人教版九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)期末復(fù)習(xí)訓(xùn)練

第二十一章一元二次方程章末整合集訓(xùn)人教版九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)期末復(fù)習(xí)訓(xùn)練

一元二次方程及方程的根1.已知(

m

－2)

x︱

m︱－3

x

＋25＝0是關(guān)于

x

的一元二次方程，則

m

的值

為(

B

)A.±2B.－2C.2D.1B12345678910111213141516172.將下列一元二次方程化成一般形式后，其中二次項(xiàng)系數(shù)是2，一次項(xiàng)

系數(shù)是3，常數(shù)項(xiàng)是1的方程是(

A

)A.2

x2＋1＝－3

x

B.2

x2－1＝－3

x

C.2

x2－3

x

＝1D.2

x2＋3

x

＝1A12345678910111213141516173.若

x

＝1是一元二次方程

x2－2

x

＋

m

＝0的一個(gè)根，則

m

的值是

(

B

)A.0B.1C.－1D.－24.用公式法解一元二次方程3

x2－4

x

＝8時(shí)，化方程為一般形式，其中

的

a

，

b

，

c

依次為(

D

)A.3，－4，8B.3，4，8C.3，4，－8D.3，－4，－8BD1234567891011121314151617

解一元二次方程5.若(

m2＋

n2－3)2＝16，則

m2＋

n2的值為(

C

)A.6B.－1或7C.7D.0【解析】(

m2＋

n2－3)2＝16，整理，得

m2＋

n2＋3＝±4，即

m2＋

n2＝7

或

m2＋

n2＝－1.∵

m2＋

n2＞0，∴

m2＋

n2＝7.C12345678910111213141516176.小明在解方程

x2－4

x

＝2時(shí)出現(xiàn)了錯(cuò)誤，解答過(guò)程如下：∵

a

＝1，

b

＝－4，

c

＝－2，(第一步)∴

b2－4

ac

＝(－4)2－4×1×(－2)＝24＞0.(第二步)

小明解答過(guò)程開始出錯(cuò)的步驟是(

C

)CA.第一步B.第二步C.第三步D.第四步12345678910111213141516177.已知關(guān)于

x

的方程2(

x

＋

a

)2＋

b

＝0的解是

x1＝－2，

x2＝1，則關(guān)于

x

的方程2(

x

－4＋

a

)2＋

b

＝0的解為

?.【解析】∵關(guān)于

x

的方程2(

x

＋

a

)2＋

b

＝0的解是

x1＝－2，

x2＝1，∴關(guān)于

x

的方程2(

x

－4＋

a

)2＋

b

＝0的解是

x1－4＝－2，

x2－4＝1.∴

x1＝2，

x2＝5.x1＝2，

x2＝5

1234567891011121314151617

一元二次方程根的判別式8.一元二次方程

x2－3

x

＋1＝0根的情況為(

B

)A.有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根B.有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根C.只有一個(gè)實(shí)數(shù)根D.沒有實(shí)數(shù)根B1234567891011121314151617

BA.有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根B.有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根C.沒有實(shí)數(shù)根D.只有一個(gè)實(shí)數(shù)根1234567891011121314151617【解析】由題意，得該方程為

x2－4

x

＝－4，整理，得

x2－4

x

＋4＝0，

Δ＝

b2－4

ac

＝(－4)2－4×1×4＝0，∴該方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根.123456789101112131415161710.已知關(guān)于

x

的一元二次方程(

k

－1)

x2－4

x

－1＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)

數(shù)根，則

k

的取值范圍是(

C

)A.

k

≥－4B.

k

＞－3C.

k

＞－3且

k

≠1D.

k

≥－3且

k

≠1C1234567891011121314151617

一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系

123456789101112131415161712.若

a

，

b

是一元二次方程2

x2＋3

x

－4＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則2

a2＋5

a

＋2

b

的值是

?.

1

1234567891011121314151617

一元二次方程的應(yīng)用13.如圖，有一面積為600m2的長(zhǎng)方形雞場(chǎng)，雞場(chǎng)的一邊靠墻(墻長(zhǎng)35m)，另三邊用竹籬笆圍成，其中一邊開有1m的門，竹籬笆的總長(zhǎng)為69m.設(shè)雞場(chǎng)垂直于墻的一邊為

xm，則下列方程正確的是(

A

)A.

x

(69＋1－2

x

)＝600B.

x

(69－1－2

x

)＝600C.

x

(69－2

x

)＝600D.

x

(35＋1－2

x

)＝600A1234567891011121314151617【解析】∵竹籬笆的總長(zhǎng)為69m，雞場(chǎng)垂直于墻的一邊為

xm，∴雞場(chǎng)平行于墻的一邊為(69＋1－2

x

)m.根據(jù)題意得

x

(69＋1－2

x

)＝600.123456789101112131415161714.某種品牌的手機(jī)經(jīng)過(guò)四，五月份連續(xù)兩次降價(jià)，每部售價(jià)由3200元

