人教版九年級數(shù)學上冊教案第24章

人教版九年級數(shù)學上冊教案第24章一、單元學習主題本單元是“圖形與幾何”領(lǐng)域“圖形的性質(zhì)”主題中的“圓”單元.二、單元學習內(nèi)容分析1.課標分析《標準2022》指出初中階段圖形與幾何領(lǐng)域包括“圖形的性質(zhì)”“圖形的變化”和“圖形與坐標”三個主題,學生將進一步學習點、線、面、角、三角形、多邊形和圓等幾何圖形,從演繹證明、運動變化、量化分析三個方面研究這些圖形的基本性質(zhì)和相互關(guān)系.在《標準2022》中,與圓相關(guān)的知識點主要包括圓的有關(guān)性質(zhì)、點與圓、直線與圓的位置關(guān)系、圓周角與圓心角及其所對弧的關(guān)系、三角形的內(nèi)心和外心、尺規(guī)作圖、弧長和扇形面積的計算、圓與正多邊形的關(guān)系.學生需要理解圓的定義,掌握圓的半徑、直徑、弦、切線等概念,并能夠運用這些概念解決實際問題.此外,學生還應該學會如何利用幾何工具畫圓,了解并證明圓周角定理及其推論,并能夠運用這些定理解決與圓有關(guān)的幾何問題.在計算方面,學生需要掌握弧長和扇形面積的公式,并能夠運用這些公式計算具體的數(shù)值.最后,學生還應該了解圓與正多邊形的關(guān)系,并能夠運用這些關(guān)系解決復雜的幾何問題.在教學過程中,教師應注重引導學生通過觀察、思考和實踐來探索與圓相關(guān)的數(shù)學知識,培養(yǎng)學生的空間想象能力和邏輯思維能力.綜上所述,根據(jù)《標準2022》,圓的章節(jié)要求學生對圓的概念、性質(zhì)、計算以及幾何推理與證明有一定的了解和掌握.同時,學生需要能夠應用所學知識解決實際問題,并具備批判性思維和創(chuàng)新能力.本單元教學內(nèi)容分析人教版教材九年級上冊第二十四章“圓”,本章包括四個小節(jié):24.1圓的有關(guān)性質(zhì);24.2點和圓、直線和圓的位置關(guān)系;24.3正多邊形和圓;24.4弧長和扇形面積.本章主要圍繞“圓”這一核心概念展開,內(nèi)容包括圓的基本性質(zhì)、圓周角與圓心角、切線長定理、弧長與扇形面積等.通過這些內(nèi)容的學習,使學生對圓有一個全面而深入的認識,同時培養(yǎng)學生的空間觀念和幾何直觀.這一章節(jié)的編寫意圖主要是為了讓學生理解圓的基本概念、性質(zhì)及其在實際問題中的應用.以下是幾個關(guān)鍵的編寫意圖分析:首先,教材旨在讓學生理解圓的基本概念,包括圓心、半徑、直徑、弦、弧、切線等,以及它們之間的相互關(guān)系.通過學習,學生應該能夠準確地識別和描述這些概念,并理解它們在幾何圖形中的重要性.其次,教材強調(diào)了對圓的各種性質(zhì)的學習,這些性質(zhì)不僅有助于學生理解圓的內(nèi)在規(guī)律,也為后續(xù)學習其他高級數(shù)學概念打下基礎(chǔ).同時,教材也展示了圓在實際問題中的應用,如測量、設(shè)計和工程等領(lǐng)域,這有助于學生認識到數(shù)學知識的實用價值.通過學習圓的相關(guān)知識,教材旨在培養(yǎng)學生的空間想象力,讓他們能夠在腦海中構(gòu)建三維圖象,理解圓和其他幾何形狀的空間關(guān)系.此外,通過分析和解決問題,學生還能鍛煉邏輯思維能力,學會用數(shù)學的語言和方法去表達和交流.最后,教材通過提供各種實際案例和問題,激發(fā)學生的學習興趣,使他們主動參與到學習中來.同時,鼓勵學生進行創(chuàng)新思維的嘗試,比如通過實驗和探究來發(fā)現(xiàn)新的數(shù)學規(guī)律,或者將所學知識應用于解決現(xiàn)實世界中的問題.人教版《圓》這一章節(jié)的編寫意圖在于幫助學生全面理解圓的概念和性質(zhì),培養(yǎng)他們的空間想象力和邏輯思維能力,同時也激發(fā)他們對數(shù)學的興趣和創(chuàng)新思維.在數(shù)學教學中,特別是涉及圓的教學,通常會采用歸納與演繹的方法來教授圓的基本性質(zhì).學生通過觀察和實驗來歸納出圓的性質(zhì),然后再通過演繹推理來證明這些性質(zhì)的正確性.這種方法有助于學生理解數(shù)學知識的邏輯結(jié)構(gòu),并且能夠培養(yǎng)他們的數(shù)學直覺.在解決圓相關(guān)的問題時,分類討論是一種常用的解題策略.根據(jù)問題的具體情況,學生需要對不同的變量進行分類,如圓周角的大小、圓心角的位置等,這樣可以幫助學生更清晰地分析問題,找到解決問題的途徑.轉(zhuǎn)化思想是解決數(shù)學問題的另一種重要方法,尤其在處理圓的問題時,學生需要學會將復雜問題轉(zhuǎn)化為更簡單的形式,比如將求弧長的問題轉(zhuǎn)化為求扇形面積的問題.這種轉(zhuǎn)化可以簡化問題的求解過程,使問題變得更加易于管理和解決.綜上所述,在教學圓的相關(guān)知識時,教師應當引導學生掌握歸納與演繹的推理方法,培養(yǎng)分類討論的解題技巧,以及靈活運用轉(zhuǎn)化思想來處理問題,這樣不僅能夠提高學生解決數(shù)學問題的能力,還能夠加深他們對數(shù)學知識的理解和應用.三、單元學情分析學生們已具備了一定的幾何知識基礎(chǔ),包括對直線與角、三角形和四邊形的理解,但對于圓的深入性質(zhì)和計算還不夠熟練.他們在空間想象和圖形分析方面表現(xiàn)出色,部分學生在解決實際問題時能展現(xiàn)出創(chuàng)造性思維.然而,圓的抽象性質(zhì),尤其是圓周角和圓心角的關(guān)系,以及弧長和扇形面積的計算,因公式記憶和應用難度而成為學生的學習障礙.幾何證明題因邏輯推理的連貫性和嚴密性要求而讓學生感到困擾.鑒于此,教師計劃通過實踐操作和圖形繪制來幫助學生加深對圓的理解,同時引導他們通過小組合作和討論來鍛煉抽象思維能力.針對學生的興趣點,教師會結(jié)合現(xiàn)實生活中的應用題目,設(shè)計富有挑戰(zhàn)性和創(chuàng)新性的學習活動,以此激發(fā)學生的學習熱情,幫助他們克服難點,實現(xiàn)知識的有效掌握和能力的提升.考慮到不同區(qū)域和班級的學情差異,教師會根據(jù)具體情況靈活調(diào)整教學策略,確保每個學生都能得到適合自身需求的教育支持.教師在教學過程中應充分考慮學生的實際情況,采用多樣化的教學方法和策略,以滿足不同學生的學習需求,激發(fā)他們的學習興趣,幫助他們克服學習過程中的困難.同時,教師也應關(guān)注學生的身心發(fā)展和個性差異,創(chuàng)造有利于所有學生發(fā)展的教學環(huán)境.四、單元學習目標1.經(jīng)歷圓的性質(zhì)的探索過程,通過觀察、實驗和證明,體驗從具體現(xiàn)象中提煉抽象概念的過程,感悟圓的對稱性和美學價值,理解并掌握圓的基本性質(zhì),如定義、元素和性質(zhì),培養(yǎng)和發(fā)展學生的抽象思維能力.2.在探究圓周角與圓心角的關(guān)系中,體驗幾何圖形的構(gòu)建和性質(zhì)驗證的過程,理解圓周角定理及其推論,掌握圓心角與圓周角之間的定量關(guān)系,通過解決實際問題,如計算圓環(huán)的面積,提升學生的直觀想象能力和空間觀念.3.通過作圖和實驗活動,探索切線的性質(zhì)和切線長定理,經(jīng)歷從具體到抽象的思維過程,理解切線的定義,掌握切線與半徑垂直這一關(guān)鍵性質(zhì),并能在復雜圖形中準確識別和應用切線的概念,增強模型的觀念和應用意識.4.經(jīng)歷弧長和扇形面積公式的推導過程,理解公式背后的數(shù)學原理,掌握計算技巧,通過解決實際問題,如設(shè)計圓形噴泉的裝飾方案,培養(yǎng)創(chuàng)新意識.5.在解決幾何問題的過程中,通過邏輯推理和證明題目的訓練,提升學生的數(shù)學論證能力和問題解決能力,形成嚴謹?shù)臄?shù)學思維習慣,為終身學習奠定基礎(chǔ).五、單元學習內(nèi)容及學習方法概覽六、單元評價與課后作業(yè)建議本單元課后作業(yè)整體設(shè)計體現(xiàn)以下原則:針對性原則:每課時課后作業(yè)嚴格按照《標準2022》設(shè)定針對性的作業(yè),及時反饋學生的學業(yè)質(zhì)量情況.層次性原則:教師注意將作業(yè)分層進行,注重知識的層次性和學生的層次性.知識由易到難,由淺入深,循序漸進,突出基礎(chǔ)知識,基本技能,滲透人人學習數(shù)學,人人有所獲.重視過程與方法,發(fā)展數(shù)學的應用意識和創(chuàng)新意識.根據(jù)以上建議,本單元課后作業(yè)設(shè)置為兩部分,基礎(chǔ)性課后作業(yè)和拓展性課后作業(yè).24.1.1圓課時目標1.理解圓的有關(guān)概念,發(fā)展學生抽象思維能力的核心素養(yǎng).2.理解弧、弦的概念,了解等圓、等弧的概念,培養(yǎng)學生觀察、操作、歸納、猜想的能力以及增強學生的合作意識,進一步發(fā)展空間觀念的核心素養(yǎng).3.靈活運用圓的概念解決一些實際問題,培養(yǎng)學生會用數(shù)學知識解決簡單幾何問題的能力.學習重點圓的兩種定義、相關(guān)概念以及弧的表示方法.學習難點對弧及優(yōu)弧、劣弧的概念的感知與理解.課時活動設(shè)計情境引入觀察下列圖形,從中找出共同特點并想一下生活中還有哪些物品有這種特點.設(shè)計意圖:由大量的現(xiàn)實圖片引出,給學生產(chǎn)生視覺上的強烈沖擊,產(chǎn)生強烈的求知欲,為下面探究新知識打下基礎(chǔ).讓學生感悟數(shù)學來源于生活并應用與生活的辨證思想,初步感受圓的概念.探究新知圓的概念如圖,觀察畫圓的過程,你能說出圓是如何畫出來的嗎?學生討論:在一個平面內(nèi),一條線段OA繞它固定的一個端點O旋轉(zhuǎn)一周,另一個端點A形成的圖形就是圓.教師總結(jié):圓:在一個平面內(nèi),線段OA繞它固定的一個端點O旋轉(zhuǎn)一周,另一個端點A所形成的圖形叫做圓;圓心:固定的端點O叫做圓心;半徑:線段OA叫做半徑.圓的表示方法:以點O為圓心的圓,記作☉O,讀作“圓O”.同時從圓的定義中歸納:(1)圓上各點到定點(圓心O)的距離都等于定長(半徑r);(2)到定點的距離等于定長的點都在同一個圓上.于是得到圓的第二定義:所有到定點O的距離等于定長r的點的集合叫做圓.設(shè)計意圖:引導學生從幾何角度出發(fā)觀察圓的形成過程,從做圓的過程自然過渡到圓的定義,把生活中的情景抽象為平面圖形,讓學生表述,明確圓的定義.典例精講例1矩形ABCD的對角線AC,BD相交于點O.求證:A,B,C,D四個點在以點O為圓心的同一個圓上.證明:∵四邊形ABCD是矩形,∴OA=OC=12AC,OB=OD=12BD,AC∴OA=OC=OB=OD.∴A,B,C,D四個點在以點O圓心,OA為半徑的圓上.設(shè)計意圖:圓的定義的應用.在此過程中培養(yǎng)學生的表達能力和總結(jié)能力,學會用數(shù)學語言表達現(xiàn)實世界.探究新知弦、直徑、弧的概念討論圓中相關(guān)元素的定義.如下圖,你能說出弦、直徑、弧、半圓的定義嗎?學生小組討論,討論結(jié)束后派一名代表發(fā)言進行交流,在交流中逐步完善自己的結(jié)果.教師歸納:弦:連接圓上任意兩點的線段叫做弦.直徑:經(jīng)過圓心的弦叫做直徑.弧:圓上任意兩點間的部分叫做圓弧,簡稱弧.弧的表示方法:以A,B為端點的弧記作AB,讀作“圓弧AB”或“弧AB”.半圓:圓的任意一條直徑的兩個端點把圓分成兩條弧,每一條弧都叫做半圓.優(yōu)弧:大于半圓的弧叫做優(yōu)弧,用三個點表示,如圖中的ABC.劣弧:小于半圓的弧叫做劣弧,如圖中的AC.等圓:能夠重合的兩個圓叫等圓.半徑相等的兩個圓是等圓.反過來,同圓或等圓的半徑相等.等弧:在同圓或等圓中,能夠互相重合的弧叫做等弧.設(shè)計意圖:弦、直徑、弧、半圓這些定義有的在小學接觸過,有的從字面可以猜出一二,結(jié)合圖形可以鍛煉學生的語言表達能力,進一步培養(yǎng)嚴密的數(shù)學表達能力.鞏固訓練1.下列語句中,正確的是(B)A.大于劣弧的弧叫做優(yōu)弧B.小于半圓的弧叫做劣弧C.圓上兩點間的部分叫做弦 D.過圓心的線段叫做圓的直徑2.若一個圓中最長的弦長為8cm,則這個圓的半徑是4cm.

