《高等數(shù)學》(第三版)教案第五章全

《高等數(shù)學》（第三版）教案第五章全5.1.1空間直角坐標系教學目標： （1）理解空間直角坐標系及其相關(guān)概念；（2）記住空間任意位置點的坐標的特征；（3）掌握空間兩點間的距離公式。教學重點： （1）空間直角坐標系及其相關(guān)概念；（2）空間兩點間的距離公式。教學難點： 空間任意位置點的坐標的特征。授課時數(shù)：1課時教學過程過程備注引言介紹本章學習的主要內(nèi)容。教師講授3′知識回顧高中階段，我們學習了平面直角坐標系，平面上的點與有序?qū)崝?shù)組之間建立了一一對應關(guān)系．于是，平面上的曲線與二元方程相對應．例如，圖5—1所示的拋物線與方程相對應；圖5—2所示的橢圓與方程相對應．圖5－1圖5－2教師講授與學生回答相結(jié)合6′新知識設(shè)為空間的任意一點，以點為原點，做相互垂直的三條數(shù)軸軸、軸、軸，且它們的正方向構(gòu)成右手系（圖5—3），這樣的坐標系稱為空間直角坐標系．軸、軸、軸分別稱為橫軸、縱軸、豎軸．每兩條坐標軸所決定的平面叫做坐標面，分別稱為面、坐標和面．三個坐標平面將空間分為八個卦限（如圖5—4所示）．圖5－3圖5－4如圖5—5所示，過空間任意一點分別作面、面、面的垂線，垂足分別為、、，則稱點、、分別為點在面、面、面上的投影．圖5圖5—5xyzOMFED由、、這三條兩兩垂直的直線，形成的三個兩兩垂直的平面分別與軸、軸、軸交于、、三點，稱、、三點分別為點在、、坐標軸上的投影．若在軸上的坐標為，在軸上的坐標為，在軸上的坐標為，則點與有序數(shù)組建立了一一對應關(guān)系，稱有序數(shù)組為點的坐標．、、分別稱為點的橫坐標、縱坐標、豎坐標．下面討論空間任意位置點的坐標的特征．設(shè)點為空間任意一點，則（1）當點M為x、y、z坐標軸上的點時，其坐標分別為，，；（2）當點M為坐標原點時，其坐標為；（3）當點M為坐標平面、、上的點的時，其坐標分別為，，；（4）當點M為八個卦限內(nèi)點的時，其坐標的符號特征如表5—1所示：表5—1卦限內(nèi)的點ⅠⅡⅢⅣⅤⅥⅦⅧ動畫演示圖5-4，教師講授結(jié)合圖形講解啟發(fā)學生完成18′知識鞏固例1說明下列各點在空間直角坐標系里的位置：；；；；．解由空間直角坐標系點的坐標特點得：點在軸的負半軸上；點在坐標面上；點在軸正半軸上；點在第四卦限；點在第六卦限．例2已知點，求點關(guān)于三個坐標軸的對稱點、關(guān)于三個坐標平面的對稱點及關(guān)于原點的對稱點．解關(guān)于軸的對稱點為；關(guān)于軸的對稱點為；關(guān)于軸的對稱點為；關(guān)于坐標平面的對稱點為；關(guān)于坐標平面的對稱點為；關(guān)于坐標平面的對稱點為；關(guān)于原點的對稱點為．教師講授23′知識回顧在平面直角坐標系中，點、間的距離為：．點線段的中點，則，．提問26′新知識同樣地，如圖圖5－6所示，在空間直角坐標系中，點、間的距離為 （5.1）設(shè)點線段的中點，則圖5－6，，． （5.2）圖5－6教師講授30′知識鞏固例3已知各頂點的坐標為：、、，求三條邊的長度及邊上的中線長．解由兩點間的距離公式得，三邊的長分別為：；；．邊上的中點為，所以邊上的中線長為．在教師引領(lǐng)下共同完成35′練習5.1.1已知點，求（1）點到原點的距離；（2）點關(guān)于軸的對稱點；（3）點關(guān)于平面的對稱點；（4）點到軸的距離；（5）點到平面的距離．