第41講、等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和（教師版）

第41講等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和知識(shí)梳理知識(shí)點(diǎn)一．等差數(shù)列的有關(guān)概念（1）等差數(shù)列的定義一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，通常用字母表示，定義表達(dá)式為（常數(shù)）．（2）等差中項(xiàng)若三個(gè)數(shù)，，成等差數(shù)列，則叫做與的等差中項(xiàng)，且有．知識(shí)點(diǎn)二．等差數(shù)列的有關(guān)公式（1）等差數(shù)列的通項(xiàng)公式如果等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為，那么它的通項(xiàng)公式是．（2）等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式設(shè)等差數(shù)列的公差為，其前項(xiàng)和．知識(shí)點(diǎn)三．等差數(shù)列的常用性質(zhì)已知為等差數(shù)列，為公差，為該數(shù)列的前項(xiàng)和．（1）通項(xiàng)公式的推廣：．（2）在等差數(shù)列中，當(dāng)時(shí)，．特別地，若，則．（3），…仍是等差數(shù)列，公差為．（4），…也成等差數(shù)列，公差為．（5）若，是等差數(shù)列，則也是等差數(shù)列．（6）若是等差數(shù)列，則也成等差數(shù)列，其首項(xiàng)與首項(xiàng)相同，公差是公差的．（7）若項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)，則；；．（8）若項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)，則；；．（9）在等差數(shù)列中，若，則滿足的項(xiàng)數(shù)使得取得最大值；若，則滿足的項(xiàng)數(shù)使得取得最小值．知識(shí)點(diǎn)四．等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式與函數(shù)的關(guān)系．?dāng)?shù)列是等差數(shù)列?（為常數(shù)）．知識(shí)點(diǎn)五．等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的最值公差為遞增等差數(shù)列，有最小值；公差為遞減等差數(shù)列，有最大值；公差為常數(shù)列．特別地若，則有最大值（所有正項(xiàng)或非負(fù)項(xiàng)之和）；若，則有最小值（所有負(fù)項(xiàng)或非正項(xiàng)之和）．知識(shí)點(diǎn)六．其他衍生等差數(shù)列．若已知等差數(shù)列，公差為，前項(xiàng)和為，則：①等間距抽取為等差數(shù)列，公差為．②等長(zhǎng)度截取為等差數(shù)列，公差為．③算術(shù)平均值為等差數(shù)列，公差為．【解題方法總結(jié)】（1）等差數(shù)列中，若，則．（2）等差數(shù)列中，若，則．（3）等差數(shù)列中，若，則．（4）若與為等差數(shù)列，且前項(xiàng)和為與，則．必考題型全歸納題型一：等差數(shù)列的基本量運(yùn)算例1．（2024·云南昆明·高三昆明一中校考階段練習(xí)）已知數(shù)列滿足：，且滿足，則（

）A．1012 B．1013 C．2022 D．2024【答案】A【解析】因?yàn)?，所以，兩式相減，得：，所以數(shù)列中的奇數(shù)項(xiàng)是以為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，所以.故選：A.例2．（2024·河北·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和是，則（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】由已知設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，，解得，，所以．故選：D.例3．（2024·四川涼山·三模）在等差數(shù)列中，，，則（

）．A．3 B．5 C．7 D．9【答案】C【解析】由題設(shè)，則，而，若等差數(shù)列公差為，則，所以，通項(xiàng)公式為，故.故選：C變式1．（2024·江西新余·統(tǒng)考二模）記是公差不為0的等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，，則數(shù)列的公差為（

）A． B． C．2 D．4【答案】A【解析】由可得：①，由可得：②，由①②可得：或(舍去).故選：A.變式2．（2024·廣西·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）設(shè)為等差數(shù)列，若，則公差（

）A．－2 B．－1 C．1 D．2【答案】D【解析】由題意得解得，故選：D.變式3．（2024·山西·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則（