3.下列說法中正確的是①③.

①矩形的四個頂點在同一個圓上;②菱形的四個頂點在同一個圓上;③直角三角形的三個頂點在同一個圓上;④平行四邊形的四個頂點在同一個圓上.4.下列說法正確的是②④.

①圓中的線段是弦;②直徑是圓中最長的弦;③優(yōu)弧一定大于劣弧;④半徑相等的兩個圓是等圓;⑤長度相等的兩條弧是等弧.設(shè)計意圖:學生通過例題進一步熟悉圓的相關(guān)性質(zhì),并學會解決問題.舊知識和新知識的結(jié)合體現(xiàn)了不同單元內(nèi)容之間的延續(xù)性和關(guān)聯(lián)性,在此過程中也培養(yǎng)了學生思維的多樣性,促進了學生對教學內(nèi)容的整體理解和把握,培養(yǎng)學生的核心素養(yǎng).課堂小結(jié)(1)通過今天的學習,你有哪些收獲?(2)你是否明確圓的兩種定義、弦、弧等概念?設(shè)計意圖:進一步回憶、鞏固本節(jié)所學.課堂8分鐘.1.教材第81頁練習第3題.2.七彩作業(yè).

24.1.1圓1.圓的概念.2.與圓有關(guān)的概念.弦、直徑、弧(優(yōu)弧和劣弧)、半圓、等圓、等弧.3.例題講解.教學反思

24.1.2垂直于弦的直徑課時目標1.研究圓的對稱性,掌握垂徑定理,發(fā)展學生抽象思維能力的核心素養(yǎng).2.培養(yǎng)學生觀察、操作、歸納、猜想的能力以及增強學生的合作意識,進一步發(fā)展空間觀念的核心素養(yǎng).3.學會運用垂徑定理及解決一些有關(guān)證明、計算,培養(yǎng)學生會用數(shù)學知識解決簡單幾何問題的能力.學習重點利用圓的軸對稱性研究垂徑定理及其應用.學習難點垂徑定理的證明,以及應用時如何添加輔助線.課時活動設(shè)計

