選擇性必修第二冊 第五章導(dǎo)數(shù)-01變化率及導(dǎo)數(shù)的概念（原卷版）

第01講變化率及導(dǎo)數(shù)的概念

學(xué)習(xí)目標

1.根據(jù)極限逼近的思想理解平均速度與瞬時速度、割線斜率與切線斜率的關(guān)系；

2.從物理和幾何中抽象出平均變化率與瞬時變化率，進而理解導(dǎo)數(shù)的概念及幾何

意義。

知識構(gòu)建

理解三個關(guān)系一一(極限逼近)

1.平均速度與瞬時速度(平均速度的極限是瞬時速度)

△tA/f0△t

2.割線斜率與切線斜率(割線的斜率是切線)

^/(xo+Ax)-/(xo)iim^iim/Up+Ax)-/(x0)

ArZkv->0Ax

3.平均變化率與瞬時變化率、導(dǎo)數(shù)的概念(平均變化率的極限是瞬時變化率即函

數(shù)在某點處的導(dǎo)數(shù))

△y=/(X。+心)一,(工0).f，(x)=Hm包=lim+?)-/(曲)

函數(shù)y=f(x)在x=x0處的導(dǎo)數(shù)(瞬時變化率)

(1)定義:如果當(dāng)Ax-O時，平均變化率?無限趨近于一個確定的值，即有極

△x

限,則稱y=f(x)在x=x。處可導(dǎo)，并把這個確定的值叫做y=f(x)在x=x。處的導(dǎo)數(shù)。

⑵記作八%0)或ylx=x0,即:(劭)=/C%-

(3)作用:刻畫函數(shù)在某點處函數(shù)值變化篇崖—

4.導(dǎo)數(shù)的幾何意義

曲線在某點處的切線的斜率

5.求曲線在點(xo,/(xo))處的切線方程的步驟：

(1)計算包=/(Xo+At)-/a)),

AxAr

(2)計算lim包,即曲線y=/(x)在點(xo,/(刈))處的切線斜率為A=lim包.

AsOAxA_0Ax

(3)寫出切線方程'-/*(/)=A(x.

6.導(dǎo)函數(shù)的概念f'(x)=V=lim"廿斗二”冷

-Ax

注：導(dǎo)數(shù)中蘊含的極限思想和以直代曲的思想方法的理解

問題引領(lǐng)

問題1:在一次高臺跳水運動中，某運動員在跳水過程中的重心相對于水面的高

度h（單位：m）與起跳后的時間t（單位：s）存在函數(shù)關(guān)系：

/1（。=-4.9產(chǎn)+4&+11.

求：平均速度和瞬時速度

問題2：求曲線上某點處切線斜率我們以拋物線/（x）=_?為例進行研究.

類型應(yīng)用

（1）求瞬時速度

（2）利用導(dǎo)數(shù)的概念求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

（3）求曲線上某點處切線的方程

（-）求平均速度與瞬時速度

1.已知自由落體運動中，物體下落的距離s（單位：m）與時間/（單位：s）滿

足的函數(shù)關(guān)系為s=gg產(chǎn)（g=9.8m/s2）,則處于100m高的物體在開始落下到1秒

這段時間中的平均速度是m/s.

2.2022年2月，第24屆冬季奧林匹克運動會在北京隆重舉行，中國代表團獲得了

9金4銀2銅的優(yōu)異成績，彰顯了我國體育強國的底蘊和綜合國力.設(shè)某高山滑

雪運動員在一次滑雪訓(xùn)練中滑行的路程/（單位：m）與時間/（單位：s）之間

的關(guān)系為中）=2/+/，則當(dāng)f=3s時，該運動員的滑雪瞬時速度為（m/s）.

3.已知物體做直線運動對應(yīng)的函數(shù)為S=S⑺，其中S表示路程,t表示時間.則S，（4）

=10表示的意義是（）

A.經(jīng)過4s后物體向前走了10m

B.物體在前4秒內(nèi)的平均速度為10m/s

C.物體在第4秒內(nèi)向前走了10m

D.物體在第4秒時的瞬時速度為10m/s

(二)求平均變化率與導(dǎo)數(shù)

4.函數(shù)y=Y在區(qū)間［2,3］上的平均變化率為()

A.2B.3C.5D.4

5.設(shè)/(x)=L求/'(1).

X

6.用定義求函數(shù)〃》)=:的導(dǎo)數(shù).

7.已知函數(shù)y=f(x)在》=/處的導(dǎo)數(shù)為2,則lim/伍+一)-公。)=()

AsOAx

A.0B.gC.1D.2

(三)求切線斜率與切線方程

8.求拋物線在點(2,2)處的切線方程.

9.求拋物線/(X)=3X2—4X—1在點(2,3)處的切線方程.

17

10.已知曲線y無2一2上一點21,一會，則過點P的切線的傾斜角為一

11.若拋物線./W=4x2在點(xo,小o))處切線的斜率為8,則初=

12.已知函數(shù)y"(x)的圖象在點⑴)處的切線方程是y=2x+l,則

/。)+/'(1)=.

13.y=〃x)的圖象如圖所示，下列數(shù)值的排序正確的是()

A