）A．30 B．28 C．26 D．13【答案】C【解析】設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為，則，，，所以.故選：C【解題方法總結(jié)】等差數(shù)列基本運(yùn)算的常見(jiàn)類型及解題策略：（1）求公差或項(xiàng)數(shù)．在求解時(shí)，一般要運(yùn)用方程思想．（2）求通項(xiàng)．和是等差數(shù)列的兩個(gè)基本元素．（3）求特定項(xiàng)．利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式或等差數(shù)列的性質(zhì)求解．（4）求前項(xiàng)和．利用等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式直接求解或利用等差中項(xiàng)間接求解．【注意】在求解數(shù)列基本量問(wèn)題中主要使用的是方程思想，要注意使用公式時(shí)的準(zhǔn)確性與合理性，更要注意運(yùn)算的準(zhǔn)確性．在遇到一些較復(fù)雜的方程組時(shí)，要注意運(yùn)用整體代換思想，使運(yùn)算更加便捷．題型二：等差數(shù)列的判定與證明例4．（2024·福建福州·福建省福州第一中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.(1)求證：數(shù)列是等差數(shù)列；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.【解析】（1）數(shù)列中，，當(dāng)時(shí)，，兩式相減得，即，則，于是，因此數(shù)列是常數(shù)列，則，從而，即，所以數(shù)列是以1為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列.（2）由（1）知，，所以.例5．（2024·江蘇南京·高二南京師范大學(xué)附屬中學(xué)江寧分校?？计谀┯洖閿?shù)列的前項(xiàng)和．(1)從下面兩個(gè)條件中選一個(gè)，證明：數(shù)列是等差數(shù)列；①數(shù)列是等差數(shù)列；②(2)若數(shù)列為等差數(shù)列，且，，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【解析】（1）選擇條件①：，，兩式相減可得，即，，兩式相減可得，化簡(jiǎn)可得，，數(shù)列是等差數(shù)列．選擇條件②：設(shè)數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為，則，故，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，，又．?dāng)?shù)列是等差數(shù)列．（2）數(shù)列是等差數(shù)列，且公差，．，故．例6．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，．(1)證明：是等差數(shù)列，并求出的通項(xiàng)．(2)證明：．【解析】（1）由，可得，∴，即，∵，即，∴是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，∴，即．（2）令①，∵，∴②，①×②得，∴，即．變式4．（2024·陜西西安·高二長(zhǎng)安一中?？计谀┮阎獢?shù)列滿足，，.(1)若數(shù)列為數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)組成的數(shù)列，證明：數(shù)列為等差數(shù)列；(2)求數(shù)列的前50項(xiàng)和.【解析】（1）由題，，且，所以數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為的等差數(shù)列；（2）設(shè)為數(shù)列的偶數(shù)項(xiàng)組成的數(shù)列，注意到，，所以數(shù)列是首項(xiàng)為2，公差為的等差數(shù)列，結(jié)合可知，的奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)都是以為公差的等差數(shù)列，所以.變式5．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，數(shù)列的前n項(xiàng)積為，且滿足．(1)求證：為等差數(shù)列；(2)記，求數(shù)列的前2024項(xiàng)的和M．【解析】（1）因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，解得或，又，所以，故，由，可得，所以，當(dāng)時(shí)，．所以，即，所以，所以所以是以為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列.（2）所以，則，因?yàn)椋剩兪?．（2024·浙江寧波·高一慈溪中學(xué)校聯(lián)考期末）已知數(shù)列中，，當(dāng)時(shí)，其前項(xiàng)和滿足：，且，數(shù)列滿足：對(duì)任意有.(1)求證：數(shù)列是等差數(shù)列；(2)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(3)設(shè)是數(shù)列的前項(xiàng)和，求證：.【解析】（1），，，即①由題意，將①式兩邊同除以，得，數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為1的等差數(shù)列.（2）由（1）可知當(dāng)時(shí)，，即，當(dāng)時(shí)，②，則③，②③，，即，因?yàn)闈M足，所以.（3）由（2）可知，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以.所以.【解題方法總結(jié)】判斷數(shù)列是等差數(shù)列的常用方法（1）定義法：對(duì)任意是周一常數(shù)．（2）等差中項(xiàng)法：對(duì)任意，湍足．（3）通項(xiàng)公式法：對(duì)任意，都滿足為常數(shù)）．（4）前項(xiàng)和公式法：對(duì)任意，都湍足為常數(shù)）．題型三：等差數(shù)列的性質(zhì)例7．（2024·安徽蚌埠·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知等差數(shù)列滿足，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因?yàn)閿?shù)列是等差數(shù)列，所以，即，所以，故選：A例8．（2024·陜西榆林·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）設(shè)為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】A【解析】由等差數(shù)列性質(zhì)和的求和公式，可得，所以.故選：A.例9．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，其前n項(xiàng)和為，若，則（