學生課上完成42′小結(jié)新知識：空間直角坐標系及其相關(guān)概念，空間任意位置點的坐標的特征，空間兩點間的距離公式及線段的中點坐標公式。作業(yè)1.梳理5.1.1學習的內(nèi)容；2.完成高等數(shù)學習題集“”。45′5.1.2空間向量及其坐標表示教學目標：（1）了解空間向量及其相關(guān)的概念，了解空間向量坐標表示；（2）會求非零向量的方向角與方向余弦；教學重點： 空間向量及其相關(guān)的概念，空間向量坐標表示。 教學難點： 非零向量的方向角與方向余弦的理解。授課時數(shù)：2課時.教學過程過程備注知識回顧中職階段我們學習了平面向量．大家知道，既有大小又有方向的量，稱為向量，平面向量用平面的一條有向線段表示．在平面直角坐標系中，設(shè)x軸的單位向量為i,y軸的單位向量為j，點對應向量（圖5－7），把、分別叫做向量沿x軸、y軸方向的分向量.并把有序?qū)崝?shù)對叫做向量的坐標.起點A，終點B的向量的坐標為．圖5－7圖5—8教師講授與學生回答相結(jié)合10′新知識下面將平面向量的概念拓展到空間．用空間有向線段表示的向量叫做空間向量．以為起點、為終點的有向線段（如圖5—8）記作（或a）．有向線段的長度叫做向量的模，記作（或|a|），有向線段的方向表示向量的方向.模等于的向量稱為單位向量.模等于零的向量稱為零向量．如果一組向量用同一起點的有向線段表示后，這些有向線段在同一條直線上，那么稱這組向量共線；否則稱不共線．如果一組向量用同一起點的有向線段表示后，這些有向線段在同一個平面內(nèi)上，那么稱這組向量共面；否則稱不共面．在空間直角坐標系中，設(shè)x軸的單位向量為i,y軸的單位向量為j，z軸的單位向量為k，點對應向量（如圖5－9），把、、分別叫做向量沿x軸、y軸、z軸方向的分向量.并把并把有序?qū)崝?shù)對叫做向量的坐標，記作=．圖5－9在空間中，起點為點，終點為的向量的坐標為（5.3）因為，所以由公式（5.1）知（5.4）在空間任取一點，做有向線段，，則向量與向量正方向所夾最小正角，稱為兩向量與的夾角，記作（圖5—10）．向量與的夾角的范圍是．分別用、、表示非零向量與軸、軸、軸之間的夾角（如圖5—12所示），設(shè)顯然有，，，.圖5—10圖5—10圖5－11非零向量與軸、軸、軸之間的夾角、、稱為非零向量的三個方向角；、、稱為非零向量的三個方向余弦。設(shè)，則其坐標表達式分別為;;.顯然.(5.5)教師講授結(jié)合圖形或事物演示55′知識鞏固例4如圖5—12所示，已知點，沿方向的作用力的大小為．求力在、、軸上的分力．解設(shè)力與、、軸正方向的夾角分別為、、，由題意得，則，圖5—12圖5—12，，，所以，，．因此，力在、、軸上的投影分別為，，．在教師引領(lǐng)下完成65′練習5.1.21.設(shè)向量與軸、軸、軸之間的夾角分別為、、，且方向余弦分別滿足:,,.判斷向量與坐標軸及坐標平面之間的關(guān)系.2.已知空間兩點與，求向量的坐標、模、方向余弦及方向角.學生課上完成85′小結(jié)新知識：空間向量及其相關(guān)的概念，空間向量的坐標表示。作業(yè)1.對照平面向量記憶空間向量的相關(guān)知識；2.完成高等數(shù)學習題集“”。90′5.2.1向量的線性運算教學目標：（1）掌握用坐標表示進行向量的線性運算；（2）會用兩向量共線的條件判斷兩向量是否共線。