第91講、離散型隨機變量的分布列與數(shù)字特征（學生版）

[在此處鍵入]第91講離散型隨機變量的分布列與數(shù)字特征知識梳理知識點一．離散型隨機變量的分布列1、隨機變量在隨機試驗中，我們確定了一個對應關系，使得每一個試驗結果都用一個確定的數(shù)字表示．在這個對應關系下，數(shù)字隨著試驗結果的變化而變化．像這種隨著試驗結果變化而變化的變量稱為隨機變量．隨機變量常用字母，，，，…表示．注意：（1）一般地，如果一個試驗滿足下列條件：①試驗可以在相同的情形下重復進行；②試驗的所有可能結果是明確可知的，并且不止一個；③每次試驗總是恰好出現(xiàn)這些可能結果中的一個，但在一次試驗之前不能確定這次試驗會出現(xiàn)哪個結果．這種試驗就是隨機試驗．（2）有些隨機試驗的結果雖然不具有數(shù)量性質，但可以用數(shù)來表示．如擲一枚硬幣，表示反面向上，表示正面向上．（3）隨機變量的線性關系：若是隨機變量，，是常數(shù)，則也是隨機變量．2、離散型隨機變量對于所有取值可以一一列出來的隨機變量，稱為離散型隨機變量．注意：（1）本章研究的離散型隨機變量只取有限個值．（2）離散型隨機變量與連續(xù)型隨機變量的區(qū)別與聯(lián)系：①如果隨機變量的可能取值是某一區(qū)間內的一切值，這樣的變量就叫做連續(xù)型隨機變量；②離散型隨機變量與連續(xù)型隨機變量都是用變量表示隨機試驗的結果，但離散型隨機變量的結果可以按一定的次序一一列出，而連續(xù)型隨機變量的結果不能一一列出．3、離散型隨機變量的分布列的表示一般地，若離散型隨機變量可能取的不同值為，取每一個值的概率，以表格的形式表示如下：我們將上表稱為離散型隨機變量的概率分布列，簡稱為的分布列．有時為了簡單起見，也用等式，表示的分布列．4、離散型隨機變量的分布列的性質根據(jù)概率的性質，離散型隨機變量的分布列具有如下性質：（1），；（2）．注意：①性質（2）可以用來檢查所寫出的分布列是否有誤，也可以用來求分布列中的某些參數(shù)．②隨機變量所取的值分別對應的事件是兩兩互斥的，利用這一點可以求相關事件的概率．知識點二．離散型隨機變量的均值與方差1、均值若離散型隨機變量的分布列為稱為隨機變量的均值或數(shù)學期望，它反映了離散型隨機變量取值的平均水平．注意：（1）均值刻畫的是取值的“中心位置”，這是隨機變量的一個重要特征；（2）根據(jù)均值的定義，可知隨機變量的分布完全確定了它的均值．但反過來，兩個不同的分布可以有相同的均值．這表明分布描述了隨機現(xiàn)象的規(guī)律，從而也決定了隨機變量的均值．而均值只是刻畫了隨機變量取值的“中心位置”這一重要特征，并不能完全決定隨機變量的性質．2、均值的性質（1）（為常數(shù)）．（2）若，其中為常數(shù)，則也是隨機變量，且．（3）．（4）如果相互獨立，則．3、方差若離散型隨機變量的分布列為則稱為隨機變量的方差，并稱其算術平方根為隨機變量的標準差．注意：（1）描述了相對于均值的偏離程度，而是上述偏離程度的加權平均，刻畫了隨機變量與其均值的平均偏離程度．隨機變量的方差和標準差均反映了隨機變量取值偏離于均值的平均程度．方差或標準差越小，則隨機變量偏離于均值的平均程度越小；（2）標準差與隨機變量有相同的單位，而方差的單位是隨機變量單位的平方．4、方差的性質（1）若，其中為常數(shù)，則也是隨機變量，且．（2）方差公式的變形：．必考題型全歸納題型一：離散型隨機變量例1．（2024·高二課時練習）下列敘述中，是離散型隨機變量的為（）A．將一枚質地均勻的硬幣擲五次，出現(xiàn)正面和反面向上的次數(shù)之和B．某人早晨在車站等出租車的時間C．連續(xù)不斷地射擊，首次命中目標所需要的次數(shù)D．袋中有個黑球個紅球，任取個，取得一個紅球的可能性例2．（2024·全國·高三專題練習）袋中有大小相同質地均勻的5個白球、3個黑球，從中任取2個，則可以作為隨機變量的是（