降到了2500元，設(shè)平均每月降低的百分率為

x

，根據(jù)題意列出的方程

是

?.3200(1－

x

)2＝2500

1234567891011121314151617解：設(shè)平均每人每輪轉(zhuǎn)發(fā)給

x

個(gè)人，根據(jù)題意可得1＋

x

＋

x

·

x

＝157，解得

x1＝12，

x2＝－13(不符合題意，舍去)答：平均每人每輪轉(zhuǎn)發(fā)給12個(gè)人.15.隨著通信事業(yè)的日益發(fā)達(dá)，信息傳播越來(lái)越快捷，如果有一個(gè)人收

到一條信息后，轉(zhuǎn)發(fā)了此信息，收到轉(zhuǎn)發(fā)的信息的人會(huì)將其再轉(zhuǎn)發(fā)給其

他沒有此信息的人，經(jīng)過(guò)兩輪轉(zhuǎn)發(fā)后，共有157人收到此信息，請(qǐng)問平

均每人每輪轉(zhuǎn)發(fā)給幾個(gè)人？123456789101112131415161716.如圖，在矩形

ABCD

中，

AB

＝12cm，

BC

＝6cm，點(diǎn)

P

沿著邊

AB

從點(diǎn)

A

開始以2cm/s的速度向點(diǎn)

B

移動(dòng)，點(diǎn)

Q

沿著邊

DA

從點(diǎn)

D

開始以1

cm/s的速度向點(diǎn)

A

移動(dòng)，如果

P

，

Q

同時(shí)出發(fā)，用

t

表示移動(dòng)的時(shí)間(0≤

t

≤6)，那么：(1)求四邊形

QAPC

的面積；1234567891011121314151617

1234567891011121314151617(2)當(dāng)

t

為何值時(shí)，△

PCQ

的面積是31cm2.

123456789101112131415161717.某批發(fā)商以每件50元的價(jià)格購(gòu)進(jìn)800件T恤，第一個(gè)月以單價(jià)80元銷

售，售出了200件，第二個(gè)月如果單價(jià)不變，預(yù)計(jì)仍可售出200件.批發(fā)

商為增加銷售量，決定降價(jià)銷售，根據(jù)調(diào)查，單價(jià)每降低1元，可多售

出10件，但最低單價(jià)應(yīng)高于購(gòu)進(jìn)的價(jià)格.第二個(gè)月結(jié)束后，批發(fā)商將對(duì)

剩余的T恤一次性銷售，清倉(cāng)時(shí)單價(jià)為40元，設(shè)第二個(gè)月單價(jià)降低

x

元.(1)填表.時(shí)間第一個(gè)月第二個(gè)月清倉(cāng)時(shí)單價(jià)(元/件)8080－

x

40銷售量(件)200200＋10

x

800－200－(200＋10

x

)80－

x

200＋10

x

800－200－(200＋10

x

)1234567891011121314151617(2)如果批發(fā)商希望通過(guò)銷售這批T恤獲利9000元，那么第二個(gè)月的銷售

單價(jià)應(yīng)是多少錢？解：根據(jù)題意，可得80×200＋(80－

x

)(200＋10

x

)＋40[800－200－(200

＋10

x

)]－50×800＝9000.解得

x1＝

x2＝10.當(dāng)

x

＝10時(shí)，80－

x

＝70＞50，∴第二個(gè)月的銷售單價(jià)

應(yīng)是70元.1234567891011121314151617第二十二章二次函數(shù)章末整合集訓(xùn)考點(diǎn)1

二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)1.二次函數(shù)

y

＝2

x2－

bx

－1的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(3，

y0)和(9，

y0)，則

b

的值為

(

D

)A.－24B.－12C.12D.24

D1234567891011121314

2.一次函數(shù)

y

＝

ax

＋

b

和

y

＝

cx

在同一個(gè)平面直角坐標(biāo)系中的圖象如圖

所示，則二次函數(shù)

y

＝

ax2＋

bx

＋

c

的圖象可能是(

A

)A1234567891011121314

12345678910111213143.(2023·石家莊外國(guó)語(yǔ)教育集團(tuán)期末)二次函數(shù)

y

＝

ax2＋

bx

＋

c

(

a

，

b

，

c

為常數(shù)，且

a

≠0)中的

x

與

y

的部分對(duì)應(yīng)值如下表.下列結(jié)論錯(cuò)誤的是

(

C

)

x

…－10123…

y

…0343

…CA.

a

＜0B.2

a

＋

b

＝0C.當(dāng)

x

＞1時(shí)，

y

的值隨

x

的增大而增大D.表中

蓋住的數(shù)是01234567891011121314

12345678910111213144.如圖，已知拋物線

l1：

y

＝(

x

－2)2－4與

x

軸分別交于

O

，

A

兩點(diǎn)，將

拋物線

l1向上平移得到

l2，過(guò)點(diǎn)