教學重點： （1）向量的線性運算；（2）兩向量共線的條件。教學難點： 數(shù)乘向量的概念、向量的運算律的理解。授課時數(shù)：1課時.教學過程過程備注知識回顧高中階段我們學習過平面向量的線性運算，知道向量的加法、減法與數(shù)乘向量運算統(tǒng)稱為向量的線性運算，其運算的結(jié)果仍為向量．教師講授5′新知識平面向量線性運算的概念及法則，對于空間向量依然成立．1．向量的加法（1）平行四邊形法則（見圖5—13）；（2）三角形法則（見圖5—14）；圖5圖5—14圖5—132．向量的減法三角形法則（見圖5—15）或（見圖5—16）．圖5—15圖5—16圖5—15圖5—163．數(shù)乘向量實數(shù)與向量的乘積仍是一個向量，記作，它的模是，則（1）時，與方向一致，且；（2）時，與方向相反，且；（3）時，，且．由此不難得到以下結(jié)論：向量與非零向量共線存在唯一實數(shù)，使．4．運算律（1）交換律；（2）結(jié)合律，；（3）分配律，．5.用坐標表示的向量的線性運算設(shè)向量，，則（1）； （5.7）（2）． （5.8）6.共線向量設(shè)向量，，則由，可得． （5.9）教師講授20′知識鞏固例1設(shè)向量，，求，．解；．例2已知向量，，且，求、的值．解依題意有.解得，．在教師引領(lǐng)下完成30′練習5.2.1設(shè)向量，，求，,．學生課上完成40′小結(jié)新知識：向量的線性運算，兩向量共線的條件。作業(yè)完成高等數(shù)學習題集“”。45′5.2.2數(shù)量積與向量積教學目標：（1）理解向量的數(shù)量積與向量積的概念，并會進行運算；（2）會求兩個向量夾角，會判斷兩個向量是否垂直或平行。教學重點：（1）向量的數(shù)量積與向量積的概念及其運算；（2）兩個向量夾角，兩個向量垂直或平行的條件。 教學難點： 向量積概念的理解。授課時數(shù)：2課時.教學過程過程備注1．數(shù)量積新知識平面向量向量數(shù)量積的概念可以推廣到空間．一般地，設(shè)、為兩個空間向量，它們的模與夾角的余弦之積稱為向量與的數(shù)量積（或點積、內(nèi)積），記作．即．（5．10）對于空間向量，下面幾個重要結(jié)論同樣成立：（1）；（2）；（3）（、為非零向量）．空間向量的數(shù)量積滿足以下運算律：（1）交換律；（2）結(jié)合律；（3）分配律．設(shè)有兩個向量與，則. （5.11）并有以下重要結(jié)論：（1）； （5.12）（2）； （5.13）（3）． （5.14）教師講授10′知識鞏固例3已知，，求（1），；（2）；（3）．解（1），；（2）；（3）．例4設(shè)，，，求．解，而，，.所以．在教師引領(lǐng)下共同完成20′鏈接軟件利用微軟高級計算器可以方便的計算向量的數(shù)量積．計算例3（2）的操作為：（1）在計算器面板點擊“線性代數(shù)”→“內(nèi)積”，則輸入窗格顯示“inner(”；（2）利用鍵盤輸入“（-1,2,-3），（-2,1,2）”，再輸入“）”；（3）點擊“輸入”，則在功能區(qū)顯示出結(jié)果：．演示25′練習1、已知空間三點：，，，求（1）與的數(shù)量積；（2）與的夾角．2、計算以下各組向量的數(shù)量積：（1）與；（2）與．學生課上完成35′2．