專(zhuān)題19 圓（講義）（解析版）

專(zhuān)題19圓核心知識(shí)點(diǎn)精講理解掌握?qǐng)A的相關(guān)概念、表示方法；理解掌握?qǐng)A的對(duì)稱(chēng)性、弦、弧等與圓有關(guān)的概念及其運(yùn)用；理解掌握?qǐng)A周角定理及其推論，并能夠進(jìn)行運(yùn)用；理解掌握垂徑定理及其推論；掌握?qǐng)A和圓的位置關(guān)系；理解掌握直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系；理解掌握正多邊形和圓之間的關(guān)系；理解與正多邊形有關(guān)的概念；掌握正多邊形的對(duì)稱(chēng)性；理解掌握弧長(zhǎng)和扇形面積的計(jì)算方法。考點(diǎn)1圓的概念1.圓的定義在一個(gè)個(gè)平面內(nèi)，線(xiàn)段OA繞它固定的一個(gè)端點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)一周，另一個(gè)端點(diǎn)A隨之旋轉(zhuǎn)所形成的圖形叫做圓，固定的端點(diǎn)O叫做圓心，線(xiàn)段OA叫做半徑。2.圓的幾何表示以點(diǎn)O為圓心的圓記作“⊙O”，讀作“圓O”考點(diǎn)2圓的對(duì)稱(chēng)性、弦、弧等與圓有關(guān)的概念1.圓的軸對(duì)稱(chēng)性圓是軸對(duì)稱(chēng)圖形，經(jīng)過(guò)圓心的每一條直線(xiàn)都是它的對(duì)稱(chēng)軸。2.圓的中心對(duì)稱(chēng)性圓是以圓心為對(duì)稱(chēng)中心的中心對(duì)稱(chēng)圖形。3.弦、弧、弦心距、圓心角等相關(guān)概念（1）弦連接圓上任意兩點(diǎn)的線(xiàn)段叫做弦。（如圖中的AB）（2）直徑經(jīng)過(guò)圓心的弦叫做直徑。（如圖中的CD）直徑等于半徑的2倍。（3）半圓圓的任意一條直徑的兩個(gè)端點(diǎn)分圓成兩條弧，每一條弧都叫做半圓。（4）弧、優(yōu)弧、劣弧圓上任意兩點(diǎn)間的部分叫做圓弧，簡(jiǎn)稱(chēng)弧?；∮梅?hào)“⌒”表示，以A，B為端點(diǎn)的弧記作“”，讀作“圓弧AB”或“弧AB”。大于半圓的弧叫做優(yōu)弧（多用三個(gè)字母表示）；小于半圓的弧叫做劣?。ǘ嘤脙蓚€(gè)字母表示）（5）圓心角頂點(diǎn)在圓心的角叫做圓心角。（6）弦心距從圓心到弦的距離叫做弦心距。（7）弧、弦、弦心距、圓心角之間的關(guān)系定理在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦想等，所對(duì)的弦的弦心距相等。推論：在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓的圓心角、兩條弧、兩條弦或兩條弦的弦心距中有一組量相等，那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量都分別相等?？键c(diǎn)3圓周角定理及其推論1.圓周角頂點(diǎn)在圓上，并且兩邊都和圓相交的角叫做圓周角。2.圓周角定理一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半。推論1：同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等；同圓或等圓中，相等的圓周角所對(duì)的弧也相等。推論2：半圓（或直徑）所對(duì)的圓周角是直角；90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑。推論3：如果三角形一邊上的中線(xiàn)等于這邊的一半，那么這個(gè)三角形是直角三角形?？键c(diǎn)4垂徑定理及其推論垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的弧。推論1：（1）平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧。（2）弦的垂直平分線(xiàn)經(jīng)過(guò)圓心，并且平分弦所對(duì)的兩條弧。（3）平分弦所對(duì)的一條弧的直徑垂直平分弦，并且平分弦所對(duì)的另一條弧。推論2：圓的兩條平行弦所夾的弧相等。垂徑定理及其推論可概括為：過(guò)圓心垂直于弦直徑平分弦知二推三 平分弦所對(duì)的優(yōu)弧平分弦所對(duì)的劣弧考點(diǎn)5圓和圓的位置關(guān)系1.圓和圓的位置關(guān)系如果兩個(gè)圓沒(méi)有公共點(diǎn)，那么就說(shuō)這兩個(gè)圓相離，相離分為外離和內(nèi)含兩種。如果兩個(gè)圓只有一個(gè)公共點(diǎn)，那么就說(shuō)這兩個(gè)圓相切，相切分為外切和內(nèi)切兩種。如果兩個(gè)圓有兩個(gè)公共點(diǎn)，那么就說(shuō)這兩個(gè)圓相交。2.圓心距兩圓圓心的距離叫做兩圓的圓心距。3.圓和圓位置關(guān)系的性質(zhì)與判定設(shè)兩圓的半徑分別為R和r，圓心距為d，那么兩圓外離d>R+r兩圓外切d=R+r兩圓相交R-r<d<R+r（R≥r）兩圓內(nèi)切d=R-r（R>r）兩圓內(nèi)含d<R-r（R>r）4.兩圓相切、相交的重要性質(zhì)如果兩圓相切，那么切點(diǎn)一定在連心線(xiàn)上，它們是軸對(duì)稱(chēng)圖形，對(duì)稱(chēng)軸是兩圓的連心線(xiàn)；相交的兩個(gè)圓的連心線(xiàn)垂直平分兩圓的公共弦。考點(diǎn)6直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系（1）直線(xiàn)和圓的三種位置關(guān)系：①相離：一條直線(xiàn)和圓沒(méi)有公共點(diǎn)．②相切：一條直線(xiàn)和圓只有一個(gè)公共點(diǎn)，叫做這條直線(xiàn)和圓相切，這條直線(xiàn)叫圓的切線(xiàn)，唯一的公共點(diǎn)叫切點(diǎn)．③相交：一條直線(xiàn)和圓有兩個(gè)公共點(diǎn)，此時(shí)叫做這條直線(xiàn)和圓相交，這條直線(xiàn)叫圓的割線(xiàn)．（2）判斷直線(xiàn)和圓的位置關(guān)系：設(shè)⊙O的半徑為r，圓心O到直線(xiàn)l的距離為d．①直線(xiàn)l和⊙O相交?d＜r②直線(xiàn)l和⊙O相切?d＝r③直線(xiàn)l和⊙O相離?d＞r．考點(diǎn)7正多邊形和圓1.正多邊形的定義各邊相等，各角也相等的多邊形叫做正多邊形。2.正多邊形和圓的關(guān)系只要把一個(gè)圓分成相等的一些弧，就可以做出這個(gè)圓的內(nèi)接正多邊形，這個(gè)圓就是這個(gè)正多邊形的外接圓?？键c(diǎn)8與正多邊形有關(guān)的概念1.正多邊形的中心正多邊形的外接圓的圓心叫做這個(gè)正多邊形的中心。2.正多邊形的半徑正多邊形的外接圓的半徑叫做這個(gè)正多邊形的半徑。3.正多邊形的邊心距正多邊形的中心到正多邊形一邊的距離叫做這個(gè)正多邊形的邊心距。4.中心角正多邊形的每一邊所對(duì)的外接圓的圓心角叫做這個(gè)正多邊形的中心角?？键c(diǎn)9正多邊形的對(duì)稱(chēng)性1.正多邊形的軸對(duì)稱(chēng)性正多邊形都是軸對(duì)稱(chēng)圖形。一個(gè)正n邊形共有n條對(duì)稱(chēng)軸，每條對(duì)稱(chēng)軸都通過(guò)正n邊形的中心。2.正多邊形的中心對(duì)稱(chēng)性邊數(shù)為偶數(shù)的正多邊形是中心對(duì)稱(chēng)圖形，它的對(duì)稱(chēng)中心是正多邊形的中心。3.正多邊形的畫(huà)法先用量角器或尺規(guī)等分圓，再做正多邊形?？键c(diǎn)10弧長(zhǎng)和扇形面積1.弧長(zhǎng)公式n°的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)l的計(jì)算公式為2.扇形面積公式其中n是扇形的圓心角度數(shù)，R是扇形的半徑，l是扇形的弧長(zhǎng)。3.圓錐的側(cè)面積其中l(wèi)是圓錐的母線(xiàn)長(zhǎng)，r是圓錐的地面半徑?！绢}型1：圓的概念】【典例1】（2022?南山區(qū)校級(jí)模擬）數(shù)學(xué)知識(shí)在生產(chǎn)和生活中被廣泛應(yīng)用，下列實(shí)例所應(yīng)用的最主要的幾何知識(shí)，說(shuō)法正確的是（）A．學(xué)校門(mén)口的伸縮門(mén)由菱形而不是其他四邊形組成，應(yīng)用了“菱形的對(duì)角線(xiàn)互相垂直平分” B．車(chē)輪做成圓形，應(yīng)用了“圓是中心對(duì)稱(chēng)圖形” C．射擊時(shí)，瞄準(zhǔn)具的缺口、準(zhǔn)星和射擊目標(biāo)在同一直線(xiàn)上，應(yīng)用了“兩點(diǎn)確定一條直線(xiàn)” D．地板磚可以做成矩形，應(yīng)用了“矩形對(duì)邊相等”【答案】C【分析】根據(jù)兩點(diǎn)確定一條直線(xiàn)，圓的認(rèn)識(shí)，菱形的性質(zhì)以及矩形的性質(zhì)進(jìn)行判斷即可．【解答】解：A．學(xué)校門(mén)口的伸縮門(mén)由菱形而不是其他四邊形組成，應(yīng)用了“四邊形的不穩(wěn)定性”，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤，不合題意；B．車(chē)輪做成圓形，應(yīng)用了“圓上各點(diǎn)到圓心的距離相等”，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤，不合題意；C．