2022新教材北師大版高中數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)第三章 指數(shù)運(yùn)算與指數(shù)函數(shù) 課時(shí)練習(xí)題及章末測(cè)驗(yàn)含答案解析

第三章指數(shù)運(yùn)算與指數(shù)函數(shù)

1、指數(shù)塞的拓展.........................................................1

2、指數(shù)基的運(yùn)算性質(zhì).....................................................5

3、指數(shù)函數(shù)的概念、圖象和性質(zhì)..........................................8

4、指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)的應(yīng)用..............................................14

章末檢測(cè)................................................................20

1、指數(shù)塞的拓展

一、選擇題

1.有下列四個(gè)命題：

①正數(shù)的偶次方根是一個(gè)正數(shù)；

②正數(shù)的奇次方根是一個(gè)正數(shù)；

③負(fù)數(shù)的偶次方根是一個(gè)負(fù)數(shù)；

④負(fù)數(shù)的奇次方根是一個(gè)負(fù)數(shù).

其中正確的個(gè)數(shù)是()

A.0B.1

C.2D.3

C[正數(shù)的偶次方根有兩個(gè)，負(fù)數(shù)的偶次方根不存在.①③錯(cuò)誤，②④正確.]

2.下列各式正確的是()

A.V(-3)2=-3B.VZ=Q

C.(VZZ2)3=-2D.。(一2*=2

C[由于J(—3)2=3,夜=|/,yj(—2)3=—2,故選項(xiàng)A,B,D錯(cuò)誤,

故選C.]

3.下列各式中正確的是；)

A.一一2)2=

B.\/x3/=jcy^(x>0,y>0)

C.%2一』=二—底

_1

D.于）3（-0，廿0）

[答案]D

4.若如+Q—2）°有意義，則a的取值范圍是（）

A.a20B.a=2

C.aW2D.aNO且aW2

D[由題知《八一得，a2O且在2,故選D.]

a—2Ho

5.下列根式、分?jǐn)?shù)指數(shù)塞的互化中，正確的是（）

A.—G=（一1）=（步0）

B.x3=一仁（工聲0）

c-（J）'=J（十）"y>0）

D.

1[16—"‘，

C[—Tx=一,z亨=可=.vj^=]故選C.]

J”（—y*,y^O.

二、填空題

6.（3—2力〒中x的取值范圍是______.

3

X-乙[要使該式有意義，需3-2x>0,

3

即X-乙.]

7.吊——6――y/5—4~4+yj~~乖—4~的值為.

—61弋~—6_*=-6,勺"乖一4~|/-4|=4一m,~y[5—4~

y/5-4f

所以原式=-6+4—季+小一4=-6.]

8.化簡(jiǎn)：-\/11+6^2+-\/11-6^2=.

6［原式=43+/X3—啦2=3+啦+3—啦=6.］

三、解答題

9.化簡(jiǎn)下列各式：

(l)s/(―2)5；(2)y/(-10)4；(3)yj(ai)2.

［解］(1)</(-2)5=-2,

(2)yj(-1O),=^=1O.

⑶7^^=以-|=『一''通b

［b—afa<b

10.化簡(jiǎn)：N(L2)2+/(X+2)。.

［解］原式=Ix—21+|x+21.

當(dāng)盡一2時(shí)，原式=(2—x)+［—(x+2)］=-2x；

當(dāng)一2<K2時(shí)，原式=(2—x)+(x+2)=4；

當(dāng)x22時(shí)，原式=(x—2)+(x+2)=2x.

'—2x,—2*

綜上，d(x—2)2+［G+2)6=<4,-2<K2,

2x,x》2.

11.若x"=d(xW0),則下列說(shuō)法中正確的個(gè)數(shù)是()

①當(dāng)〃為奇數(shù)時(shí)，x的〃次方根為a：

②當(dāng)?shù)稙槠鏀?shù)時(shí)，a的〃次方根為x；

③當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí)，x的〃次方根為±出

④當(dāng)?shù)稙榕紨?shù)時(shí)，a的〃次方根為土X.

A.1B.2

C.3D.4

B［當(dāng)〃為奇數(shù)時(shí)，a的〃次方根只有1個(gè)，為x；

當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí)，由于(土心”=父=小所以a的〃次方根有2個(gè)，為土X.