向量積的定義新知識設(shè)、為兩個向量，若向量滿足（1）；（2）垂直于、所決定的平面，它的正方向符合右手法則（圖5—17）．則向量稱為向量與向量積（或叉積、外積），記作，即．圖5—圖5—18圖5－17向量積的模，在幾何上表示以、為鄰邊的平行四邊形的面積（如圖5—18所示），即由定義可以得到：．（5．15）向量積滿足下列運算律：（1）反交換律（無交換律）；（2）結(jié)合律；（3）分配律．設(shè)與，則由于，，，，，，，因此.為了幫助記憶，利用二階行列式，即上式可寫成.（5.16）即（5.17）教師講授50′知識鞏固例5已知，，求．解．例6求以，，為頂點的的面積．解由向量的向量積的幾何意義知，，而，所以．在教師引領(lǐng)下共同完成65′鏈接軟件利用微軟高級計算器可以方便的計算向量的向量積（叉積）．計算例14，計算的操作為：（1）在計算器面板點擊“線性代數(shù)”→“叉積”，則輸入窗格顯示“inner(”；（2）按照提示利用鍵盤向量的坐標；（3）點擊“輸入”，則在功能區(qū)顯示出結(jié)果：．演示70′想一想向量的數(shù)量積與向量積主要區(qū)別為什么？75′練習5.2.2.21、已知空間三點：，，，求（1）與的向量積；（2）的面積．2、計算以下各組向量的向量積：（1）與；（2）與學生課上完成85′小結(jié)新知識：向量的數(shù)量積與向量積的概念及其運算，兩個向量夾角，兩個向量垂直或平行的條件。作業(yè)完成高等數(shù)學習題集“”。90′5.3.1平面的點法式方程教學目標：學會求平面的點法式方程。教學重點： 平面的點法式方程的求法。 教學難點： 建立平面的點法式方程過程的理解。授課時數(shù)：1課時.教學過程過程備注知識回顧在立體幾何的學習中，我們知道（1）如果直線與平面垂直，那么直線垂直于平面內(nèi)的所有直線；（2）過直線上的一個點P，有唯一確定的一個平面與直線垂直．教師引領(lǐng)5′新知識與平面垂直的非零向量叫做平面的法向量．顯然，平面的法向量不是唯一的．在空間直角坐標系中，設(shè)平面過點，其法向量為，點為平面上任意一點（圖5—19），因為向量平面，平面，所以．由向量垂直的充要條件知，而，因此有．圖5－19三元一次方程．（不全為）（5．18）稱為平面的點法式方程．其中向量為平面的一個法向量，點為平面內(nèi)的一個點．教師講授18′知識鞏固例1已知平面過點，其法向量為，求該平面的方程．解由平面的點法式方程得所求平面方程為，即所求平面方程為．例2求過點且與軸垂直的平面方程（圖5—20）．解取法向量，則所求平面方程為.即．在教師引領(lǐng)下共同完成28′練習5.3.1求滿足下列條件的平面方程：（1）過原點且與向量垂直的平面；（2）過點且與向量垂直的平面；（3）過點且與x軸垂直的平面；（4）過原點且與平面平行的平面．學生課上完成42′小結(jié)新知識：平面的點法式方程。作業(yè)1.通過圖5—20記憶求平面的點法式方程步驟;2.完成高等數(shù)學習題集“作業(yè)”。45′5.3.2平面的一般式方程教學目標：（1）學會求平面的一般式方程；（2）了解平面的截距式方程，會分析特殊位置的平面的特點；（3）會求點到平面的距離。教學重點： （1）平面的一般式方程；（2）點到平面的距離。教學難點： 分析特殊位置的平面的特點。授課時數(shù)：2課時.教學過程過程備注新知識 將平面的點法式方程化簡，得，其中，為常數(shù).設(shè)，則．（不全為）（5．