射擊時(shí)，瞄準(zhǔn)具的缺口、準(zhǔn)星和射擊目標(biāo)在同一直線(xiàn)上，應(yīng)用了“兩點(diǎn)確定一條直線(xiàn)”，故本選項(xiàng)正確，符合題意D．地板磚可以做成矩形，應(yīng)用了“矩形四個(gè)內(nèi)角都是直角”的性質(zhì)，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤，不合題意．故選：C．1．（2022?潮安區(qū)模擬）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10．若以點(diǎn)C為圓心，CA長(zhǎng)為半徑的圓恰好經(jīng)過(guò)AB的中點(diǎn)D，則⊙C的半徑為（）A．53 B．8 C．6 【答案】D【分析】連結(jié)CD，根據(jù)直角三角形斜邊中線(xiàn)定理求解即可．【解答】解：如圖，連結(jié)CD，∵CD是直角三角形斜邊上的中線(xiàn)，∴CD=12AB故選：D．2．（2023?福田區(qū)校級(jí)三模）如圖，AB是⊙O的弦，OC⊥AB，垂足為C，OD∥AB，OC=12OD，則∠A．90° B．95° C．100° D．105°【答案】D【分析】連接OB，則OC=12OB，由OC⊥AB，則∠OBC＝30°，再由OD∥【解答】解：如圖：連接OB，則OB＝OD，∵OC=12∴OC=12∵OC⊥AB，∴∠OBC＝30°，∵OD∥AB，∴∠BOD＝∠OBC＝30°，∴∠OBD＝∠ODB＝75°，∠ABD＝30°+75°＝105°．故選：D．【題型2：實(shí)數(shù)的分類(lèi)】【典例2】（2023?東莞市一模）如圖，AB是⊙O的弦，C是AB的中點(diǎn)，OC交AB于點(diǎn)D，若AB＝8cm，CD＝2cm，求⊙O的半徑．【答案】⊙O的半徑為5cm．【分析】先根據(jù)圓心角、弧、弦的關(guān)系和垂徑定理得出各線(xiàn)段之間的關(guān)系，再利用勾股定理求解出半徑即可．【解答】解：如圖，連接OA，∵C是AB的中點(diǎn)，∴D是弦AB的中點(diǎn)，∴OC⊥AB，AD＝BD＝4cm，∵OD＝3cm，在Rt△OAD中，OA2＝AD2+OD2，即OA2＝42+（OA﹣2）2，∴OA＝5m．即⊙O的半徑為5cm．1．（2023?荔灣區(qū)校級(jí)二模）下列語(yǔ)句中，正確的有（）①相等的圓心角所對(duì)的弧相等；②平分弦的直徑垂直于弦；③長(zhǎng)度相等的兩條弧是等??；④經(jīng)過(guò)圓心的每一條直線(xiàn)都是圓的對(duì)稱(chēng)軸．A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】A【分析】根據(jù)圓心角、弧、弦的關(guān)系以及垂徑定理等對(duì)每一項(xiàng)進(jìn)行分析即可求出正確答案．【解答】解：①同圓或等圓中相等的圓心角所對(duì)的弧相等，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；②平分弦的直徑垂直于弦，被平分的弦不能是直徑，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；③能重合的弧是等弧，而長(zhǎng)度相等的弧不一定能夠重合，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；④經(jīng)過(guò)圓心的每一條直線(xiàn)都是圓的對(duì)稱(chēng)軸，此選項(xiàng)正確；故正確的有1個(gè)，故選：A．2．（2022?龍崗區(qū)模擬）如圖，△ABC的頂點(diǎn)A、B、C均在⊙O上，若∠ABC+∠AOC＝75°，則∠OAC的大小是（）A．25° B．50° C．65° D．75°【答案】C【分析】根據(jù)圓周角定理得出∠AOC＝2∠ABC，求出∠AOC＝50°，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和進(jìn)行內(nèi)角和定理求出即可．【解答】解：∵根據(jù)圓周角定理得：∠AOC＝2∠ABC，∵∠ABC+∠AOC＝75°，∴∠AOC=2∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA=12（180°﹣∠故選：C．3．（2022?蓬江區(qū)校級(jí)一模）以下說(shuō)法正確的是（）A．平行四邊形是軸對(duì)稱(chēng)圖形 B．函數(shù)y=1x?2的自變量取值范圍xC．相等的圓心角所對(duì)的弧相等 D．直線(xiàn)y＝x﹣5不經(jīng)過(guò)第二象限【答案】D【分析】利用平四邊形的性質(zhì)，圓周角定理，函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)一一判斷即可．【解答】解：A、平行四邊形是軸對(duì)稱(chēng)圖形，錯(cuò)誤，本選項(xiàng)不符合題意．B、函數(shù)y=1x?2的自變量取值范圍x≥2，錯(cuò)誤，應(yīng)該是C、相等的圓心角所對(duì)的弧相等，錯(cuò)誤，條件是同圓或等圓中，本選項(xiàng)不符合題意．D、直線(xiàn)y＝x﹣5不經(jīng)過(guò)第二象限，正確，本選項(xiàng)符合題意．故選：D．【題型3：圓周角定理及其推論】【典例3】（2023?陸豐市二模）如圖，在扇形AOB中，∠AOB＝130°，OA＝3，若弦BC∥AO，則AC的長(zhǎng)為（）A．5π12 B．2π3 C．5π6【答案】C【分析】連接OC，如圖，利用等腰三角形的性質(zhì)和平行線(xiàn)的性質(zhì)可計(jì)算出∠AOC＝50°，然后根據(jù)弧長(zhǎng)公式計(jì)算AC的長(zhǎng)．【解答】解：連接OC，如圖，∵BC∥OA，∴∠AOB+∠OBC＝180°，∠C＝∠AOC，∵∠AOB＝130°，∴∠OBC＝50°，∵OB＝OC，∴∠C＝∠OBC＝50°，∴∠AOC＝50°，∴AC的長(zhǎng)=50×π×3故選：C．1．（2023?封開(kāi)縣一模）已知：如圖OA，OB是⊙O的兩條半徑，且OA⊥OB，點(diǎn)C在⊙O上，則∠ACB的度數(shù)為（）A．45° B．40° C．35° D．50°【答案】A【分析】判斷出∠AOB＝90°，再利用圓周角定理求解．【解答】解：∵OA⊥OB，∴∠AOB＝90°，∴∠ACB=12∠故選：A．2．（2023?佛山一模）如圖，在⊙O中，∠O＝50°，則∠A的度數(shù)是（）A．25° B．30° C．50° D．100°【答案】A【分析】直接利用圓周角定理求解．【解答】解：如圖，在⊙O中，∠O＝50°，∠A=12∠O，則∠故選：A．3．（2023?東莞市一模）如圖，AB是⊙O的直徑，若AC＝2，∠D＝60°，則BC長(zhǎng)等于（）A．4 B．5 C．3 D．23【答案】D【分析】根據(jù)圓周角定理得出∠ACB＝90°，∠CAB＝∠D＝60°，解直角三角形求出BC即可．【解答】解：∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°，∵∠D＝60°，∴BC=3AC＝23故選：D．【題型4：垂徑定理及其推論】【典例4】（2023?東莞市校級(jí)模擬）如圖，在半徑為13的⊙O中，M為弦AB的中點(diǎn)，若OM＝12，則AB的長(zhǎng)為10．．【答案】10．【分析】連接OM，OA，根據(jù)垂徑定理得出OM⊥AB，根據(jù)勾股定理求出AM，再求出AB即可．【解答】解：連接OM，OA，∵M(jìn)為AB的中點(diǎn)，O過(guò)圓心O，∴OM⊥AB，AM＝BM，∴∠OMA＝90°，由勾股定理得：BM＝AM=O∴AB＝AM+BM＝10，故答案為：10．1．（2023?南海區(qū)校級(jí)模擬）如圖，線(xiàn)段CD是⊙O的直徑，CD⊥AB于點(diǎn)E，若AB長(zhǎng)為16，OE長(zhǎng)為6，則⊙O半徑是（）A．5 B．6 C．8 D．10【答案】D【分析】連接OA，如圖，先根據(jù)垂徑定理得到AE＝BE＝8，然后利用勾股定理計(jì)算出OA即可．【解答】解：連接OA，如圖，∵CD⊥AB，∴AE＝BE=12AB在Rt△OAE中，OA=O即⊙O半徑為10．故選：D．2．（2023?高明區(qū)二模）如圖，⊙O的半徑為5cm，弦AB＝8cm，P是弦AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則OP的長(zhǎng)度范圍是（）A．8≤OP≤10 B．5≤OP≤8 C．4≤OP≤5 D．3≤OP≤5【答案】D【分析】過(guò)點(diǎn)O作OE⊥AB于點(diǎn)E，連接OB，由垂徑定理可知AE＝BE=12AB，再根據(jù)勾股定理求出【解答】解：過(guò)點(diǎn)O作OE⊥AB于點(diǎn)E，連接OB，∵AB＝8cm，∴AE＝BE=12AB=1∵OA＝5cm，∴OE=OA2∵垂線(xiàn)段最短，半徑最長(zhǎng)，∴3cm≤OP≤5cm．故選：D．3．（2023?荔灣區(qū)校級(jí)二模）如圖，AB為⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點(diǎn)F，OE⊥AC于點(diǎn)E，若OE＝3，OB＝5，則CD的長(zhǎng)度是485【答案】485【分析】根據(jù)垂徑定理得到AE＝EC，根據(jù)勾股定理求出AC，證明△AEO∽△AFC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)計(jì)算即可．【解答】解：∵OE⊥AC，∴AE＝EC，∵AB⊥CD，∴∠AFC＝∠AEO＝90°，∵OE＝3，OB＝5，∴AE=O∴AC＝8，∵∠A＝∠A，∠AEO＝∠AFC，∴△AEO∽△AFC，∴AOAC=OE解得：FC=24∵CD⊥AB，∴CD＝2CF=48故答案為：485【題型5：垂徑定理的應(yīng)用】【典例5】（2023?