）A． B．0 C．2 D．4【答案】C【解析】根據(jù)題意，可得數(shù)列為等差數(shù)列，所以，所以，所以，所以.故選：C．變式7．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如果等差數(shù)列中，，那么（

）A．14 B．12 C．28 D．36【答案】C【解析】∵，∴，則，又，故.故選:C.變式8．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列是等差數(shù)列，若，則等于（

）A．7 B．14 C．21 D．7(n-1)【答案】B【解析】因?yàn)?，所?故選：B變式9．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知等差數(shù)列中，，則（

）A．30 B．15 C．5 D．10【答案】B【解析】∵數(shù)列為等差數(shù)列，，所以∴.故選：B【解題方法總結(jié)】如果為等差數(shù)列，當(dāng)時(shí)，．因此，出現(xiàn)等項(xiàng)時(shí)，可以利用此性質(zhì)將已知條件轉(zhuǎn)化為與（或其他項(xiàng)）有關(guān)的條件；若求項(xiàng)，可由轉(zhuǎn)化為求am－n＋an＋m的值．題型四：等差數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)例10．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）兩個(gè)等差數(shù)列，的前n項(xiàng)和分別為和，已知，則______．【答案】【解析】由題意可知，，所以.故答案為:.例11．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)等差數(shù)列，的前n項(xiàng)和分別為，，且，則______.【答案】/【解析】等差數(shù)列，的前n項(xiàng)和分別為，，所以.故答案為：例12．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若兩個(gè)等差數(shù)列，的前n項(xiàng)和分別是，，已知，則______.【答案】/【解析】因?yàn)?，為等差?shù)列，所以，因?yàn)椋?故答案為：.變式10．（2024·高三課時(shí)練習(xí)）已知數(shù)列與均為等差數(shù)列，且前n項(xiàng)和分別為與，若，則______．【答案】【解析】由等差數(shù)列的求和公式得，所以，故答案為：變式11．（2024·寧夏·高三六盤(pán)山高級(jí)中學(xué)校考期中）設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則_________【答案】27【解析】.故答案為：.變式12．（2024·四川綿陽(yáng)·高三四川省綿陽(yáng)南山中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，，則___________【答案】【解析】由題設(shè)成等差數(shù)列，所以，則，所以.故答案為：變式13．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）等差數(shù)列中，，前項(xiàng)和為，若，則______.【答案】【解析】設(shè)的公差為，由等差數(shù)列的性質(zhì)可知，因?yàn)?，故，故為常?shù)，所以為等差數(shù)列，設(shè)公差為，，，，，則故答案為：變式14．（2024·全國(guó)·高三對(duì)口高考）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若公差，；則的值為_(kāi)_________.【答案】【解析】設(shè)，，因?yàn)閿?shù)列是等差數(shù)列，且公差，，所以，解得，，所以.故答案為：.變式15．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知等差數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)，且奇數(shù)項(xiàng)的和為40，偶數(shù)項(xiàng)的和為32，則______.【答案】8【解析】設(shè)等差數(shù)列有奇數(shù)項(xiàng)項(xiàng)，，偶數(shù)項(xiàng)為項(xiàng)，公差為．奇數(shù)項(xiàng)和為40，偶數(shù)項(xiàng)和為32，，，，即，解得：即等差數(shù)列共項(xiàng)，且故答案為：8變式16．（2024·四川瀘州·四川省瀘縣第一中學(xué)?？级＃┰诘炔顢?shù)列中，前m項(xiàng)（m為奇數(shù)）和為70，其中偶數(shù)項(xiàng)之和為30，且，則的通項(xiàng)公式為_(kāi)_____.【答案】【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，解得，且，解得故答案為：【解題方法總結(jié)】在等差數(shù)列中，，…仍成等差數(shù)列；也成等差數(shù)列．題型五：等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值例13．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，且，，則當(dāng)取最大值時(shí)，的值為_(kāi)__________.【答案】7【解析】方法一：設(shè)數(shù)列的公差為，則由題意得，解得則.又，∴當(dāng)時(shí)，取得最大值.方法二：設(shè)等差數(shù)列的公差為.∵，∴，∴，解得，則，令解得，又，∴，即數(shù)列的前7項(xiàng)為正數(shù)，從第8項(xiàng)起各項(xiàng)均為負(fù)數(shù)，故當(dāng)取得最大值時(shí)，.故答案為：7.例14．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，，則以下選項(xiàng)中，最大的是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因?yàn)?，所以，所以，又因?yàn)?，所以，所以，又，所以，所以為遞減數(shù)列，且前項(xiàng)為正值，從第項(xiàng)開(kāi)始為負(fù)值，所以，故選：C.例15．（2024·四川·模擬預(yù)測(cè)）在數(shù)列中，若，前項(xiàng)和，則的最大值為_(kāi)_____．