19）方程（5．19）稱為平面的一般方程．不難看出，若一個平面的方程為，則其一個法向量為．教師講授5′知識鞏固例3求過，，的平面方程（圖5－21）．圖5—21解設(shè)所求平面方程為圖5—21x解得，，，x于是所求平面方程為，即．說明方程反映了平面在坐標軸的截距，稱為平面的截距式方程．根據(jù)截距式方程很容易畫出該平面的圖像．教師講授15′探究分析方程當?shù)南禂?shù)取特殊值時，平面的對應空間位置．發(fā)現(xiàn)：當系數(shù)時，方程為，法向量為垂直于x軸，故方程表示平行于x軸的平面．同樣，系數(shù)時,方程表示平行于y軸的平面；系數(shù)時，方程表示平行于z軸的平面．當系數(shù)時，方程為，表示經(jīng)過坐標原點的平面．當時，方程為，其法向量為同時垂直于x軸與y軸，即平行于面的平面．教師講授20′知識鞏固例4指出下列平面的位置特點：（1）；（2）；（3）；（4）．解（1）方程中，，所以方程表示過原點的平面；（2）方程中，，所以方程表示過軸的平面；（3）方程中，，所以方程表示與坐標面平行的平面；（4）方程中，，所以方程表示平行于軸的平面．例5求滿足下列條件的平面方程：（1）經(jīng)過點和軸；（2）經(jīng)過點、，且平行于軸； 解（1）設(shè)所求平面方程為，又該平面過點，于是有，即，所以所求平面方程為，由已知分析知，故所求平面方程為．（2）設(shè)所求平面方程為，則解得，．故所求平面方程為．由已知分析得，因此所求平面方程為．圖5—22例6求平面圖5—22解原方程可化為．故平面在x、y、z軸的截距依次為6、－4、3（圖5—22）．故所求空間立體的體積為（立方單位）．在教師引領(lǐng)下共同完成提問學生完成共同完成62′知識回顧在平面解析幾何中，我們學習過點到直線的距離公式為：．提問65′新知識在空間解析幾何中，也有類似的點到平面的距離公式：（5．20）教師講授70′知識鞏固例7求點到平面的距離．解由點到平面的距離公式得，所求距離為．在教師引領(lǐng)下完成75′鏈接軟件利用微軟高級計算器可以繪制平面的空間圖形．例如，在繪圖選型卡中輸入方程，點擊作圖，則顯示平面空間的圖形（圖5－23）．圖5－23演示80′練習5.3.21．求滿足下列條件的平面方程：（1）過點及軸的平面；（2）過點且與平面平行的平面．2．求點到平面的距離．學生課上完成87小結(jié)新知識：平面的一般式方程，平面的截距式方程，特殊位置的平面的特點，點到平面的距離。作業(yè)完成高等數(shù)學習題集“作業(yè)”。90′5.4.1空間直線的方程教學目標：（1）知道空間直線一般式方程、點向式方程、參數(shù)方程的概念及在表示方法上的不同；（2）會求空間直線的方程。教學重點：求空間直線的方程。教學難點： 把直線的參數(shù)方程成一般式方程或點向式方程的方法。授課時數(shù)：2課時.教學過程過程備注1．直線的一般式方程知識回顧由立體幾何知識的學習知道，如果兩個平面有一個公共點，那么它們一定還有其他公共點，并且所有的公共點的集合是過這個點的一條直線．提問5′新知識空間直線可以看成為兩個平面的交線，因此聯(lián)立兩個平面方程組成的方程組來表示空間直線．一般地，由平面與平面相交而成的直線方程可以由方程組（5．21）表示，方程組（5．21）稱為直線的一般式方程．例如：直線表示平面與平面的交線．教師講授15′2．直線的點向式方程新知識與直線平行（共線）的非零向量稱為直線的方向向量．