）A．至少取到1個白球 B．取到白球的個數(shù)C．至多取到1個白球 D．取到的球的個數(shù)例3．（2024·全國·高三專題練習）下面是離散型隨機變量的是（

）A．電燈泡的使用壽命B．小明射擊1次，擊中目標的環(huán)數(shù)C．測量一批電阻兩端的電壓，在10V~20V之間的電壓值D．一個在軸上隨機運動的質點，它在軸上的位置變式1．（2024·全國·高三專題練習）甲、乙兩人下象棋，贏了得3分，平局得1分，輸了得0分，共下三局．用表示甲的得分，則表示（

）A．甲贏三局B．甲贏一局輸兩局C．甲、乙平局三次D．甲贏一局輸兩局或甲、乙平局三次變式2．（2024·全國·高三專題練習）對一批產(chǎn)品逐個進行檢測,第一次檢測到次品前已檢測的產(chǎn)品個數(shù)為ξ,則ξ=k表示的試驗結果為()A．第k-1次檢測到正品,而第k次檢測到次品B．第k次檢測到正品,而第k+1次檢測到次品C．前k-1次檢測到正品,而第k次檢測到次品D．前k次檢測到正品,而第k+1次檢測到次品變式3．（2024·浙江·高三專題練習）袋中有大小相同的紅球6個，白球5個，從袋中每次任意取出一個球，直到取出的球是白色為止，所需要的取球次數(shù)為隨機變量X，則X的可能取值為()A．1,2，…，6 B．1,2，…，7 C．1,2，…，11 D．1,2,3…題型二：求離散型隨機變量的分布列例4．（2024·全國·高三對口高考）數(shù)字1，2，3，4任意排成一列，如果數(shù)字k恰好出現(xiàn)在第k個位置上，則稱有一個“巧合”，求“巧合”個數(shù)的分布列．例5．（2024·全國·高三對口高考）假如一段樓梯有11個臺階，現(xiàn)規(guī)定每步只能跨1個或2個臺階，則某人走完這段樓梯的單階步數(shù)的分布列是．例6．（2024·全國·高三對口高考）一個均勻小正方體的六個面中，三個面上標以數(shù)0，兩個面上標以數(shù)1，一個面上標以數(shù)2，將這個小正方體拋擲2次，則向上的數(shù)之積的分布列是．變式4．（2024·全國·高三對口高考）甲、乙、丙三人按下面的規(guī)則進行乒乓球比賽：第一局由甲、乙參加而丙輪空，以后每一局由前一局的獲勝者與輪空者進行比賽，而前一局的失敗者輪空．比賽按這種規(guī)則一直進行到其中一人連勝兩局或打滿6局時停止．設在每局中參賽者勝負的概率均為，且各局勝負相互獨立．則比賽停止時已打局數(shù)的分布列是．變式5．（2024·全國·高考真題）從裝有3個紅球，2個白球的袋中隨機取出2個球，設其中有個紅球，則隨機變量的概率分布為：．012變式6．（2024·全國·高三專題練習）設隨機變量的分布為，則．變式7．（2024·全國·高三專題練習）將3個小球任意地放入4個大玻璃杯中，一個杯子中球的最多個數(shù)記為X，則X的分布列是.變式8．（2024·全國·高三專題練習）設ξ為隨機變量，從棱長為1的正方體的12條棱中任取兩條，當兩條棱相交時，ξ＝0；當兩條棱平行時，ξ的值為兩條棱之間的距離；當兩條棱異面時，ξ＝1，則隨機變量ξ的分布列為．【解題方法總結】求解離散型隨機變量分布列的步驟：（1）審題（2）計算計算隨機變量取每一個值的概率（3）列表列出分布列，并檢驗概率之和是否為.（4）求解根據(jù)均值、方差公式求解其值.題型三：離散型隨機變量的分布列的性質例7．（2024·江西吉安·高三江西省泰和中學?？茧A段練習）已知隨機變量X服從兩點分布，且，，那么.例8．