【答案】66【解析】=21，解得，故，屬于二次函數(shù)，對(duì)稱軸為，故當(dāng)或時(shí)取得最大值，，，，故的最大值為66.故答案為：66.變式17．（2024·上海嘉定·高三上海市嘉定區(qū)第一中學(xué)?？计谥校┮阎炔顢?shù)列的各項(xiàng)均為正整數(shù)，且，則的最小值是________【答案】4【解析】若等差數(shù)列的各項(xiàng)均為正整數(shù)，則數(shù)列單增，則公差，故為正整數(shù)，關(guān)于d單減，，則當(dāng)時(shí)，故取得最小值為4，故答案為：4變式18．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，，則數(shù)列中的最大項(xiàng)是第______項(xiàng).【答案】13【解析】由已知可得數(shù)列是遞減數(shù)列，且前13項(xiàng)大于0，自第14項(xiàng)起小于0，可得數(shù)列從第14項(xiàng)起為負(fù)值，而為遞增數(shù)列，則答案可求．在等差數(shù)列中，由，，得，，則數(shù)列是遞減數(shù)列，且前13項(xiàng)大于0，自第14項(xiàng)起小于0，數(shù)列從第14項(xiàng)起為負(fù)值，而為遞增數(shù)列，數(shù)列的最大項(xiàng)是第13項(xiàng)．故答案為：13．變式19．（2024·江西·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知數(shù)列滿足，則的最小值為_(kāi)______.【答案】.【解析】根據(jù)遞推公式和累加法可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式.代入中,由數(shù)列中的性質(zhì),結(jié)合數(shù)列的單調(diào)性即可求得最小值.因?yàn)?所以,從而…,,累加可得,而所以,則,因?yàn)樵谶f減,在遞增當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,所以時(shí)取得最小值,最小值為.故答案為:變式20．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）等差數(shù)列中，，，給出下列命題：①，②，③是各項(xiàng)中最大的項(xiàng)，④是中最大的值，⑤為遞增數(shù)列.其中正確命題的序號(hào)是______.【答案】①②④【解析】等差數(shù)列中，，，所以，則．所以，則．所以①正確．②整理得正確．③是各項(xiàng)中最大的項(xiàng)，應(yīng)該是最小的正數(shù)項(xiàng)．故錯(cuò)誤．④是中最大的值，正確；⑤為遞增數(shù)列．錯(cuò)誤，應(yīng)改為遞減數(shù)列．故答案為：①②④．變式21．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知等差數(shù)列的通項(xiàng)公式為，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，數(shù)列的前項(xiàng)和最大.則滿足的的最大值為_(kāi)_________.【答案】19【解析】由題可知，等差數(shù)列為遞減數(shù)列，且，又，所以，解得，所以，所以，所以，解得，所以滿足的的最大值為19.故答案為：19.變式22．（2024·高三課時(shí)練習(xí)）記等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，，則當(dāng)取得最大值時(shí)，n＝______．【答案】【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，由可得：，所以，因?yàn)?，所以，則是關(guān)于的二次函數(shù)，開(kāi)口向下，對(duì)稱軸，由二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)可得：當(dāng)時(shí)，取最大值，故答案為：.變式23．（2024·福建泉州·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知是等差數(shù)列{}的前n項(xiàng)和，若僅當(dāng)時(shí)取到最小值，且，則滿足的n的最小值為_(kāi)_________.【答案】11【解析】因?yàn)椋?dāng)時(shí)取到最小值，所以，所以，因?yàn)椋?，即，所?，則，因?yàn)?，所以，解之得?因?yàn)?，所以n的最小值為11.故答案為：11.變式24．（2024·河南信陽(yáng)·高三信陽(yáng)高中校考階段練習(xí)）已知為等差數(shù)列的前項(xiàng)和.若，，則當(dāng)取最小值時(shí)，的值為_(kāi)_______.【答案】【解析】因?yàn)?，所以，又，所以，則所以為遞增的等差數(shù)列，且，所以，即當(dāng)取最小值時(shí)，的值為.故答案為：變式25．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列是等差數(shù)列，若，，且數(shù)列的前項(xiàng)和有最大值，那么當(dāng)時(shí)，的最大值為_(kāi)_．【答案】20【解析】因?yàn)?，所以和異?hào)，又?jǐn)?shù)列的前項(xiàng)和有最大值，所以數(shù)列是遞減的等差數(shù)列，所以，，又，所以，，所以的最大值為20．故答案為：20.【解題方法總結(jié)】求等差數(shù)列前項(xiàng)和最值的2種方法（1）函數(shù)法：利用等差數(shù)列前項(xiàng)和的函數(shù)表達(dá)式，通過(guò)配方或借助圖象求二次函數(shù)最值的方法求解．（2）鄰項(xiàng)變號(hào)法：①若，則滿足的項(xiàng)數(shù)使得取得最大值；②若，則滿足的項(xiàng)數(shù)使得取得最小值．題型六：等差數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用例16．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）從冬至日起，小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種這十二個(gè)節(jié)氣的日影長(zhǎng)度依次成等差數(shù)列，冬至、立春、春分這三個(gè)節(jié)氣的日影長(zhǎng)度之和為尺，前九個(gè)節(jié)氣日影長(zhǎng)度之和為尺，則谷雨這一天的日影長(zhǎng)度為（