圖5—24··設(shè)已知直線過點，其方向向量為圖5—24··為直線上任意一點（如圖5—24），則有，而，于是．（5．22）方程（5．22）稱為直線的點向式方程．說明當方程（5．22）中的個別分母為零時，相應的分子也為零．例如時，直線方程為，此時該方程應理解成直線方程為再如時，直線方程為，此時該方程應理解成直線方程為教師講授25′知識鞏固例1求下列直線的方程．（1）過點，的直線方程；（2）過點，且與直線平行的直線方程；（3）過點，且與平面垂直的直線方程．解（1）取方向向量，所求直線方程為．（2）取方向向量，所求直線方程為．（3）因為所求直線與平面垂直，所以取方向向量，所求直線方程為．在教師引領(lǐng)下完成45′3．直線的參數(shù)方程新知識如果在方程（5．22）中，令，就得到直線的參數(shù)方程：(為參數(shù))(5．23)該方程表示過點，且方向向量為．教師講授60′知識鞏固例2已知直線：（1）將該方程化為點向式方程和參數(shù)方程；（2）求該直線的一個方向向量；（3）求過點且與垂直的平面的方程．解（1）由方程組消去，得，解得．由方程組消去，得，解得．于是，直線的點向式方程為．令，則直線的參數(shù)方程為(為參數(shù))．（2）由直線的點向式方程知，直線的一個方向向量為．（3）取，則所求平面方程為，即．教師講授與學生回答相結(jié)合65′1．求滿足下列條件的直線方程：（1）過原點且與向量平行的直線；（2）過點且與平面垂直的直線；（3）過點且與軸平行的直線；2．求過點且與直線平行的直線．3．求過點且與直線垂直的平面．在教師提示下完成85′小結(jié)新知識：空間直線的方程。90′作業(yè)1.梳理將空間直線方程的三種不同形式互化的思路及步驟。2.完成高等數(shù)學習題集“作業(yè)”。5.4.2直線與直線位置關(guān)系，5.4.3兩條直線的夾角教學目標：理解判定直線與直線的位置關(guān)系；知道條直線夾角的概念，學會求兩條直線的夾角。教學重點： 直線與直線位置關(guān)系的判定。 教學難點： 求兩條直線夾角的方法。授課時數(shù)：1課時.教學過程過程備注新知識設(shè)直線的方向向量，直線的方向向量，則（1）與平行，且不過同一點；（2）與重合，且過同一點；（3）與垂直．教師講授5′知識鞏固例3判別直線與下列各直線的位置關(guān)系：（1）；（2）．解（1）因為，，且，所以．（2）因為，，且，，又直線、都過點，所以直線與直線斜交．在教師引領(lǐng)下共同完成10′練習5.4.2判別直線與下列各直線的位置關(guān)系：（1）；（2）；（3）．學生課上完成15′知識回顧立體幾何中曾研究過空間兩條直線的夾角．對于兩條相交直線來說，其夾角是這兩條直線相交所成的最小的正角；對于兩條異面直線來說，其夾角是經(jīng)過空間任意一點分別作與兩條異面直線平行的直線的夾角．兩條直線的夾角范圍是．提問18′新知識和立體幾何類似，我們把兩直線的方向向量所夾的范圍的角稱為兩直線的夾角．兩條直線平行或重合時其夾角規(guī)定為；兩條直線垂直時其夾角為．設(shè)直線的方向向量，直線的方向向量，與的夾角為則．(5．24)教師講授25′知識鞏固例4求直線：與直線：的夾角．解由于可化為，所以，，于是，又，所以，即兩直線的夾角為在教師引領(lǐng)下共同完成33′練習5.4.31．求直線：與直線：的夾角．2．求直線：與直線：的夾角．