所以說(shuō)法②④是正確的，選BJ

12.給出下列4個(gè)等式：。7（-8）2=±2；酬才+6=國(guó)工;③若w￡R,

則（4一a+l）°=l；④設(shè)〃則迎=a其中正確的個(gè)數(shù)是（）

A.0B.1

C.2D.3

B[①中</（—8）2=啊=2,所以①錯(cuò)誤；

②錯(cuò)誤；

③因?yàn)椋?a+i>0恒成立，所以（J—a+1）。有意義且恒等于1,所以③正

確；

④若刀為奇數(shù)，則迎=a,若〃為偶數(shù)，則函=11，所以當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí)，

水0時(shí)不成立，所以④錯(cuò)誤.故選B.]

13.當(dāng)a>0時(shí)，1―ax?等于.

—x\j-ax[因?yàn)閍>0,所以后0,-=\yj—ax=-ax,/.

yf-ax=-x\j—ax.]

14.（一題兩空）若81的平方根為a-8的立方根為九則片,a

+6=.

±9—11或7[因?yàn)?1的平方根為±9,

所以a=±9.

又因?yàn)橐?的立方根為-2,

所以b=-2.

所以a+Z?=-11或a-\-b=7.]

15.已知金〃是方程V-6x+4=0的兩根，且於核0,求有當(dāng)?shù)闹?

[解]Va,。是方程6x+4=0的兩根，

.[a+6=6,

,%。=4.

Va>Z?>0,

a+6+2J\y4

?北一也='也亞

,?爪+鏡V5-5,

2、指數(shù)恭的運(yùn)算性質(zhì)

一、選擇題

1.將中一2、人化為分?jǐn)?shù)指數(shù)累為()

A.2/B.一2十C.2TD.-2-i

11311,,

B[。-2柩=「-2X22)T=(-2^)3=-2Tj

2.y[^一(1—0.5-2)等的值為()

11

A.--B.-

OJ

C.[7

D."

<5J

-22).(|)=1—(—3)X^=1.故選D.二

D[原式=1-(1-

3.設(shè)。>0,將一1=^=表示成分?jǐn)?shù)指數(shù)累的形式，其結(jié)果是()

a?中

A0工門(mén)豈

A.a專B.a->C.ae>D.a2

2

(J/5

一「Q27_

cL____：___=

/zE3x|aa-J

Va?\/?VQ?Q3VQ3a32

/]\2r?+l

(2

4.計(jì)算一(〃￡N*)的結(jié)果為()

1

A.?B.

C.2ri—2〃+6D.

22n+2.2

D［原式=~~~~~23J

5.若91,力0,3+"'=2啦，則才一a-'等于（）

B.2或一2

C.-2D.2

D［因?yàn)閍>l,核0,所以成>"。(才-ai)2=(3+ai)2—4=(2m)2—4=4,

所以/一用"=2.故選D.］

二、填空題

6.若d-+2x+l+，若+6y+9=0,則(/儂)，=

1［因?yàn)間-+2x+l+W+6y+9=0,

所以7x+l-+7y+3」=|x+i|+|y+3|=0,

所以X=—Ity=-3.

所以（丁力』［（一1）2°2。尸=⑴-3=L］

y

7.5，?5r=1255,則？的最小值是.

3y

一（［由己知得，5—=5萬(wàn)，所以尸知一才）=［一；］一所以y的

OJ少0

最小值是一1］

0

8.如果a=3,6=384,那么a［（$光］1=.

3X2”Tb［心打1=3［（學(xué)）^T=3［（I28）旬I=3X2，T.］

a3

三、解答題

9.化簡(jiǎn)疝7f尸土質(zhì)就言.

xx+

［解］原式=（/吟晨］嗎）+（a4laTl）=a（i-i）-（-3f）=

a

10.化簡(jiǎn)求值:

⑴團(tuán)十0.L十傳3兀。十條

(2)8等一(0.5)-3+

|3+=+l00+3+=

[解]⑴原式=管)++六+圜-I|^-S

100.

⑵原式=3)1■—(2-廣+(3-+)-嘆圖T=22-23+33X(D=4-8+

8

27X—=4.