）A．尺 B．尺 C．尺 D．尺【答案】A【解析】設(shè)冬至，小寒，大寒，立春，雨水，驚蟄，春分，清明，谷雨，立夏，小滿，芒種這十二個(gè)節(jié)氣為：，且其公差為，依題意有：，，，公差，則，所以谷雨這一天的日影長(zhǎng)度為尺，故選：A例17．（2024·河北唐山·唐山市第十中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）2022年卡塔爾世界杯是第二十二屆世界杯足球賽，是歷史上首次在卡塔爾和中東國(guó)家境內(nèi)舉行，也是繼2002年韓日世界杯之后時(shí)隔二十年第二次在亞洲舉行的世界杯足球賽.某網(wǎng)站全程轉(zhuǎn)播了該次世界杯，為紀(jì)念本次世界杯，該網(wǎng)站舉辦了一針對(duì)本網(wǎng)站會(huì)員的獎(jiǎng)品派發(fā)活動(dòng)，派發(fā)規(guī)則如下：①對(duì)于會(huì)員編號(hào)能被2整除余1且被7整除余1的可以獲得精品足球一個(gè)；②對(duì)于不符合①中條件的可以獲得普通足球一個(gè).已知該網(wǎng)站的會(huì)員共有1456人（編號(hào)為1號(hào)到1456號(hào)，中間沒(méi)有空缺），則獲得精品足球的人數(shù)為（

