第77講、定點、定值問題（教師版）

第77講定點、定值問題知識梳理1、定值問題解析幾何中定值問題的證明可運用函數(shù)的思想方法來解決．證明過程可總結為“變量—函數(shù)—定值”，具體操作程序如下：（1）變量選擇適當?shù)牧繛樽兞浚?）函數(shù)把要證明為定值的量表示成變量的函數(shù)．（3）定值化簡得到的函數(shù)解析式，消去變量得到定值．2、求定值問題常見的方法有兩種：（1）從特殊情況入手，求出定值，再證明該定值與變量無關；（2）直接推理、計算，并在計算推理過程中消去變量，從而得到定值．常用消參方法：①等式帶用消參：找到兩個參數(shù)之間的等式關系，用一個參數(shù)表示另外一個參數(shù)，即可帶用其他式子，消去參數(shù)．②分式相除消參：兩個含參數(shù)的式子相除，消掉分子和分母所含參數(shù)，從而得到定值．③因式相減消參：兩個含參數(shù)的因式相減，把兩個因式所含參數(shù)消掉．④參數(shù)無關消參：當與參數(shù)相關的因式為時，此時與參數(shù)的取值沒什么關系，比如：，只要因式，就和參數(shù)沒什么關系了，或者說參數(shù)不起作用．3、求解直線過定點問題常用方法如下：（1）“特殊探路，一般證明”：即先通過特殊情況確定定點，再轉化為有方向、有目的的一般性證明；（2）“一般推理，特殊求解”：即設出定點坐標，根據(jù)題設條件選擇參數(shù)，建立一個直線系或曲線的方程，再根據(jù)參數(shù)的任意性得到一個關于定點坐標的方程組，以這個方程組的解為坐標的點即為所求點；（3）求證直線過定點，常利用直線的點斜式方程或截距式來證明．一般解題步驟：①斜截式設直線方程：，此時引入了兩個參數(shù)，需要消掉一個．②找關系：找到和的關系：，等式帶入消參，消掉．③參數(shù)無關找定點：找到和沒有關系的點．必考題型全歸納題型一：面積定值例1．（2024·安徽安慶·安慶一中校考三模）已知橢圓過點兩點，橢圓的離心率為，為坐標原點，且.(1)求橢圓的方程；(2)設P為橢圓上第一象限內(nèi)任意一點，直線與y軸交于點M，直線與x軸交于點N，求證：四邊形的面積為定值.【解析】（1）根據(jù)題意可知，又，即可得，結合，解得；即橢圓的方程為.（2）證明：由（1）可知，如下圖所示：設，且；易知直線的斜率，所以的直線方程為；同理直線的斜率，所以的直線方程為；由題意解得；所以可得，四邊形的面積又，可得，故，即四邊形的面積為定值.例2．（2024·陜西漢中·高三統(tǒng)考階段練習）已知雙曲線：的焦距為，且焦點到近線的距離為1.(1)求雙曲線的標準方程；(2)若動直線與雙曲線恰有1個公共點，且與雙曲線的兩條漸近線分別交于兩點，為坐標原點，證明：的面積為定值.【解析】（1）依題意得，，一條漸近線為，即，右焦點為，所以，即，，所以，所以，所以雙曲線的標準方程為.（2）當直線的斜率不存在時，若動直線與雙曲線恰有1個公共點，則直線經(jīng)過雙曲線的頂點，不妨設，又漸近線方程為，將代入，得，將代入，得，則，.當直線的斜率存在，設直線，且，聯(lián)立，消去并整理得，因為動直線與雙曲線恰有1個公共點，所以，得，設動直線與的交點為，與的交點為，聯(lián)立，得，同理得，則因為原點到直線的距離，所以，又因為，所以，即，故的面積為定值，且定值為.例3．（2024·廣東廣州·高三廣州市真光中學?？茧A段練習）已知雙曲線，漸近線方程為，點在上；

(1)求雙曲線的方程；(2)過點的兩條直線，分別與雙曲線交于，兩點（不與點重合），且兩條直線的斜率，滿足，直線與直線，軸分別交于，兩點，求證：的面積為定值.【解析】（1），，依題意，，所以雙曲線的方程為.（2）依題意可知斜率存在，設方程為，，，，，①，，整理得.1），，過舍去，2），，過點，此時，將代入①得，與交于點，故（定值）變式1．（2024·四川·成都市錦江區(qū)嘉祥外國語高級中學?？既＃┰O橢圓過點，且左焦點為．(1)求橢圓的方程；(2)內(nèi)接于橢圓，過點和點的直線與橢圓的另一個交點為點，與交于點，滿足，證明：面積為定值，并求出該定值．【解析】（1）由題意得，解得，所以橢圓C的方程為．（2）設點的坐標分別為，，．由題設知，，，均不為零，記，則且又四點共線，從而，于是，，，從而①，②，又點在橢圓上，即③，④，①＋②×2并結合③、④得，即點總在定直線上．∴所在直線為上．由消去y得，，設，則，于是，又到的距離，∴∴面積定值為．變式2．（2024·全國·高二專題練習）已知，既是雙曲線：的兩條漸近線，也是雙曲線：的漸近線，且雙曲線的焦距是雙曲線的焦距的倍.

(1)任作一條平行于的直線依次與直線以及雙曲線，交于點，，，求的值；(2)如圖，為雙曲線上任意一點，過點分別作，的平行線交于，兩點，證明：的面積為定值，并求出該定值.【解析】（1）依題意，根據(jù)雙曲線的焦距是雙曲線的焦距的倍，可得，即，故雙曲線：，不妨設：，則設：，聯(lián)立，可得，聯(lián)立可得，聯(lián)立可得，從而,所以（2）如圖，延長，分別交漸近線于，兩點，由（1）可知，則，設，則：，聯(lián)立，解得，而：，聯(lián)立，解得，從而，設的傾斜角為，則，而，故，則，因此.變式3．（2024·四川成都·高二樹德中學?？茧A段練習）已知橢圓，是橢圓上的兩個不同的點，為坐標原點，三點不共線，記的面積為.