觀察思考趙州橋是我國隋代建造的石拱橋,距今約有1400年的歷史,是我國古代人民勤勞與智慧的結(jié)晶.它的主橋拱是圓弧形,它的跨度(弧所對的弦的長)為37m,拱高(弧的中點到弦的距離)為7.23m,你能求出趙州橋主橋拱的半徑嗎?設(shè)計意圖:從學生熟悉的歷史事物中提出問題、設(shè)置懸疑、激發(fā)學生的學習興趣,讓學生體會生活中數(shù)學隨處可見,體會數(shù)學如何被用來解決生活中的實際問題.教師PPT展示趙州橋的圖片,并提出問題,引導學生思考.注意:這里只提出問題,學生暫時還不能解答.探究新知合作探究剪一個圓形紙片,沿著它的任意一條直徑對折,重復做幾次,你發(fā)現(xiàn)了什么?教師提出問題,并讓學生拿出事先準備好的圓形紙片,動手操作,觀察,學生充分交流后,教師匯總補充,最后PPT動態(tài)展示.在此基礎(chǔ)上追問:由此你能得到什么結(jié)論?你能證明你的結(jié)論嗎?教師總結(jié)學生得出的結(jié)論:圓是軸對稱圖形,任何一條直徑所在的直線都是圓的對稱軸.教師引導學生發(fā)現(xiàn),要證明圓是軸對稱圖形,只需要證明圓上任意一點關(guān)于直徑所在的直線(對稱軸)的對稱點也在圓上.如圖,設(shè)CD是☉O的任意一條直徑,A為☉O上點C,D以外的任意一點.證明點A關(guān)于直線CD的對稱點仍在☉O上.證明:過點A作AA'⊥CD,交☉O于點A',垂足為M,連接OA,OA'.在△OAA'中,∵OA=OA',∴△OAA'是等腰三角形.又AA'⊥CD,∴AM=MA'.即CD是AA'的垂直平分線.教師可在圓上任取若干個點進行說明,進一步驗證前面得到的結(jié)論.圓的對稱性:①圓是軸對稱圖形;②任何一條直徑所在的直線都是圓的對稱軸.設(shè)計意圖:通過證明引導學生思考,使學生充分經(jīng)歷操作、觀察、猜想、驗證等合情推理的過程,初步培養(yǎng)學生分析問題、解決問題的能力.合作探究在剛剛的證明過程中,你能發(fā)現(xiàn)圖中有哪些相等的線段、弧嗎?教師再次動態(tài)展示折紙的過程,讓學生觀察,并在此基礎(chǔ)上得出結(jié)論.并嘗試讓學生用語言描述所得到的結(jié)論,教師引導并補充完善.垂徑定理:垂直于弦的直徑平分弦,并且平分弦所對的兩條弧.教師帶領(lǐng)學生分析垂徑定理的題設(shè),結(jié)論.并試著結(jié)合圖形把文字語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學語言.下列圖形是否具備垂徑定理的條件?教師提出問題,學生搶答.對于不具備垂徑定理條件的圖形,引導學生說出原因,并追問:怎樣修改圖(2)、(4)能夠滿足垂徑定理的條件?教師帶領(lǐng)學生觀察修改后的圖片,引導學生總結(jié):垂直于弦的直徑平分弦,并且平分弦所對的兩條弧.其中,直徑并不是必要條件,只要滿足過圓心即可.當直徑CD平分一條弦AB(不是直徑)時,能否得出CD⊥AB?教師提出問題,引導學生仿照前面的證明方法證明,并用文字語言描述所得結(jié)論,得出垂徑定理的推論:平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦,并且平分弦所對的兩條弧.教師追問:為什么強調(diào)“不是直徑”呢?設(shè)計意圖:再次觀察折疊圓的過程,讓學生在理解圓的對稱性的基礎(chǔ)上進一步發(fā)現(xiàn)相等的線段、弧,嘗試總結(jié)出垂徑定理.想一想判斷下列說法是否正確:1.垂直于弦的直線平分弦,并且平分弦所對的兩條弧.(×)2.平分弦的直徑垂直于弦.(×)3.平分一條直徑的弦必垂直于這條直徑.(×)設(shè)計意圖:鞏固所學知識,加深對知識的理解.延伸垂徑定理:垂直于弦的直徑平分弦,并且平分弦所對的兩條弧.垂徑定理的推論:平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦,并且平分弦所對的兩條弧.教師帶領(lǐng)學生歸納出垂徑定理及推論中,蘊含的五個條件:①過圓心;②垂直于弦;③平分弦;④平分弦所對的優(yōu)弧;⑤平分弦所對的劣弧.并引導學生發(fā)現(xiàn),垂徑定理是①②→③④⑤;垂徑定理的推論是①③→②④⑤.追問:還有別的結(jié)論嗎?條件結(jié)論①②③④⑤垂直于弦的直徑平分弦,并且平分弦所對的兩條?、佗邰冖堍萜椒窒?不是直徑)的直徑垂直于弦,并且平分弦所對的兩條?、佗堍冖邰萜椒窒宜鶎Φ囊粭l弧的直徑,垂直平分這條弦,并且平分弦所對的另一條?、佗茛冖邰堍冖邰佗茛芟业拇怪逼椒志€經(jīng)過圓心,并且平分這條弦所對的兩條弧………………設(shè)計意圖:在已有知識的基礎(chǔ)上適當延伸拓展,使學生能夠理解這5個條件可以知二推三,鍛煉學生的思維能力及靈活運用所學知識的能力.典例精講通過這節(jié)課的學習,現(xiàn)在你能解決課程一開始的問題了嗎?例趙州橋是我國隋代建造的石拱橋,距今約有1400年的歷史,是我國古代人民勤勞與智慧的結(jié)晶.它的主橋拱是圓弧形,它的跨度(弧所對的弦的長)為37m,拱高(弧的中點到弦的距離)為7.23m,求趙州橋主橋拱的半徑(結(jié)果保留小數(shù)點后一位).解:如圖,用AB表示主橋拱,設(shè)AB所在的圓的圓心為O,半徑為R.經(jīng)過圓心O作弦AB的垂線OC,D為垂足,OC與AB相交于點C,連接OA.根據(jù)垂徑定理,D是AB的中點,C是AB的中點,CD就是拱高.由題設(shè)可知AB=37,CD=7.23,所以AD=12AB=12×37=18.5,OD=OC-CD=R-7.在Rt△OAD中,由勾股定理,得OA2=AD2+OD2,即R2=18.52+(R-7.23)2.解得R≈27.3.因此,趙州橋的主橋拱半徑約為27.3m.設(shè)計意圖:通過例題講解,鞏固本節(jié)課所學知識,培養(yǎng)學生解決問題的能力,發(fā)展應用意識,鍛煉實踐能力.教師提出問題,學生先獨立思考,解答,然后再小組交流探討,教師巡視,如遇到有困難的學生適當點撥,最終教師展示答題過程.鞏固訓練1.如圖,在☉O中,若CD⊥AB于點M,AB為直徑,則下列結(jié)論不正確的是(C)A.AC=ADB.BC=BDC.AM=OMD.CM=DM2.已知☉O的直徑AB=10,弦CD⊥AB于點M,OM=3,則CD=8.

3.在☉O中,弦CD⊥AB于點M,AB為直徑,若CD=10,AM=1,則☉O的半徑為13.

4.☉O的半徑為13cm,AB,CD是☉O的兩條弦,AB∥CD,AB=24cm,CD=10cm,求AB和CD之間的距離.解:如圖,過點O向AB,CD作垂線,垂足分別為M,N,連接OB,OD.由垂徑定理,可得BM=12AB=12cm,DN=12CD又∵OB=OD=13cm,在Rt△OBM,Rt△ODN中,由勾股定理,得OM=132-122=5cm,∴AB和CD之間的距離MN=ON-OM=7cm或MN=OM+ON=17cm.設(shè)計意圖:進一步鞏固本節(jié)課的內(nèi)容,了解學習效果,讓學生經(jīng)歷運用知識解決問題的過程,給學生獲得成功體驗的空間.課堂小結(jié)設(shè)計意圖:通過提問讓學生回顧、總結(jié)、梳理本節(jié)課所學內(nèi)容,使零散的知識系統(tǒng)化,同時培養(yǎng)學生的語言表達能力.課堂8分鐘.1.教材第83頁練習第2題.2.七彩作業(yè).教學反思

24.1.3弧、弦、圓心角課時目標1.理解圓心角的概念和圓的旋轉(zhuǎn)不變性,會辨析圓心角,發(fā)展學生空間想象能力的核心素養(yǎng).2.通過觀察、比較、操作、推理、歸納等活動,發(fā)展空間觀念、推理能力,培養(yǎng)學生觀察、操作、歸納、猜想的能力以及增強學生的合作意識,進一步發(fā)展空間觀念的核心素養(yǎng).3.掌握在同圓或等圓中,圓心角與其所對的弦、弧之間的關(guān)系,并能運用此關(guān)系進行相關(guān)的證明和計算,培養(yǎng)學生會用數(shù)學知識解決簡單幾何問題的能力.學習重點掌握弦、弧、圓心角之間的關(guān)系,并能運用此關(guān)系進行相關(guān)的證明和計算.學習難點理解圓的旋轉(zhuǎn)不變性和對定理推論的應用.課時活動設(shè)計知識回顧前面我們已經(jīng)學習了圓的對稱性,你能用自己的語言描述它嗎?教師提出問題,帶領(lǐng)學生回顧已學知識,在此基礎(chǔ)上追問:圓是中心對稱圖形嗎?設(shè)計意圖:先回顧已學知識,在此基礎(chǔ)上提出問題,引導學生思考新知識,建立起新舊知識之間的聯(lián)系.探究新知教師提問:剪一個圓形紙片,把它繞圓心旋轉(zhuǎn)180°,所得的圖形與原圖形重合嗎?由此你能得到什么結(jié)論?并讓學生拿出事先準備好的圓形紙片,動手操作、觀察,最后教師PPT動態(tài)展示.追問1:把圓繞圓心旋轉(zhuǎn)任意一個角度呢?教師在上一問題的基礎(chǔ)上追問,仍然讓學生先動手操作,觀察,然后教師任選幾個角度(如30°,60°,120°,210°等)進行PPT動態(tài)展示.追問2:通過上面的觀察,你能得到什么結(jié)論呢?老師引導學生得出結(jié)論:圓是中心對稱圖形,圓心就是它的對稱中心.不僅如此,把圓繞圓心旋轉(zhuǎn)任意一個角度,所得的圖形都與原圖形重合.設(shè)計意圖:讓學生通過動手實踐來感受圓的中心對稱性,引導學生來歸納出圓是中心對稱圖形,培養(yǎng)學生的觀察能力與語言組織能力.探究新知觀察下面幾個角的頂點,有什么共同特征?教師總結(jié)圓心角的概念:我們把頂點在圓心的角叫做圓心角.思考在☉O中,當圓心角∠AOB=∠A'OB'時,它們所對的弧AB和A'B',弦AB和A'B'相等嗎教師提出問題,并展示PPT,讓學生觀察∠AOB和∠A'OB'重合的過程,進一步讓學生觀察這兩個角所對的弦、弧是否重合,最終得出結(jié)論,并引導學生用自己的語言總結(jié).教師匯總并補充:在同圓或等圓中,相等的圓心角所對的弧相等,所對的弦也相等.追問:在同圓或等圓中,如果兩條弧相等,那么它所對的圓心角,所對的弦是否也相等呢?教師在上述基礎(chǔ)上追問,先讓學生仿照前面的思路自主探究,最終教師展示相關(guān)過程及結(jié)論.AB=A'B'

?