A

作

AB

⊥

x

軸交拋物線

l2于點(diǎn)

B

，如果

由拋物線

l1，

l2，直線

AB

及

y

軸所圍成的陰影部分的面積為12，則拋物

線

l2的函數(shù)解析式為(

A

)A.

y

＝(

x

－2)2－1B.

y

＝(

x

－2)2＋1C.

y

＝(

x

－2)2－2D.

y

＝(

x

－2)2＋2第4題圖A1234567891011121314【解析】∵拋物線

l1：

y

＝(

x

－2)2－4與

x

軸分別交于

O

，

A

兩點(diǎn)，∴當(dāng)

y

＝0時(shí)，得

x1＝0，

x2＝4.∴點(diǎn)

A

(4，0).∴

OA

＝4.∵由拋物線

l1，

l2，直

線

AB

及

y

軸所圍成的陰影部分的面積為12，連接

BC

，∴矩形

OABC

的

面積為12.設(shè)

OC

＝

a

，∴4

a

＝12.解得

a

＝3.∴拋物線

l2的函數(shù)表達(dá)式為

y

＝(

x

－2)2－4＋3＝(

x

－2)2－1.12345678910111213145.(2023·唐山豐潤(rùn)區(qū)期末)將拋物線

y

＝3

x2－6

x

＋4先向右平移3個(gè)單位

長(zhǎng)度，再向上平移2個(gè)單位長(zhǎng)度后得到新的拋物線，則新拋物線的頂點(diǎn)

坐標(biāo)是

?.【解析】∵

y

＝3

x2－6

x

＋4＝3(

x

－1)2＋1，∴拋物線

y

＝3

x2－6

x

＋4的

頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1，1).∴把點(diǎn)(1，1)先向右平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移2

個(gè)單位長(zhǎng)度得到點(diǎn)的坐標(biāo)為(4，3)，即新拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(4，3).(4，3)

12345678910111213146.如圖，矩形

OABC

中，

A

(－3，0)，

C

(0，2)，拋物線

y

＝－2(

x

－

m

)2－

m

＋1的頂點(diǎn)

M

在矩形

OABC

內(nèi)部或其邊上，則

m

的取值范圍是

?.第6題圖－1≤

m

≤0

解得－1≤

m

≤0.12345678910111213147.(2023·石家莊新樂市期末)如圖是數(shù)值轉(zhuǎn)換機(jī)的示意圖，小明按照其對(duì)

應(yīng)關(guān)系畫出了

y

與

x

的函數(shù)圖象(如圖)：(1)分別寫出當(dāng)0≤

x

≤4與

x

＞4時(shí)，

y

與

x

之間的函數(shù)關(guān)系式；

1234567891011121314(2)求出所輸出的

y

的值中最小一個(gè)數(shù)值；

當(dāng)

x

＞4時(shí)，

y

＝(

x

－6)2＋2，

y

在頂點(diǎn)處取最小值，即當(dāng)

x

＝6時(shí)，

y

＝(

x

－6)2＋2有最小值，為

y

＝2.∴所輸出的

y

的值中最小一個(gè)數(shù)值為2.1234567891011121314(3)寫出當(dāng)

x

滿足什么范圍時(shí)，輸出的

y

的值滿足3≤

y

≤6.

1234567891011121314考點(diǎn)2

確定二次函數(shù)解析式8.已知頂點(diǎn)為(2，4)的拋物線過(guò)點(diǎn)(4，0)，此拋物線的解析式是(

A

)A.

y

＝－(

x

－2)2＋4B.

y

＝(

x

－2)2－4C.

y

＝(

x

－2)2＋4D.

y

＝－(

x

－2)2－4【解析】二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)是(2，4)，則設(shè)這個(gè)二次函數(shù)的解析

式為

y

＝

a

(

x

－2)2＋4(

a

≠0)，把(4，0)代入，得4

a

＋4＝0，解得

a

＝－1.故這個(gè)二次函數(shù)的解析式為

y

＝－(

x

－2)2＋4.A12345678910111213149.已知二次函數(shù)

y

＝

ax2－2

ax

＋

c

(其中

x

是自變量)，當(dāng)2≤

x

≤3時(shí)，

5≤

y

≤8，則

a

的值為(

C

)A.1B.2C.±1D.±2C1234567891011121314

123456789101112131410.(2023·唐山豐南區(qū)期中)已知拋物線

y

＝

x2＋

bx

＋

c

的圖象如圖所

示，它與

x

軸的一個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)為

A

(－1，0)，與

y

軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為

C

(0，－3).(1)求拋物線的解析式及與

x

軸的另一個(gè)交點(diǎn)