(1)若，求證：；(2)記直線的斜率為，當時，試探究是否為定值并說明理由.【解析】（1）設的夾角為，則，所以，則；（2）由可知，，所以，設直線的方程分別為：，設.則，所以.題型二：向量數(shù)量積定值例4．（2024·新疆昌吉·高二統(tǒng)考期中）已知橢圓，，是C的左、右焦點，過的動直線l與C交于不同的兩點A，B兩點，且的周長為，橢圓的其中一個焦點在拋物線準線上，(1)求橢圓的方程；(2)已知點，證明:為定值.【解析】（1）由可得準線為，所以橢圓的左焦點，所以橢圓的半焦距，因為的周長為，所以，故.所以，所求橢圓的方程為.（2）如圖所示：①當直線斜率不存在時，的方程為，將代入可得，所以，，此時，，則，②當直線斜率存在時，設直線的方程為，設，，由，得，則，，，，所以，，，，綜上所述，為定值，且定值為.例5．（2024·江西萍鄉(xiāng)·高二萍鄉(xiāng)市安源中學?？计谀┮阎菕佄锞€上一點，且M到C的焦點的距離為5.

(1)求拋物線C的方程及點M的坐標；(2)如圖所示，過點的直線l與C交于A，B兩點，與y軸交于點Q，設，，求證：是定值.【解析】（1）由拋物線的定義，得，解得p＝2.所以拋物線C的方程為，M的坐標為或.（2）由題意知直線l的斜率存在且不為0，設l的方程為x＝ty＋1（t≠0），則.將x＝ty＋1代入得.設，，則，.由，得；由，得.所以，故是定值1.例6．（2024·四川南充·高二四川省南充高級中學?？奸_學考試）已知點到的距離是點到的距離的2倍.(1)求點的軌跡方程；(2)若點與點關于點對稱，過的直線與點的軌跡交于，兩點，探索是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請說明理由.【解析】（1）設點，由題意可得，即，化簡可得.（2）設點，由（1）點滿足方程:，，代入上式消去可得，即的軌跡方程為，當直線的斜率存在時，設其斜率為，則直線的方程為，由，消去，得，顯然，設，則，，又，，則.當直線的斜率不存在時，，，.故是定值，即.變式4．（2024·全國·高二校聯(lián)考階段練習）已知橢圓的右焦點為，點在E上．(1)求橢圓E的標準方程；(2)過點F的直線l與橢圓E交于A，B兩點，點Q為橢圓E的左頂點，直線QA，QB分別交于M，N兩點，O為坐標原點，求證：為定值．【解析】（1）由題意得，又點在橢圓上，則，解得，故所求橢圓E的標準方程為.（2）由題意知直線的斜率不為，可設方程為，聯(lián)立，消得，則，設由韋達定理得，，則，且，又則直線的方程為：，令得，，同理可得，，故，由，則，則.即為定值.變式5．（2024·上海寶山·高三上海交大附中?？计谥校┮阎獧E圓的離心率為，橢圓的一個頂點與兩個焦點構成的三角形面積為2.(1)求橢圓C的方程；(2)已知直線與橢圓C交于A，B兩點，且與x軸，y軸交于M，N兩點.①若，求k的值；②若點Q的坐標為，求證：為定值.【解析】（1），，代入得.又橢圓的一個頂點與兩個焦點構成的三角形的面積為2，即，即，以上各式聯(lián)立解得，則橢圓方程為.（2）①直線與軸交點為，與軸交點為，聯(lián)立消去得:，設，則解得:.由得;②證明：由①知，為定值.題型三：斜率和定值例7．（2024·四川成都·高三成都七中?？奸_學考試）已知，．(1)證明：總與和相切；(2)在（1）的條件下，若與在y軸右側相切于A點，與在y軸右側相切于B點．直線與和分別交于P，Q，M，N四點.是否存在定直線使得對任意題干所給a，b，總有為定值？若存在，求出的方程；若不存在，請說明理由．【解析】（1）下面證明橢圓在處的切線方程為，理由如下：當時，故切線的斜率存在，設切線方程為，代入橢圓方程得：，由，化簡得：，所以，把代入，得：，于是，則橢圓的切線斜率為，切線方程為，整理得到，其中，故，即，當時，此時或，當時，切線方程為，滿足，當時，切線方程為，滿足，所以橢圓在處的切線方程為；上一點的切線方程為，理由如下：設過點的切線方程為，與聯(lián)立得，，由，化簡得，因為，代入上式得，整理得，同除以得，，即，因為，，所以，聯(lián)立，兩式相乘得，，從而，故，即，令，則，即，解得，即，所以上一點的切線方程為，綜上：在點的切線方程為.故曲線且在點的切線方程為．當時，，聯(lián)立得，，解得，則，當時，，，滿足，當時，，，滿足，即曲線C與相切，而此時且．故總與和相切．（2）設直線．設與交于和，聯(lián)立得，由韋達定理得，，由題意，，代入整理得，因為為定值對任意a，b均成立，故為定值與a無關，為定值與b無關．當時，必有，此時．故有，代入解得，矛盾．當時，且時成立．此時直線，由（1）知與曲線僅有1個交點，矛盾．故不存在，使為定值對任意a，b均成立．例8．（2024·河南洛陽·高三伊川縣第一高中校聯(lián)考開學考試）已知拋物線與拋物線在第一象限交于點.(1)已知為拋物線的焦點，若的中點坐標為，求；(2)設為坐標原點，直線的斜率為.若斜率為的直線與拋物線和均相切，證明為定值，并求出該定值.【解析】（1）由得，設，因為的中點坐標為，所以，解得.（2）聯(lián)立，解得或，所以，所以直線的斜率.設直線的方程為.