龍崗區(qū)校級(jí)一模）“圓”是中國(guó)文化的一個(gè)重要精神元素，在中式建筑中有著廣泛的應(yīng)用．例如古典園林中的門(mén)洞．如圖，某地園林中的一個(gè)圓弧形門(mén)洞的高為2.5m，地面入口寬為1m，則該門(mén)洞的半徑為1.3m．【答案】1.3．【分析】設(shè)半徑為rm，根據(jù)垂徑定理可以列方程求解即可．【解答】解：設(shè)圓的半徑為rm，由題意可知，DF=12CD=12m，Rt△OFD中，OF=r2?(12所以r2?(解得r＝1.3．故答案為：1.3．1．（2023?越秀區(qū)校級(jí)三模）如圖，武漢晴川橋可以近似地看作半徑為250m的圓弧，橋拱和路面之間用數(shù)根鋼索垂直相連，其正下方的路面AB長(zhǎng)度為300m，那么這些鋼索中最長(zhǎng)的一根為（）A．50m B．45m C．40m D．60m【答案】A【分析】設(shè)圓弧的圓心為O，過(guò)O作OC⊥AB于C，交AB于D，連接OA，先由垂徑定理得AC＝BC=12AB＝150m，再由勾股定理求出OC＝200，然后求出【解答】解：設(shè)圓弧的圓心為O，過(guò)O作OC⊥AB于C，交AB于D，連接OA，如圖所示：則OA＝OD＝250m，AC＝BC=12AB＝150∴OC=OA2∴CD＝OD﹣OC＝250﹣200＝50（m），即這些鋼索中最長(zhǎng)的一根為50m，故選：A．2．（2023?香洲區(qū)校級(jí)三模）如圖是某品牌的香水瓶．從正面看上去它可以近似看作⊙O割去兩個(gè)弓形后余下的部分，與矩形ABCD組合而成的圖形（點(diǎn)B，C在⊙O上），其中BC∥EF；已知⊙O的半徑為25，BC＝14，AB＝26，EF＝48，則香水瓶的高度h是（）A．56 B．57 C．58 D．59【答案】B【分析】作OG⊥BC交BC于點(diǎn)G，延長(zhǎng)GO交EF于點(diǎn)H，連接BO、EO，利用垂徑定理，得到BG＝7，EH＝24，再利用勾股定理，求得GO＝24，HO＝7，即可求出香水瓶的高度h．【解答】解：如圖，作OG⊥BC交BC于點(diǎn)G，延長(zhǎng)GO交EF于點(diǎn)H，連接BO、EO，∵OG⊥BC，BC＝14，∴BG=1∵BO＝EO＝25，在Rt△BGO中，GO=B∵BC∥EF，OG⊥BC，∴OH⊥EF，∴EH=1在Rt△EHO中，HO=E∴h＝HO+GO+AB＝7+24+26＝57，故選：B．3．（2023?東莞市校級(jí)一模）如圖，某同學(xué)準(zhǔn)備用一根內(nèi)半徑為5cm的塑料管裁一個(gè)引水槽，使槽口寬度AB為8cm，則槽的深度CD為2cm．【答案】2．【分析】根據(jù)垂徑定理得到AD=DB=1【解答】解：如圖，由題意可知，OA＝5cm，OC⊥AB，則AD=DB=12在Rt△ADO中，由勾股定理得，OD=OA2∴CD＝OC﹣OD＝5﹣3＝2（cm）．故答案為2．【題型6：圓與圓的位置關(guān)系】【典例6】（2022?龍崗區(qū)校級(jí)模擬）直徑分別為8和6的兩圓相切，則這兩圓的圓心距等于（）A．14 B．2 C．14或2 D．7或1【答案】D【分析】?jī)蓤A相切，則兩圓外切或內(nèi)切．當(dāng)兩圓外切時(shí)，圓心距等于兩圓半徑之和；當(dāng)兩圓內(nèi)切時(shí)，圓心距等于兩圓半徑之差．【解答】解：當(dāng)兩圓外切時(shí)，則圓心距等于8÷2+6÷2＝7；當(dāng)兩圓內(nèi)切時(shí)，則圓心距等于8÷2﹣6÷2＝1．故選：D．1.（2023?羅湖區(qū)校級(jí)自主招生）如圖，由三個(gè)半圓和一個(gè)整圓構(gòu)成，已知大半圓半徑60，小半圓半徑為30，則圓O的直徑40．【答案】40．【分析】設(shè)圓O的半徑為r，由題意可知，OP⊥PQ，OP＝60﹣r，OQ＝30+r，利用勾股定理得到關(guān)于r的方程，解方程即可求得圓O的半徑，進(jìn)一步求得圓O的直徑．【解答】解：如圖，設(shè)圓O的半徑為r，則OP＝60﹣r，OQ＝30+r，由題意可知，OP⊥PQ，則OP2+PQ2＝OQ2，∴（60﹣r）2+302＝（30+r）2，解得r＝20，∴圓O的直徑為40．故答案為：40．2．（2020?龍崗區(qū)校級(jí)模擬）兩圓的半徑分別為3和3，圓心距為3，則兩圓的位置關(guān)系為相交．【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容【分析】根據(jù)兩圓的位置關(guān)系判定方法，當(dāng)兩圓半徑之和小于圓心距時(shí)，兩圓外離，即可得出答案．【解答】解：∵兩圓的半徑均3，圓心距為3，3＜6，即兩圓半徑之和＞圓心距，即兩圓相交．故答案為：相交．【題型7：直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系】【典例7】（2022?潮南區(qū)模擬）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，以AC為直徑的⊙O與AB邊交于點(diǎn)D，連接DE．（1）判斷直線(xiàn)DE與⊙O的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；（2）若CD＝6，DE＝5，求⊙O的直徑．【答案】（1）直線(xiàn)DE與⊙O相切，理由見(jiàn)解析；（2）152【分析】（1）連接DO，如圖，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線(xiàn)性質(zhì)，由∠BDC＝90°，E為BC的中點(diǎn)得到DE＝CE＝BE，則利用等腰三角形的性質(zhì)得∠EDC＝∠ECD，∠ODC＝∠OCD，由于∠OCD+∠DCE＝∠ACB＝90°，所以∠EDC+∠ODC＝90°，即∠EDO＝90°，于是根據(jù)切線(xiàn)的判定定理即可得到DE與⊙O相切；（2）根據(jù)勾股定理和相似三角形的判定與性質(zhì)即可得到結(jié)論．【解答】解：（1）直線(xiàn)DE與⊙O相切，理由：連接DO，如圖，∵∠BDC＝90°，E為BC的中點(diǎn)，∴DE＝CE＝BE，∴∠EDC＝∠ECD，又∵OD＝OC，∴∠ODC＝∠OCD，而∠OCD+∠DCE＝∠ACB＝90°，∴∠EDC+∠ODC＝90°，即∠EDO＝90°，∴DE⊥OD，∵OD是⊙O的半徑，∴DE與⊙O相切；（2）由（1）得，∠CDB＝90°，∵CE＝EB，∴DE=12∴BC＝10，∴BD=B∵∠BCA＝∠BDC＝90°，∠B＝∠B，∴△BCA∽△BDC，∴ACCD∴AC6∴AC=15∴⊙O直徑的長(zhǎng)為1521．（2022?金平區(qū)校級(jí)模擬）在平面直角坐標(biāo)系中，⊙A的圓心坐標(biāo)為（3，5），半徑為方程x2﹣2x﹣15＝0的一個(gè)根，那么⊙A與x軸的位置關(guān)系是相切．【答案】相切．【分析】解方程x2﹣2x﹣15＝0得到⊙A的半徑為5，于是得到⊙A的半徑＝圓心A到x軸的距離，即可得到結(jié)論．【解答】解：解方程x2﹣2x﹣15＝0得，x1＝5，x2＝﹣3，∴⊙A的半徑為5，∵⊙A的圓心坐標(biāo)為（3，5），∴點(diǎn)A到x軸的距離為5，∴⊙A的半徑＝圓心A到x軸的距離，∴⊙A與x軸的位置關(guān)系是相切，故答案為：相切．2．（2023?茂南區(qū)二模）如圖，AB是⊙O的弦，C是⊙O外一點(diǎn)，OC⊥OA，CO交AB于點(diǎn)P，交⊙O于點(diǎn)D，且CP＝CB．（1）判斷直線(xiàn)BC與⊙O的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；（2）若∠A＝30°，OP＝2，求圖中陰影部分的面積．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）23?π【分析】（1）根據(jù)等邊對(duì)等角得∠CPB＝∠CBP，根據(jù)垂直的定義得∠OBC＝90°，即OB⊥CB，則CB與⊙O相切；（2）根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理得到∠APO＝60°，推出△PBD是等邊三角形，得到∠PCB＝∠CBP＝60°，求得BC＝2，根據(jù)勾股定理得到OB=AP2【解答】解：（1）CB與⊙O相切，理由：連接OB，∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA，∵CP＝CB，∴∠CPB＝∠CBP，∵∠CPB＝∠APO，∴∠CBP＝∠APO，在Rt△AOP中，∵∠A+∠APO＝90°，∴∠OBA+∠CBP＝90°，即：∠OBC＝90°，∴OB⊥CB，又∵OB是半徑，∴CB與⊙O相切；（2）∵∠A＝30°，∠AOP＝90°，OP＝2，∴∠APO＝60°，AP＝2OP＝4，∴AO＝BO=AP2∵OA＝OB，∴∠OBA＝∠A＝30°，∴∠BOP＝∠APO﹣∠OBA＝30°＝∠OBP，∴OP＝PB＝2，∵∠BPD＝∠APO＝60°，PC＝CB，∴△PBC是等邊三角形，∴∠PCB＝∠CBP＝60°，∴BC＝PB＝2，∴圖中陰影部分的面積＝S△OBC﹣S扇形OBD=12×2×23?3．（2022?香洲區(qū)校級(jí)三模）如圖，已知△ABC，以BC為直徑的⊙O交AB于點(diǎn)D，點(diǎn)E為BD的中點(diǎn)，連接CE交AB于點(diǎn)F，且AF＝AC．（1）判斷直線(xiàn)AC與⊙O的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；（2）若⊙O的半徑為2，sinA=45，求【答案】（1）見(jiàn)解答；（2）CE=8【分析】（1）連接BE，求出∠EBD+∠BFE＝90°，推出∠ACE＝∠AFC，∠EBD＝∠BCE，求出∠ACE+∠BCE＝90°，根據(jù)切線(xiàn)的判定推出即可．