（2024·全國·高三專題練習）設隨機變量的分布列如下：12345678910給出下列四個結論：①當為等差數(shù)列時，；②當為等差數(shù)列時，公差；③當數(shù)列滿足時，；④當數(shù)列滿足時，時，.其中所有正確結論的序號是.例9．（2024·全國·高三對口高考）某一隨機變量的概率分布如下表，且，則的值為．0123P0.2mn0.3變式9．（2024·河南·校聯(lián)考模擬預測）已知隨機變量X的所有可能取值為1，2，3，其分布列為123若，則.變式10．（2024·全國·高三專題練習）設隨機變量的概率分布列為01則常數(shù)．變式11．（2024·全國·高三專題練習）設隨機變量的分布列，則.變式12．（2024·上?！そy(tǒng)考模擬預測）隨機變量的分布列如下列表格所示，其中為的數(shù)學期望，則.123450.10.20.30.1變式13．（2024·廣東汕頭·高三統(tǒng)考開學考試）已知等差數(shù)列的公差為，隨機變量滿足，則的取值范圍為.變式14．（2024·全國·高三專題練習）已知離散型隨機變量X的分布列為X02aP0.20.4b若，則正整數(shù)a＝．【解題方法總結】離散型隨機變量的分布列性質的應用（1）利用“總概率之和為”可以求相關參數(shù)的取值范圍或值；（2）利用“隨機變量在某一范圍內的概率等于它取這個范圍內各個值的概率之和”求特定事件的概率；（3）可以根據(jù)性質及，判斷所求的分布列是否正確．題型四：離散型隨機變量的均值例10．（2024·貴州黔東南·高三?？茧A段練習）2022年10月16日至22日中共二十大在北京召開，二十大報告指出，必須堅持科技是第一生產(chǎn)力，人才是第一資源，創(chuàng)新是第一動力，這其實是我黨的一貫政策．某材料學博士畢業(yè)時恰逢國家大力倡導“開辟發(fā)展新領域新賽道，不斷塑造發(fā)展新動能新優(yōu)勢”，于是同一幫志同道合的博士同學，在老家創(chuàng)辦新材料公司，專注于二氧化硅、碳纖維增強陶瓷基、樹脂基三大類復合材料的研發(fā)與生產(chǎn)，預計到今年年底這三大類復合材料盈利100萬元的概率分別為0.8，0.5，0.4，若三大類復合材料到今年年底是否盈利100萬元相互獨立，記三大類復合材料有X類到今年年底盈利100萬元，則的數(shù)學期望．例11．（2024·上海寶山·高三上海交大附中校考階段練習）一個袋中裝有5個球，編號為1，2，3，4，5，從中任取3個，用X表示取出的3個球中最大編號，則．例12．（2024·全國·高三專題練習）現(xiàn)要發(fā)行10000張彩票，其中中獎金額為2元的彩票1000張，10元的彩票300張，50元的彩票100張，100元的彩票50張，1000元的彩票5張.1張彩票中獎金額的均值是元.變式15．（2024·上海普陀·曹楊二中校考模擬預測）一個盒子里有1個紅球和2個綠球，每次拿一個，不放回，拿出紅球即停，設拿出綠球的個數(shù)為，則.變式16．（2024·寧夏石嘴山·高三平羅中學?？茧A段練習）某同學在上學的路上要經(jīng)過3個十字路口，在每個路口是否遇到紅燈相互獨立，設該同學在三個路口遇到紅燈的概率分別為，，.(1)求該同學在上學路上恰好遇到一個紅燈的概率；(2)若該同學在上學路上每遇到1個紅燈，到校打卡時間就會比規(guī)定打卡時間晚48秒，記該同學某天到校打卡時間比規(guī)定時間晚秒，求X的分布列和數(shù)學期望.變式17．（2024·陜西商洛·高三陜西省山陽中學校聯(lián)考階段練習）小李參加某項專業(yè)資格考試，一共要考3個科目，若3個科目都合格，則考試直接過關；若都不合格，則考試不過關；若有1個或2相科目合格，則所有不合格的科目需要進行一次補考，補考都合格的考試過關，否則不過關．