聯(lián)立，消去得，因為直線與拋物線相切，所以，即，若，則，不符合題意，所以，即，①聯(lián)立，消去得，因為直線與拋物線相切，所以，即，②由①②可得，所以，故為定值，該定值為0.例9．（2024·河南許昌·高二統(tǒng)考期末）已知的兩個頂點A，B的坐標分別是且直線PA，PB的斜率之積是，設點P的軌跡為曲線H.(1)求曲線H的方程；(2)經(jīng)過點且斜率為k的直線與曲線H交于不同的兩點E，F(xiàn)（均異于A，B），證明：直線BE與BF的斜率之和為定值.【解析】（1）設，則由直線PA，PB的斜率之積是可得，化簡可得（2）設直線方程為：，則與橢圓方程聯(lián)立可得：，則，故或，設，則，.故.變式6．（2024·河南商丘·高二校考階段練習）已知是橢圓的頂點（如圖），直線l與橢圓交于異于頂點的兩點，且，若橢圓的離心率是，且，

(1)求此橢圓的方程；(2)設直線和直線的斜率分別為，證明為定值.【解析】（1）由已知可得橢圓的離心率，，∴，∴橢圓方程為；（2）如圖，由（1）可知：，，，且，所以直線的斜率，設直線的方程為，設，聯(lián)立得：，，∴，則，又，，，，∴，，為定值.變式7．（2024·云南昆明·高二云南師范大學實驗中學?？茧A段練習）過點的直線為為圓與軸正半軸的交點.(1)若直線與圓相切，求直線的方程：(2)證明：若直線與圓交于兩點，直線的斜率之和為定值.【解析】（1）由已知可得，圓心，半徑.當直線斜率不存在時，方程為，此時直線與圓不相切；當直線斜率存在時，設直線斜率為，則方程為，即.由直線與圓相切，可知圓心到直線的距離，整理可得，，解得或.所以，直線的方程為或.綜上所述，直線的方程為或.（2）由題設得到點，當直線斜率不存在時，方程為，此時直線與圓的交點為，，則；當直線斜率存在時，設直線方程為，代入圓的方程可得.設點，則.所以，，則.綜上所述，與的斜率之和為定值.故與的斜率之和為定值.題型四：斜率積定值例10．（2024·河南鄭州·高三鄭州外國語學校校考階段練習）已知橢圓的離心率為，以C的短軸為直徑的圓與直線相切．(1)求C的方程；(2)直線與C相交于A，B兩點，過C上的點P作x軸的平行線交線段AB于點Q，且平分，設直線的斜率為（O為坐標原點），判斷是否為定值？并說明理由．【解析】（1）由橢圓的離心率為，得，即有，由以C的短軸為直徑的圓方程為，由與直線相切得：，聯(lián)立解得，∴C的方程為；（2）為定值，且，理由如下：由題意，直線AP，BP的斜率互為相反數(shù)，即，設，由，消去y得：，∴，而，∴，即，∴，∴，化簡得，又∵在橢圓上，∴，∴，∴，∴，又∵不在直線，則有，即，∴為定值，且.例11．（2024·內(nèi)蒙古包頭·高三統(tǒng)考開學考試）已知點，動點滿足直線PM與PN的斜率之積為，記點P的軌跡為曲線C．(1)求曲線C的方程，并說明C是什么曲線；(2)過坐標原點的直線交曲線C于A，B兩點，點A在第一象限，AD⊥x軸，垂足為D，連接BD并延長交曲線C于點H．證明：直線AB與AH的斜率之積為定值．【解析】（1）由題設得，化解得，所以為中心在坐標原點，焦點在軸上的橢圓，不含左右頂點．（2）設直線的斜率為，則其方程為．由得，記，則，，．于是直線的斜率為，方程為．由得．①設，則和是方程①的解，則，故，由此得．從而直線的斜率，所以．所以直線與的斜率之積為定值．例12．（2024·江蘇南通·高三統(tǒng)考開學考試）在直角坐標系中，點到點的距離與到直線：的距離之比為，記動點的軌跡為.(1)求的方程；(2)過上兩點，作斜率均為的兩條直線，與的另兩個交點分別為，.若直線，的斜率分別為，，證明：為定值.【解析】（1）設，由題意可知，所以的方程為；（2）設，，∴方程：代入橢圓方程，∴，∴，∴，∴，∴同理設，，∴，∴為定值.變式8．（2024·全國·高二隨堂練習）已知橢圓的離心率為，點在C上，直線l不過原點O且不平行于坐標軸，l與C有兩個交點A，B，線段AB的中點為M.證明：直線OM的斜率與直線l的斜率的乘積為定值.【解析】證明：由題意可得，解得，故橢圓方程為，由題意可設直線l的方程為，設，則，則，兩式相減得，即，即，又M為線段AB的中點，即有,即，即直線OM的斜率與直線l的斜率的乘積為定值.題型五：斜率比定值例13．（2024·福建廈門·高二廈門一中?？计谥校┮阎p曲線：實軸長為4（在的左側），雙曲線上第一象限內(nèi)的一點到兩漸近線的距離之積為.(1)求雙曲線的標準方程；(2)設過的直線與雙曲線交于，兩點，記直線，的斜率為，，請從下列的結論中選擇一個正確的結論，并予以證明.①為定值；②為定值；③為定值【解析】（1）設是上的一點，與是的兩條漸近線，到兩條漸近線的距離之積，依題意，，故，雙曲線的標準方程為；（2）正確結論：③為定值.證明如下：由（1）知，，設，，因為，不與，重合，所以可設直線：，與聯(lián)立：，消去整理可得：故，，，所以，，，①，，不是定值，②，，不是定值，③，所以是定值.例14．（2024·四川成都·高二?？计谥校┮阎獧EC：，為其左右焦點，離心率為，(1)求橢圓C的標準方程；(2)設點P，點P在橢圓C上，過點P作橢圓C的切線l，斜率為，，的斜率分別為，，則是否是定值？