乙I

11.（多選）下列各式中一定成立的有（）

C.yjx-^-y=(x+y)T

BD[A中應(yīng)為（詈=〃獷；yj~—3~，=解=乖,B正確；C中當(dāng)x=y=l

時(shí)，等式不成立；D正確.故選BD.]

12.設(shè)x,y是正數(shù)，且父="，尸9必則x的值為（）

1

A.§B.m

c.iD.m

x

B[???/=(9x)>(/)'=(Mf

?"=9x.

.,.f=9..?.x=m=*.]

13.已知才+2一“=5,則4"'+4一"的值為—

23「??2"+2f=5,

J(2"+2一)=25,即4芍+2+4一時(shí)=25,

???4"+4-"=23.]

14.（一題兩空）已知實(shí)數(shù)x滿足六一3*+1=0,則x+V,f+x

-2_

37[V—3彳+1=0,則x?+i=3x,即*+/=3,

兩邊平方，得/+/2+2=9,

所以/+/2=7.]

124

15.己知a=3,求丁;~~r花益+不的值.

1+ar

'1+三+1-a++l+益+1+a

2________24

1+aT1—aT+l+aT_l+a

22^

\—a~21+aT1+a

______rJ______士

1—aT1+aT1+a

4__48____

\~a1+a1—a2

3、指數(shù)函數(shù)的概念、圖象和性質(zhì)

一、選擇題

1.函數(shù)尸亞二i的定義域是()

A.(—8,0)B.(—8,0]

C.[0,+8)D.(0,+8)

C[由2*—120,得2r22°,???x20.]

2.函數(shù)尸4/(a1)的圖象是()

B[該函數(shù)是偶函數(shù).可先畫(huà)出x20時(shí)，y=H的圖象，然后沿y軸翻折過(guò)

去，便得到求0時(shí)的函數(shù)圖象.]

3.已知必=3",必=107%=10'，則在同一平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，

它們的圖象為（）

flY_（1Y

A[法一：%=3"與必=10'在R上單調(diào)遞增；y與%=1。*=（同在R

上單調(diào)遞減，在第一象限內(nèi)作直線x=l,該直線與四條曲線交點(diǎn)的縱坐標(biāo)對(duì)應(yīng)

各底數(shù)，易知選A.

法二：%=3"與乂=10'在R上單調(diào)遞增，且必=10'的圖象上升得快，71=

與此=3"的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，%=10'與必=10'的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，所

以選A.]

■

4.函數(shù)—1的值域是()

A.[L+°°)B.[0,+°0)

C.(—8,0]D.(-1,0]

徽-…0,

[將函數(shù)轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)，則尸<

D圖象如圖所示,

所以函數(shù)的值域?yàn)?-1,0].]

x|2r,力0,

B[由函數(shù)F(x)==?2r=《可得函數(shù)在(0,+8)上是增

⑶1—2,KO,

函數(shù)，且此時(shí)函數(shù)值大于1;在(-8,0)上是減函數(shù)，且此時(shí)函數(shù)值大于一1

且小于零.結(jié)合所給的選項(xiàng)，只有B滿足條件.故選B.]

二、填空題

6.函數(shù)y=ai+3(G0,且aWl)的圖象過(guò)定點(diǎn).

(3,4)[因?yàn)橹笖?shù)函數(shù)『=苗(力0,且aWl)的圖象過(guò)定點(diǎn)(0,1),所以在函

數(shù)尸41+3中，令彳-3=0,得x=3,此時(shí)尸1+3=4,即函數(shù)尸廣3+3

的圖象過(guò)定點(diǎn)(3,4).]

’2”,水0,

7.若函數(shù)f(x)={則函數(shù)F(x)的值域是_______.

1—2,x>0,

(-1,0)U(0,1)[由X0,得0<2“<1；V;r>0,.,.-KO,0<2"Xl,(,一1<

2一RO.???函數(shù)F(x)的值域?yàn)?一1,O)U(O,1).]

8.若函數(shù)1(a>0,aWl)的圖象不經(jīng)過(guò)第二象限，那么多6的取

值范圍分別為.