（2）根據(jù)BC＝4，sinA=45=BCAB，求出AB＝5，AC＝3，AF＝3，BF＝2，根據(jù)∠EBD＝∠BCE，∠E＝∠E證△BEF∽△CEB，推出EC＝2EB，設(shè)EB＝x，EC＝2x，由勾股定理得出x【解答】（1）AC與⊙O相切，證明：連接BE，∵BC是⊙O的直徑，∴∠E＝90°，∴∠EBD+∠BFE＝90°，∵AF＝AC，∴∠ACE＝∠AFC，∵E為弧BD中點(diǎn)，∴∠EBD＝∠BCE，∴∠ACE+∠BCE＝90°，∴AC⊥BC，∵BC為直徑，∴AC是⊙O的切線(xiàn)．（2）解：∵⊙O的半為2∴BC＝4，在Rt△ABC中，sinA=4∴AB＝5，∴AC=A∵AF＝AC，∴AF＝3，BF＝5﹣3＝2，∵∠EBD＝∠BCE，∠E＝∠E，∴△BEF∽△CEB，∴EBEC∴EC＝2EB，設(shè)EB＝x，EC＝2x，由勾股定理得：x2+4x2＝16，∴x=4即CE=8【題型8：正多邊形與圓】【典例8】（2023?南海區(qū)模擬）如圖，已知圓O的內(nèi)接正六邊形的邊長(zhǎng)為4，H為邊AF的中點(diǎn)，則圖中陰影部分的面積是8π3+43【答案】8π3+4【分析】根據(jù)圓內(nèi)接正六邊形的性質(zhì)得出∠COD＝60°，OC＝OD＝CD＝4，CD∥AF，由S△HCD＝2S△COD，得出S陰影部分＝S扇形COD+S△COD，根據(jù)扇形面積、正三角形面積的計(jì)算方法進(jìn)行計(jì)算即可．【解答】解：如圖，連接OC、OD，∵六邊形ABCDEF是⊙O內(nèi)接正六邊形，∴∠COD=360°6=60°，OC＝OD＝CD＝4，CD∴S△HCD＝2S△COD，∴S陰影部分＝S扇形COD+S△COD=60π×42=8π3+故答案為：8π3+41．（2023?花都區(qū)二模）如圖，正六邊形ABCDEF內(nèi)接于⊙O，點(diǎn)G是EF弧上的一點(diǎn)，則∠BGA的度數(shù)為（）A．25° B．30° C．35° D．40°【答案】B【分析】根據(jù)圓內(nèi)接正六邊形的性質(zhì)求出其中心角∠AOB的度數(shù)，再根據(jù)圓周角定理進(jìn)行計(jì)算即可．【解答】解：如圖，連接OA、OB，∵正六邊形ABCDEF是⊙O的內(nèi)接正六邊形，∴∠AOB=360°∴∠AGB=12∠故選：B．2．（2023?南山區(qū)二模）劉徽在《九章算術(shù)注》中首創(chuàng)“割圓術(shù)”，利用圓的內(nèi)接正多邊形來(lái)確定圓周率，開(kāi)創(chuàng)了中國(guó)數(shù)學(xué)發(fā)展史上圓周率研究的新紀(jì)元．某同學(xué)在學(xué)習(xí)“割圓術(shù)”的過(guò)程中，作了一個(gè)如圖所示的圓內(nèi)接正八邊形．若⊙O的半徑為1，則這個(gè)圓內(nèi)接正八邊形的面積為（）A．π B．2π C．24 D．【答案】D【分析】如圖，過(guò)A作AC⊥OB于C，得到圓的內(nèi)接正八邊形的圓心角為360°8【解答】解：如圖，過(guò)A作AC⊥OB于C，∵圓的內(nèi)接正八邊形的圓心角為360°8=45°，∴AC＝OC=2∴S△OAB=12×∴這個(gè)圓的內(nèi)接正八邊形的面積為8×24=故選：D．3．（2023?黃埔區(qū)校級(jí)二模）AB是⊙O的內(nèi)接正六邊形一邊，點(diǎn)P是優(yōu)弧AB上的一點(diǎn)（點(diǎn)P不與點(diǎn)A，B重合）且BP∥OA，AP與OB交于點(diǎn)C，則∠OCP的度數(shù)為90°．【答案】90°．【分析】根據(jù)AB是⊙O的內(nèi)接正六邊形一邊，得出∠AOB=16×360°=60°，再根據(jù)圓周角定理得出∠P=12∠AOB=30°，由BP∥OA，得出∠OAC＝∠P＝30°，再由三角形外角性質(zhì)推出∠【解答】解：∵AB是⊙O的內(nèi)接正六邊形一邊，∴∠AOB=1∴∠P=1∵BP∥OA，∴∠OAC＝∠P＝30°，∴∠OCP＝∠AOB+∠OAC＝60°+30°＝90°．故答案為：90°．【題型9：弧長(zhǎng)與扇形面積】【典例9】（2023?順德區(qū)校級(jí)三模）如圖，C為半圓內(nèi)一點(diǎn)，O為圓心，直徑AB長(zhǎng)為2，∠BOC＝60°，∠BCO＝90°，將△BOC繞到心O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至△B′OC′，點(diǎn)C′'在OA上，則邊BC掃過(guò)區(qū)域（圖中陰影部分）的面積為（）（結(jié)果保留π）A．16π B．13π?12【答案】C【分析】結(jié)合已知條件求得∠COC′的度數(shù)，根據(jù)含30°的直角三角形的性質(zhì)求得OC的長(zhǎng)度，再結(jié)合旋轉(zhuǎn)性質(zhì)求得BOB′的度數(shù)，最后利用面積的和差及扇形面積公式即可求得答案．【解答】解：∵∠BOC＝60°，∠BCO＝90°，∴∠COC′＝180°﹣60°＝120°，∠OBC＝90°﹣60°＝30°，∵AB＝2，∴OA＝OB=12∴OC=12OB∵將△BOC繞到心O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至△B′OC′，點(diǎn)C′'在OA上，∴∠B′OC′＝∠BOC＝60°，OC′＝OC=12，S△B′OC′＝S△∴∠BOB′＝180°﹣60°＝120°，∴S陰影＝S△B′OC′+S扇形BOB′﹣S△BOC﹣S扇形COC′＝S扇形BOB′﹣S扇形COC′=120π×=14故選：C．1．（2023?東莞市一模）如圖，“凸輪”的外圍由以正三角形的頂點(diǎn)為圓心，以正三角形的邊長(zhǎng)為半徑的三段等弧組成．已知正三角形的邊長(zhǎng)為1，則凸輪的周長(zhǎng)等于（）A．π3 B．π2 C．π 【答案】C【分析】由“凸輪”的外圍是以正三角形的頂點(diǎn)為圓心，以正三角形的邊長(zhǎng)為半徑的三段等弧組成，得到∠A＝∠B＝∠C＝60°，AB＝AC＝BC＝1，然后根據(jù)弧長(zhǎng)公式計(jì)算出三段弧長(zhǎng)，三段弧長(zhǎng)之和即為凸輪的周長(zhǎng)．【解答】解：∵△ABC為正三角形，∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，AB＝AC＝BC＝1，∴AB=根據(jù)題意可知凸輪的周長(zhǎng)為三個(gè)弧長(zhǎng)的和，即凸輪的周長(zhǎng)=AB+AC+故選：C．2．（2023?蕉嶺縣一模）如圖，在半徑為6cm的⊙O中，點(diǎn)A是劣弧BC的中點(diǎn)，點(diǎn)D是優(yōu)弧BC上一點(diǎn)，且∠D＝30°，下列四個(gè)結(jié)論：①OA⊥BC；②BC＝33cm；③扇形OCAB的面積為12π；④四邊形ABOC是菱形．其中正確結(jié)論的序號(hào)是（）A．①③ B．①②③④ C．②③④ D．①③④【答案】D【分析】利用垂徑定理可對(duì)①進(jìn)行判斷；根據(jù)圓周角定理得到∠AOC＝2∠D＝60°，則△OAC為等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和垂徑定理可計(jì)算出BC＝63cm，則可對(duì)②進(jìn)行判斷；通過(guò)判斷△AOB為等邊三角形，再根據(jù)扇形的面積公式可對(duì)③進(jìn)行判斷；利用AB＝AC＝OA＝OC＝OB可對(duì)④進(jìn)行判斷．【解答】解：∵點(diǎn)A是劣弧BC的中點(diǎn)，∴OA⊥BC，所以①正確；∵∠AOC＝2∠D＝60°，OA＝OC，∴△OAC為等邊三角形，∴BC＝2×6×32=63同理可得△AOB為等邊三角形，∴∠AOB＝60°，∴∠BOC＝120°，∴扇形OCAB的面積為120×π×62360=12∵AB＝AC＝OA＝OC＝OB，∴四邊形ABOC是菱形，所以④正確．故選：D．3．（2023?德慶縣二模）若扇形的半徑是12cm弧長(zhǎng)是20πcm，則扇形的面積為（）A．120πcm2 B．240πcm2 C．360πcm2 D．60πcm2【答案】A【分析】根據(jù)扇形的面積公式S=1【解答】解：該扇形的面積為：S=12×20π×12=120π（故選：A．4．（2023?東莞市校級(jí)模擬）如圖，扇形AOB中，∠AOB＝90°，點(diǎn)C，D分別在OA，AB上，連接BC，CD，點(diǎn)D，O關(guān)于直線(xiàn)BC對(duì)稱(chēng)，AD的長(zhǎng)為π，則圖中陰影部分的面積為（）A．6π?33 B．6π?63 C．12π?93【答案】A【分析】連接BD、OD，交BC與E，根據(jù)對(duì)稱(chēng)求出BD＝OB，求出△DOB是等邊三角形，求出∠DOB＝60°，求出∠AOD＝30°根據(jù)弧長(zhǎng)公式求出OB＝6，根據(jù)陰影部分的面積＝S扇形BOD+S△COE﹣S△BOE求得即可．【解答】解：連接BD、OD，交BC與E，由題意可知，BD＝BO，∵OD＝OB，∴OD＝OB＝DB，∴∠BOD＝60°，∵∠AOB＝90°，∴∠AOD＝30°，∵AD的長(zhǎng)為π，∴30πr180∴r＝6，∴OB＝6，∴OE=12OB=3，BE=3∴CE=33OE∴陰影部分的面積＝S扇形BOD+S△COE﹣S△BOE=60π×62360+故選：A．一．選擇題（共7小題）1．如圖，點(diǎn)A，B，C均在⊙O上，∠BOC＝100°，則∠BAC的度數(shù)為（）A．70° B．60° C．50° D．40°【答案】C【分析】直接利用圓周角定理求解．【解答】解：∵∠BAC為BC所對(duì)的圓周角，∠BOC為BC所對(duì)的圓心角，∴∠BAC=12∠BOC故選：C．2．如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，CD是⊙O的直徑，∠BCD＝54°，則∠A的度數(shù)是（）A．36° B．33° C．30° D．27°【答案】A【分析】首先連接BD，由CD是⊙O的直徑，根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角，即可求得∠CBD的度數(shù)，繼而求得∠D的度數(shù)，然后由圓周角定理，求得∠A的度數(shù)．