若是，求出定值；若不是，請說明理由.【解析】（1）由已知條件可得，，解得，橢圓；（2）是定值，證明：因為點，，過點作橢圓的切線，斜率為，且，與聯(lián)立消得，由題設得，即，因為點在橢圓上，，代入上式得，而，定值），是定值；例15．（2024·湖北荊州·高三沙市中學?？茧A段練習）已知雙曲線的實軸長為，左右兩個頂點分別為，經(jīng)過點的直線交雙曲線的右支于兩點，且在軸上方，當軸時，.(1)求雙曲線方程.(2)求證：直線的斜率之比為定值.【解析】（1）由題意可得，當軸時，直線，則，又，所以；（2）由題意可知，不妨設：,，易知，聯(lián)立雙曲線方程得，則，且，不難發(fā)現(xiàn)由斜率公式可知，則，故是定值.題型六：線段定值例16．（2024·浙江·高二校聯(lián)考期中）已知圓：與圓：.(1)若圓與圓內(nèi)切，求實數(shù)的值；(2)設，在軸正半軸上是否存在異于A的點，使得對于圓上任意一點，為定值？若存在，求的值；若不存在，請說明理由.【解析】（1）因為：，即，故圓的圓心坐標為，半徑長，且圓：，故圓的圓心坐標為，半徑長，若圓與圓內(nèi)切，則，即，且，所以.（2）設點，則，于是，即，同理，可得，要使為定值，則，解得或（舍去），故存在點使得為定值，此時.例17．（2024·重慶沙坪壩·高三重慶一中?？茧A段練習）已知P為平面上的動點，記其軌跡為Γ.(1)請從以下三個條件中選擇一個，求對應的Γ的方程；①以點P為圓心的動圓經(jīng)過點，且內(nèi)切于圓；②已知點，直線，動點P到點T的距離與到直線l的距離之比為；③設E是圓上的動點，過E作直線EG垂直于x軸，垂足為G，且.(2)在（1）的條件下，設曲線Γ的左、右兩個頂點分別為A，B，若過點的直線m的斜率存在且不為0，設直線m交曲線Γ于點M，N，直線n過點且與x軸垂直，直線AM交直線n于點P，直線BN交直線n于點Q，則線段的比值是否為定值?若是，求出該定值；若不是，請說明理由.【解析】（1）選①，則由得，由橢圓的定義得長軸為4，焦距為2，所求軌跡Γ的方程為.選②，設，由，化簡得即所求軌跡Γ的方程為.選③，設，由，得，代入圓O的方程，得，即所求軌跡Γ的方程為（2）已知直線m的斜率存在且不為0，設過點K的直線m的方程為，設，與方程聯(lián)立得：，∴.且直線AM的方程為，∴.同理，，∴其中，，將代入可得，，∴.例18．（2024·江西九江·統(tǒng)考一模）如圖，已知橢圓()的左右焦點分別為，，點為上的一個動點(非左右頂點)，連接并延長交于點，且的周長為，面積的最大值為2．

(1)求橢圓的標準方程；(2)若橢圓的長軸端點為，且與的離心率相等，為與異于的交點，直線交于兩點，證明：為定值．【解析】（1）的周長為，由橢圓的定義得，即，又面積的最大值為2，，即，，，，解得，橢圓的標準方程為.（2）由（1）可知，，橢圓的離心率，設橢圓的方程為，則有，，解得，橢圓的標準方程為，設，，，點在曲線上，，依題意，可設直線，的斜率分別為，則的方程分別為，，于是，聯(lián)立方程組，消去整理，得，，，，同理可得：，，，為定值.變式9．（2024·湖南·高三臨澧縣第一中學校聯(lián)考開學考試）已知拋物線的焦點為，拋物線的焦點為，且．(1)求的值；(2)若直線l與交于M，N兩點，與交于P，Q兩點，M，P在第一象限，N，Q在第四象限，且，證明：為定值．【解析】（1）由題意知，，所以，解得．（2）由（1）知，．設直線，，，，，根據(jù)題意結合圖形可知，且．聯(lián)立，得，則，同理聯(lián)立，得，則．由可得，，又，，所以，即，化簡得，即，又因為，，所以，再由，得．聯(lián)立，解得，所以，，．故，所以為定值.變式10．（2024·安徽合肥·高三合肥一中校聯(lián)考開學考試）已知拋物線（為常數(shù)，）.點是拋物線上不同于原點的任意一點.(1)若直線與只有一個公共點，求；(2)設為的準線上一點，過作的兩條切線，切點為，且直線，與軸分別交于，兩點.①證明：②試問是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請說明理由.【解析】（1）將直線與拋物線聯(lián)立，消去可得，由題意可知該方程只有一個實數(shù)根，所以，又點在拋物線上，即；可得，解得（2）①易知拋物線的準線方程為；不妨設，切點，如下圖所示：將求導可得，則切線的斜率，切線的方程為，又，的方程可化為；同理可得的方程可化為；又兩切線交于點，所以，因此可得是方程的兩根，因此；所以；因此②設直線和的傾斜角為，直線的傾斜角為，所以；又；；；所以，將代入可得，則可得，即；又，所以，可得，則為定值.變式11．（2024·山東淄博·高二校聯(lián)考階段練習）已知圓：與直線相切.(1)若直線與圓交于，兩點，求；(2)已知，，設為圓上任意一點，證明：為定值.【解析】（1）由題意，圓心到直線的距離：，圓與直線相切，∴，圓方程為:，∵圓心到直線的距離:，∴.（2）由題意及（1）證明如下設,則，∴，即為定值.變式12．（2024·福建廈門·廈門一中校考模擬預測）已知，分別是橢圓：的右頂點和上頂點，，直線的斜率為.