λ,an+1=an+n-4,bn=(-1)n·(an-3n+21),其中λ為實數(shù),n為正整數(shù).(1)對任意實數(shù)λ,證明數(shù)列{an}不是等比數(shù)列;