【解答】解：連接BD，∵CD是⊙O的直徑，∴∠CBD＝90°，∵∠BCD＝54°，∴∠D＝90°﹣∠BCD＝36°，∴∠A＝∠D＝36°．故選：A．3．如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C在⊙O上，連接AC，BC．若∠A＝70°，則∠B的度數(shù)是（）A．50° B．40° C．35° D．20°【答案】D【分析】先根據(jù)圓周角定理得到∠BAC＝90°，然后利用直角三角形的兩銳角互余計(jì)算∠B的度數(shù)．【解答】解：∵AB是⊙O的直徑，∴∠BAC＝90°，∴∠A+∠B＝90°，∵∠A＝70°，∴∠B＝20°．故選：D．4．已知點(diǎn)A是⊙O外一點(diǎn)，且⊙O的半徑為6，則OA的長(zhǎng)可能為（）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】D【分析】根據(jù)點(diǎn)在圓外，點(diǎn)到圓心的距離大于圓的半徑6可對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行判斷．【解答】解：∵點(diǎn)A是⊙O外一點(diǎn)，∴OA＞6，∴OA的長(zhǎng)可能為8．故選：D．5．如圖，圓上依次有A，B，C，D四個(gè)點(diǎn)，AC，BD交于點(diǎn)P，連接AD，AB，BC，則圖中一定等于∠C的角是（）A．∠CAD B．∠CBD C．∠ABD D．∠D【答案】D【分析】根據(jù)AB=AB，可得∠D＝∠【解答】解：∵AB=∴∠D＝∠C，故選：D．6．杭州亞運(yùn)會(huì)開(kāi)幕式出現(xiàn)一座古今交匯拱底橋，橋面呈拱形．該橋的中間拱洞可以看成一種特殊的圓拱橋，此圓拱橋的跨徑（橋拱圓弧所對(duì)的弦的長(zhǎng)）約為3.2m，拱高（橋拱圓弧的中點(diǎn)到弦的距離）約為2m，則此橋拱的半徑是（）A．1.62m B．1.64m C．1.14m D．3.56m【答案】B【分析】設(shè)圓心為O，作OD⊥AB于點(diǎn)D，DO的延長(zhǎng)線(xiàn)交圓弧為點(diǎn)C，設(shè)半徑為Rm，根據(jù)垂徑定理得AD＝BD＝1.6m，OD＝（2﹣R）m，由勾股定理得：R2＝1.62+（2﹣R）2，即可求出答案．【解答】解：如圖，設(shè)圓心為O，作OD⊥AB于點(diǎn)D，DO的延長(zhǎng)線(xiàn)交圓弧為點(diǎn)C，則C為優(yōu)弧AB的中點(diǎn)，設(shè)半徑為Rm，∴AD＝BD=12AB＝1.6m，CD＝2∴OD＝（2﹣R）m，由勾股定理得：OA2＝OD2+AD2，∴R2＝1.62+（2﹣R）2，解得：R＝1.64，故選：B．7．一個(gè)扇形的半徑是3，扇形的圓心角120°，那么這個(gè)扇形面積是（）A．4π B．3π C．2π D．π【答案】B【分析】直接代入扇形的面積公式即可得出答案，【解答】解：由題意得：r＝3，n＝120，∴這個(gè)扇形面積=120×π×故選：B．二．填空題（共5小題）8．如圖，AB為⊙O的弦，半徑OC⊥AB，垂足為點(diǎn)D．如果AB＝10cm，CD＝3cm，那么⊙O的半徑是173cm【答案】173【分析】連接OA，先由垂徑定理得AD＝BD＝4（cm），設(shè)⊙O的半徑為rcm，則OD＝（r﹣2）cm，然后在Rt△AOD中，由勾股定理得出方程，解方程即可．【解答】解：連接OA，如圖所示：∵半徑OC⊥AB，AB＝10cm，∴AD＝BD=12AB＝5（設(shè)⊙O的半徑為rcm，則OD＝（r﹣3）cm，在Rt△AOD中，由勾股定理得：52+（r﹣3）2＝r2，解得：r=17即⊙O的半徑為173cm故答案為：1739．用一個(gè)圓心角為120°，半徑為5的扇形作一個(gè)圓錐的側(cè)面，這個(gè)圓錐的底面圓半徑為53【答案】53【分析】易得扇形的弧長(zhǎng)，除以2π即為圓錐的底面半徑．【解答】解：扇形的弧長(zhǎng)=120π×5180=∴圓錐的底面半徑為103π÷2π=故答案為：5310．如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，BD是⊙O的直徑，AD=CD，延長(zhǎng)CB到E，連接AC．若∠ABE＝110°，則∠ACD＝【答案】35．【分析】首先利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求得∠ADC，然后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求得答案即可．【解答】解：四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∠ABE＝110°，∴∠ADC＝∠ABE＝110°，∵AD=∴AD＝CD，∴∠ACD＝∠DAC=180°?∠ADC故答案為：35．11．若一個(gè)正多邊形的一個(gè)內(nèi)角是140°，則這個(gè)多邊形的邊數(shù)為九．【答案】九．【分析】由多邊形的每一個(gè)內(nèi)角都是140°先求得它的每一個(gè)外角是40°，然后根據(jù)正多邊形的每個(gè)內(nèi)角的度數(shù)×邊數(shù)＝360°求解即可．【解答】解：180°﹣140°＝40°，360°÷40°＝9．故答案為：九．12．已知如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝45°，以C為圓心AC為半徑作弧，交BC的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E，以B為圓心BA為半徑交BC的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)D，若AC＝1，則陰影部分的面積是12【答案】12【分析】根據(jù)S陰＝S扇形CAE﹣（S扇形BAD﹣S△ACB），求解即可．【解答】解：S陰＝S扇形CAE﹣（S扇形BAD﹣S△ACB）=90π×12=π4?=1故答案為：12三．解答題（共3小題）13．如圖，AB是⊙O的直徑，BC=CD，∠COD＝50°，求∠【答案】80°．【分析】根據(jù)圓的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算即可得．【解答】解：在⊙O中，AB是⊙O的直徑，∴∠AOB＝180°，又∵BC=∴∠BOC＝∠COD＝50°，∴∠AOD＝180°﹣50°﹣50°＝80°．14．如圖，AB為⊙O的直徑，OC⊥AB交⊙O于點(diǎn)C，D為OB上一點(diǎn)，延長(zhǎng)CD交⊙O于點(diǎn)E，延長(zhǎng)OB至F，使DF＝FE，連接EF．（1）求證：EF為⊙O的切線(xiàn)；（2）若OD＝1且BD＝BF，求⊙O的半徑．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）3．【分析】（1）連接OE，根據(jù)等邊對(duì)等角結(jié)合對(duì)等角相等即可推出結(jié)論；（2）設(shè)⊙O的半徑EO＝BO＝r，則BD＝BF＝r﹣1，F(xiàn)E＝2BD＝2（r﹣1），在Rt△FEO中，由勾股定理得得出方程求解即可．【解答】解：（1）證明：如圖，連接OE，∵OE＝OC，∴∠OEC＝∠OCE，∵DF＝FE，∴∠FED＝∠FDE，∵∠FDE＝∠CDO，∠CDO+∠OCD＝90°，∴∠FED+∠OEC＝90°，即∠FEO＝90°，∴OE⊥FE，∵OE是半徑，∴EF為⊙O的切線(xiàn)；（2）解：設(shè)⊙O的半徑EO＝BO＝r，則BD＝BF＝r﹣1，∴FE＝2BD＝2（r﹣1），在Rt△FEO中，由勾股定理得，F(xiàn)E2+OE2＝OF2，∴（2r﹣2）2+r2＝（2r﹣1）2，解得r＝3，或r＝1（舍去），∴⊙O的半徑為3．15．如圖，在2×2的正方形網(wǎng)格紙中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，點(diǎn)O，A，B為格點(diǎn)，即是小正方形的頂點(diǎn)，若將扇形OAB圍成一個(gè)圓錐，求這個(gè)圓錐的底面圓的半徑的最大長(zhǎng)度．【答案】12【分析】根據(jù)弧長(zhǎng)公式求出這個(gè)圓錐的底面圓的周長(zhǎng)，進(jìn)而即可求解．【解答】解：這個(gè)錐的底面圓的周長(zhǎng)為：90360×2π×2＝∴這個(gè)錐的底面圓的半徑為：π÷2π=1一．選擇題（共7小題）1．如圖，AB為⊙O的直徑，CD垂直平分OA，垂足為E．若AB＝8，則CD的長(zhǎng)為（）A．23 B．4 C．43 D．6【答案】C【分析】由CD垂直平分OA，得到OE=12OA＝2，由勾股定理求出CE=OC2?OE2=【解答】解：∵CD垂直平分OA，∴OE=12∵AB＝8，∴AO=1∴OE＝2，∴CE=OC2∵半徑OA⊥CD，∴CD＝2CE＝43．故選：C．2．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC，AC，AB的長(zhǎng)度分別為a，b，c，⊙H與⊙I分別與直線(xiàn)AC、BC、AB相切（⊙H與⊙I分別在直線(xiàn)AB的異側(cè)），若⊙H的半徑為R1，⊙I的半徑為R2，則R1﹣R2為（）A．a(chǎn) B．b C．c D．a(chǎn)+b+c【答案】C【分析】由切線(xiàn)長(zhǎng)定理求出CN=a+b+c2，PC=a+b?c2，判定四邊形MCNH、PCQI是正方形，得到R1=a+b+c2，R2=a+b?c2，于是求出【解答】解：如圖，⊙H分別與AC、BC、AB相切于N、M、K，⊙I分別與AC、BC、AB相切于P、Q、L，∴CN＝CM，AK＝AN，BK＝BM，PC＝CQ，AP＝AL，BQ＝BL，HM⊥BC，HN⊥AC，IP⊥AC，IQ⊥BC，∴CN+CM＝AC+AN+BC+BM＝AC+AK+BC+BK＝AC+BC+AB＝a+b+c，∴2CN＝a+b+c，∴CN=a+b+c∵∠C＝∠CNH＝∠CMH＝90°，CM＝CN，∴四邊形MCNH是正方形，∴MH＝CN=a+b+c∴R1=a+b+c∵PC+CQ＝AC﹣AP+BC﹣BQ＝AC﹣AL+BC﹣BL＝AC+BC﹣（AL+BL）＝AC+BC﹣AB＝a+b﹣c，∴2PC＝a+b﹣c，∴PC=a+b?c∵PC＝CQ，∠C＝∠CPI＝∠CQI＝90°，∴四邊形PCQI是正方形，∴QI＝PC=a+b?c∴R2=a+b?c∴R1﹣R2=a+b+c2故選：C．