(1)求橢圓的方程；(2)直線，與，軸分別交于點，，與橢圓相交于點，.（i）求的面積與的面積之比；（ⅱ）證明：為定值.【解析】（1）∵、是橢圓，的兩個頂點，且，直線的斜率為，由，，得，又，解得，，∴橢圓的方程為；（2）設直線的方程為，則，，聯(lián)立方程消去，整理得，，得設，，∴，.（i），，∴，∴的面積與的面積之比為1；（ii）證明：綜上，.變式13．（2024·四川巴中·高二四川省通江中學?？计谥校┮阎獔A過點，，且圓心在直線上.是圓外的點，過點的直線交圓于，兩點.(1)求圓的方程；(2)若點的坐標為，求證：無論的位置如何變化恒為定值；(3)對于（2）中的定值，使恒為該定值的點是否唯一？若唯一，請給予證明；若不唯一，寫出滿足條件的點的集合.【解析】（1）顯然，兩點的中點為，直線斜率為，線段的垂直平分線的方程為：，由，解得，，因此圓心，半徑，所以圓的方程為：.（2）如圖，若斜率不存在，則，，；若斜率存在，設直線的方程為，由消去整理得，設，，則，，，同理，，所以不論的斜率是否存在，恒為定值.（3）設，當過的直線斜率存在時，設其方程為，由消去y得，設，，則，，則，同理，于是，當過的直線斜率不存在時，其方程為，由，解得，于是，即，因此，而點在圓外，即有，則，所以滿足條件的點不唯一，點的集合.變式14．（2024·云南·校聯(lián)考模擬預測）已知點到定點的距離和它到直線：的距離的比是常數(shù)．(1)求點的軌跡的方程；(2)若直線：與圓相切，切點在第四象限，直線與曲線交于，兩點，求證：的周長為定值．【解析】（1）設，由條件可知：，等號的兩邊平方，整理后得：；（2）由（1）的結論知：曲線C是方程為的橢圓，設，依題意有：，則，所以直線l的方程為：，聯(lián)立方程：，得：，

設，則，，，由條件可知：，，的周長，即定值為10；綜上，曲線C的方向為，的周長.題型七：直線過定點例19．（2024·全國·高三專題練習）已知分別為橢圓的左、右焦點，過點且與軸不重合的直線與橢圓交于兩點，的周長為8.(1)若的面積為，求直線的方程；(2)過兩點分別作直線的垂線，垂足分別是，證明：直線與交于定點.【解析】（1）因的周長為8，由橢圓定義得，即，而半焦距，又，則，橢圓的方程為，依題意，設直線的方程為，由消去x并整理得，設，，則，，，因此，解得，所以直線的方程為或.（2）由（1）知，，則，，設直線與交點為，則，，而，，則，，兩式相加得：，而，則，因此，兩式相減得：，而，則，即，所以直線與交于定點.例20．（2024·江西南昌·高三校聯(lián)考階段練習）已知橢圓的離心率為，左、右焦點分別為，，點為橢圓上任意一點，面積最大值為.(1)求橢圓的方程；(2)過軸上一點的直線與橢圓交于兩點，過分別作直線的垂線，垂足為，兩點，證明：直線，交于一定點，并求出該定點坐標.【解析】（1）設橢圓半焦距為，∵離心率為，∴.由橢圓性質(zhì)可知，當為短軸端點時，面積最大.∴，∴.又，解得，，.∴橢圓的方程為：；（2）設與軸交于點，則，當?shù)男甭蕿?時，顯然不適合題意；當?shù)男甭什淮嬖跁r，直線為，∵四邊形為矩形，∴，交于線段的中點.當直線的斜率存在且不為0時，設，，直線為：，聯(lián)立，得，，∴，，設，，則，，聯(lián)立，得，將，代入整理得.將代入，得.綜上，直線、交于定點.例21．（2024·江西南昌·高二南昌市外國語學校?？计谥校┰谄矫嬷苯亲鴺讼抵?，橢圓C：(a>b>0)過點，離心率為.（1）求橢圓C的標準方程；（2）過點K(2，0)作與x軸不重合的直線與橢圓C交于A，B兩點，過A，B點作直線l：x＝的垂線，其中c為橢圓C的半焦距，垂足分別為A1，B1，試問直線AB1與A1B的交點是否為定點，若是，求出定點的坐標；若不是，請說明理由.【解析】(1)由題意得?所以橢圓C的標準方程為.(2)①當直線AB的斜率不存在時，直線l：x＝，AB1與A1B的交點是.②當直線AB的斜率存在時，設A(x1，y1)，B(x2，y2)，直線AB為y＝k(x－2)，由?(1＋5k2)x2－20k2x＋20k2－5＝0，所以x1＋x2＝，x1x2＝，A1，B1，所以lAB1：，lA1B：y＝，聯(lián)立解得x＝，代入上式可得＝＝0.綜上，直線AB1與A1B過定點．變式15．（2024·甘肅天水·高二統(tǒng)考期末）已知橢圓的左、右焦點分別為，離心率，點在E上．(1)求E的方程；(2)過點作互相垂直且與x軸均不重合的兩條直線分別交E于點A，B和C，D，若M，N分別是弦AB，CD的中點，證明：直線MN過定點．【解析】（1）因為該橢圓的離心率，所以有，又，所以有，因為點在E上，所以，聯(lián)立，解得，所以E的方程為；（2）由（1）知，由題意知直線AB和直線CD的斜率都存在且不為0，設直線AB方程為：，與E的方程聯(lián)立，消去x并整理，得，且，設，則，所以，所以點M的坐標為，因為，則直線CD的方程為，同理得，當，即時，直線MN的斜率，所以直線MN的方程為，所以，因為，所以直線MN的方程即為，顯然直線MN過定點；當，即時，則或，此時直線MN的方程為，也過點.綜上所述，直線MN過定點.變式16．