已知小李每個科目每次考試合格的概率均為p（），且每個科目每次考試的結果互不影響．(1)記“小李恰有1個科目需要補考”的概率為，求的最大值點．(2)以（1）中確定的作為p的值．（?。┣笮±钸@項資格考試過關的概率；（ⅱ）若每個科目每次考試要繳納20元的費用，將小李需要繳納的費用記為X元，求．變式18．（2024·河南開封·高三通許縣第一高級中學?？茧A段練習）有一種雙人游戲，游戲規(guī)則如下：一個袋子中有大小和質地相同的5個小球，其中有3個白色小球，2個紅色小球，每次游戲雙方從袋中輪流摸出1個小球，摸后不放回，摸到第2個紅球的人獲勝，同時結束該次游戲，并把摸出的球重新放回袋中，準備下一次游戲，且本次游戲中輸?shù)舻娜嗽谙乱淮斡螒蛑邢让颍『托垳蕚渫孢@種游戲，約定玩3次，第一次游戲由小胡先摸球．(1)在第一次游戲中，求在小胡第一輪摸到白球的情況下，小胡獲勝的概率；(2)記3次游戲中小胡獲勝的次數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學期望．變式19．（2024·河北保定·統(tǒng)考二模）某學校為了提高學生的運動興趣，增強學生身體素質，該校每年都要進行各年級之間的球類大賽，其中乒乓球大賽在每年“五一”之后舉行，乒乓球大賽的比賽規(guī)則如下：高中三個年級之間進行單循環(huán)比賽，每個年級各派5名同學按順序比賽（賽前已確定好每場的對陣同學），比賽時一個年級領先另一個年級兩場就算勝利（即每兩個年級的比賽不一定打滿5場），若兩個年級之間打成則第5場比賽定勝負．已知高三每位隊員戰(zhàn)勝高二相應對手的可能性均為，高三每位隊員戰(zhàn)勝高一相應對手的可能性均為，高二每位隊員戰(zhàn)勝高一相應對手的可能性均為，且隊員、年級之間的勝負相互獨立．(1)求高二年級與高一年級比賽時，高二年級與高一年級在前兩場打平的條件下，最終戰(zhàn)勝高一年級的概率．(2)若獲勝年級積3分，被打敗年級積0分，求高三年級獲得積分的分布列和期望．變式20．（2024·福建龍巖·統(tǒng)考二模）為了豐富孩子們的校園生活，某校團委牽頭，發(fā)起體育運動和文化項目比賽，經(jīng)過角逐，甲、乙兩人進入最后的決賽．決賽先進行兩天，每天實行三局兩勝制，即先贏兩局的人獲得該天勝利，此時該天比賽結束．若甲、乙兩人中的一方能連續(xù)兩天勝利，則其為最終冠軍；若前兩天甲、乙兩人各贏一天，則第三天只進行一局附加賽，該附加賽的獲勝方為最終冠軍設每局比賽甲獲勝的概率為，每局比賽的結果沒有平局且結果互相獨立．(1)記第一天需要進行的比賽局數(shù)為X，求X的分布列及；(2)記一共進行的比賽局數(shù)為Y，求．題型五：離散型隨機變量的方差例13．（2024·吉林長春·高三長春外國語學校校考開學考試）設隨機變量的分布列如下：其中成等差數(shù)列，若，則方差.-101例14．（2024·全國·高三專題練習）離散型隨機變量X的分布為：01245若離散型隨機變量Y滿足，則下列結果正確的為．①；②；③；④．例15．（2024·全國·高三專題練習）甲、乙兩種零件某次性能測評的分值，的分布如下，則性能更穩(wěn)定的零件是．8910P0.30.20.58910P0.20.40.4變式21．（2024·全國·高三專題練習）已知離散型隨機變量的分布如下表：02Pab若隨機變量的期望值，則．變式22．（2024·全國·高三對口高考）隨機變量的分布列如下表：nn＋1n＋2Pabc其中a，b，c成等差數(shù)列，則的最大值為.變式23．（2024·全國·高三對口高考）隨機變量X的分布列如表所示，若，則.X－101Pab變式24．（2024·北京西城·高三北京市第三十五中學?？奸_學考試）為了解某中學高一年級學生身體素質情況，對高一年級的(1)班(8)班進行了抽測，采取如下方式抽樣：每班隨機各抽10名學生進行身體素質監(jiān)測.經(jīng)統(tǒng)計，每班10名學生中身體素質監(jiān)測成績達到優(yōu)秀的人數(shù)散點圖如下（軸表示對應的班號，軸表示對應的優(yōu)秀人數(shù)）：