B

的坐標(biāo)；

1234567891011121314(2)根據(jù)圖象回答：當(dāng)

x

取何值時(shí)，

y

＜0？解：(2)觀察圖象，得當(dāng)－1＜

x

＜3時(shí)，

y

＜0.1234567891011121314考點(diǎn)3

二次函數(shù)與方程、不等式的關(guān)系11.若二次函數(shù)

y

＝

kx2－4

x

－2與

x

軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則

k

的取值范

圍是(

B

)A.

k

＞－2B.

k

＞－2且

k

≠0C.

k

＜2D.

k

≥－2且

k

≠0

B1234567891011121314

CA.甲的結(jié)果正確B.乙的結(jié)果正確C.甲、乙的結(jié)果合在一起才正確D.甲、乙的結(jié)果合在一起也不正確1234567891011121314

1234567891011121314

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)B1234567891011121314

1234567891011121314

(－4，3)

1234567891011121314

【解析】如圖，作

AD

⊥

x

軸于點(diǎn)

D

，∵坡度為3∶4，∴設(shè)

AD

＝3

a

，則

OD

＝4

a

.∵

OA

＝5m，∴(3

a

)2＋(4

a

)2＝52，解得

a

＝1.∴

AD

＝3，

OD

＝4.∴點(diǎn)

A

的坐標(biāo)是(－4，3).1234567891011121314

(2)①求

b

，

c

所滿足的數(shù)量關(guān)系；②當(dāng)小球恰好落到原點(diǎn)時(shí)，求拋物線的函數(shù)解析式；1234567891011121314(3)在點(diǎn)

O

右側(cè)5m處有一堵高為2m的墻

BC

，若要小球能碰觸到墻面，

求

b

的取值范圍.

1234567891011121314第二十三章旋轉(zhuǎn)章末整合集訓(xùn)

旋轉(zhuǎn)的概念及性質(zhì)1.如圖，△

ABC

繞點(diǎn)

A

旋轉(zhuǎn)至△

ADE

，則旋轉(zhuǎn)角是(

A

)A.∠

BAD

B.∠

BAC

C.∠

BAE

D.∠

CAD

第1題圖A123456789101112132.將△

ABC

繞點(diǎn)

O

旋轉(zhuǎn)180°后恰好與△A'B'C'重合，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是

(

A

)A.∠

ACB

＝∠

C

'

A

'

B

'B.點(diǎn)

B

與點(diǎn)

B

'是對(duì)稱點(diǎn)C.

AO

＝

A

'

O

D.

AB

∥

A

'

B

'第2題圖A123456789101112133.(2023·滄州東光縣期中)如圖，三角形乙是三角形甲經(jīng)過(guò)旋轉(zhuǎn)變換得到

的，則說(shuō)法正確的是(

B

)A.繞點(diǎn)

P

逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°B.繞點(diǎn)

N

逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°C.繞點(diǎn)

Q

順時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°D.繞點(diǎn)

M

順時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°B12345678910111213

中心對(duì)稱與中心對(duì)稱圖形4.如圖，四幅作品分別代表“立春”“立夏”“芒種”“大雪”，其中

既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形的是(

D

)D123456789101112135.(2023·衡水二模)三個(gè)全等的等邊三角形按圖1所示位置擺放，現(xiàn)添加

一個(gè)大小相同的等邊三角形，使四個(gè)等邊三角形組成一個(gè)中心對(duì)稱圖形

(如圖2)，則添加的等邊三角形所放置的位置是(

D

)A.①B.②C.③D.④D123456789101112136.(2023·邢臺(tái)三中一模)如圖，將△

ABC

繞點(diǎn)

C

順時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°得到△

DEC

，連接

AE

，

BD

，添加下列條件后不一定使四邊形

ABDE

既是中

心對(duì)稱圖形又是軸對(duì)稱圖形的是(

A

)A.

AB

＝

BC

B.

AC

＝

BC

D.

AC

⊥

BC

A12345678910111213【解析】由題意，得△

ABC

≌△

DEC

，

A

，

C

，

D

三點(diǎn)共線，

B

，

C

，

E

三點(diǎn)共線.∴

AC

＝

DC

，

BC

＝

EC

.

∴四邊形

ABDE

是平行四邊形.根據(jù)中心對(duì)稱圖形的定義，平行四邊形

ABDE

一定是中心對(duì)稱圖形.添加

AB

＝

BC

，四邊形

ABDE

不一定是軸對(duì)稱圖形，那么A選項(xiàng)符

合題意；12345678910111213

12345678910111213

旋轉(zhuǎn)與坐標(biāo)7.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△

ABC

與△

DEF

關(guān)于某點(diǎn)成中心對(duì)

稱，則該點(diǎn)的坐標(biāo)為

?.(－1，0)

【解析】將變換前后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)進(jìn)行連線，交點(diǎn)

M

(－1，0)即為旋轉(zhuǎn)中

心，故答案為(－1，0).12345678910111213

12345678910111213【解析】如圖，過(guò)點(diǎn)

A

作

AH

⊥

OB

于點(diǎn)

H

，設(shè)

OH

＝

m

，則

BH

＝6－m

，∵

AH2＝

OA2－

OH2＝

AB2－

BH2，

∴

m

＝2.