AB=A'B'

∠AOB=在同圓或等圓中,如果兩條弧相等,那么它們所對的圓心角相等,所對的弦相等.教師引導學生用語言總結(jié)結(jié)論:AB=A'B'?∠AOB=∠A'OB'AB=AB'B在同圓或等圓中,如果兩條弦相等,那么它們所對的圓心角相等,所對的優(yōu)弧和劣弧分別相等.追問1:“在同圓或等圓中,相等的圓心角所對的弧相等,所對的弦也相等.”可否把“在同圓或等圓中”去掉?經(jīng)過思考發(fā)現(xiàn):去掉同圓或等圓,那就會想到半徑不同的圓,在不同半徑的圓中,以同心圓為例,容易看出結(jié)論.追問2:同圓或等圓中,兩個圓心角、兩條弧、兩條弦中如果有一組量相等,則它們所對應的其余各組量有什么關(guān)系?經(jīng)過思考發(fā)現(xiàn):其余各組量都相等.設(shè)計意圖:通過觀察,使學生對圓的旋轉(zhuǎn)不變性的認識從感性上升到理性.理解弧、弦、圓心角之間的關(guān)系.培養(yǎng)學生的觀察發(fā)現(xiàn)能力及對概念的理解能力.典例精講例1已知AB是☉O的直徑,BC=CD=DE,∠COD=35°,求∠AOE的度數(shù).解:∵BC=CD=DE,∠COD=35°∴∠BOC=∠COD=∠DOE=35°.∴∠AOE=180°-3×35°=75°.例2如圖,在☉O中,AB=AC,∠ACB=60°.求證:∠AOB=∠BOC=∠AOC.證明:∵AB=AC,∴AB=AC,△ABC是等腰三角形.又∠ACB=60°,∴△ABC是等邊三角形,AB=BC=CA.∴∠AOB=∠BOC=∠AOC.設(shè)計意圖:通過例題講解,鞏固本節(jié)課所學知識,培養(yǎng)學生解決問題的能力,發(fā)展應用意識,鍛煉實踐能力.鞏固訓練1.下列各角中,是圓心角的是(D)2.如圖,在☉O中:(1)若∠AOC=∠BOC,BC=5,則AC=5;

(2)若AC=BC,∠BOC=70°,則∠AOC=70°.

第2題圖第3題圖3.如圖,在☉O中,AB=AC,∠C=75°,求∠A的度數(shù).解:∵AB=AC,∴AB=AC,△ABC是等腰三角形.又∵∠C=75°,∴∠B=∠C=75°.∴∠A=180°-(∠B+∠C)=30°.4.如圖,在☉O中,弦AC,BD相交于點P,且AB=CD,求證:AC=BD.解:∵AB=CD,∴AB=CD又∵AC=AB+BC,BD=CD+BC,∴AC=BD.∴AC=BD.設(shè)計意圖:進一步鞏固本節(jié)課的內(nèi)容,了解學習效果,讓學生經(jīng)歷運用知識解決問題的過程,給學生獲得成功體驗的空間.課堂小結(jié)設(shè)計意圖:通過提問讓學生回顧、總結(jié)、梳理本節(jié)課所學內(nèi)容,使零散的知識系統(tǒng)化,同時培養(yǎng)學生的語言表達能力.課堂8分鐘.1.教材第85頁練習第2題.2.七彩作業(yè).24.1.3弧、弦、圓心角1.圓的旋轉(zhuǎn)對稱性:圓是中心對稱圖形,圓心就是它的對稱中心.2.圓心角:頂點在圓心的角.3.在同圓或等圓中,兩個圓心角、兩條弧、兩條弦中如果有一組量相等,則它們所對應的其余各組量也都分別相等.在☉O中,若①∠AOB=∠A'OB'(圓心角相等);②AB=A'B'(③AB=A'B'(弦相等).則①→②③②→①③③→①②(教學反思

24.1.4圓周角第1課時圓周角定理及其推論課時目標1.了解圓周角的概念,發(fā)展學生抽象思維能力的核心素養(yǎng).2.通過猜想驗證理解圓周角的定理,培養(yǎng)學生觀察、操作、歸納、猜想的能力以及增強學生的合作意識,進一步發(fā)展空間觀念的核心素養(yǎng).3.理解圓周角定理的推論,并靈活運用圓周角定理及其推論解決一些實際問題,培養(yǎng)學生會用數(shù)學知識解決簡單幾何問題的能力.學習重點圓周角的概念、圓周角的定理及推論、圓周角的定理的推導及運用它們解題.學習難點運用數(shù)學分類思想證明圓周角的定理.課時活動設(shè)計情境引入足球賽前訓練,訓練場上的球門前劃了一個圓圈如圖,兩名球員分別在C,D兩處,他們爭論不休,都說自己的射門位置好.如果你是主教練,僅從射門角度考慮,射門角度越大越好.那么他們誰的射門位置好?設(shè)計意圖:足球運動與學生的日常經(jīng)驗緊密相連,有效地喚起了他們對知識的好奇和探索的欲望.為接下來的學習活動奠定了良好的基礎(chǔ).此外,清晰地向?qū)W生闡述本節(jié)課的學習目標,有助于他們有目的地參與課堂活動,從而提高學習效率和成效.新知講解1.通過兩個基本圖形的對比,類比圓心角的定義,共同歸納出圓周角的概念.如圖中的∠ACB,它的頂點在圓上,并且兩邊都與圓相交,我們把這樣的角叫做圓周角.2.概念教學設(shè)置了辨析鞏固.如下圖,圖中哪個角是圓周角.3.得出口訣:頂點圓上,兩邊交圓.設(shè)計意圖:對比學習的目的在于加強知識之間的聯(lián)系,對比學習使得概念理解更加容易,為圓周角定理的學習奠定基礎(chǔ).新知探究類比圓心角,探知圓周角.利用手中圓形紙板,使得圓周角∠BAC的頂點A在優(yōu)弧BAC上運動,你會發(fā)現(xiàn)圓周角∠BAC與圓心O有幾種位置關(guān)系?①請你分別在☉O中畫出一個圓周角.要求:體現(xiàn)圓周角和圓心的三種位置關(guān)系.②請你在☉O中分別畫出同弧所對的圓心角.思考:你發(fā)現(xiàn)同弧所對的圓周角與圓心角有怎樣的大小關(guān)系嗎?1.教師引導學生,采用小組合作的學習方式,前后四人一組,分組操作.教師巡視與指導學生活動.2.學生把發(fā)現(xiàn)的結(jié)論畫在任務(wù)書上,體現(xiàn)出圓周角與圓心的三種位置關(guān)系.3.學生進行小組活動的展示,派選3名代表,2名學生展示操作過程,1名學生板演畫圖過程,讓全體學生有一個直觀的認識.4.學生在原有圖形基礎(chǔ)上,分別畫出同弧所對的圓心角.5.教師引導學生利用度量工具動手實踐,進行度量,發(fā)現(xiàn)結(jié)論.6.學生按照要求進行畫圖,測量角度,總結(jié)發(fā)現(xiàn)的規(guī)律.7.教師再利用幾何畫板從動態(tài)的角度進行演示,拖動一個點來改變弧的大小即改變圓心角的大小,來驗證學生發(fā)現(xiàn)的結(jié)論.讓學生觀察同弧所對的圓周角與圓心角之間的大小關(guān)系.設(shè)計意圖:通過實踐活動,使學生主動參與到課堂探究的過程.小組合作之后進行活動展示,目的讓學生對圓周角與圓心的位置有一個直觀的認識,為下面探索圓周角與圓心角的關(guān)系埋下伏筆,從而為有效的突破教學難點奠定基礎(chǔ).驗證猜想已知:在☉O中,弧BC所對的圓周角是∠BAC,所對的圓心角是∠BOC.求證:∠BAC=12∠第一種情況:圓心在圓周角一邊上;第二種情況:圓心在圓周角內(nèi)部;第三種情況:圓心在圓周角外部.證明:第一種情況:當圓心在圓周角一邊上時,如圖1.∵OA=OC,∴∠A=∠C.又∵∠BOC=∠A+∠C,∴∠A=12∠第二種情況:當圓心在圓周角內(nèi)部時,如圖2.∵OA=OB=OC,∴∠BAO=∠ABO,∠OAC=∠OCA.∴∠BOC=∠BOD+∠COD=2∠BAD+2∠OAC=2∠BAC.∴∠BAC=12∠第三種情況:當圓心在圓周角外部時,如圖3.∵OA=OC,OA=OB,∴∠OAC=∠OCA,∠OBA=∠OAB.∴∠BOC=∠DOC-∠DOB=2∠OAC-2∠OAB=2∠BAC.∴∠BAC=12∠教師引導學生總結(jié)出圓周角定理:一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半.設(shè)計意圖:通過師生合作和生生合作,讓學生學會運用分類討論的數(shù)學思想、轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想來研究問題.伴隨著高漲的學習氛圍,由小組代表進行展示反饋,說明思路與想法.引導學生學會發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題,并能解決問題.讓學生對所發(fā)現(xiàn)的結(jié)論進行證明,培養(yǎng)學生嚴謹?shù)闹螌W態(tài)度.鞏固訓練1.如圖,點A,B,C在☉O上,若∠BAC=24°,則∠BOC=48°.

第1題圖第2題圖2.如圖,☉O中,弦AB,CD相交于點P,若∠A=30°,∠APD=70°,則∠B=40°.