(1)若用散點圖預測高一年級學生身體素質情況，從高一年級學生中任意抽測1人，求該生身體素質監(jiān)測成績達到優(yōu)秀的概率；(2)若從以上統(tǒng)計的高一（2）班和高一（4）班的學生中各抽出1人，設表示2人中身體素質監(jiān)測成績達到優(yōu)秀的人數(shù)，求的分布列及其數(shù)學期望；(3)假設每個班學生身體素質優(yōu)秀的概率與該班隨機抽到的10名學生的身體素質優(yōu)秀率相等.現(xiàn)在從每班中分別隨機抽取1名同學，用“”表示第班抽到的這名同學身體素質優(yōu)秀，“”表示第班抽到的這名同學身體素質不是優(yōu)秀（）．寫出方差的大小關系（不必寫出證明過程）．變式25．（2024·遼寧沈陽·高三遼寧實驗中學?？茧A段練習）甲乙兩人進行一場乒乓球比賽.已知每局甲勝的概率為0.6，乙勝的概率為0.4，甲乙約定比賽采取“3局2勝制”.(1)求這場比賽甲獲勝的概率；(2)這場比賽甲所勝局數(shù)的數(shù)學期望（保留兩位有效數(shù)字）；(3)根據(jù)（2）的結論，計算這場比賽甲所勝局數(shù)的方差.變式26．（2024·浙江·高三專題練習）已知隨機變量X的分布列為X01xPp若，(1)求的值;(2)若，求的值.變式27．（2024·重慶沙坪壩·高三重慶一中校考階段練習）巴蜀中學進行90周年校慶知識競賽，參賽的同學需要從10道題中隨機地抽取4道來回答，競賽規(guī)則規(guī)定：每題回答正確得10分，回答不正確得分.(1)已知甲同學每題回答正確的概率均為0.8，且各題回答正確與否相互之間沒有影響，記甲的總得分為，求的期望和方差；(2)已知乙同學能正確回答10道題中的6道，記乙的總得分為，求的分布列.變式28．（2024·河南·襄城高中校聯(lián)考三模）小王去自動取款機取款，發(fā)現(xiàn)自己忘記了6位密碼的最后一位數(shù)字，他決定從0~9中不重復地隨機選擇1個進行嘗試，直到輸對密碼，或者輸錯三次銀行卡被鎖定為止．(1)求小王的該銀行卡被鎖定的概率；(2)設小王嘗試輸入該銀行卡密碼的次數(shù)為X，求X的分布列、數(shù)學期望及方差．變式29．（2024·福建寧德·高三福建省寧德第一中學?？茧A段練習）甲、乙兩個學校進行體育比賽，比賽共設三個項目，每個項目勝方得10分，負方得0分，沒有平局.三個項目比賽結束后，總得分高的學校獲得冠軍，已知甲學校在三個項目中獲勝的概率分別為0.5，0.4，0.8，各項目的比賽結果相互獨立.(1)求甲學校獲得冠軍的概率；(2)用表示乙學校的總得分，求的分布列與期望.(3)設用表示甲學校的總得分，比較和的大?。ㄖ苯訉懗鼋Y果）.變式30．（2024·全國·高三專題練習）概率論中有很多經(jīng)典的不等式，其中最著名的兩個當屬由兩位俄國數(shù)學家馬爾科夫和切比雪夫分別提出的馬爾科夫（Markov）不等式和切比雪夫（Chebyshev）不等式．馬爾科夫不等式的形式如下：設為一個非負隨機變量，其數(shù)學期望為，則對任意，均有，馬爾科夫不等式給出了隨機變量取值不小于某正數(shù)的概率上界，闡釋了隨機變量尾部取值概率與其數(shù)學期望間的關系．當為非負離散型隨機變量時，馬爾科夫不等式的證明如下：設的分布列為其中，則對任意，，其中符號表示對所有滿足的指標所對應的求和．切比雪夫不等式的形式如下：設隨機變量的期望為，方差為，則對任意，均有(1)根據(jù)以上參考資料，證明切比雪夫不等式對離散型隨機變量成立．