123456789101112139.如圖，一段拋物線：

y

＝

x

(

x

－2)(0≤

x

≤2)，記為

C1，它與

x

軸交于

點(diǎn)

O

，

A1；將

C1繞點(diǎn)

A1旋轉(zhuǎn)180°得到

C2，交

x

軸于點(diǎn)

A2；將

C2繞點(diǎn)

A2

旋轉(zhuǎn)180°得到

C3，交

x

軸于點(diǎn)

A3；……，如此進(jìn)行下去，直至得

C10.(1)請(qǐng)寫出拋物線

C2的解析式：

.(寫出一

般式)y

＝－

x2＋6

x

－8(2≤

x

≤4)

12345678910111213【解析】(1)拋物線

C1：

y

＝

x

(

x

－2)(0≤

x

≤2)與

x

軸交于點(diǎn)

O

，

A

；∴

C1的圖象過(guò)

O

(0，0)，

A1(2，0)兩點(diǎn).∵將

C1繞點(diǎn)

A1旋轉(zhuǎn)180°得到

C2，∴拋物線

C2的解析式的二次項(xiàng)系數(shù)為－1，且

過(guò)點(diǎn)

A1(2，0)，

A2(4，0)，∴拋物線

C2的解析式為

y

＝－(

x

－2)(

x

－4)＝－

x2＋6

x

－8(2≤

x

≤4).∴拋物線

C10的解析式為

y

＝－(

x

－18)(

x

－20)(18≤

x

≤20).12345678910111213(2)若

P

(19，

a

)在第10段拋物線

C10上，則

a

＝

?.【解析】(2)∵將

C1繞點(diǎn)

A1旋轉(zhuǎn)180°得到

C2，

交

x

軸于點(diǎn)

A1(2，0)，

A2(4，0)，將

C2繞點(diǎn)

A2旋轉(zhuǎn)180°得到

C3，交

x

軸于

A2(4，0)，

A3(6，0)，…如此進(jìn)行下去，直至得到

C10，∴拋物線

C10的與

x

軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為

A9(18，0)，

A10(20，0)，且圖象在

x

軸上方.1

∴拋物線

C10的解析∴把(19，

a

)代入，得

a

＝－(19－18)×(19－20)＝1.1234567891011121310.如圖是邊長(zhǎng)為1的小正方形組成的8×8方格，線段

AB

的端點(diǎn)在格點(diǎn)

上.建立平面直角坐標(biāo)系，使點(diǎn)

A

，

B

的坐標(biāo)分別為(2，1)和(－1，3).(1)畫出該平面直角坐標(biāo)系

xOy

；解：(1)建立平面直角坐標(biāo)系如圖所示；12345678910111213(2)畫出線段

AB

關(guān)于原點(diǎn)

O

成中心對(duì)稱的線段

A1

B1；解：(2)如圖，線段

A1

B1即為所求；12345678910111213(3)畫出以點(diǎn)

A

，

B

，

O

為其中三個(gè)頂點(diǎn)的平行四邊形.(畫出一個(gè)即可)解：(3)如圖，四邊形

OADB

即為所求(答案不唯一).12345678910111213

旋轉(zhuǎn)的計(jì)算和證明11.如圖，在△

AOB

中，∠

AOB

＝80°，將△

AOB

繞點(diǎn)

O

順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一

定角度得到△

COD

，連接

BD

，若

BD

∥

OC

，則∠

AOD

的大小為

(

C

)A.20°B.40°C.60°D.80°第11題圖C12345678910111213【解析】∵將△

AOB

繞點(diǎn)

O

順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度得到△

COD

，∴∠

COD

＝∠

AOB

＝80°，

OB

＝

OD

，

OA

＝

OC

.

∵

BD

∥

OC

，∴∠

ODB

＝∠

COD

＝80°.∵

OB

＝

OD

，∴∠

OBD

＝∠

ODB

＝80°.∴∠

BOD

＝180°－∠

OBD

－∠

ODB

＝20°.∴∠

AOD

＝∠

AOB

－∠

BOD

＝60°.12345678910111213

第12題圖12345678910111213【解析】如圖，連接

OQ

，

OP

，∵將正方形

OABC

繞點(diǎn)

O

逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)

n

°(0＜

n

＜90)得到正方形

ODEF

，∴

OA

＝

OD

，∠

OAQ

＝∠

ODQ

＝90°.

∴Rt△

OAQ

≌Rt△

ODQ

(HL).∴

QA

＝

DQ

.

同理可證

CP

＝

DP

.