(1,+°°),(―°°,0][當(dāng)0〈水1時(shí)，函數(shù)尸a'為R上的減函數(shù)，則無(wú)

論尸這如何平移，圖象均過(guò)第二象限，因而不符合題意；

當(dāng)臥1時(shí)，根據(jù)題意得，函數(shù)尸H的圖象需要向下平移，且平移量不小于

1個(gè)單位長(zhǎng)度，即6—1W一1,解得6W0.

綜上所述，d>L6W0.]

三、解答題

9.求下列函數(shù)的定義域和值域：

/0212-2

(l)y=2^—1；⑵尸治.

[解]⑴要使尸22-1有意義，需導(dǎo)0,則2+>0且故2±-1>

—1且22—1W0,故函數(shù)尸2七一1的定義域?yàn)閧x|￡0},函數(shù)的值域?yàn)?-1,0)

U(0,+°°).

(2)函數(shù)的定義域?yàn)閷?shí)數(shù)集R，由于2920,則2V—22—2,故

(Kg],W9,所以函數(shù)y

的值域?yàn)?0,9].

10.已知函數(shù)f(x)=Hf(xN0)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)2,9其中a>0,且aWL

(1)求a的值;

(2)求函數(shù)尸F(xiàn)(x)J20)的值域.

[解]⑴函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2,-I,所以.尸1=亍l/lija=~1

⑵由⑴知函數(shù)為f(x)=冏(x20),由x20,得x—12—1.于是0<^!

=2,所以函數(shù)的值域?yàn)?0,2].

11.若3"+2-"23"+2一"則()

A.zH~〃NOB.

C.m一〃N0D.勿一〃WO

C⑶+2-"23"+2一』3"-2-=3"-2T

又f(x)=3、-2、是增函數(shù)，f(m)2F(〃)，

則72〃，即印一“20.]

12.設(shè)指數(shù)函數(shù)f(x)=HQ>0且aWl),則下列等式不正確的是()

A.F(x+y)=f(x)?f(y)

B.打(燈力=f(x)-r(y)

/、fx

C..>―/)=/..

D.f{nx)=f{x)

B[由及,知A、C、D正確，故選B.]

a

13.(一題多空)函數(shù)y=23)與______的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，與________

的圖象關(guān)于x軸對(duì)稱，與的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.

y=23+"y=—2」—*y=-23+'[因?yàn)閳D象與夕=2一、關(guān)于y軸對(duì)稱的函數(shù)為

y=21所以函數(shù)9=23~與y=23+'的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱.關(guān)于x軸對(duì)稱的圖象為

y=-23-\關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的圖象為尸一2"：]

(1

X0

x1

14.若函數(shù)人力=〈,則不等式F(x)2可的解集為

(1rJ

7,x20,

{x|0WxWl}[當(dāng)x20時(shí)，由f[x)》;得償出，

J\yJJ

???OWxWL

當(dāng)水0時(shí)，不等式〈明顯不成立.

x3

綜上可知不等式/'(x)2/的解集是{削0WxWl}?]

O

15.設(shè)函數(shù)f(x)=4H一/、(於0,且aWD是定義在R上的奇函數(shù).

(1)求〃的值；

(2)若F(l)>0,試判斷匣數(shù)的單調(diào)性(不需證明)，并求不等式F(f+2x)+

F(4—力>0的解集.

［解］(1)法―：???/'(十)是定義在R上的奇函數(shù)，

.\r(o)=o,即4一1=0.

/.k=l.

當(dāng)k=1時(shí)，f{x)=ar-a-T,f{-x)=ax——(H-a-r)=-f{x),

故k=l符合題意.

法二：Vf{-x)=kax—ci,—f^x)=-k^+a\

又F(x)是奇函數(shù)，

，F(xiàn)(-x)=—f(x)在定義域R上恒成立，

［A=L

**?I.解得A=l.

—\=-k,

(2)V/(l)=a-->a0,

又a>0,且aWL

：.a>\.

??.y=H,y=—a-都是R上的增函數(shù)，

???f(x)是R上的增函數(shù).

故F(V+2x)+f(4—V)〉0=f(V+2x)>—F(4—Y)=f(V—4)<=>1+2*>六一

40x>-2.

???F(x)在R上單調(diào)遞增，且不等式的解集為U|上一2}.