3．如圖，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上一點(diǎn)（A，B除外），∠C＝25°，則∠BOD的度數(shù)是（）A．50° B．65° C．25° D．130°【答案】A【分析】由圓周角定理得到C=12∠BOD，即可求出∠【解答】解：∵∠C＝25°，∠C=12∠∴∠BOD＝50°．故選：A．4．如圖，已知OB是⊙O的半徑，弦CD⊥OB，垂足為點(diǎn)E，且tan∠BDC=23，OE=54，過(guò)點(diǎn)C作⊙O的切線(xiàn)，交OB的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)A．7 B．365 C．395【答案】C【分析】連接OC，由切線(xiàn)的性質(zhì)定理得到OC⊥PC，由垂徑定理得到CE＝DE，由tan∠BDC=BEDE=23，令BE＝2x，DE＝3x，由勾股定理得到(54+2x)2=（3x）2+(54)2，求出x＝1，得到BE＝2，CE＝3，OC【解答】解：連接OC，∵PC切圓于C，∴OC⊥PC，∵弦CD⊥OB，∴CE＝DE，∵tan∠BDC=BE∴令BE＝2x，DE＝3x，∴OC＝OB=54+2x，CE∵OC2＝CE2+OE2，∴(54+2x)2=（（3∴x＝1，∴BE＝2，CE＝3，∴OC=13∵∠OCE+∠PCE＝∠P+∠PCE，∴∠P＝∠OCE，∴sinP＝sin∠OCE，∴CEPC∴3PC∴PC=39故選：C．5．如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AC為直徑，半徑OD∥BC，連接OB，AD．若∠AOB＝α，則∠BAD的度數(shù)為（）A．α2 B．90°?α2 C．90°?【答案】C【分析】由AC為⊙O的直徑，∠AOB＝α，得∠C=α2，∠BOC＝180°﹣α，由OD∥BC，∠DOC＝∠C=α2，則∠BOD＝∠BOC+∠DOC＝180°?α2，所以∠BAD【解答】解：∵AC為⊙O的直徑，∠AOB＝α，∴∠C=12∠AOB=α2，∠BOC＝180°﹣∠∵OD∥BC，∴∠DOC＝∠C=α∴∠BOD＝∠BOC+∠DOC＝180°﹣α+α2=∴∠BAD=12∠BOD=12（180°故選：C．6．如圖，AB是⊙O的直徑，C，D是⊙O上的兩點(diǎn)，若∠ABD＝41°，則∠BCD的大小為（）A．41° B．45° C．49° D．59°【答案】C【分析】由AB是⊙O的直徑，根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角，即可求得∠ADB的度數(shù)，繼而求得∠A的度數(shù)，又由圓周角定理，即可求得答案．【解答】解：連接AD，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB＝90°，∵∠ABD＝41°，∴∠BAD＝90°﹣∠ABD＝49°；∴∠BCD＝∠BAD＝49°．故選：C．7．如圖所示的正八邊形是用八個(gè)全等的等腰三角形拼成的，OA＝OB＝2，則正八邊形的面積為（）A．82 B．83 C．8【答案】A【分析】過(guò)A作AC⊥OB于C，求得∠ACO＝90°，根據(jù)正八邊形的性質(zhì)得到∠AOB＝45°，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到OC、AC、與OA的關(guān)系，根據(jù)三角形的面積公式即可得到結(jié)論．【解答】解：過(guò)A作AC⊥OB于C，∴∠ACO＝90°，∵∠AOB=360°∴OC＝AC=22OA∴正八邊形的面積＝8××22×=82故選：A．二．填空題（共5小題）8．如圖，⊙O的弦AB⊥OC，且OD=2DC，AB=25，則⊙O的半徑是3【答案】3．【分析】⊙O的弦AB⊥OC，AB=25，得到AD=BD=12AB=5，∠ADO＝90°，設(shè)⊙O的半徑是r，則OA＝OC＝r，OD=【解答】解：∵⊙O的弦AB⊥OC，AB=25∴AD=BD=12AB=設(shè)⊙O的半徑是r，則OA＝OC＝r，∵OD＝2DC，∴OD=2在Rt△ADO中，OA2＝OD2+AD2，∴r2解得r＝3或r＝﹣3（不合題意，舍去）即⊙O的半徑是3，故答案為：3．9．長(zhǎng)方形ABCD中，以點(diǎn)A為圓心AD的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧交AB于點(diǎn)E，以DC為直徑的半圓與AB相切，切點(diǎn)為E，已知AB＝4，則圖中陰影部分的面積為2π﹣4.（結(jié)果保留π）【答案】2π﹣4．【分析】取CD中點(diǎn)O，連接OE，由切線(xiàn)的性質(zhì)得到OE⊥AB，由矩形的性質(zhì)推出∠A＝∠ADC＝90°，又OD＝OE，推出四邊形ADOE是正方形，得到陰影的面積＝扇形ODE的面積+扇形ADE的面積﹣正方形ADOE的面積，即可求出陰影的面積=90π×22【解答】解：取CD中點(diǎn)O，連接OE，∵AB與半圓相切于E，∴OE⊥AB，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠A＝∠ADC＝90°，∴四邊形ADOE是矩形，∵OD＝OE，∴四邊形ADOE是正方形，∴陰影的面積＝扇形ODE的面積+扇形ADE的面積﹣正方形ADOE的面積，∵AB＝4，∴正方形ADOE的邊長(zhǎng)是2，∴陰影的面積=90π×22故答案為：2π﹣4．10．如圖，在菱形ABCD中，AB＝4，∠BAD＝60°，連接AC，取AC中點(diǎn)O，以點(diǎn)A為圓心，AO長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，分別交邊AD，AB于點(diǎn)E，F(xiàn)，則圖中陰影部分的面積是83?2π【答案】83?2π【分析】陰影部分的面積＝菱形ABCD的面積﹣扇形AEF的面積．【解答】解：，連接BD，∵∠BAD＝60°，四邊形ABCD是菱形，∴∠BAC＝∠DAC＝30°，AC⊥BD，∵AB＝4，∴AO＝AB?cos∠BAC＝23，BO＝AB?sin∠BAC＝2，AC＝43，BD＝4，陰影部分的面積=12×AC×BD?60°×π×(23故答案為：83?2π11．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，以點(diǎn)C為圓心，CA為半徑畫(huà)弧，分別與AB、CB交于點(diǎn)D、E，若圖中陰影部分的面積為π6，則AC＝2【答案】2．【分析】如圖所示，過(guò)點(diǎn)D作DG⊥AC于G，連接CD，先解Rt△ABC得到BC=3AC，再證明△ACD是等邊三角形得到∠ACD＝60°，∠ECD＝30°；解Rt△CDG求出GD=32AC，最后根據(jù)S陰影＝S△BCD+S扇形CDA﹣S△ACD﹣S【解答】解：如圖所示，過(guò)點(diǎn)D作DG⊥AC于G，連接CD，∵∠ACB＝90°，∠B＝30°，∴∠BAC＝60°，∴BC＝AC?tan∠BAC=3AC∵以AC的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，分別交AB，BC于點(diǎn)D，E，∴CA＝CD＝CE，∴△ACD是等邊三角形，∴∠ACD＝60°，AG＝CG=12∴∠ECD＝30°，在Rt△CDG中，GD＝CD?sin∠DCG=32∴S陰影＝S△BCD+S扇形CDA﹣S△ACD﹣S扇形CDE=12GC?BC+60π?AC=34AC2+π?AC=πAC212∴AC=2故答案為：2．12．如圖，已知，⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，切點(diǎn)分別為D，E，F(xiàn)．（1）若∠C＝90°，∠A＝30°，AC=23，則⊙O的半徑為3?（2）若⊙O的半徑為3，△ABC的面積為45，且BC＝9，則AD＝6．【答案】（1）3?（2）6．【分析】（1）解直角三角形得到BC=33AC＝2，求得AB＝2BC＝4，連接OF，OE，根據(jù)切線(xiàn)的性質(zhì)得到BD＝BE，AD＝AF，CF＝CE，設(shè)BE＝BD＝x，則AD＝AF＝4﹣x，CF＝CE＝2﹣（2）如圖，連接OF，OE，OD，OA，OB，OC，根據(jù)切線(xiàn)的性質(zhì)得到OD⊥AB，OF⊥AC，OE⊥BC，BD＝BE，CE＝CF，AD＝AF，根據(jù)三角形的面積公式列方程即可得到結(jié)論．【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，∠A＝30°，AC=23∴BC=33∴AB＝2BC＝4，連接OF，OE，∵⊙O為Rt△ABC的內(nèi)切圓，切點(diǎn)分別為D，E，F(xiàn)，∴BD＝BE，AD＝AF，CF＝CE，設(shè)BE＝BD＝x，則AD＝AF＝4﹣x，CF＝CE＝2﹣x，∵AF+FC＝23，∴4﹣x+2﹣x＝23，∴x＝3?3∴⊙O的半徑為3?故答案為：3?（2）如圖，連接OF，OE，OD，OA，OB，OC，∵⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，切點(diǎn)分別為D，E，F(xiàn)，∴OD⊥AB，OF⊥AC，OE⊥BC，BD＝BE，CE＝CF，AD＝AF，∵△ABC的面積為45，⊙O的半徑為3，BC＝9，∴12(AB+BC+AC)×OD=12×(AD+BD+BC+CF+AF)∴AD＝6；故答案為：6．三．解答題（共3小題）13．