12345678910111213∵

BQ

∶

AQ

＝3∶1，

AB

＝8，∴

AQ

＝2，

BQ

＝6.設(shè)

CP

＝

x

，則

BP

＝8－

x

，

PQ

＝

x

＋2，在Rt△

BPQ

中，由勾股定理，得

1234567891011121313.如圖1，在Rt△

ABC

中，∠

ACB

＝90°，

AC

＝

BC

，

D

為

AB

邊上的

一點(diǎn)，將△

BCD

繞點(diǎn)

C

逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△

ACE

，連接

BE

.

(1)求∠

BCE

＋∠

ACD

的度數(shù)；解：(1)由旋轉(zhuǎn)可知，∠

ECD

＝90°，∵∠

ACB

＝90°，∴∠

BCE

＋∠

ACD

＝∠

ACB

＋∠

ECA

＋∠

ACD

＝∠

ACB

＋∠

ECD

＝180°.12345678910111213

12345678910111213

12345678910111213(3)如圖2，在(2)的條件下，取

AD

中點(diǎn)

F

，試探究線段

BE

，

CF

的數(shù)量

關(guān)系和位置關(guān)系，并說(shuō)明理由.解：(3)

BE

＝2

CF

，

BE

⊥

CF

.

理由：如圖2，延長(zhǎng)

CF

到點(diǎn)

G

，使

CF

＝

GF

，

CF

交

BE

于點(diǎn)

O

，∵

F

為

AD

的中點(diǎn)，∴

AF

＝

DF

.

∵∠

AFC

＝∠

DFG

，∴△

AFC

≌△

DFG

(SAS).∴

DG

＝

AC

＝

BC

，∠

ACF

＝∠

DGF

.

12345678910111213∴

AC

∥

DG

.

∴∠

ACD

＋∠

GDC

＝180°.由(1)知，∠

BCE

＋∠

ACD

＝180°，∴∠

BCE

＝∠

GDC

.

又由旋轉(zhuǎn)知，

EC

＝

CD

，∴△

ECB

≌△

CDG

(SAS).∴

BE

＝

GC

＝2

CF

，∠

CEB

＝∠

DCG

.

∴∠

BOC

＝∠

CEB

＋∠

ECO

＝∠

DCG

＋∠

ECO

＝∠

ECD

＝90°.∴

BE

⊥

CF

.

12345678910111213第二十四章圓章末整合集訓(xùn)

圓的有關(guān)性質(zhì)1.如圖所示，點(diǎn)

O

為△

ABC

的外心，若∠

BAC

＝70°，則∠

OBC

＝

?.第1題圖20°

12345678910111213141516【解析】如圖，連接

OC

.

∵∠

BAC

＝70°，∴∠

BOC

＝140°.∵

OB

＝

OC

，∴∠

OBC

＝(180°－∠

BOC

)÷2＝20°.

第2題圖

12345678910111213141516【解析】如圖，連接

OA

，設(shè)半徑為

x

，

∵

OC

⊥

AB

，

123456789101112131415163.如圖，

P

是☉

O

內(nèi)一定點(diǎn).(1)過(guò)點(diǎn)

P

作弦

AB

，使

P

是

AB

的中點(diǎn)(不寫作法，保留作圖痕跡)；(1)解：如圖1.12345678910111213141516(2)若☉

O

的半徑為10，

OP

＝6，①求過(guò)點(diǎn)

P

的弦的長(zhǎng)度

m

范圍；(2)①解：過(guò)點(diǎn)

P

的所有弦中，最長(zhǎng)為直徑即20，與

OP

垂直的弦最短.連接

OA

，如圖2所示.∵

OP

⊥

AB

，

∴過(guò)點(diǎn)

P

的弦的長(zhǎng)度

m

范圍為16≤

m

≤20.12345678910111213141516②過(guò)點(diǎn)

P

的弦中，長(zhǎng)度為整數(shù)的弦有

條.【解析】∵過(guò)

P

點(diǎn)的弦中，最長(zhǎng)為直徑20，最短的為16，∴長(zhǎng)度為17，18，19的弦各有兩條，∴過(guò)點(diǎn)

P

的弦中，長(zhǎng)度為整數(shù)的弦共有8條.8

123456789101112131415164.(2023·石家莊?？计谀?如圖，

AB

是☉

O

的直徑，

CD

是☉

O

的弦，且

AB

⊥

CD

，垂足為

E

.

(1)求證：∠

CDB

＝∠

A

；

12345678910111213141516(2)若∠

DBC

＝120°，☉

O

的直徑

AB

＝8，求

BC

，

CD

的長(zhǎng).