設(shè)計意圖:進一步鞏固圓周角定理.為了做到理解定理,知識整合,我們進行了深入的思考:思考1:在同圓或等圓中,如果兩個圓周角相等,它們所對的弧相等嗎?反之,同弧或等弧所對的圓周角相等嗎?思考2:把“在同圓或等圓中”去掉,如果兩個圓周角相等,它們所對的弧還相等嗎?思考3:如圖,已知AB是☉O的直徑,那么∠BCA為多少度?思考4:90°的圓周角所對的弦是什么?設(shè)計意圖:通過以上幾個問題的層層深入,考查學生對定理的理解和應用,并將本節(jié)課的知識和所學過的內(nèi)容緊密結(jié)合起來,使學生能夠很好地進行知識的遷移,加深對本節(jié)知識的理解,最終得出圓周角定理的兩個推理:(1)同弧或等弧所對的圓周角相等;(2)半圓(或直徑)所對的圓周角是直角,90°的圓周角所對的弦是直徑.鞏固訓練1.如圖,點A,B,C在☉O上,若∠A=60°,則∠BOC的度數(shù)為120°.

第1題圖第2題圖2.如圖,A,B,P是半徑為2的☉O上的三點,∠APB=45°,則弦AB的長為22.

3.△ABC內(nèi)接于☉O,AC是☉O的直徑,∠ACB=50°,點D是BAC上一點,則∠D=40°.

第3題圖第4題圖4.如圖,在☉O中,∠ACB=50°,點D是☉O上一點,則∠ADB=50°或130°.

設(shè)計意圖:在教學活動中,通過設(shè)計一系列問題,我們能夠有效地指導學生逐步深入理解和應用數(shù)學定理.首先,前三個問題側(cè)重于定理的直接和間接應用,幫助學生鞏固和運用新學的概念.其次,第四個問題則旨在加深學生對定理的理解,促使他們不僅僅停留在表面的應用層面,而是能夠深入探究其背后的原理.此外,練習題的設(shè)計遵循了學生的認知發(fā)展規(guī)律,從簡單到復雜,循序漸進,確保學生能夠及時獲得反饋,了解自己對知識的掌握情況,從而促進知識的消化吸收.通過這樣的教學策略,學生能夠更好地理解和運用數(shù)學定理,提高解決問題的能力.1.小結(jié):通過本節(jié)課的學習你有哪些收獲?2.課后延伸:通過本節(jié)課的學習我們都知道:在同圓或等圓中,同弧或等弧所對的圓周角相等.將“同弧或等弧”改為“同弦或等弦”結(jié)論還成立嗎?設(shè)計意圖:1.引導學生從知識、方法、數(shù)學思想等方面進行總結(jié),優(yōu)化認知結(jié)構(gòu),完善知識體系,使得知識方法結(jié)構(gòu)化,充分發(fā)揮學生的主體作用.2.最后作為課后的一個延伸,設(shè)計了一個學生容易犯錯的問題,即將“同弧或等弧”改為“同弦或等弦”所對的圓周角還相等嗎?為了做到對定理的真正理解,加強思維的變式訓練,提高分析解決問題的能力,做到觸類旁通.課堂8分鐘.1.教材第88頁練習第3題.2.七彩作業(yè).

第1課時圓周角定理及其推論1.概念:頂點在圓上,并且兩邊都與圓相交的角叫做圓周角.2.定理:一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半.3.圓周角定理的兩個重要推論:同弧或等弧所對的圓周角相等.半圓(或直徑)所對的圓周角是直角,90°的圓周角所對的弦是直徑.教學反思

第2課時圓內(nèi)接四邊形課時目標1.了解圓內(nèi)接多邊形及多邊形的外接圓的定義,發(fā)展學生抽象思維能力的核心素養(yǎng).2.掌握圓內(nèi)接多邊形的性質(zhì)的證明方法及應用,培養(yǎng)學生觀察、操作、歸納、猜想的能力以及增強學生的合作意識,進一步發(fā)展空間觀念的核心素養(yǎng).3.通過引導學生動手操作,對圖形的觀察發(fā)現(xiàn),激發(fā)學生的學習興趣.在師生之間、生生之間的合作交流中進一步樹立合作意識,培養(yǎng)合作能力,體驗學習的快樂.學習重點理解圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)并能熟練運用圓周角定理及推論進行有關(guān)的計算和證明.學習難點快速識別出一個四邊形是否是圓內(nèi)接四邊形并正確應用.課時活動設(shè)計回顧引入師:上節(jié)課我們學了圓周角相關(guān)知識,你們還記得圓周角相關(guān)知識嗎?設(shè)計意圖:教師通過回顧圓周角相關(guān)知識,從而引出本節(jié)課所學內(nèi)容.探究新知師:如果一個多邊形所有頂點都在同一個圓上,這個多邊形叫做圓內(nèi)接多邊形,這個圓叫做多邊形的外接圓.師:圓內(nèi)接四邊形的四個角之間有什么關(guān)系?我們分兩個情況加以證明.生:情況一證明:∵BD是☉O的直徑,∴∠C=90°,∠A=90°.∴∠A與∠C互補.∵四邊形內(nèi)角和為360°,∴∠ABC與∠ADC互補.生:情況二證明:連接OB和OD.∵∠A所對的弧為BCD,∠C所對的弧為BAD,又BCD和BAD所對圓心角的和為周角,∴∠A+∠C=12×360°=180同理∠B+∠D=180°.即圓內(nèi)接四邊形的對角互補.追問:如果一個四邊形的對角線互補,那么它的四個頂點在同一個圓上嗎?設(shè)計意圖:理解圓內(nèi)接四邊形的概念,通過猜想-探究-證明的過程,掌握圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì).鞏固訓練1.如圖,四邊形ABCD內(nèi)接于☉O,若四邊形ABCO是平行四邊形,則∠ADC的大小為(C)A.45° B.50° C.60° D.75°第1題圖第2題圖2.如圖,四邊形ABCD是半圓的內(nèi)接四邊形,AB是直徑,DC=CB.若∠C=110°,則∠ABC的度數(shù)等于(A)A.55° B.60° C.65°D.70°3.如圖,四邊形ABCD內(nèi)接于☉O,∠BOD=140°,求∠BCD的度數(shù).解:∵∠BOD=140°,∴∠A=12∠BOD=70∵四邊形ABCD內(nèi)接于☉O,∴∠A+∠BCD=180°.∴∠BCD=180°-∠A=110°.擴展應用為了更加的理解“圓內(nèi)接四邊形對角互補”這一性質(zhì),我們進行了深入思考:圓內(nèi)接四邊形的外角和內(nèi)角之間有什么關(guān)系呢?如圖,四邊形ABCD內(nèi)接于☉O,E為CB延長線上一點,猜想∠ABE與∠D的數(shù)量關(guān)系?解:∠ABE=∠D.理由:∵四邊形ABCD內(nèi)接于☉O,∴∠D+∠ABC=180°.∵∠ABE+∠ABC=180°,∴∠ABE=∠D.即圓內(nèi)接四邊形的外角等于內(nèi)對角.追問:如果一個四邊形的外角等于它的內(nèi)對角,那么它是圓內(nèi)接四邊形?課堂小結(jié)圓周角圓周角的定義設(shè)計意圖:將本節(jié)課所學內(nèi)容用思維導圖形式進行總結(jié)歸納,有助于學生理解與記憶.課堂8分鐘.1.教材第88頁練習第5題.2.七彩作業(yè).第2課時圓內(nèi)接四邊形1.如果一個多邊形的所有頂點均在同一個圓上,這個多邊形叫做圓內(nèi)接多邊形,這個圓叫做多邊形的外接圓.2.圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì):(1)對角互補:圓內(nèi)接四邊形的對角互補.(2)外角等于內(nèi)對角:圓內(nèi)接四邊形的任意一個角的外角等于它的內(nèi)對角.3.圓內(nèi)接四邊形的判定定理:(1)如果一個四邊形的對角互補,那么它是圓內(nèi)接四邊形.(2)如果一個四邊形的外角等于它的內(nèi)對角,那么它是圓內(nèi)接四邊形.教學反思