）A．102 B．103 C．104 D．105【答案】C【解析】將能被2整除余1且被7整除余1的正整數(shù)按從小到大排列所得的數(shù)列記為，由已知是的倍數(shù)，也是的倍數(shù)，故為的倍數(shù)，所以首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，所以，令，可得，又解得，且，故獲得精品足球的人數(shù)為.故選：C.例18．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）2022年10月16日上午10時(shí)，舉世矚目的中國(guó)共產(chǎn)黨第二十次全國(guó)代表大會(huì)在北京人民大會(huì)堂隆重開(kāi)幕，某單位組織全體人員在報(bào)告廳集體收看，已知該報(bào)告廳共有16排座位，共有432個(gè)座位數(shù)，并且從第二排起，每排比前一排多2個(gè)座位數(shù)，則最后一排的座位數(shù)為（

）A．12 B．26 C．42 D．50【答案】C【解析】根據(jù)題意，把各排座位數(shù)看作等差數(shù)列，設(shè)等差數(shù)列通項(xiàng)為，首項(xiàng)為，公差為，前項(xiàng)和為，則，所以，解得，所以，故選：C．變式26．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）天干地支紀(jì)年法源于中國(guó)，中國(guó)自古便有十天干與十二地支.十天干即：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支即：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥.天干地支紀(jì)年法是按順序以一個(gè)天干和一個(gè)地支相配，排列起來(lái)，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，比如第一年為“甲子”，第二年為“乙丑”，第三年為“丙寅”，…，以此類推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新開(kāi)始，即“甲戌”，“乙亥”，之后地支回到“子”重新開(kāi)始，即“丙子”，…，以此類推，2024年是癸卯年，請(qǐng)問(wèn)：在100年后的2123年為（

）A．癸未年 B．辛丑年 C．己亥年 D．戊戌年【答案】A【解析】由題意得：天干可看作公差為10的等差數(shù)列，地支可看作公差為12的等差數(shù)列，由于，余數(shù)為0，故100年后天干為癸，由于，余數(shù)為4，故100年后地支為未，綜上：100年后的2123年為癸未年.故選：A.變式27．（2024·海南?？凇ばＢ?lián)考一模）家庭農(nóng)場(chǎng)是指以農(nóng)戶家庭成員為主要?jiǎng)趧?dòng)力的新型農(nóng)業(yè)經(jīng)營(yíng)主體．某家庭農(nóng)場(chǎng)從2019年開(kāi)始逐年加大投入，加大投入后每年比前一年增加相同額度的收益，已知2019年的收益為30萬(wàn)元，2021年的收益為50萬(wàn)元．照此規(guī)律，從2019年至2026年該家庭農(nóng)場(chǎng)的總收益為（