學生課上完成42′小結(jié)新知識：直線與直線位置關(guān)系的判定,兩直線夾角的概念及其求法。作業(yè)完成高等數(shù)學習題集“作業(yè)”與“作業(yè)”中的1。45′5.5.1常見的二次曲面及其方程教學目標：（1）理解曲面方程的概念，了解常用二次曲面的方程及其圖形，會求以坐標軸為旋轉(zhuǎn)軸的旋轉(zhuǎn)曲面（2）認識幾種常見的母線平行于坐標軸的柱面及方程；（3）會求球面的方程。教學重點：（1）曲面方程的概念，球面方程的求法； （2）以坐標軸為旋轉(zhuǎn)軸的旋轉(zhuǎn)曲面；（3）幾種常見的母線平行于坐標軸的柱面及方程。教學難點： 旋轉(zhuǎn)曲面、母線平行于坐標軸的柱面等概念的理解。授課時數(shù)：3課時.教學過程過程備注實例日常生活中我們經(jīng)常會看到一些曲面．如圖5—25所示：大家熟悉的吃飯用的碗、衛(wèi)星接收天線、太陽能灶、煮湯的鍋、發(fā)電廠的散熱塔、國家大劇院的屋頂?shù)龋@些曲面是怎么設(shè)計出來的？它們有哪些數(shù)學特征？這就是下面要研究的問題．（1）（2）（3）（4）（5）（6）圖5－25教師演示5′新知識任何曲面都可以看作點的軌跡．如果空間曲面上任意一點的坐標都滿足方程，而滿足的值都在曲面上，則稱為曲面的方程，稱曲面為方程的圖形．若方程是二次方程，則所表示的曲面稱為二次曲面．我們主要研究幾種常見的二次曲面．1．球面在空間中，到定點的距離為定長的點的軌跡為球面．其中定點稱為球心，定長稱為半徑．設(shè)點為球心，為半徑，為球面上任意一點（如圖5—26），則由，得圖5—圖5—26于是得到球面方程為．（5．25）特別地，當球心在原點，半徑為時，球面方程為．教師講授15′知識鞏固例1已知點、，求以線段為直徑的球面方程．解球心為線段的中點，故其坐標為．半徑為．所以，球面方程為．例2判別方程表示怎樣的曲面？解將原方程配方整理，得． 這是球面方程，表示球心在，半徑為的球面．教師引領(lǐng)下共同完成25′鏈接軟件利用微軟高級計算器可以畫出球面．輸入例2的方程，可以得到其表示的球面圖形（圖5－27）．圖5－27演示30′2．母線平行于坐標軸的柱面新知識將一直線沿某一給定的平面曲線平行移動，直線的軌跡形成的曲面，稱為柱面．其中，動直線稱為柱面的母線，曲線稱為柱面的準線．下面僅討論母線平行于坐標軸的柱面．設(shè)柱面的準線是面上的曲線，柱面的母線平行于軸，在柱面上任取一點，過點做平行于軸的直線，交曲線于點（如圖5—28）．故點的坐標滿足方程，由于方程不含變量，而點與有相同的橫坐標與縱坐標，所以點的坐標也滿足此方程，因此，方程就是母線平行于軸的柱面方程．例如，方程表示母線平行于軸，在面上的準線為的柱面（平面）方程，如圖5—29所示．可以看出，母線平行于軸的柱面的方程中不含變量．yxyxzoCL11圖5—29yxzoLC圖5—28同理，不含的方程或不含的方程，分別表示母線平行于軸或軸的柱面方程．方程表示母線平行于軸，準線為平面上的圓的柱面方程．此柱面稱為圓柱面（如圖5—30）；方程表示母線平行于軸，準線為平面上的橢圓的柱面方程．稱為橢圓柱面（如圖5—31）；方程表示母線平行于軸，準線為平面上的拋物線的柱面方程．稱為拋物柱面（如圖5—32）．圖5—32圖5—32圖5—30圖5—31 下面將幾種常見的柱面及方程（以母線平行于軸為例）列表如下．表5．2名稱圓柱面橢圓柱面拋物柱面雙曲柱面準線柱面圖象SHAPE動畫演示柱面的形成教師講授50′練習5.5.1.11．