（2024·黑龍江鶴崗·高二鶴崗一中?？计谥校┰谄矫嬷苯亲鴺讼抵?，橢圓：的左，右頂點分別為、，點是橢圓的右焦點，，．(1)求橢圓的方程；(2)不過點的直線交橢圓于、兩點，記直線、、的斜率分別為、、.若，證明直線過定點，并求出定點的坐標．【解析】（1）由題意知，，，，∵，，∴，解得，從而，∴橢圓的方程為.（2）設直線的方程為，，．直線不過點，因此．由，得，時，，，∴，由，可得，即，故的方程為，恒過定點．變式17．（2024·全國·高三專題練習）已知A?B分別為橢圓E∶的右頂點和上頂點?橢圓的離心率為，F(xiàn)1?F2為橢圓的左?右焦點，點P是線段AB上任意一點，且的最小值為.（1）求橢圓E的方程；（2）若直線l是圓C∶x2+y2=9上的點處的切線，點M是直線l上任一點，過點M作橢圓C的切線MG，MH，切點分別為G，H，設切線的斜率都存在.試問∶直線GH是否過定點？若過定點，求出該定點的坐標；若不過定點，請說明理由.【解析】解∶（1）由.知，，則橢圓方程為，設，線段AB的方程為則，又因為，所以的最小值為，解得a2=9，所以，故橢圓E的方程為.（2）由題意可知，直線l的方程為，即，設G(x1，y1)，H(x2，y2)，M(x3，y3)，由題知，設直線MG的方程為，，.，化簡得所以，因為方程只有一解，所以，故直線MG的方程為，化簡得，同理可得直線MH的方程為，又因為兩切線都經(jīng)過點M(x3，y3)，所以所以直線GH的方程為，又因為，所以直線GH的方程為，.令，得所以直線GH恒過定點.變式18．（2024·全國·高三專題練習）已知橢圓C：的右頂點是M（2，0），離心率為．(1)求橢圓C的標準方程．(2)過點T（4，0）作直線l與橢圓C交于不同的兩點A，B，點B關于x軸的對稱點為D，問直線AD是否過定點？若是，求出該定點的坐標；若不是，請說明理由．【解析】（1）由右頂點是M（2，0），得a＝2，又離心率，所以，所以，所以橢圓C的標準方程為．（2）設，，顯然直線l的斜率存在．直線l的方程為，聯(lián)立方程組消去y得，由，得，所以，．因為點，所以直線AD的方程為．又，所以直線AD的方程可化為，即，所以直線AD恒過點（1，0）．（方法二）設，，直線l的方程為，聯(lián)立方程組消去x得，由，得或，所以，．因為點，則直線AD的方程為．又，所以直線AD的方程可化為，此時直線AD恒過點（1,0），當直線l的斜率為0時，直線l的方程為y＝0，也過點（1，0）．綜上，直線AD恒過點（1，0）．題型八：動點在定直線上例22．（2024·江蘇南通·高二?？茧A段練習）已知為的兩個頂點，為的重心，邊上的兩條中線長度之和為6.(1)求點的軌跡的方程.(2)已知點，直線與曲線的另一個公共點為，直線與交于點，試問：當點變化時，點是否恒在一條定直線上？若是，請證明；若不是，請說明理由.【解析】（1）因為為的重心，且邊上的兩條中線長度之和為6，所以，故由橢圓的定義可知的軌跡是以為焦點的橢圓（不包括長軸的端點），且，所以，所以的軌跡的方程為；（2）設直線的方程為：，，，聯(lián)立方程得：，則，，所以，又直線的方程為：，又直線的方程為：，聯(lián)立方程，解得，把代入上式得：，所以當點運動時，點恒在定直線上例23．（2024·上海·高二專題練習）已知雙曲線的兩焦點為，為動點，若.（1）求動點的軌跡方程；（2）若，設直線過點，且與軌跡交于兩點，直線與交于點.試問：當直線在變化時，點是否恒在一條定直線上？若是，請寫出這條定直線方程，并證明你的結論；若不是，請說明理由.【解析】（1）雙曲線的兩焦點為，設動點，因為，且，所以動點的軌跡是以為焦點的橢圓.因為，所以的軌跡方程；.（2）由題意設直線的方程為，取，得，直線的方程是，直線的方程是，交點為.若，由對稱性可知：交點為.若點在同一條直線上，則該直線只能為.以下證明對任意的，直線與交點均在直線上.由得，設，由韋達定理得：設直線與交點為，由，得.設直線與交點為，由，得，因為，.所以與重合.所以當直線在變化時，點恒在直線上.例24．（2024·全國·高二專題練習）已知橢圓的離心率，長軸的左、右端點分別為(1)求橢圓的方程；(2)設直線與橢圓交于兩點，直線與交于點，試問：當變化時，點是否恒在一條直線上？若是，請寫出這條直線的方程，并證明你的結論；若不是，請說明理由.【解析】（1）設橢圓的標準方程為，根據(jù)題意，可得且，所以，所以，所以橢圓的標準方程為.（2）根據(jù)題意，可設直線的方程為，取，可得，可得直線的方程為，直線的方程為，聯(lián)立方程組，可得交點為；若，由對稱性可知交點，若點在同一直線上，則直線只能為；以下證明：對任意的，直線與直線的交點均在直線上，由，整理得，設，則，設與交于點，由，可得，設與交于點，由，可得，因為，因為，即與重合，所以當變化時，點均在直線上，.變式19．（2024·全國·高三專題練習）已知曲線，直線與曲線交于軸右側不同的兩點．(1)求的取值范圍；(2)已知點的坐標為，試問：的內(nèi)心是否恒在一條定直線上？若是，請求出該直線方程；若不是，請說明理由．【解析】（1）設，聯(lián)立方程，消去y得：，由題意可得，解得，故的取值范圍為.