如圖，已知AB是⊙O的直徑，射線(xiàn)BC交⊙O于點(diǎn)D，∠ABD的平分線(xiàn)交⊙O于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥BC于點(diǎn)F，延長(zhǎng)FE與BA的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)G．（1）求證：GF是⊙O的切線(xiàn)；（2）若AG＝3，GE=42，求⊙O【答案】（1）證明見(jiàn)解答過(guò)程；（2）236【分析】（1）連接OE，由∠ABD的平分線(xiàn)交⊙O于點(diǎn)E，知∠1＝∠2，由∠2＝∠3可證OE∥BF，根據(jù)BF⊥GF得OE⊥GF，得證；（2）設(shè)OA＝OE＝r，在Rt△GOE中由勾股定理求得r=23【解答】（1）證明：如圖，連接OE，∵∠ABD的平分線(xiàn)交⊙O于點(diǎn)E，∴∠1＝∠2，∵∠2＝∠3，∴∠1＝∠3，∴OE∥BF，∵BF⊥GF，∴OE⊥GF，∴GF是⊙O的切線(xiàn)；（2）解：設(shè)OA＝OE＝r，在Rt△GOE中，AG＝3，GE＝42，由OG2＝GE2+OE2得：（3+r）2＝（42）2+r2，解得：r=23故⊙O的半徑為23614．如圖，AB為⊙O直徑，C為⊙O上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C作⊙O的切線(xiàn)，與AB的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)D．（1）求證：∠BCD＝∠A；（2）若BD＝2，CD＝4，求sin∠ABC的值．【答案】（1）見(jiàn)解答；（2）25【分析】（1）連接OC，如圖，先利用圓周角定理得到∠ACB＝90°，利用切線(xiàn)的性質(zhì)得到∠OCD＝90°，再根據(jù)等角的余角相等證明∠OCA＝∠BCD，然后利用∠OCA＝∠A得到結(jié)論；（2）設(shè)⊙O的半徑為r，則OC＝OB＝r，證明△DBC∽△DCA得到BCAC=BDCD=12，則設(shè)BC＝x，則AC【解答】（1）證明：連接OC，如圖，∵AB為⊙O直徑，∴∠ACB＝90°，∵CD為⊙O的切線(xiàn)，∴OC⊥CD，∴∠OCD＝90°，∵∠OCA+∠OCB＝90°，∠BCD+∠OCB＝90°，∴∠OCA＝∠BCD，∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠A，∴∠A＝∠BCD；（2）解：∵∠BCD＝∠A，∠BDC＝∠CDA，∴△DBC∽△DCA，∴BCAC設(shè)BC＝x，則AC＝2x，∴AB=x2在Rt△ABC中，sin∠ABC=AC15．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，O是BC邊上一點(diǎn)，以O(shè)為圓心，OB為半徑的圓與AB相交于點(diǎn)D，連接CD，且CD＝AC．（1）求證：CD是⊙O的切線(xiàn)；（2）若∠A＝60°，AD＝23，求⊙O的半徑長(zhǎng)．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）2．【分析】（1）連接OD．由等腰三角形的性質(zhì)及圓的性質(zhì)可得∠A＝∠ADC，∠B＝∠BDO．再根據(jù)余角性質(zhì)及三角形的內(nèi)角和定理可得∠ODC＝180°﹣（∠ADC+∠BDO）＝90°．最后由切線(xiàn)的判定定理可得結(jié)論；（2）根據(jù)已知條件得到CD＝AC＝AD＝23，∠ACD＝60求得∠DCB＝∠ACB﹣∠ACD＝90°﹣60°＝30°，根據(jù)切線(xiàn)的性質(zhì)得到OD⊥DC，求得OC＝2OD，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論．【解答】（1）證明：連接OD，∵AC＝CD，∴∠A＝∠ADC，∵OB＝OD，∴∠B＝∠BDO，∵∠ACB＝90°，∴∠A+∠B＝90°，∴∠ADC+∠BDO＝90°，∴∠ODC＝180°﹣（∠ADC+∠BDO）＝90°，又∵OD是⊙O的半徑，∴CD是⊙O的切線(xiàn)；（2）解：∵CD＝AC，∠A＝60°，AD＝23，∴CD＝AC＝AD＝23，∠ACD＝60∵∠ACB＝90∴∠DCB＝∠ACB﹣∠ACD＝90°﹣60°＝30°，∵CD是⊙O的切線(xiàn)，∴OD⊥DC，∴OC＝2OD，在Rt△ODC中，由勾股定理得：OC2＝OD2+CD2，即（2OD）2＝OD2+（23）2，∴OD＝2，∴⊙O的半徑長(zhǎng)為2．一．選擇題（共5小題）1．（2023?廣東）如圖，AB是⊙O的直徑，∠BAC＝50°，則∠D＝（）A．20° B．40° C．50° D．80°【答案】B【分析】由AB是⊙O的直徑，得∠ACB＝90°，而∠BAC＝50°，即得∠ABC＝40°，故∠D＝∠ABC＝40°，【解答】解：∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°，∴∠BAC+∠ABC＝90°，∵∠BAC＝50°，∴∠ABC＝40°，∵AC=∴∠D＝∠ABC＝40°，故選：B．2．（2023?廣州）如圖，△ABC的內(nèi)切圓⊙I與BC，CA，AB分別相切于點(diǎn)D，E，F(xiàn)，若⊙I的半徑為r，∠A＝α，則（BF+CE﹣BC）的值和∠FDE的大小分別為（）A．2r，90°﹣α B．0，90°﹣α C．2r，90°?α2 【答案】D【分析】如圖，連接IF，IE．利用切線(xiàn)長(zhǎng)定理，圓周角定理，切線(xiàn)的性質(zhì)解決問(wèn)題即可．【解答】解：如圖，連接IF，IE．∵△ABC的內(nèi)切圓⊙I與BC，CA，AB分別相切于點(diǎn)D，E，F(xiàn)，∴BF＝BD，CD＝CE，IF⊥AB，IE⊥AC，∴BF+CE﹣BC＝BD+CD﹣BC＝BC﹣BC＝0，∠AFI＝∠AEI＝90°，∴∠EIF＝180°﹣α，∴∠EDF=12∠EIF＝90°?故選：D．3．（2022?深圳）已知三角形ABE為直角三角形，∠ABE＝90°，DE為圓的直徑，BC為圓O切線(xiàn)，C為切點(diǎn)，CA＝CD，則△ABC和△CDE面積之比為（）A．1：3 B．1：2 C．2：2 D．（2?【答案】B【分析】根據(jù)圓周角定理，切線(xiàn)的性質(zhì)以及等腰三角形的判定和性質(zhì)，可以先證明△ABC和△COD，再由∴S△COD＝S△COE=12S△DCE，進(jìn)而得出S△ABC=12S△DCE，即△【解答】解：解法一：如圖，連接OC，∵BC是⊙O的切線(xiàn)，OC為半徑，∴OC⊥BC，即∠OCB＝90°，∴∠COD+∠OBC＝90°，又∵∠ABE＝90°，即∠ABC+∠OBC＝90°，∴∠ABC＝∠COD，∵DE是⊙O的直徑，∴∠DCE＝90°，即∠OCE+∠OCD＝90°，又∠A+∠E＝90°，而∠E＝∠OCE，∴∠A＝∠OCD，在△ABC和△COD中，∠A=∠OCD∠ABC=∠COD∴△ABC≌△COD（AAS），又∵EO＝DO，∴S△COD＝S△COE=12S△∴S△ABC=12S△即△ABC和△CDE面積之比為1：2；解法二：如圖，連接OC，過(guò)點(diǎn)B作BF⊥AC，∵BC是⊙O的切線(xiàn)，OC為半徑，∴OC⊥BC，即∠OCB＝90°，∴∠COD+∠BCD＝90°，又∵∠ABE＝90°，即∠ABC+∠BCD＝90°，∴∠ACB＝∠COD，∵OC＝OD，∴∠OCD＝∠ODC，又∵∠A+∠E＝90°＝∠ODC+∠E，∴∠A＝∠ACB，∴AB＝BC，∴AF=12AC=∵△ABF∽△DEC，∴BFEC∴△ABC和△CDE面積之比（12AC?BF）：（12CD?＝BF：EC＝1：2．故選：B．4．（2022?深圳）下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）A．對(duì)角線(xiàn)垂直且互相平分的四邊形是菱形 B．同圓或等圓中，同弧對(duì)應(yīng)的圓周角相等 C．對(duì)角線(xiàn)相等的四邊形是矩形 D．對(duì)角線(xiàn)垂直且相等的平行四邊形是正方形【答案】C【分析】A．應(yīng)用菱形的判定方法進(jìn)行判定即可得出答案；B．應(yīng)用圓周角定理進(jìn)行判定即可得出答案；C．應(yīng)用矩形的判定方法進(jìn)行判定即可得出答案；D．應(yīng)用正方形的判定方法進(jìn)行判定即可得出答案．【解答】解：A．對(duì)角線(xiàn)垂直且互相平分的四邊形是菱形，所以A選項(xiàng)說(shuō)法正確，故A選項(xiàng)不符合題意；B．同圓或等圓中，同弧對(duì)應(yīng)的圓周角相等，所以B選項(xiàng)說(shuō)法正確，故B選項(xiàng)不符合題意；C．對(duì)角線(xiàn)相等的四邊形是不一定是矩形，所以C選項(xiàng)說(shuō)法不正確，故C選項(xiàng)符合題意；D．對(duì)角線(xiàn)垂直且相等的平行四邊形是正方形，所以D選項(xiàng)說(shuō)法正確，故D選項(xiàng)不符合題意．故選：C．5．（2021?廣州）一根鋼管放在V形架內(nèi)，其橫截面如圖所示，鋼管的半徑是24cm，若∠ACB＝60°，則劣弧AB的長(zhǎng)是（）A．8πcm B．16πcm C．32πcm D．192πcm【答案】B【分析】首先利用相切的定義得到∠OAC＝∠OBC＝90°，然后根據(jù)∠ACB＝60°求得∠AOB＝120°，從而利用弧長(zhǎng)公式求得答案即可．【解答】解：由題意得：CA和CB分別與⊙O相切于點(diǎn)A和點(diǎn)B，∴OA⊥CA，OB⊥CB，∴∠OAC＝∠OBC＝90°，∵∠ACB＝60°，∴∠AOB＝120°，∴120π×24180=16π（故選：B．二．填空題（共5小題）6．（2023?深圳）如圖，在⊙O中，AB為直徑，C為圓上一點(diǎn)，∠BAC的角平分線(xiàn)與⊙O交于點(diǎn)D，若∠ADC＝20°，則∠BAD＝35°．【答案】35．