4、指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)的應(yīng)用

一、選擇題

1.(多選)設(shè)函數(shù)f(x)="R(a>0,且dWD,若*2)=4,則()

A.A-2)>/*(-l)B./(-l)>A-2)

C.A-2)>/(2)D.A-4)>/(3)

AD［由f(2)=&7=4得即f(x)=@=2㈤,故f(—2)>f(—1),

f(-2)=f(2),f(-4)=〃4)>f(3),所以AD正確.］

2.函數(shù)尸H在［0,1］上的最大值與最小值的和為3,則函數(shù)尸2(3才一1在

［0,1］上的最大值是()

A.6B.1

3

C.3D.-

乙

C［函數(shù)y=H在［0,1］上是單調(diào)的，最大值與最小值都在端點(diǎn)處取到，故

有，十月=3,解得日=2,因此函數(shù)尸2財(cái)一1=4才-1在［0,1］上是增函數(shù)，當(dāng)

*=1時(shí)，-=3.］

3.設(shè)4b滿足(K水伙1,下列不等式中正確的是()

A.aXaB.

C.a<lfD.t)<a

C［由于y=a"與為減函數(shù)，

故A、B錯(cuò)誤；

因?yàn)閊>1,a>0,

a

"丫

所以一>1,

\aJ

所以翼糙

因?yàn)?1,b〉0,

a

所以一>1,

\?/

所以或從

故選c.]

4.函數(shù)y=|2-l|的大致圖象是（）

C[如圖先作尸2"的圖象，再向下平移1個(gè)單位得尸2T—1的圖象，再把

y=2-l的圖象在x軸下方的圖象翻折上去得尸2'-1|的圖象，如圖實(shí)線部

分.故選C.]

5.如圖所示的是某池塘中的浮萍蔓延的面積y（游與時(shí)間六月）的關(guān)系：y

=H,有以下敘述：

①這個(gè)指數(shù)函數(shù)的底數(shù)是2；

②第5個(gè)月時(shí)，浮萍的面積就會(huì)超過(guò)30m1

③浮萍從4nT蔓延到12m2需要經(jīng)過(guò)1.5個(gè)月;

④浮萍每個(gè)月增加的面積都相等.

其中正確的是（）

A.①②③B.①?③④

C.②③④D.①?

D［由月=2,得3=2,所以y=2'，故①正確；

當(dāng)方=5時(shí)，y=25=32>30,故②正確；

當(dāng)尸4時(shí)，t=2,經(jīng)過(guò)L5個(gè)月后面積為235Vl2,,故③錯(cuò)誤；

Qt+l

▼=2,故④錯(cuò)誤.］

二、填空題

6.解方程：50一6乂5'+5=0的解集為.

{0,1}［令1=5',則原方程可化為61+5=0,

所以士=5或t=l,即5“=5或5*=1,

所以x=l或x=0.］

7.函數(shù)f（x）=3一八2,，在（一8,1）內(nèi)單調(diào)遞增，則a的取直范圍是.

［1,+°°）［設(shè)u=-y+2ax,則y=3"是R上的增函數(shù)，而原函數(shù)在（一

8,1）內(nèi)單調(diào)遞增，所以〃=—在（-8,1）也是增函數(shù)，而〃=—/+

2ax的單調(diào)增區(qū)間為（一8,a）,

所以

8.若關(guān)于x的方程+加=。有實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)勿的取直范圍是______.

［-1,0）［法一：<1'

欣勿+L

（1VX|

要使方程⑸+R=0有解，只要加0W"l,

解得一1〈加0,故實(shí)數(shù)〃的取值范圍是［—1,0）.

法二：令+/，作函數(shù)圖象，如圖，

y

y=m+l

y-m

依題意，函數(shù)y=t)'+"的圖象與x軸有交點(diǎn)，

nKO,

?Y,解得一1W〃KO,即加￡［-1,0).］

三、解答題

9.已知指數(shù)函數(shù)f(x)的圖象過(guò)點(diǎn)(2,3

(1)求函數(shù)〃力的解析式；

⑵已知F(|*|)〉F(1),求x的取值范圍.

［解］⑴設(shè)f(x)=H(a〉O且a#1).