）A．630萬(wàn)元 B．350萬(wàn)元 C．420萬(wàn)元 D．520萬(wàn)元【答案】D【解析】依題意，該家庭農(nóng)場(chǎng)每年收益依次成等差數(shù)列，設(shè)為，可得，，所以公差為，所以2019年至2026年該家庭農(nóng)場(chǎng)的總收益為，故選：D題型七：關(guān)于等差數(shù)列奇偶項(xiàng)問(wèn)題的討論例19．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知為等差數(shù)列，，記，分別為數(shù)列，的前n項(xiàng)和，，．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)證明：當(dāng)時(shí)，．【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，而，則，于是，解得，，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式是.（2）方法1：由（1）知，，，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，因此，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，因此，所以當(dāng)時(shí)，.方法2：由（1）知，，，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，因此，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，若，則，顯然滿足上式，因此當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，因此，所以當(dāng)時(shí)，.例20．（2024·廣東深圳·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知等差數(shù)列滿足，．(1)求；(2)數(shù)列滿足，為數(shù)列的前項(xiàng)和，求．【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為d，因?yàn)?，．則，解得，所以．（2）由（1）可得，則，所以.例21．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足：，，.(1)記，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)記數(shù)列的前項(xiàng)和為，求.【解析】（1）因?yàn)?，令n取，則，即，，所以數(shù)列是以1為首項(xiàng)，3為公差的等差數(shù)列，所以（2）令n取2n，則，所以，由（1）可知，；；所以變式28．（2024·江蘇南京·統(tǒng)考一模）已知數(shù)列和滿足：.（1）若，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若.求證：數(shù)列為等差數(shù)列；記數(shù)列的前項(xiàng)和為，求滿足的所有正整數(shù)和的值.【解析】（1）當(dāng)時(shí)，有，得，構(gòu)造數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列；所以，即，所以（）;（2）①當(dāng)時(shí)，有（），按照n被4整除的余數(shù)分四類分別證明數(shù)列為等差數(shù)列;②由①知，，則（）；由，得；按照,和時(shí)分別討論,求出正整數(shù)和.試題解析:（1）當(dāng)時(shí)，有，得，令，，所以，所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列；所以，即，所以（）．

（2）①當(dāng)時(shí)，有（），（）時(shí)，，所以為等差數(shù)列；（）；（）時(shí)，，所以為等差數(shù)列；（）；（）時(shí)，，所以為等差數(shù)列；（）；（）時(shí)，，所以為等差數(shù)列；（）；所以（），，所以數(shù)列為等差數(shù)列．