（2）內(nèi)心恒在一條定直線上，該直線為，∵，即點在橢圓上，若直線過點，則，解得，即直線不過點，故直線的斜率存在，由（1）可得：，設直線的斜率分別為，則，∵，即，則的角平分線為，故的內(nèi)心恒在直線上.變式20．（2024·浙江臺州·高二校聯(lián)考期中）已知直線l：與圓C：交于A?B兩點.(1)若時，求弦AB的長度；(2)設圓C在點A處的切線為，在點B處的切線為，與的交點為Q.試探究：當m變化時，點Q是否恒在一條定直線上？若是，請求出這條直線的方程；若不是，說明理由.【解析】（1），圓心，半徑，點C到直線的距離，∴；（2）設點，由題意得：Q?A?B?C四點共圓，且圓的方程為：，即，與圓C的方程C：聯(lián)立，消去二次項得：，即為直線l的方程，因為直線l：過定點，所以，解得：，所以當m變化時，點Q恒在直線上.變式21．（2024·全國·高二專題練習）已知直線，圓.(1)證明：直線與圓相交；(2)設直線與的兩個交點分別為、，弦的中點為，求點的軌跡方程；(3)在（2）的條件下，設圓在點處的切線為，在點處的切線為，與的交點為.證明：Q，A，B，C四點共圓，并探究當變化時，點是否恒在一條定直線上?若是，請求出這條直線的方程；若不是，說明理由.【解析】（1）證明：如圖所示，圓，化成標準方程為，圓心，半徑為2，直線過定點，定點到圓心距離為1，即在圓內(nèi)，故直線l與圓C相交；（2）l與C的兩個交點分別為A、B，弦AB的中點為M，設點，由垂徑定理得，即，整理得，直線l不過圓心C，則，所以點M的軌跡方程為；（3）依題意有，，四邊形QACB對角互補，所以Q，A，B，C四點共圓，且QC為圓的直徑，設，則圓心坐標為，半徑為，則圓的標準方程為，整理得，與圓C的方程聯(lián)立，消去二次項得∶，即為直線l的方程，因為直線過定點，所以，解得：，所以當m變化時，點Q恒在直線上．變式22．（2024·吉林四平·高二?？茧A段練習）已知橢圓的左、右頂點分別為、，短軸長為，點上的點滿足直線、的斜率之積為．(1)求的方程；(2)若過點且不與軸垂直的直線與交于、兩點，記直線、交于點．探究：點是否在定直線上，若是，求出該定直線的方程；若不是，請說明理由．【解析】（1）設，則，且，所以，，則，故①，又②，

聯(lián)立①②，解得，，故橢圓的方程為．（2）結論：點在定直線上．

由（1）得，、，設，設直線的方程為，設點、，聯(lián)立，整理得，，，

直線的方程為，直線的方程為，所以，，可得

，解得，因此，點在直線上.變式23．（2024·高二課時練習）已知橢圓：（）過點，且離心率為．(1)求橢圓的方程；(2)記橢圓的上下頂點分別為，過點斜率為的直線與橢圓交于兩點，證明：直線與的交點在定直線上，并求出該定直線的方程．【解析】（1）由橢圓過點，且離心率為，所以，解得故所求的橢圓方程為．（2）由題意得，，直線的方程，設，聯(lián)立，整理得，∴，．由求根公式可知，不妨設，，直線的方程為，直線的方程為，聯(lián)立，得代入，得，解得，即直線與的交點在定直線上．題型九：圓過定點例25．（2024·陜西西安·高二西安市鐵一中學校考期末）已知橢圓的離心率，左、右焦點分別為，拋物線的焦點F恰好是該橢圓的一個頂點.（1）求橢圓C的方程；（2）已知圓M：的切線l(直線l的斜率存在且不為零)與橢圓相交于兩點，求證：以為直徑的圓是否經(jīng)過坐標原點.【解析】（1）由題意可知，離心率，拋物線的焦點為，即該橢圓的一個頂點為，故，故，所以橢圓C的方程為；（2）直線l的斜率存在且不為零，故設直線為，依題意，圓M：，圓心為，半徑，由直線l與圓M：相切，得圓心到直線l的距離，化簡得，即.設，聯(lián)立方程，得，則，，故，則，故，即，故以為直徑的圓經(jīng)過坐標原點.例26．（2024·四川宜賓·?？寄M預測）已知橢圓的離心率，左、右焦點分別為、，拋物線的焦點恰好是該橢圓的一個頂點.（1）求橢圓的方程；（2）已知圓的切線（直線的斜率存在且不為零）與橢圓相交于、兩點，那么以為直徑的圓是否經(jīng)過定點？如果是，求出定點的坐標；如果不是，請說明理由.【解析】（1）因為橢圓的離心率,所以,即.因為拋物線的焦點恰好是該橢圓的一個頂點,所以,所以.所以橢圓的方程為.（2）因為直線的斜率存在且不為零.故設直線的方程為.由消去,得,所以設,則.所以.所以.①因為直線和圓相切,所以圓心到直線的距離,整理,得,②將②代入①,得,顯然以為直徑的圓經(jīng)過定點綜上可知,以為直徑的圓過定點.例27．（2024·遼寧葫蘆島·統(tǒng)考二模）已知直線l1:過橢圓C:的左焦點，且與拋物線M:相切.(1)求橢圓C及拋物線M的標準方程;(2)直線l2過拋物線M的焦點且與拋物線M交于A，B兩點，直線OA，OB與橢圓的過右頂點的切線交于M，N兩點.判斷以MN為直徑的圓與橢圓C是否恒交于定點P，若存在，求出定點P的坐標；若不存在，請說明理由.【解析】（1）由，得，因為直線與拋物線只有1個公共點，所以，解得，故拋物線的方程為.由直線過橢圓C的左焦點得得所以，，3，所以橢圓C的方程為.（2）如圖1，設，，當直線l2斜率存在時，可設直線方程：由得，所以，，.