【分析】先根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角可得∠ACB＝90°，再利用圓周角定理可得∠ADC＝∠ABC＝20°，然后利用直角三角形的兩個(gè)銳角互余可得∠BAC＝70°，從而利用角平分線(xiàn)的定義進(jìn)行計(jì)算，即可解答．【解答】解：∵AB為⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°，∵∠ADC＝20°，∴∠ADC＝∠ABC＝20°，∴∠BAC＝90°﹣∠ABC＝70°，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=12∠故答案為：35．7．（2022?廣東）扇形的半徑為2，圓心角為90°，則該扇形的面積（結(jié)果保留π）為π．【答案】π．【分析】應(yīng)用扇形面積計(jì)算公式進(jìn)行計(jì)算即可得出答案．【解答】解：S=nπr故答案為：π．8．（2022?廣州）如圖，在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)O在邊AC上，以O(shè)為圓心，4為半徑的圓恰好過(guò)點(diǎn)C，且與邊AB相切于點(diǎn)D，交BC于點(diǎn)E，則劣弧DE的長(zhǎng)是2π．（結(jié)果保留π）【答案】2π．【分析】連接OD，OE，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理可得∠A＝∠COE，再根據(jù)切線(xiàn)的性質(zhì)和平角的定義可得∠DOE＝90°，然后利用弧長(zhǎng)公式進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】解：如圖，連接OD，OE，∵OC＝OE，∴∠OCE＝∠OEC，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∴∠ABC＝∠OEC，∴AB∥OE，∴∠BDO+∠DOE＝180°，∵AB是切線(xiàn)，∴∠BDO＝90°，∴∠DOE＝180°﹣∠BDO＝90°，∴劣弧DE的長(zhǎng)是90×π×4180=2故答案為：2π．9．（2021?廣東）在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2，BC＝3．點(diǎn)D為平面上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，∠ADB＝45°，則線(xiàn)段CD長(zhǎng)度的最小值為5?2【答案】5?【分析】根據(jù)∠ADB＝45°，AB＝2，作△ABD的外接圓O，連接OC，當(dāng)O、D、C三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，CD的值最?。畬?wèn)題轉(zhuǎn)化為點(diǎn)圓最值．可證得△AOB為等腰直角三角形，OB＝OA=2，同樣可證△OBE也為等腰直角三角形，OE＝BE＝1，由勾股定理可求得OC的長(zhǎng)為5，最后CD最小值為OC﹣OD=【解答】解：如圖所示．∵∠ADB＝45°，AB＝2，作△ABD的外接圓O（因求CD最小值，故圓心O在AB的右側(cè)），連接OC，當(dāng)O、D、C三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，CD的值最?。摺螦DB＝45°，∴∠AOB＝90°，∴△AOB為等腰直角三角形，∴AO＝BO＝sin45°×AB=2∵∠OBA＝45°，∠ABC＝90°，∴∠OBE＝45°，作OE⊥BC于點(diǎn)E，∴△OBE為等腰直角三角形．∴OE＝BE＝sin45°?OB＝1，∴CE＝BC﹣BE＝3﹣1＝2，在Rt△OEC中，OC=O當(dāng)O、D、C三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，CD最小為CD＝OC﹣OD=5故答案為：5?10．（2021?廣東）如圖，等腰直角三角形ABC中，∠A＝90°，BC＝4．分別以點(diǎn)B、點(diǎn)C為圓心，線(xiàn)段BC長(zhǎng)的一半為半徑作圓弧，交AB、BC、AC于點(diǎn)D、E、F，則圖中陰影部分的面積為4﹣π．【答案】4﹣π．【分析】陰影部分的面積等于△ABC的面積減去空白處的面積即可得出答案．【解答】解：等腰直角三角形ABC中，∠A＝90°，BC＝4，∴∠B＝∠C＝45°，∴AB＝AC=22BC∵BE＝CE=12∴陰影部分的面積S＝S△ABC﹣S扇形BDE﹣S扇形CEF=12×22故答案為4﹣π．三．解答題（共7小題）11．（2023?廣州）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A（﹣2，0），B（0，2），AB所在圓的圓心為O．將AB向右平移5個(gè)單位，得到CD（點(diǎn)A平移后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為C）．（1）點(diǎn)D的坐標(biāo)是（5，2），CD所在圓的圓心坐標(biāo)是（5，0）；（2）在圖中畫(huà)出CD，并連接AC，BD；（3）求由AB，BD，DC，CA首尾依次相接所圍成的封閉圖形的周長(zhǎng)．（結(jié)果保留π）【答案】（1）（5，2）、（5，0）；（2）見(jiàn)解答；（3）2π+10．【分析】（1）由平移的性質(zhì)知即可求解；（2）在圖中畫(huà)出CD，并連接AC，BD即可；（3）由封閉圖形的周長(zhǎng)=AB+DC【解答】解：（1）如下圖，由平移的性質(zhì)知，點(diǎn)D（5，2），CD所在圓的圓心坐標(biāo)是（5，0），故答案為：（5，2）、（5，0）；（2）在圖中畫(huà)出CD，并連接AC，BD，見(jiàn)下圖；（3）AB和DC長(zhǎng)度相等，均為14×2πr=1而B(niǎo)D＝AC＝5，則封閉圖形的周長(zhǎng)=AB+DC+212．（2023?廣東）綜合探究如圖1，在矩形ABCD中（AB＞AD），對(duì)角線(xiàn)AC，BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)A關(guān)于BD的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為A′．連接AA′交BD于點(diǎn)E，連接CA′．（1）求證：AA'⊥CA'；（2）以點(diǎn)O為圓心，OE為半徑作圓．①如圖2，⊙O與CD相切，求證：AA′=3②如圖3，⊙O與CA′相切，AD＝1，求⊙O的面積．【答案】（1）證明過(guò)程詳見(jiàn)解答；（2）①證明過(guò)程詳見(jiàn)解答；②2+2【分析】（1）根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)可得AE＝A′E，AA′⊥BD，根據(jù)四邊形ABCD是矩形，得出OA＝OC，從而OE∥A′C，從而得出AA′⊥CA′；（2）①設(shè)CD⊙O與CD切于點(diǎn)F，連接OF，并延長(zhǎng)交AB于點(diǎn)G，可證得OG＝OF＝OE，從而得出∠EAO＝∠GAO＝∠GBO，進(jìn)而得出∠EAO＝30°，從而AA′=3②設(shè)⊙O切CA′于點(diǎn)H，連接OH，可推出AA′＝2OH，CA′＝2OE，從而AA′＝CA′，進(jìn)而得出∠A′AC＝∠A′CA＝45°，∠AOE＝∠ACA′＝45°，從而得出AE＝OE，OD＝OA=2AE，設(shè)OA＝OE＝x，則OD＝OA=2x，在Rt△ADE中，由勾股定理得出x2+[(2?1)x]【解答】（1）證明：∵點(diǎn)A關(guān)于BD的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為A′，∴AE＝A′E，AA′⊥BD，∵四邊形ABCD是矩形，∴OA＝OC，∴OE∥A′C，∴AA′⊥CA′；（2）①證明：如圖2，設(shè)CD⊙O與CD切于點(diǎn)F，連接OF，并延長(zhǎng)交AB于點(diǎn)G，∴OF⊥CD，OF＝OE，∵四邊形ABCD是矩形，∴OB＝OD=12BD，AB∥CD，AC＝BD，OA=∴OG⊥AB，∠FDO＝∠GBO，OA＝OB，∴∠GAO＝∠GBO，∵∠DOF＝∠BOG，∴△DOF≌△BOG（ASA），∴OG＝OF，∴OG＝OE，由（1）知：AA′⊥BD，∴∠EAO＝∠GAO，∵∠EAB+∠GBO＝90°，∴∠EAO+∠GAO+∠GBO＝90°，∴3∠EAO＝90°，∴∠EAO＝30°，由（1）知：AA′⊥CA′，∴tan∠EAO=CA′∴tan30°=CA′∴AA′=3②解：如圖3，設(shè)⊙O切CA′于點(diǎn)H，連接OH，∴OH⊥CA′，由（1）知：AA′⊥CA′，AA′⊥BD，OA＝OC，∴OH∥AA′，OE∥CA′，∴△COH∽△CAA′，△AOE∽△ACA′，∴OHAA′∴AA′＝2OH，CA′＝2OE，∴AA′＝CA′，∴∠A′AC＝∠A′CA＝45°，∴∠AOE＝∠ACA′＝45°，∴AE＝OE，OD＝OA=2AE設(shè)AE＝OE＝x，則OD＝OA=2∴DE＝OD﹣OE＝（2?1）x在Rt△ADE中，由勾股定理得，x2∴x2=2+∴S⊙O＝π?OE2=2+13．（2022?廣東）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，AC為⊙O的直徑，∠ADB＝∠CDB．（1）試判斷△ABC的形狀，并給出證明；（2）若AB=2，AD＝1，求CD【答案】（1）等腰直角三角形，證明見(jiàn)解答過(guò)程；（2）3．【分析】（1）根據(jù)圓周角定理，等腰直角三角形的判定定理解答即可；（2）根據(jù)勾股定理解答即可．【解答】解：（1）△ABC是等腰直角三角形，證明過(guò)程如下：∵AC為⊙O的直徑，∴∠ADC＝∠ABC＝90°，∵∠ADB＝∠CDB，∴AB=∴AB＝BC，又∵∠ABC＝90°，∴△ABC是等腰直角三角形．（2）在Rt△ABC中，AB＝BC=2∴AC＝2，在Rt△ADC中，AD＝1，