(2)某藥企研制出一種新藥，宣稱對治療某種疾病的有效率為．現(xiàn)隨機選擇了100名患者，經(jīng)過使用該藥治療后，治愈的人數(shù)為60人，請結合切比雪夫不等式通過計算說明藥廠的宣傳內容是否真實可信．【解題方法總結】均值與方差性質的應用若是隨機變量，則一般仍是隨機變量，在求的期望和方差時，熟練應用期望和方差的性質，可以避免再求的分布列帶來的繁瑣運算．題型六：決策問題例16．（2024·河北·統(tǒng)考模擬預測）為切實做好新冠疫情防控工作，有效、及時地控制和消除新冠肺炎的危害，增加學生對新冠肺炎預防知識的了解，某校舉辦了一次“新冠疫情”知識競賽.競賽分個人賽和團體賽兩種.個人賽參賽方式為：組委會采取電腦出題的方式，從題庫中隨機出10道題，編號為，，，，，，電腦依次出題，參賽選手按規(guī)則作答，每答對一道題得10分，答錯得0分.團體賽以班級為單位，各班參賽人數(shù)必須為3的倍數(shù)，且不少于18人，團體賽分預賽和決賽兩個階段，其中預賽階段各班可從以下兩種參賽方案中任選一種參賽：方案一：將班級選派的名參賽選手每3人一組，分成組，電腦隨機分配給同一組的3名選手一道相同的試題，3人均獨立答題，若這3人中至少有2人回答正確，則該小組順利出線；若這個小組都順利出線，則該班級晉級決賽.方案二：將班級選派的名參賽選手每人一組，分成3組，電腦隨機分配給同一組的名選手一道相同的試題，每人均獨立答題，若這個人都回答正確，則該小組順利出線；若這3個小組中至少有2個小組順利出線，則該班級晉級決賽.(1)郭靖同學參加了個人賽，已知郭靖同學答對題庫中每道題的概率均為，每次作答結果相互獨立，且他不會主動放棄任何一次作答機會，求郭靖同學得分的數(shù)學期望與方差；(2)在團體賽預賽中，假設A班每位參賽選手答對試題的概率均為常數(shù)，A班為使晉級團體賽決賽的可能性更大，應選擇哪種參賽方式？請說明理由.例17．（2024·云南曲靖·高三校聯(lián)考階段練習）從2024年起，云南省高考數(shù)學試卷中增加了多項選擇題（第9-12題是四道多選題，每題有四個選項，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分）.在某次模擬考試中，每道多項選題的正確答案是兩個選項的概率為，正確答案是三個選項的概率為（其中）.現(xiàn)甲乙兩名學生獨立解題.(2)對于第12題，甲同學只能正確地判斷出其中的一個選項是符合題意的，乙同學只能正確地判斷出其中的一個選項是不符合題意的，作答時，應選擇幾個選項才有希望得到更理想的成績，請你幫助甲或者乙做出決策（只需選擇幫助一人做出決策即可）.例18．（2024·河南·校聯(lián)考模擬預測）某水果店的草莓每盒進價20元，售價30元，草莓保鮮度為兩天，若兩天之內未售出，以每盒10元的價格全部處理完.店長為了決策每兩天的進貨量，統(tǒng)計了本店過去40天草莓的日銷售量（單位：十盒），獲得如下數(shù)據(jù)：日銷售量/十盒78910天數(shù)812164假設草莓每日銷量相互獨立，且銷售量的分布規(guī)律保持不變，將頻率視為概率.(1)記每兩天中銷售草莓的總盒數(shù)為X（單位：十盒），求X的分布列和數(shù)學期望；(2)以兩天內銷售草莓獲得利潤較大為決策依據(jù)，在每兩天進16十盒，17十盒兩種方案中應選擇哪種？變式31．（2024·江西上饒·校聯(lián)考模擬預測）甲乙兩家公司要進行公開招聘，招聘分為筆試和面試，通過筆試后才能進入面試環(huán)節(jié)．已知甲、乙兩家公司的筆試環(huán)節(jié)都設有三門考試科目且每門科目是否通過相互獨立，若小明報考甲公司，每門科目通過的概率均為；報考乙公司，每門科目通過的概率依次為，，其中．