所以，，直線的方程為，同理可得，直線的方程為，令得，，，假設橢圓C上存在點，恒有.則即，即，即，令，可得或.由于點不在橢圓C上，點在橢圓上，所以橢圓C上存在點，使恒成立如圖2，當直線斜率不存在時，直線過拋物線的右焦點，則直線方程為，與拋物線交于，，則直線OA方程為：，直線OB方程為：，橢圓的過右頂點的切線方程為，切線方程與直線OA交于，與直線OB交于，由上面斜率存在可知恒過，經(jīng)驗證滿足，所以當斜率不存在時候也滿足以MN為直徑的圓恒過定點.變式24．（2024·全國·高三專題練習）在平面直角坐標系中，動點M到直線的距離等于點M到點的距離的2倍，記動點M的軌跡為曲線C．(1)求曲線C的方程；(2)已知斜率為的直線l與曲線C交于A、B兩個不同點，若直線l不過點，設直線的斜率分別為，求的值；(3)設點Q為曲線C的上頂點，點E、F是C上異于點Q的任意兩點，以為直徑的圓恰過Q點，試判斷直線是否經(jīng)過定點？若經(jīng)過定點，請求出定點坐標；若不經(jīng)過定點，請說明理由．【解析】（1）不妨設點的坐標為，由題意可知，，化簡可得，，故曲線C的方程為.（2）不妨設直線的方程：，，，因為直線l不過點，易知，由可得，，由且可得，或，由韋達定理可知，，，因為，，，，所以，將，代入上式得，，故的值為0.（3）由橢圓方程可知，點坐標為，因為以為直徑的圓恰過Q點，所以，結合橢圓特征可知，直線的斜率存在，不妨設直線方程：，且，，，由可得，，由可得，，由韋達定理可知，，，因為，，，，所以，將，代入上式并化簡可得，，故直線方程：，易知直線必過定點，從而直線經(jīng)過定點，定點坐標為.變式25．（2024·廣西·高三象州縣中學?？茧A段練習）在直角坐標系中，動點M到定點的距離比到y(tǒng)軸的距離大1．(1)求動點M的軌跡方程；(2)當時，記動點M的軌跡為曲線C，過F的直線與曲線C交于P，Q兩點，直線OP，OQ與直線分別交于A，B兩點，試判斷以AB為直徑的圓是否經(jīng)過定點？若是，求出定點坐標；若不是，請說明理由．【解析】（1）動點M到定點的距離比到y(tǒng)軸的距離大1，當時，動點M到定點的距離等于到的距離，軌跡為拋物線，設拋物線方程為，，，當時，滿足條件.綜上所述：軌跡方程為：時，；時，（2）設直線的方程為，，聯(lián)立，整理得：，，，直線的方程為，同理：直線的方程為，令得，，設中點的坐標為，則，，所以.，圓的半徑為.所以為直徑的圓的方程為.展開可得，令，可得，解得或.所以以為直徑的圓經(jīng)過定點和變式26．（2024·江西宜春·高二江西省豐城中學校考期末）已知雙曲線：經(jīng)過點A，且點到的漸近線的距離為．(1)求雙曲線C的方程；(2)過點作斜率不為的直線與雙曲線交于M，N兩點，直線分別交直線AM，AN于點E，F(xiàn)．試判斷以EF為直徑的圓是否經(jīng)過定點，若經(jīng)過定點，請求出定點坐標；反之，請說明理由．【解析】（1）由題意得：因為雙曲線C的漸近線方程為，所以有：解得：因此，雙曲線C的方程為：（2）①當直線l的斜率存在時，設直線l的方程為由可得：設、，則由：，由直線AM方程，令，得點由直線AN方程，令，得點則以EF為直徑的圓的方程為：令，有：將，代入上式，得可得：解得：，或即以EF為直徑的圓經(jīng)過點和；②當直線l的斜率不存在時，點E、F的坐標分別為、，以EF為直徑的圓方程為，該圓經(jīng)過點和綜合可得，以EF為直徑的圓經(jīng)過定點和題型十：角度定值例28．（2024·全國·高三專題練習）已知橢圓上的點到它的兩個焦點的距離之和為4，以橢圓C的短軸為直徑的圓O經(jīng)過這兩個焦點，點A，B分別是橢圓