將點(diǎn)(2,m代入得2=次

解得a=，.

故f(x)=(于.

(2)由(1)知/'(x)=("),顯然FJ)在R上是減函數(shù),

又f(|x|)>f(l),

所以|x|<L解得一1〈水1.

即x的取值范圍為(-1,1).

、萬(wàn)一1*—1

10.已知已知=*1

V2-1+1

(1)討論/'(⑼的奇偶性；

(2)討論F(x)的單調(diào)性.

［解］(Df(x)的定義域?yàn)镽,

啦一1)一11一啦一1

又f(—x)=

^2-1或一1”

所以Ax)是奇函數(shù).

*一1

⑵/'3=——=1

'+1

又y=(鏡一1),是減函數(shù)，且y>0,

2

所以尸而是增函數(shù),

>\/2—1

所以f(x)是減函數(shù).

11.已知函數(shù)/tY)=a2rQ>0,3W1),當(dāng)x>2時(shí)，，(才)>1,則/'(⑼在R上

()

A.是增函數(shù)

B.是減函數(shù)

C.當(dāng)x>2時(shí)是增函數(shù)，當(dāng)水2時(shí)是減函數(shù)

D.當(dāng)x>2時(shí)是減函數(shù)，當(dāng)水2時(shí)是增函數(shù)

A［因?yàn)楫?dāng)x>2時(shí)，2-KO./U)>b所以0<水1,所以/'(x)在R上是增函

數(shù),故選A.］

12.己知實(shí)數(shù)a,。滿足等式(})=(，：給出下列五個(gè)關(guān)系式：①0〈伙曾②

水從0；③0〈水仇④伙水0；⑤.其中，不可能成立的有］)

A.1個(gè)B.2個(gè)

C.3個(gè)D.4個(gè)

B［畫(huà)出函數(shù)尸信］與尸的圖象，如圖所示.

當(dāng)水0時(shí),

G)=!1)'則有水灰°；

當(dāng)xX)時(shí)，(3=8，則有a＞力0；

當(dāng)x=0時(shí)，&?)=6)，則有8=6=。,

所以題中的五個(gè)關(guān)系式中不可能成立的有兩個(gè).］

13.己知函數(shù)F(x)=2*—1,對(duì)于滿足0〈乂〈為的任意X,如給出下列結(jié)論:

(1)(兩一汨)［￡(吊)一f(xJ"0；

⑵均f(xi)＜xif(x2);

(3)f(x2)一『(乂)＞場(chǎng)一為；

M+也,

>r(2-

其中正確結(jié)論的序號(hào)是.

(2)(4)［由題知，函數(shù)F(x)單調(diào)遞增，這與(1)所描述的單調(diào)性相反，故

(1)錯(cuò)誤；⑵中的式子可化為」*心10,其表示點(diǎn)(為，"%))與原

點(diǎn)連線的斜率小于點(diǎn)(而，人總))與原點(diǎn)連線的斜率，由函數(shù)F(x)圖象的性質(zhì)可

知(2)正確；(3)表示過(guò)圖象上兩點(diǎn)的直線的斜率大于1,由函數(shù)f(x)的圖象可知

這個(gè)結(jié)論不一定正確；(4)描述了函數(shù)圖象的下凹性，由函數(shù)圖象可知正確.綜

上，可判斷只有(2)(4)正確.］

14.已知函數(shù)/(才)=我)1|,則函數(shù)人X)的單調(diào)遞增區(qū)間是______.

(-8,1］［令〃=|x—1］,因?yàn)閒(x)=y=?在R上單調(diào)遞減，故要求

Ax)的單調(diào)遞增區(qū)間，只需求〃=|十一1|的單調(diào)遞減區(qū)間，為(-8,1］,所以

f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(一8,1］.］

15.定義：對(duì)于函數(shù)/'(x),若在定義域內(nèi)存在實(shí)數(shù)x滿足F(-x)=—F(x),

則稱Ax)為“局部奇函數(shù)”.若f(x)=2"+必是定義在區(qū)間［一1,1］上的“局部

奇函數(shù)”，求實(shí)數(shù)勿的取值范圍.

