專題24 相似三角形存在性問題-備戰(zhàn)2022年中考數學母題題源解密（原卷版）

專題24相似三角形存在性問題考向1相似三角形的存在性問題【母題來源】2021年中考黑龍江大慶卷【母題題文】如圖，拋物線y＝ax2+bx+3（a≠0）與x軸交于點A（1，0）和點B（﹣3，0），與y軸交于點C，連接BC，與拋物線的對稱軸交于點E，頂點為點D．（1）求拋物線的解析式；（2）點P是對稱軸左側拋物線上的一個動點，點Q在射線ED上，若以點P、Q、E為頂點的三角形與△BOC相似，請直接寫出點P的坐標．【答案】（1）∵拋物線y＝ax2+bx+3過點A（1，0），B（﹣3，0），∴a+解得a=∴拋物線的解析式為：y＝﹣x2﹣2x+3；（2）令x＝0，y＝3，∴OC＝OB＝3，即△OBC是等腰直角三角形，∵拋物線的解析式為：y＝﹣x2﹣2x+3，∴拋物線對稱軸為：x＝﹣1，∵EN∥y軸，∴△BEN∽△BCO，∴BNBO∴23∴EN＝2，①若△PQE∽△OBC，如圖所示，過點P作PH⊥ED垂足為H，∴∠PEH＝45°，∴∠PHE＝90°，∴∠HPE＝∠PEH＝45°，∴PH＝HE，∴設點P坐標（x，﹣x﹣1+2），∴代入關系式得，﹣x﹣1+2＝﹣x2﹣2x+3，整理得，x2+x﹣2＝0，解得，x1＝﹣2，x2＝1（舍），∴點P坐標為（﹣2，3），②若△PEQ∽△OCB，如圖所示，設P（x，2），代入關系式得，2＝﹣x2﹣2x+3，整理得，x2+2x﹣1＝0，解得，x1∴點P的坐標為（﹣1?2綜上所述點P的坐標為（﹣1?2【試題解析】（1）利用待定系數法即可求得關系式（2）首先可得△OBC是等腰直角三角形，然后求出對稱軸和EN，分情況討論：①先得出PH＝HE，根據關系設出點P坐標，然后代入二次函數關系式即可求出點P坐標，②如圖所示，可知點P的縱坐標為2，設出點P坐標代入關系式即可求出結果．【命題意圖】二次函數圖象及其性質；二次函數的應用；三角形；符號意識；幾何直觀；運算能力；應用意識．【命題方向】二次函數綜合題，一般為壓軸題．【得分要點】探究兩個三角形相似時，一般情況下首先尋找一組對應角相等，然后根據對應邊成比例分兩種情況列方程．掌握一些相似的基本模型有助于快速解決問題，相似三角形的基本模型有：1．“A”字形已知：在△ABC中．點D在AB上，點E在AC上．DE∥BC．結論：△ABC∽△ADE．2．反“A”字形（1）已知：在△ABC中，點D在AB上，點E在AC上，∠AED＝∠ABC．結論：△ABC∽△AED．（2）已知：在△ABC中，點D在AB上，∠ACD＝∠ABC．結論：△ABC∽△ACD．3．“8”字形已知：在△ABC中，點D在CA的延長線上，點E在BA的延長線上，DE∥BC．結論：△ABC∽△AED．4．反“8”字形已知：在△ABC中，點D在CA的延長線上，點E在BA的延長線上，∠ADE＝∠ABC．結論：△ABC∽△ADE．5．雙垂直已知：△ABC中，∠BAC＝，AD為斜邊BC上的高．結論：△ABC∽△DBA，△ABC∽△DAC，△ABD∽△CAD．6．一線三等角（1）已知Rt△ABC和Rt△CED，B，C，E三點共線，．結論：△ABC∽△CED．（2）已知△ABC和△CDE，B，C，E三點共線，．結論：△ABC∽△CED．（3）已知△ABC和△CED，B，C，E三點共線，．結論：△ABC∽△CED．1．（2021?湖北荊州模擬）如圖，拋物線y＝ax2+bx+c交x軸于點A，B，其中點A（﹣1，0），交y軸于點C（0，2），對稱軸交x軸于點M（32（1）求拋物線的解析式；（2）作點C關于點M的對稱點D，順次連接A，C，B，D，判斷四邊形ACBD的形狀，并說明理由；（3）在該拋物線的對稱軸上是否存在點P，使△BMP與△BAD相似？若存在，求出所有滿足條件的P點的坐標；若不存在，請說明理由．2.（2021?湖南張家界模擬）如圖，拋物線y＝ax2+bx+3與x軸交于A，B兩點（點A在點B的右邊），與y軸交于點C，已知A（1，0），拋物線的對稱軸為直線x＝﹣1，頂點為P．（1）求點B的坐標及拋物線的表達式；（2）對稱軸與線段BC的交點為Q，將線段PQ繞點Q，按順時針方向旋轉120°，請判斷旋轉后點P的對應點P′是否還在拋物線上，并說明理由；（3）在x軸上是否存在點M，使△MOC與△BCP相似？若不存在，請說明理由；若存在請直接寫出點M的坐標（不必書寫求解過程）．3.（2021?山東濟寧二模）如圖1，已知二次函數y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象與x軸交于A（﹣1，0），B（3，0）兩點，與y軸交于點C（0，﹣2），頂點為D，對稱軸交x軸于點E．（1）求該二次函數的解析式；（2）設M為該拋物線上直線BC下方一點，是否存在點M，使四邊形CMBE面積最大？若存在，請求出點M的坐標；若不存在，請說明理由；（3）連接CE（如圖2），設點P是位于對稱軸右側該拋物線上一點，過點P作PQ⊥x軸，垂足為Q．連接PE，請求出當△PQE與△COE相似時點P的坐標．3．（2021?陜西省寶雞模擬）如圖，已知拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸交于點A（﹣1，0）和B，與y軸交于點C（0，3）．（1）求此拋物線的解析式及點B的