24.2.1點和圓的位置關(guān)系課時目標1.掌握點與圓的三種位置關(guān)系及數(shù)量間的關(guān)系,探求過點畫圓的過程,掌握過不在同一直線上三點畫圓的方法,掌握三角形的外接圓和外心的概念,了解運用“反證法”證明命題的思想方法.2.通過生活中的實例探求點和圓的三種位置關(guān)系,并提煉出數(shù)量關(guān)系,從而滲透數(shù)形結(jié)合,分類討論等數(shù)學思想.3.形成解決問題的一些基本策略,體驗解決問題策略的多樣性,發(fā)展實踐能力與創(chuàng)新精神,培養(yǎng)學生會用數(shù)學知識解決簡單幾何問題的能力.學習重點點與圓的三種位置關(guān)系,過三點作圓.學習難點點與圓的三種位置關(guān)系及其數(shù)量關(guān)系,及反證法的理解.課時活動設(shè)計情境引入射擊是奧運會的一個正式體育項目,我國射擊運動員在奧運會上屢獲金牌,為祖國贏得了榮譽.如圖是射擊靶的示意圖,它是由許多同心圓(圓心相同、半徑不等的圓)構(gòu)成的,射擊成績是由擊中靶子不同位置所決定的.圖中是一位運動員射擊10發(fā)子彈在靶上留下的痕跡.你知道如何計算運動員的成績嗎?從數(shù)學的角度來看,這是平面上的點與圓的位置關(guān)系,我們今天這節(jié)課就來研究這一問題,引出課題.設(shè)計意圖:隨著現(xiàn)在經(jīng)濟科技的發(fā)展,奧運會越來越被人們所重視.本節(jié)內(nèi)容通過學生熟悉的射擊比賽成績的算法,使學生在開拓知識視野的同時,感知點與圓的幾種位置關(guān)系,體會數(shù)學在生活中的應用.探究新知我們?nèi)偛派鋼舭猩系囊徊糠謭D形來研究點與圓存在的幾種位置關(guān)系.學生交流,回答問題.教師點評:點與圓有三種位置關(guān)系:點在圓內(nèi),點在圓上,點在圓外.如下圖,☉O的半徑為4cm,OA=2cm,OB=4cm,OC=5cm,那么,點A,B,C與☉O有怎樣的位置關(guān)系?解:∵OB=4cm,∴OB=r,∴點B在☉O上.∵OA=2cm<4cm,∴點A在☉O內(nèi).∵OC=5cm>4cm,∴點C在☉O外.設(shè)計意圖:通過實例觀察點與圓的位置關(guān)系,從而總結(jié)出規(guī)律,使學生的思維得到提升.探究(1)如圖1,經(jīng)過一個已知點A能不能作圓,這樣的圓你能作出多少個?(2)如圖2,經(jīng)過兩個已知點A,B能不能作圓?如果能,圓心分布有什么特點?學生動手探究,作圖,交流,得出結(jié)論,教師點評并總結(jié).解:(1)過已知點A畫圓,可作無數(shù)個圓.這些圓的圓心分布于平面的任意一點,半徑是任意長的線段.(僅過點A,既不能確定圓心,也不能確定半徑.)(2)過已知的兩點A,B也可作無數(shù)個圓.這些圓的圓心分布在線段AB的垂直平分線上.因為線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等.(注:僅過點A,B,同樣不能確定圓心,也不能確定半徑.)經(jīng)過不在同一條直線上的三個點,A,B,C能不能作圓?如果能,如何確定所作圓的圓心?解:經(jīng)過A,B兩點的圓,圓心在線段AB的垂直平分線上.經(jīng)過A,C兩點的圓,圓心在線段AC的垂直平分線上,那么這兩條垂直平分線一定相交,設(shè)交點為O,則OA=OB=OC,于是以O(shè)為圓心,以O(shè)A為半徑的圓,必過B,C兩點,所以過不在同一直線上的A,B,C三點有且僅有一個圓.教師總結(jié),不在同一條直線上的三個點確定一個圓.經(jīng)過三角形的三個頂點可以作一個圓,這個圓叫做三角形的外接圓,外接圓的圓心是三角形三條邊的垂直平分線的交點,叫做這個三角形的外心.設(shè)計意圖:學生動手從易到難,逐個分析過不同個數(shù)的點的圓的個數(shù).典例精講例1☉O的半徑為10cm,根據(jù)點P到圓心的距離:(1)8cm;(2)10cm;(3)13cm.判斷點P與☉O的位置關(guān)系,并說明理由.解:設(shè)☉O的半徑為rcm,點P到圓心的距離為dcm,則r=10.(1)當d=8時,∵d<r,∴點P在☉O內(nèi).(2)當d=10時,∵d=r,∴點P在☉O上.(3)當d=13時,∵d>r,∴點P在☉O外.例2如圖,在A地往北90m處的B處,有一棟民房,東120m的C處有一變電設(shè)施,在BC的中點D處有一古建筑.因施工需要必須在A處進行一次爆破,為使民房,變電設(shè)施,古建筑都不遭破壞,問爆破影響的半徑應控制在什么范圍之內(nèi)?解:由題可知AB=90m,AC=120m,∠BAC=90°,由勾股定理,可得BC=AB2+A又∵D是BC的中點,∴AD=12BC=75(m)∴民房B,變電設(shè)施C,古建筑D到爆破中心的距離分別為:AB=90m,AC=120m,AD=75m.要使B,C,D三點不受到破壞,即B,C,D三點都在☉A外,∴☉A的半徑要小于75m.即爆破影響的半徑控制在小于75m的范圍,民房,變電設(shè)施,古建筑才能不遭破壞.設(shè)計意圖:例1可讓學生獨立思考,嘗試寫出過程;教師點評,并規(guī)范書寫格式.例2是對本節(jié)知識的實際應用,教師引導學生分析問題,使學生學會將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題,從而認識到問題的本質(zhì),也讓學生體會到數(shù)學是與實際生活緊密相連的.思考經(jīng)過同一條直線上的三個點能作出一個圓嗎?學生易想到過同一條直線上的三個點不能圓,那如何證明呢?證明:如圖,假設(shè)經(jīng)過同一條直線l上的A,B,C三點可以作出一個圓.設(shè)這個圓的圓心為P,那么點P既在線段AB的垂直平分線l1上,又在線段BC的垂直平分線l2上,即點P為l1與l2的交點,而l1⊥l,l2⊥l,這與我們之前學過的“過一點有且只有一條直線與已知直線垂直”矛盾.所以經(jīng)過同一條直線上的三個點不能作圓.教師進行總結(jié),引出反正法:上面證明“經(jīng)過同一條直線上的三個點不能作圓”的方法與我們以前學過的證明不同,它不是直接從命題的已知得出結(jié)論,而是假設(shè)命題的結(jié)論不成立(即假設(shè)經(jīng)過同一條直線上的三個點可以作一個圓),由此經(jīng)過推理得出矛盾,由矛盾斷定所作假設(shè)不正確,從而得到原命題成立.這種方法叫做反證法.設(shè)計意圖:讓學生了解用反證法證明的基本思路和一般步驟.鞏固訓練1.判斷下列說法是否正確:(1)任意的一個三角形一定有一個外接圓.(√)(2)任意一個圓有且只有一個內(nèi)接三角形.(×)(3)經(jīng)過三點一定可以確定一個圓.(×)(4)三角形的外心到三角形各頂點的距離相等.(√)2.☉O的半徑為10cm,A,B,C三點到圓心的距離分別為8cm,10cm,12cm,則點A,B,C與☉O的位置關(guān)系是:點A在圓內(nèi);點B在圓上;點C在圓外.

課堂小結(jié)1.本節(jié)課你學到了哪些數(shù)學知識和數(shù)學方法?請與同伴交流點和圓的位置關(guān)系,會判斷點和圓的位置關(guān)系、理解并掌握三角形的外心及性質(zhì).2.了解反證法證明的基本思路和一般步驟.課堂8分鐘.1.教材第95頁練習第2,3題.2.七彩作業(yè).24.2.1點和圓的位置關(guān)系點和圓的位置關(guān)系點和圓的位置關(guān)系教學反思

24.2.2直線和圓的位置關(guān)系第1課時直線和圓的位置關(guān)系課時目標1.掌握直線和圓的三種位置關(guān)系及其數(shù)量間的關(guān)系,掌握運用圓心到直線的距離的數(shù)量關(guān)系或用直線與圓的交點個數(shù)來確定直線與圓的三種位置關(guān)系的方法,發(fā)展學生抽象思維能力的核心素養(yǎng).2.結(jié)合圖形理解直線和圓的位置關(guān)系,培養(yǎng)學生觀察、操作、歸納、猜想的能力以及增強學生的合作意識,進一步發(fā)展空間觀念的核心素養(yǎng).3.通過生活中的實例,探求直線和圓的三種位置關(guān)系,并提煉出相關(guān)的數(shù)學知識,從而滲透數(shù)形結(jié)合,分類討論等數(shù)學思想,培養(yǎng)學生會用數(shù)學知識解決簡單幾何問題的能力.學習重點掌握直線與圓的三種位置關(guān)系及其數(shù)量關(guān)系.學習難點能夠通過數(shù)量關(guān)系判斷直線與圓的位置關(guān)系.課時活動設(shè)計情境導入(1)教師動態(tài)演示太陽升起的過程,提問:如果我們把太陽看作一個圓,把地平線看作是一條直線,太陽升起的過程中,太陽和地平線會有幾種位置關(guān)系?由此你能得出直線和圓的位置關(guān)系嗎?(2)在紙上畫一條直線l,把鑰匙環(huán)看作一個圓.在紙上移動鑰匙環(huán),你能發(fā)現(xiàn)在移動鑰匙環(huán)的過程中,它與直線l的公共點個數(shù)的變化情況嗎?設(shè)計意圖:從人們常見的太陽的東升西落的問題開始,然后學生通過移動鑰匙環(huán),親身體會到現(xiàn)實生活中的數(shù)學知識,更加形象地表明了直線和圓的位置關(guān)系.先由學生交流、操作,觀察發(fā)現(xiàn)直線與圓的位置關(guān)系,可讓同學分別演示每一種情況,并寫出交點的個數(shù).新知講解1.直線和圓的位置關(guān)系的定義及有關(guān)概念.由前面的兩個探究情景可知,直線與圓有如下三種位置關(guān)系:如圖1,直線l與☉O有兩個公共點,這時我們說這條直線和圓相交,直線l叫做☉O的割線.如圖2,直線l與☉O只有一個公共點,這時我們說這條直線與☉O相切,直線l叫做☉O的切線,這一個公共點叫做切點.如圖3,直線l與☉O沒有公共點,我們說這條直線與☉O相離.2.直線和圓的位置關(guān)系的性質(zhì)和判定.思考:在上面的圖1、圖2、圖3中,設(shè)☉O的半徑為r,直線l到圓心O的距離為d,在直線和圓的三種不同位置關(guān)系中,d與r具有怎樣的大小關(guān)系?反過來你能根據(jù)d與r的大小關(guān)系來確定直線和圓的位置關(guān)系嗎?(學生討論,歸納總結(jié)答案,并由學生代表回答問題.)歸納總結(jié):直線l與☉O相交?d<r有兩個公共點;直線l與☉O相切?d=r有1個公共點;直線l與☉O相離?d>r無公共點.設(shè)計意圖:這是直線和圓的位置關(guān)系的性質(zhì)和判定,對于這一結(jié)論,要求學生要熟記圖形,重在結(jié)合圖形進行理解掌握.典例精講例1已知圓的半徑等于10cm,直線l與圓只有一個公共點,求圓心到直線l的距離.解:∵直線l與圓只有一個公共點.∴直線l與圓相切.當直線l與圓相切時,d=r=10cm.∴圓心到直線l的距離為10cm.例2如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3cm,BC=4cm,以點C為圓心,r為半徑的圓與AB有怎樣的位置關(guān)系?為什么?(1)r=2cm;(2)r=2.4cm;(3)r=3cm.分析:判斷☉C與直線AB的位置關(guān)系,就是比較半徑r與圓心C到直線AB的距離d的大小關(guān)系,即比較r與圖中CD的大小關(guān)系.解:如圖,過點C作CD⊥AB于點D.∵∠ACB=90°,AC=3cm,BC=4cm,∴AB=5cm.∵S△ABC=12·AB·CD=12·AC·BC,即12×5·CD∴CD=125=2.4cm,即d=2.4cm(1)當r=2cm,∵d=2.4cm>r,∴☉C與直線AB相離.(2)當r=2.4cm,∵d=2.4cm=r,∴☉C與直線AB相切.(3)當r=3cm,∵d=2.4cm<r,∴☉C與直線AB相交.設(shè)計意圖:學以致用,從做題中讓學生理解知識.鞏固練習1.如圖,正方形ABCD中,邊長為1.(1)以點A為圓心,1為半徑的圓與直線BC有怎樣的位置關(guān)系?(2)以A為圓心,半徑為多少時,圓與直線BD相切?解:(1)∵四邊形ABCD為正方形,∴AB⊥BC.∵AB=1=r,∴☉A與直線BC相切.(2)∵四邊形ABCD為正方形,邊長為1,∴AB=BC=1,∠ABC=90°,AC⊥BD且AO=12在Rt△ABC中,AC=AB2+∴AO=12AC=2∴以A為圓心,半徑為22時,圓與直線BD相切設(shè)計意圖:鞏固所學,拓展思維.課堂8分鐘.1.教材第96頁練習.2.七彩作業(yè).教學反思