(1)若，分別求出小明報考甲、乙兩公司在筆試環(huán)節(jié)恰好通過一門科目的概率；(2)招聘規(guī)則要求每人只能報考一家公司，若以筆試過程中通過科目數(shù)的數(shù)學期望為依據(jù)作決策，當小明更希望通過乙公司的筆試時，求的取值范圍．變式32．（2024·廣西·校聯(lián)考模擬預測）某公司計劃購買2臺機器，該種機器使用三年后即被淘汰，機器有一易損零件，在購進機器時，可以額外購買這種零件作為備件，每個200元，在機器使用期間，如果備件不足再購買，則每個500元，現(xiàn)需決策在購買機器時應同時購買幾個易損零件，為此搜集并整理了100臺這種機器在三年使用期內更換的易損零件數(shù)，得到其頻數(shù)分布圖（如圖所示）．若將這100臺機器在三年內更換的易損零件數(shù)的頻率視為1臺機器在三年內更換的易損零件數(shù)發(fā)生的概率，記表示2臺機器三年內共需更換的易損零件數(shù)，表示購買2臺機器的同時購買的易損零件數(shù)．(1)求的分布；(2)以購買易損零件所需費用的期望值為決策依據(jù)，在與18之中選其一，應選用哪個？并說明理由．變式33．（2024·廣東佛山·華南師大附中南海實驗高中校考模擬預測）人工智能是研究用于模擬和延伸人類智能的技術科學，被認為是21世紀最重要的尖端科技之一，其理論和技術正在日益成熟，應用領域也在不斷擴大.人工智能背后的一個基本原理：首先確定先驗概率，然后通過計算得到后驗概率，使先驗概率得到修正和校對，再根據(jù)后驗概率做出推理和決策.基于這一基本原理，我們可以設計如下試驗模型；有完全相同的甲、乙兩個袋子，袋子有形狀和大小完全相同的小球，其中甲袋中有9個紅球和1個白球乙袋中有2個紅球和8個白球.從這兩個袋子中選擇一個袋子，再從該袋子中等可能摸出一個球，稱為一次試驗.若多次試驗直到摸出紅球，則試驗結束.假設首次試驗選到甲袋或乙袋的概率均為（先驗概率）.(1)求首次試驗結束的概率；(2)在首次試驗摸出白球的條件下，我們對選到甲袋或乙袋的概率（先驗概率）進行調整.①求選到的袋子為甲袋的概率，②將首次試驗摸出的白球放回原來袋子，繼續(xù)進行第二次試驗時有如下兩種方案；方案一，從原來袋子中摸球；方案二，從另外一個袋子中摸球.請通過計算，說明選擇哪個方案第二次試驗結束的概率更大.變式34．（2024·陜西西安·陜西師大附中?？寄M預測）強基計劃?？加稍圏c高校自主命題，?？歼^程中通過筆試后才能進入面試環(huán)節(jié)．已知甲、乙兩所大學的筆試環(huán)節(jié)都設有三門考試科目且每門科目是否通過相互獨立，若某考生報考甲大學，每門科目通過的概率均為；該考生報考乙大學，每門科目通過的概率依次為，，m，其中．(1)若，分別求出該考生報考甲、乙兩所大學在筆試環(huán)節(jié)恰好通過一門科目的概率；(2)強基計劃規(guī)定每名考生只能報考一所試點高校，若以筆試過程中通過科目數(shù)的數(shù)學期望為依據(jù)作決策，當該考生更希望通過乙大學的筆試時，求m的取值范圍．變式35．（2024·全國·高三專題練習）某公司計劃購買2臺機器，該種機器使用三年后即被淘汰，機器有一易損零件，在購進機器時，可以額外購買這種零件作為備件，每個200元，在機器使用期間，如果備件不足再購買，則每個500元，現(xiàn)需決策在購買機器時應同時購買幾個易損零件，為此搜集并整理了100臺這種機器在三年使用期內更換的易損零件數(shù)，得到其頻數(shù)分布圖（如圖所示）.若將這100臺機器在三年內更換的易損零件數(shù)的頻率視為1臺機器在三年內更換的易損零件數(shù)發(fā)生的概率，記X表示