12345678910111213141516

12345678910111213141516

點(diǎn)和圓、直線和圓的位置關(guān)系5.已知半徑為10的☉

O

和直線

l

上一點(diǎn)

A

，且

OA

＝10，則直線

l

與☉

O

的位置關(guān)系是(

D

)A.相切B.相交C.相交或相離D.相切或相交【解析】若

OA

⊥

l

，則圓心

O

到直線

l

的距離就是

OA

的長(zhǎng)，又∵

OA

＝

10＝

r

，∴直線

l

與☉

O

相切；若

OA

與直線

l

不垂直，根據(jù)垂線段最短，圓心

O

到直線

l

的距離小于

10，即小于半徑，所以直線

l

與☉

O

相交.D123456789101112131415166.如圖，△

ABC

的內(nèi)切圓☉

O

分別與

AB

，

BC

，

AC

相切于點(diǎn)

D

，

E

，

F

，且

AD

＝2，

BC

＝5，則△

ABC

的周長(zhǎng)為(

B

)A.16B.14C.12D.10第6題圖B【解析】∵△

ABC

的內(nèi)切圓☉

O

分別與

AB

，

BC

，

AC

相切于點(diǎn)

D

，

E

，

F

，且

AD

＝2，∴

AF

＝

AD

＝2，

BD

＝

BE

，

CE

＝

CF

.

∵

BE

＋

CE

＝

BC

＝5，∴

BD

＋

CF

＝

BE

＋

CE

＝

BC

＝5.∴△

ABC

的周長(zhǎng)＝2＋2＋5＋5＝14.123456789101112131415167.如圖，

PA

，

PB

是☉

O

的切線，

A

，

B

為切點(diǎn)，若∠

AOB

＝128°，則

∠

P

的度數(shù)為(

B

)A.32°B.52°C.64°D.72°第7題圖【解析】∵

PA

，

PB

是☉

O

的切線，∴

OA

⊥

PA

，

OB

⊥

PB

.

∴∠

PAO

＝∠

PBO

＝90°.∵∠

AOB

＝128°，∴∠

P

＝360°－90°－90°－128°＝52°.B123456789101112131415168.如圖，

AB

為☉

O

的直徑，直線

CD

與☉

O

相切于點(diǎn)

C

，連接

AC

，若

∠

ACD

＝50°，則∠

BAC

的度數(shù)為(

B

)A.30°B.40°C.50°D.60°B【解析】如圖，連接

OC

，∵直線

CD

與☉

O

相切，∴

OC

⊥

CD

.

∴∠

OCD

＝90°.∵∠

ACD

＝50°，∴∠

OCA

＝40°.∵

OA

＝

OC

，∴∠

BAC

＝∠

OCA

＝40°.123456789101112131415169.如圖，

AB

為☉

O

的直徑，過(guò)圓上一點(diǎn)

D

作☉

O

的切線

CD

交

BA

的延

長(zhǎng)線于點(diǎn)

C

，連接

AD

，過(guò)點(diǎn)

O

作

OE

∥

AD

交

CD

于點(diǎn)

E

，連接

BE

.

(1)直線

BE

與☉

O

相切嗎？并說(shuō)明理由；解：(1)直線

BE

與☉

O

相切.理由：如圖，連接

OD

.

∵

CD

為☉

O

的切線，∴∠

ODC

＝∠

ODE

＝90°.12345678910111213141516

12345678910111213141516(2)若

CA

＝2，

CD

＝4，求

DE

的長(zhǎng).解：(2)由(1)知，△

ODE

≌

OBE

，∴

DE

＝

BE

.

設(shè)☉

O

的半徑為

r

，則

r2＋42＝(2＋

r

)2，得

r

＝3.在Rt△

CBE

中，

BC2＋

BE2＝

CE2，即(2＋3＋3)2＋

DE2＝(4＋

DE

)2，解得

DE

＝6.12345678910111213141516

正多邊形和圓10.已知☉

O

的周長(zhǎng)為6π，則圓內(nèi)接正六邊形的邊長(zhǎng)為

?.【解析】如圖，連接

OB

，

OC

，∵☉

O

的周長(zhǎng)等于6π，∴☉

O

的半徑為3.3

OB

＝

OC

，∴△

OBC

是等邊三角形.∴

BC

＝

OB

＝3.∴它的內(nèi)接正六邊形

ABCDEF

的邊長(zhǎng)為3.1234567891011121314151611.如圖，點(diǎn)

O

是正八邊形

A1

A2…

A8外接圓的圓心，連接

A4

A6.第11題圖(1)∠

A8＝

°；

135

(2)若☉

O

的半徑長(zhǎng)為4，則

A4

A6＝

?.【解析】(2)如圖，連接

OA6，

OA4，∵∠

A6

OA4＝360°÷8×2＝90°，

12345678910111213141516

第12題圖

12345678910111213141516【解析】如圖，連接

OB

，

OC

，過(guò)點(diǎn)

O

作

OP

⊥

BC

于點(diǎn)

P

.

∴△

OBC

是等邊三角形.∴

BC

＝

OB

＝

OC

＝1.