第2課時切線的判定和性質(zhì)課時目標1.使學生能判定一條直線是否為一條切線,會過圓上一點作圓的切線,會運用切線的判定定理和性質(zhì)定理解決問題,發(fā)展學生抽象思維能力的核心素養(yǎng).2.經(jīng)歷切線的判定定理及性質(zhì)定理的探究過程,養(yǎng)成學生既能自主探究,又能合作探究的良好學習習慣,培養(yǎng)學生觀察、操作、歸納、猜想的能力以及增強學生的合作意識,進一步發(fā)展空間觀念的核心素養(yǎng).3.靈活運用切線的性質(zhì)解決一些實際問題,培養(yǎng)學生會用數(shù)學知識解決簡單幾何問題的能力.學習重點掌握切線的判定定理及性質(zhì)定理.學習難點切線的判定定理和性質(zhì)的應用.課時活動設(shè)計新知導入通過多媒體動態(tài)演示實例,教師進行提問,這些現(xiàn)象有哪些共同點?設(shè)計意圖:通過觀察生活中的實例,使學生初步感知直線與圓相切的情景,深化學生思想中的數(shù)學模型.思考如圖,在☉O中,經(jīng)過半徑OA的外端點A作直線l⊥OA,則圓心O到直線l的距離是多少?直線l和☉O有什么位置關(guān)系?解:∵直線l⊥OA,而點A是☉O的半徑OA的外端點,∴直線l與☉O只有一個交點,并且圓心O到直線l的距離是垂線段OA,即是☉O的半徑.∴直線l與☉O相切.教材總結(jié)得到切線的判定定理:經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.設(shè)計意圖:引導學生分析切線的特點,為后續(xù)做準備.新知探究已知直線l是☉O的切線,切點為A,那么半徑OA與直線l是不是一定垂直呢?為什么?(學生討論,由學生代表回答)分析:這個問題在引導學生分析時,直接證明比較困難,我們可以運用反證法.假設(shè)OA與l不垂直,過點O作OM⊥l,垂足為M,根據(jù)垂線段最短的性質(zhì),有OM<OA,這說明圓心O到直線l的距離小于半徑OA,于是直線l與☉O相交,而這與直線l與☉O相切矛盾.因此,半徑OA垂直于直線l.教師點評:由于l是☉O的切線,點A為切點,∴圓心O到l的距離等于半徑,所以O(shè)A就是圓心O到直線l的距離.∴直線l⊥OA.切線的性質(zhì)定理:圓的切線垂直于過切點的半徑.符號語言:∵直線l是☉O的切線,切點為A,∴直線l⊥OA.設(shè)計意圖:學生具有初步的邏輯分析能力和表達能力,課堂上適時的鍛煉既能消除學生對證明的陌生感,又能提升學生的邏輯思維能力.典例精講例1如圖,△ABC為等腰三角形,O是底邊BC的中點,腰AB與☉O相切于點D.求證:AC是☉O的切線.師:要證明一條直線是圓的切線,必須符合兩個條件,即“經(jīng)過半徑外端”和“垂直于這條半徑”.引導學生分析.解:過點O作OE⊥AC,垂足為E,連接OD,OA.∵☉O與AB相切于點D,∴OD⊥AB.又△ABC為等腰三角形,O是底邊BC的中點,∴AO是∠BAC的平分線.∴OE=OD,即OE是☉O的半徑.∴AC是☉O的切線.例2(1)如圖1,AB是☉O的弦,PA是☉O的切線,A是切點,∠PAB=30°,求∠AOB.(2)如圖2,AB是☉O的直徑,DC切☉O于點C,連接CA,CB,AB=12,∠ACD=30°,求AC的長.解:(1)∵OA,OB為☉O的半徑,∴△OAB為等腰三角形.∴∠OAB=∠OBA.又∵PA是☉O的切線,∴由切線的性質(zhì),可知PA⊥OA.∴∠OAP=90°.∴∠OAB=∠OAP-∠BAP=90°-30°=60°.∴∠AOB=180°-2∠OAB=180°-2×60°=60°.(2)連接OC,∵CD是☉O的切線,∴OC⊥CD.∴∠OCA=60°.∵OA=OC,∠ACD=30°,∴∠OCA=90°-30°=60°=∠OAC,△OAC是等邊三角形.∴AC=OA=r=12×AB=12設(shè)計意圖:讓學生能夠應用新知識,進一步運用到實際學習內(nèi)容中.鞏固訓練1.如圖所示,線段AB經(jīng)過圓心O,交☉O于點A,C,∠BAD=∠B=30°,邊BD交圓于點D.BD是☉O的切線嗎?為什么?解:BD是☉O的切線.理由:連接OD.∵∠BAD=30°,OA=OD,∴∠ADO=∠BAD=30°.∴∠BOD=∠ADO+∠BAD=60°.在△BOD中,∠B=30°,∠BOD=60°,∴∠BDO=90°.∴BD是☉O的切線.2.如圖,已知直線AB經(jīng)過☉O上的點C,并且OA=OB,CA=CB.求證:直線AB是☉O的切線.解:連接OC,∵OA=OB,AC=BC,∴OC⊥AB,∵點C為OC的端點且點C在☉O上,∴直線AB是☉O的切線.學生思考交流后師生共同解答.3.如圖,OA=OB=5,AB=8,☉O的直徑為6.求證:直線AB是☉O的切線.證明:如圖,過點O作OC⊥AB于點C,∵OA=OB=5,AB=8,∴AC=BC=12AB=4在Rt△AOC中,由勾股定理,可得OC=AD2∵☉O的直徑為6,∴OC為☉O的半徑.又∵OC⊥AB,∴直線AB是☉O的直徑.教師歸納:證切線時輔助線的添加方法:(1)有公共點,連半徑,證垂直;(2)無公共點,作垂直,證半徑.有切線時常用輔助線添加方法:見切線,連半徑,得垂直.切線的其他重要結(jié)論:(1)經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過切點;(2)經(jīng)過切點且垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心.課堂小結(jié)1.讓學生回顧本堂課的兩個知識點.2.試著讓學生自己總結(jié)切線的證明方法,然后相互交流.設(shè)計意圖:在這一環(huán)節(jié),教師要盡可能地讓學生自主總結(jié)與交流,然后適當?shù)赜枰渣c評和補充.課堂8分鐘.1.教材第98頁練習第1,2題,教材第101頁習題24.2第4,5題.2.七彩作業(yè).教學反思