［解］_f(x)=2T+加，f(—x)=-f(x)可化為2'+2r+2%=0,

因?yàn)锳x)的定義域?yàn)椋垡?,口，

所以方程2*+2r+2勿=0在［-1,1］內(nèi)有解，

令t=2\則2,

故-2%=

設(shè)以力=1+3則在（0,口上是減函數(shù)，在[1,+8）上是增函數(shù),

1]「5一

所以當(dāng)te予2時(shí)，g&）仁2,-,

乙乙

「5-

即一2加￡2,—,

乙

■5~

所以〃后一；，—1.

章末檢測(cè)

（滿分：150分時(shí)間：120分鐘）

一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四

個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.

1.己知，=4,H=3,則，尸的值為（）

2

A.-B.6

O

3

C.-D.2

乙

,"4

AD=4,a"=3,.,?尸"=F=Q

a9

a?2r,>20,

2.已知函數(shù)/'(才)="c)/八(a￡R),若f(，(一1))=1,則a=

122KO

)

11

--

A.4B.2

C.1D.2

A[由題意得f(—l)=2一-”=2,A/(-D)=A2)=a-22=4^=1,：.a=

i

4,

3.設(shè)F(x)=那么/'（才）是（）

A.奇函數(shù)且在（0,+8）上是增函數(shù)

B.偶函數(shù)且在（0,+8）上是增函數(shù)

C.奇函數(shù)且在（0,+8）上是減函數(shù)

D.偶函數(shù)且在（0,+8）上是減函數(shù)

D[VA-X)=[3=(3=0???f（x）是偶函數(shù).

當(dāng)x￡（0,+8）時(shí)，f{x）在（0,+8）上是減函數(shù).故選D.]

函數(shù)，（彳）=占的值域是（）

4.

A.(一8,1)B.(0,1)

C.(1，+°°)D.(—8,1)U(1,+8)

1

B[V3'+1>1,A0<3r+l<b???函數(shù)的值域?yàn)椋╫,D,]

ffiY

-7,

5.已知函數(shù)/'(x)=〈12J若&）＜1，則實(shí)數(shù)a的取值范圍

是（)

A.(—3,1)B.(—3,0)

C.[0,1)D.(0,1)

水0,

心0,

A[由題意，知f（豕1等價(jià)于或4r-解得-3〈水0

-7<1〔信:，

2

或0W水L所以一3＜水1.]

Y,KO,

6.函數(shù)片2-。的圖象大致是（）

B[當(dāng)x〈O時(shí)，函數(shù)的圖象是拋物線；當(dāng)x2O時(shí)，只需把尸2,的圖象在y

軸右側(cè)的部分向下平移1個(gè)單位即可，故大致圖象為B.]

7.要得到函數(shù)尸2'、的圖象，只需將函數(shù)尸q]的圖象（）

A.向右平移3個(gè)單位B.向左平移3個(gè)單位

C.向右平移8個(gè)單位D.向左平移8個(gè)單位

A「??尸21=?:'的圖象向右平移3個(gè)單位得到尸母3即

是y=2一的圖象，故選A.]

8.設(shè)f（x）=e"O<a<b,若夕q=f12J,r=y[f~~a~f—~,

則下列關(guān)系式中正確的是（）

A.q=KpB.p=Kq

C.q=r>pD.p=f>q

C[：O〈水b,?,?與兄，又f（x）=e*在（0,+8）上為增函數(shù)，

仔丹〉隔），即q>p.又r=yjfafb=，？￡=e亨=q,故q=f>p.故

選C.]

二、選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選

項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得3分，有選錯(cuò)的

得0分.

9.下列運(yùn)算結(jié)果中錯(cuò)誤的為（）

A.4?4=才B.（一才）3=（一才）2

C.（V^-D°=lD.（—4）3=一d

ABC［對(duì)于A選項(xiàng)：4?才=，+3=才，所以人選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于B,D選項(xiàng)：(一

才尸=一式，而(一初2=最所以B選項(xiàng)錯(cuò)誤，D選項(xiàng)正確；對(duì)于C選項(xiàng)：0的0

次幕沒(méi)有意義，當(dāng)，=1時(shí)，［、得一1)°無(wú)意義.］

10.以下各式化簡(jiǎn)正確的是()