指出下列方程所表示的曲面名稱及其主要特征：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）．2．求到點距離為2的點的軌跡．3．利用微軟高級計算器畫出第1題中的6個方程所表示的曲面．4．利用微軟高級計算器畫出方程所表示的曲面（此曲面稱為雙曲拋物面，俗稱“馬鞍面”）．在教師提示下完成65′3．旋轉(zhuǎn)曲面新知識平面內(nèi)曲線繞該平面內(nèi)某定直線旋轉(zhuǎn)所形成的曲面，稱為旋轉(zhuǎn)曲面（圖5—33）．其中，動曲線稱為旋轉(zhuǎn)曲面的母線，定直線稱為旋轉(zhuǎn)曲面的旋轉(zhuǎn)軸．圖5－33某一個坐標平面內(nèi)曲線可以用一個方程組來表示．例如面上的曲線，表示為我們僅討論以坐標軸為旋轉(zhuǎn)軸的旋轉(zhuǎn)曲面．將面上的曲線C：繞軸旋轉(zhuǎn)一周，就得到一個以z軸為旋轉(zhuǎn)軸的旋轉(zhuǎn)曲面（圖5－33）．設(shè)為曲線C上的任一點，則．（1）當曲線C繞軸旋轉(zhuǎn)時，點繞軸旋轉(zhuǎn)到點，這時保持不變，且點M到z軸的距離．將，代入方程（1），得到曲線C：繞軸旋轉(zhuǎn)一周形成的旋轉(zhuǎn)曲面的方程為．（5.27）同樣可以得到，將面上的曲線繞軸旋轉(zhuǎn)一周，所就得旋轉(zhuǎn)曲面的方程為．（5.28）將面上的曲線繞軸旋轉(zhuǎn)一周，所得旋轉(zhuǎn)曲面的方程為．（5.29） 一般地，坐標平面內(nèi)的曲線繞哪個軸旋轉(zhuǎn)，曲線方程中對應的變量保持不變，而另一個變量用其余兩個變量的平方和的平方根代換，即得該旋轉(zhuǎn)面的方程．例如，將半圓繞軸旋轉(zhuǎn)一周，所得旋轉(zhuǎn)曲面為球面（圖5—34）的方程為，即．前面學過，此方程即為球面方程，它表示球心在，半徑為的球面．圖5—圖5—35圖5—34同理，面上的橢圓：繞軸旋轉(zhuǎn)一周，所得旋轉(zhuǎn)曲面為旋轉(zhuǎn)橢球面（圖5－35），其方程為．注意旋轉(zhuǎn)橢球面不是“橢球面”，因為此圖形在空間中，用于平面平行的平面去截，解得的圖形是圓．橢球面是用平行于坐標面的平面去截，截得的圖形都是橢圓，其方程為．動畫演示旋轉(zhuǎn)曲面的形成教師講授85′知識鞏固例3求曲線繞軸旋轉(zhuǎn)一周，所得旋轉(zhuǎn)面的方程．解曲線是坐標平面內(nèi)的一條拋物線，繞軸旋轉(zhuǎn)一周，所得旋轉(zhuǎn)面的方程為，即．這個旋轉(zhuǎn)曲面稱為旋轉(zhuǎn)拋物面（如圖5—36）．圖5－36例4求雙曲線繞軸旋轉(zhuǎn)一周，所得旋轉(zhuǎn)面的方程．解曲線是坐標平面內(nèi)的一條雙曲線，繞軸旋轉(zhuǎn)一周，所得旋轉(zhuǎn)面方程為，即．此旋轉(zhuǎn)面稱為（單葉）旋轉(zhuǎn)雙曲面．在教師引領(lǐng)下共同完成95′新知識下面將旋轉(zhuǎn)軸為軸的常見幾種旋轉(zhuǎn)曲面及方程列表如下（表5．3）．表5．3名稱旋轉(zhuǎn)橢圓面旋轉(zhuǎn)雙曲面旋轉(zhuǎn)拋物面圓錐面母線，方程，，，圖象SHAPE教師講授105′鏈接軟件利用微軟高級計算器（或matlab軟件詳見實驗5）可以方便的繪制二次曲面．輸入旋轉(zhuǎn)雙曲面方程，得到空間曲面圖形（圖5－37）．