第3課時切線長定理和三角形的內(nèi)切圓課時目標1.理解掌握切線長的概念和切線長定理,了解三角形的內(nèi)切圓圓心和三角形的內(nèi)心等概念,發(fā)展學生抽象思維能力的核心素養(yǎng).2.利用圓的軸對稱性幫助探求切線長的特征,結(jié)合求證三角形內(nèi)面積最大的圓的問題,掌握三角形內(nèi)切圓和內(nèi)心的概念.培養(yǎng)學生觀察、操作、歸納、猜想的能力以及增強學生的合作意識,進一步發(fā)展空間觀念的核心素養(yǎng).3.運用切線長定理和內(nèi)心解決一些實際問題,培養(yǎng)學生會用數(shù)學知識解決簡單幾何問題的能力.學習重點切線長定理及其應用.學習難點有關(guān)切線長定理的有關(guān)計算和證明問題.課時活動設(shè)計情境引入同學們玩過悠悠球(如圖1)嗎?大家在玩悠悠球時是否想到過它在轉(zhuǎn)動過程中還包含著數(shù)學知識呢?圖2是悠悠球在轉(zhuǎn)動的一瞬間的剖面示意圖,從中你能抽象出什么樣的數(shù)學圖形(球的整體和中心軸可抽象成圓形,被拉直的線繩可抽象成線段)?這些圖形的位置關(guān)系是怎樣的?設(shè)計意圖:通過同學們常玩的悠悠球來激起他們的學習興趣,并進一步引出切線長及切線長定理.建議:教師在課前準備一個悠悠球,在課堂上直接展示,活躍課堂氣氛.同時在抽象出數(shù)學圖形的過程中,注意從上節(jié)課剛學過的切線的角度引導學生思考問題.新知探究如圖,紙上有一☉O,PA為☉O的一條切線,沿著直線PO對折,設(shè)圓上與點A重合的點為B,回答下列問題:(1)OB是☉O半徑嗎?(2)PB是☉O的切線嗎?(3)PA、PB是什么關(guān)系?(4)∠APO和∠BPO有何關(guān)系?學生動手實驗,觀察分析,合作交流后,教師抽取幾位學生回答問題.分析:OB與OA重合,OA是半徑,∴OB也是半徑.根據(jù)折疊前后的角不變,∴∠PBO=∠PAO=90°(即PB⊥OB),PA=PB,∠POA=∠POB,∠APO=∠BPO.而PB經(jīng)過半徑OB的外端點,∴PB是☉O的切線.設(shè)計意圖:通過觀察生活中的實例,使學生初步感知直線與圓相切的情景,深化學生思想中的數(shù)學模型.新知講解問題1:在☉O外任取一點P,過點P作☉O的兩條切線,如圖,則圖形中存在哪些等量關(guān)系?問題2:將所畫圖形沿著直線PO進行對折,觀察折線兩旁的部分能否互相重合?請用語言概括你的發(fā)現(xiàn).師生活動:教師指導學生運用猜想、測量、對折等方法和策略進行探究,并進行適時點撥后,學生交流、討論,說明自己的發(fā)現(xiàn),教師做好總結(jié)和鼓勵.教師強調(diào):(1)切線長的定義:經(jīng)過圓外一點的圓的切線上,這點和切點之間線段的長,叫做這點到圓的切線長,如圖中的線段PA,PB.(2)切線長定理:從圓外一點可以引圓的兩條切線,它們的切線長相等,這一點和圓心的連線平分兩條切線的夾角.問題3:你能運用所學知識進行證明嗎?師生活動:學生小組內(nèi)討論、交流,教師引導學生作輔助線證明三角形全等即可,學生寫出證明過程,教師巡視、指導.證明:如圖,連接OA,OB.∵PA,PB是☉O的兩條切線,∴OA⊥PA,OB⊥PB.又∵OA=OB,OP=OP,∴Rt△AOP≌Rt△BOP.∴PA=PB,∠APO=∠BPO.問題4:如何根據(jù)圖形,用幾何語言描述切線長定理呢?師生活動:學生根據(jù)定理的題設(shè)和結(jié)論,結(jié)合圖形,進行回答,教師板書并補充.∵PA,PB是☉O的兩條切線,∴PA=PB,∠APO=∠BPO.設(shè)計意圖:這個定理要讓學生分清題設(shè)和結(jié)論.題設(shè):過圓外一點作圓的切線.結(jié)論:①過圓外的這一點可作該圓的兩條切線;②兩條切線長相等;③這一點和圓心的連線平分兩條切線的夾角.典例精講例1如圖,PA、PB是☉O的切線,切點分別是A、B,若∠APB=60°,PA=4,則☉O的半徑是

433例2如圖,P為☉O外一點,PA,PB分別切☉O于A,B兩點,連接OP,交☉O于C,若PA=6.PC=23.求☉O的半徑OA及兩切線PA,PB的夾角.解:連接OA,∵PA是☉O的切線,∴∠OAP=90°.∴OP2=OA2+PA2.∵OP=OC+CP,OC=OA,PA=6,PC=23,∴(OA+23)2=OA2+62.∴OA=23.∴OC=OA=23.∴OP=OC+PC=43.∴OP=2OA.∴∠APO=30°.∵PA,PA分別切☉O于A,B兩點,∴∠APO=∠BPO=30°.∴∠APB=60°.∴☉O的半徑OA為23,兩切線PA,PB的夾角為60°.教師總結(jié):解決有關(guān)圓的切線長問題時,往往需要我們構(gòu)建基本圖形.(1)分別連接圓心和切點.(2)連接兩切點.(3)連接圓心和圓外一點.切線長定理為證明線段相等,角相等,弧相等,垂直關(guān)系提供了理論依據(jù),必須掌握并能靈活應用.設(shè)計意圖:讓學生能夠應用新知識,進一步運用到實際學習內(nèi)容中.探究內(nèi)切圓思考:如何在三角形內(nèi)部畫一個圓,使它與已知三角形的三邊都相切?分析:(1)如果半徑為r的☉I與△ABC的三邊都相切,那么圓心I應滿足什么條件?(2)在△ABC的內(nèi)部,如何找到滿足條件的圓心I呢?解:我們以前學過,三角形的三條角平分線交于一點,并且這個點到三條邊的距離相等.因此,如圖,分別作∠B,∠C的平分線BM和CN,設(shè)它們相交于點I,那么點I到AB,BC,CA的距離都相等.以I為圓心,點I到BC的距離ID為半徑作圓,則☉I與三角形三條邊都相切,圓I就是所求作的圓.教師總結(jié):與三角形各邊都相切的圓叫作三角形的內(nèi)切圓;內(nèi)切圓的圓心是三角形三條角平分線的交點,叫做三角形的內(nèi)心.設(shè)計意圖:從一條線和圓相切,到兩條線和圓相切形成切線長定理,再到三邊都和圓相切形成三角形的內(nèi)切圓,層層遞進,符合學生的思維認知.典例精講例3△ABC的內(nèi)切圓☉O與BC,CA,AB分別相切于點D,E,F,且AB=9,BC=14,CA=13,求AF,BD,CE的長.解:設(shè)AF=x,則AE=x,CD=CE=AC-AE=13-x,BD=BF=AB-AF=9-x.由BD+CD=BC,可得(13-x)+(9-x)=14.解得x=4.因此AF=4,BD=5,CE=9.小結(jié):運用切線長定理,將相等線段轉(zhuǎn)化集中到某條邊上,從而建立方程.設(shè)計意圖:理解并掌握內(nèi)心的定義.鞏固訓練1.如圖,PA切☉O于點A,PB切☉O于點B,下列結(jié)論中,錯誤的是(D)A.∠APO=∠BPOB.PA=PBC.AB⊥OPD.PA=PO第1題圖第2題圖第3題圖第4題圖2.如圖,PA,PB是☉O的兩條切線,切點分別是A,B,如AP=4,∠APB=40°,則∠APO=20°,PB=4.

3.如圖,PA,PB是☉O的兩條切線,切點為A,B,∠P=50°,點C是☉O上異于A,B的點,則∠ACB=65°或115°.

4.△ABC的內(nèi)切圓☉O與三邊分別切于D,E,F三點,如圖,已知AF=3,BD+CE=12,則△ABC的周長是30.

設(shè)計意圖:學生通過練習進一步熟悉切線長定理和內(nèi)心的性質(zhì),并學會解決問題.舊知識和新知識的結(jié)合體現(xiàn)了不同單元內(nèi)容之間延續(xù)性和關(guān)聯(lián)性,在此過程中也培養(yǎng)了學生思維的多樣性,促進了學生對教學內(nèi)容的整體理解和把握,培養(yǎng)學生的核心素養(yǎng).課堂8分鐘.1.教材第100頁練習第2題,教材第101頁習題24.2第3,6題.2.七彩作業(yè).教學反思

第1課時弧長和扇形面積課時目標1.理解弧長和扇形面積公式,并會計算弧長、扇形的面積,發(fā)展學生抽象思維能力的核心素養(yǎng).2.經(jīng)歷探究弧長和扇形面積公式的過程,解決部分與整體的問題,培養(yǎng)學生的探索能力和運用公式解決問題的能力.3.在弧長和扇形面積計算公式的探究過程中,感受轉(zhuǎn)化、類比的數(shù)學思想.4.通過用弧長和扇形面積公式解決實際問題,讓學生感受數(shù)學與實際生活的聯(lián)系,激發(fā)學習數(shù)學的興趣,提高學習數(shù)學的積極性,培養(yǎng)學生會用數(shù)學知識解決簡單幾何問題的能力.學習重點弧長及扇形面積公式的推導過程及運用.學習難點運用弧長和扇形面積公式計算組合圖形的面積.課時活動設(shè)計情境引入在田徑200米跑步比賽中,運動員的起跑位置相同嗎?為什么?教師通過課件展示圖片,提出問題.解:起跑位置不同,為了保證每個人所跑路程為200米.在學生回答的基礎(chǔ)上,提出每個跑道應該相距多遠呢,關(guān)鍵是應該知道這些彎道的“展直長度”,如何計算呢?設(shè)計意圖:由現(xiàn)實圖片引出,給學生產(chǎn)生視覺上的強烈沖擊,產(chǎn)生強烈的求知欲,為下面探究