A-2--L±1

A.a5a3。15=1

B.(a6b-9)一爭(zhēng)=。一4小

c.(/)力(/聲)(二句=了

ABC［對(duì)人,相看益晟=相看+++*=。()=1,正確；歸B,

9)一孑=/"(：)?b"(一著)=a-4?小，正確；對(duì)

_1X\1±_1_±11

C,(］4y3)(?3)(12y3)=14+42y3+3+3=

J)，=)，，正確；經(jīng)化簡(jiǎn)可知D項(xiàng)錯(cuò)誤.故選ABC.］

IZ,n71r、冗'+冗’，，皿

已知函數(shù),則f(x),滿足()

11.f(x)=-----乙------,g(x)=------乙------g(x)

A.f(—x)+g(—x)=g(x)—F(x)

B.A-2XA3)

C.F(x)—g(x)=1r

D.F(2x)=2F(x)g(x)

x

JIxTlJIxIJIx

［正確，f(—x)=，所

ABDA-----乙------=—(*),g(—x)=-----乙------=g(x),

以/'(—x)+g(—x)=g(x)—f(x)；B正確，可知函數(shù)F(x)為增函數(shù)，所以/'(一

j/J-TX—J_I_-XJIX十IJ—I—X—C2-J.I-X

；不正確，=一兀一；

2)</(3)Cf(x)—g(x)=-乙----乙--=—乙—D

■“，、兀2」71f『一j1r冗—j1r

正確，］

F(2x)=------乙-------=2?-----乙-------------乙------=2F(x)g(a).

12.高斯是德國(guó)著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的

稱號(hào).他和阿基米德、牛頓并列為世界三大數(shù)學(xué)家，用其名字命名的“高斯函數(shù)”

為：設(shè)x￡R,用［x］表示不超過(guò)x的最大整數(shù)，則尸［切稱為高斯函數(shù)，例如：

pX1

[-3.5]=-4,[2.1]=2.已知函數(shù)以彳)==1一5,則關(guān)于函數(shù)g(x)="(x)]

1?e乙

的敘述中正確的是()

A.g(x)是偶函數(shù)

B./1(x)是奇函數(shù)

C.f(x)在R上是增函數(shù)

D.g(x)的值域是{-1,0,1}

x

e111rer

BC[根據(jù)題意知，f^X)=?Q=9—itx.V^(l)=[/(1)]=—5

1?czzlie|_i?e

=0,g(—1)=[F(—1)]=—1,???g(l)Wg(—1),g(l)#—g(—1),

e-*11

???函數(shù)g(*)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)，A錯(cuò)誤：?.?以一*)

1十e2,1十e

J=-f(x),.??f(x)是奇函數(shù)，B正確；由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性知/'(x)=：—72L在

221-re

R上是增函數(shù)，C正確；?0,???l+e，〉l,???一.?.z(x)="(x)]={—

1,0},D錯(cuò)誤.故選BC.]

三、填空題：本大題共4個(gè)小題，每小題5分，共20分，把正確答案填在

題中橫線上.

13.已知函數(shù)f(x)=aL2+i(a〉o,且aWl)的圖象過(guò)定點(diǎn)尺則點(diǎn)〃的坐標(biāo)

為.

(2,2)[由題意，令x=2,可得f(2)=4~+1=2,所以函數(shù)A%)=a-z

+1(企0且@之1)的圖象過(guò)定點(diǎn)〃(2,2).]

14.已知集合力={x|y=,},B=^x1<2X4>,則((MCQ.

乙

{x|-KX0}[因?yàn)閆={x\y=y[x\={x\x20},

所以{x|x<0}.

又8={x1<2X4>={A|—KK2},

所以(CMCQ{x|—1<水0}.]

1［fx?彳2。，

15.己知函數(shù)F(x)=2'—不，函數(shù)g(x)=,”則函數(shù)g(x)

乙［r—x,水0,

的最小值是.

0［當(dāng)才20時(shí)，g(x)=f(x)=2”一J為增函數(shù)，所以g(x)2g(0)=0；當(dāng)K0

乙

時(shí)，g(x)=H-x)=2'-白為減函數(shù)，所以g(x)>g(O)=O,所以函數(shù)g(x)的最

小值是0.］

16