12345678910111213141516

弧長(zhǎng)和扇形面積13.如圖，有一個(gè)半徑為2的圓形時(shí)鐘，其中每個(gè)刻度間的弧長(zhǎng)均相等，

在過(guò)9點(diǎn)和11點(diǎn)的位置作一條線段，則鐘面中陰影部分的面積為(

B

)第13題圖B12345678910111213141516【解析】如圖，過(guò)點(diǎn)

O

作

OD

⊥

AB

于點(diǎn)

D

，

OA

＝

OB

，∴△

OAB

是等邊三角形.

12345678910111213141516

D.π第14題圖B12345678910111213141516

∵

OB

＝2，

1234567891011121314151615.在△

ABC

中，∠

C

＝90°，

AC

＝4，

BC

＝3，將△

ABC

繞

AB

所在直

線旋轉(zhuǎn)一周.所得幾何體的表面積為(

B

)A.15πC.20πD.35π【解析】∵∠

C

＝90°，

AC

＝4，

BC

＝3，

將△

ABC

繞

AB

所在直線旋轉(zhuǎn)一周，得到如圖所示的上下兩個(gè)底面相同

的圓錐的組合體，B12345678910111213141516設(shè)

BD

＝

x

，則

AD

＝5－

x

，

12345678910111213141516

12345678910111213141516(2)若將貼在內(nèi)壁的濾紙(忽略漏斗管口處)展開，則展開濾紙的圓心角

為

?.

180°

12345678910111213141516第二十五章概率初步章末整合集訓(xùn)

隨機(jī)事件與概率1.下列事件是不可能事件的是(

B

)A.任意寫一個(gè)偶數(shù)，一定是2的倍數(shù)B.一滴香油滴在自來(lái)水里，香油會(huì)沉入水底C.打開電視，正在播放天氣預(yù)報(bào)D.擲一枚質(zhì)地均勻的普通骰子，點(diǎn)數(shù)為2的面朝上B12345678910112.某商場(chǎng)為吸引顧客設(shè)計(jì)了如圖所示的自由轉(zhuǎn)盤，當(dāng)指針指向陰影部

分時(shí)，該顧客可獲得獎(jiǎng)品一份，那么該顧客獲獎(jiǎng)的概率為(

C

)C12345678910113.如圖，△

ABC

的面積為10cm2，

BP

平分∠

ABC

，

AP

⊥

BP

，垂足為

P

，連接

CP

，若三角形內(nèi)有一點(diǎn)

M

，則點(diǎn)

M

落在△

BPC

內(nèi)(包括邊界)

的概率為(

A

)A【解析】如圖，延長(zhǎng)

AP

交

BC

于點(diǎn)

E

，∵

BP

平分∠

ABC

，∴∠

ABP

＝∠

EBP

.

∵

AP

⊥

BP

，∴∠

APB

＝∠

EPB

＝90°.1234567891011

∴△

ABP

≌△

EBP

(ASA).∴

AP

＝

PE

.

∴

S△

ABP

＝

S△

EBP

，

S△

ACP

＝

S△

ECP

.

∴點(diǎn)

M

落在△

BPC

內(nèi)(包括邊界)的概率為

1234567891011

A.3B.4C.5D.6

解得

x

＝4，經(jīng)檢驗(yàn)知，

x

＝4是方程的解.B1234567891011

用列舉法求概率5.(2022·石家莊橋西區(qū)期末)一個(gè)不透明布袋里共有4個(gè)球(只有編號(hào)不

同)，編號(hào)為1，2，3，5.從中任意摸出一個(gè)球，記下編號(hào)后不放回，再

任意摸出一個(gè)球，則兩次摸出的球的編號(hào)之和為偶數(shù)的概率是(

B

)B1234567891011【解析】畫樹狀圖如下：共有12種等可能的結(jié)果，其中兩次摸出的球的編號(hào)之和為偶數(shù)的結(jié)果有

6種，

12345678910116.中國(guó)目前是世界上高鐵運(yùn)營(yíng)里程最長(zhǎng)，規(guī)模最大，速度最快的國(guó)家，

中國(guó)高鐵也成為中國(guó)人引以為傲的國(guó)家名片.某興趣小組通過(guò)網(wǎng)絡(luò)查

詢，收集到四張高鐵發(fā)展歷程的郵票(除內(nèi)容外，其余完全相同)，若由

小霞同學(xué)先隨機(jī)抽取一張卡片，然后將卡片放回，洗勻，再由小強(qiáng)抽

取，則兩位同學(xué)所抽到的郵票恰好是同一張的概率是(

B

)B1234567891011【解析】記四張郵票分別為

A

，

B

，

C

，

D

，列出表格如下：

A

B

C

D

A

(

A

，

A

)(

A

，

B

)(

A

，

C

)(

A

，

D

)

B

(

B

，

A

)(

B

，

B

)(

B

，

C

)(

B

，

D

)

C

(

C

，

A

)(

C

，

B

)(

C

，

C

)(

C

，

D

)

D

(

D

，

A

)(

D

，

B

)(

D

，

C

)(

D

，

D

)1234567891011