②由①知，，則（）；由，得；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，則，因?yàn)?，所以；從而，因?yàn)楹蜑檎麛?shù)，所以不存在正整數(shù)；當(dāng)時(shí)，則，因?yàn)闉檎麛?shù)，所以，從而，即，因?yàn)闉檎麛?shù)，所以或；當(dāng)時(shí)，，不是正整數(shù)；當(dāng)時(shí)，，不是正整數(shù)；綜上，滿足題意的所有正整數(shù)和分別為，．變式29．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）數(shù)列中，，前n項(xiàng)和滿足．（1）證明：為等差數(shù)列；（2）求．【解析】（1）∵①，∴②，①②：③，∴④，④③：，∴，∴是以1首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列.（2）由（1）得是以1首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，同理可得是以為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，又，故，∴前101項(xiàng)的偶數(shù)項(xiàng)和為，前101項(xiàng)的奇數(shù)項(xiàng)和為，∴．【解題方法總結(jié)】對(duì)于奇偶項(xiàng)通項(xiàng)不統(tǒng)一的數(shù)列的求和問(wèn)題要注意分類討論．主要是從為奇數(shù)、偶數(shù)進(jìn)行分類．題型八：對(duì)于含絕對(duì)值的等差數(shù)列求和問(wèn)題例22．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列的前項(xiàng)和為，設(shè)，求的最小值.【解析】（1）因?yàn)椋?，所以?dāng)時(shí)，，所以；當(dāng)時(shí)，，所以，所以，又滿足上式，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為.（2）由（1）知，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；所以，當(dāng)時(shí)，遞減，所以；當(dāng)時(shí)，，設(shè)，則，令得，此時(shí)單調(diào)遞增，令得，此時(shí)單調(diào)遞減，所以在時(shí)遞減，在時(shí)遞增，而，，且，所以；綜上，的最小值為.例23．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，已知．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和．【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，由題意可得，即，解得，所以，（2）因?yàn)?，令，解得，且，?dāng)時(shí)，則，可得；當(dāng)時(shí)，則，可得；綜上所述：.例24．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，，．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)求的值．【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)和公差分別為、，由題意可知，化簡(jiǎn)得，解得，所以．（2）由（1）知：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以．變式30．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，其中，．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)；(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和為．【解析】（1）設(shè)的公差為，則，解得，所以；（2）因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，，此時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，，綜上所述：.變式31．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在公差為的等差數(shù)列中，已知，且，，成等比數(shù)列．(1)求，；(2)若，求【解析】（1）由題意得，得，將代入并整理得，解得或．當(dāng)時(shí)，．當(dāng)時(shí)，．所以或；（2）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，因?yàn)?，由?）得，．則當(dāng)時(shí)，，則．當(dāng)時(shí)，，則.綜上所述，.【解題方法總結(jié)】由正項(xiàng)開(kāi)始的遞減等差數(shù)列的絕對(duì)值求和的計(jì)算題解題步驟如下：（1）首先找出零值或者符號(hào)由正變負(fù)的項(xiàng)（2）在對(duì)進(jìn)行討論，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，題型九：利用等差數(shù)列的單調(diào)性求解例25．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知等差數(shù)列單調(diào)遞增且滿足，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因?yàn)闉榈炔顢?shù)列，設(shè)公差為，因?yàn)閿?shù)列單調(diào)遞增，所以，所以，則，解得：，故選：C例26．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)是等差數(shù)列，則“”是“數(shù)列是遞增數(shù)列”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【解析】由題意可得公差，所以數(shù)列是遞增數(shù)列，即充分性成立；若數(shù)列是遞增數(shù)列，則必有，即必要性成立．故選：C．例27．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在等差數(shù)列中，為的前n項(xiàng)和，，，則無(wú)法判斷正負(fù)的是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】設(shè)公差為，因?yàn)椋?，可知：，且，，所以，從而，不確定正負(fù)，，故選：B變式32．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知等差數(shù)列公差不為0，正項(xiàng)等比數(shù)列，，，則以下命題中正確的是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】設(shè)等差數(shù)列公差為，正項(xiàng)等比數(shù)列公比為，因?yàn)椋?，即，所以，又，所以，由得，，，所以時(shí)，，時(shí)，．，，由，，即，（*），令，，（*）式為，其中，且，由已知和是方程的兩個(gè)解，記，且，是一次函數(shù)，是指數(shù)函數(shù)，由一次函數(shù)和指數(shù)函數(shù)性質(zhì)知當(dāng)它們同增或同減時(shí)，圖象才能有兩個(gè)交點(diǎn)，即方程才可能有兩解（題中時(shí)，，時(shí)，，滿足同增減）．如圖，作出和的圖象，它們?cè)诤蜁r(shí)相交，無(wú)論還是，由圖象可得，，，時(shí)，，時(shí)，，因此，，，，即，故選：B變式33．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則數(shù)列的通項(xiàng)公式可能是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由題意可知，，，則數(shù)列的最大項(xiàng)為.對(duì)于A選項(xiàng)，，當(dāng)時(shí)，且數(shù)列為遞增數(shù)列，此時(shí)無(wú)最大項(xiàng)，A選項(xiàng)不滿足條件；對(duì)于B選項(xiàng)，由，可得，故數(shù)列中最大，B選項(xiàng)不滿足條件；對(duì)于C選項(xiàng)，，數(shù)列為遞增數(shù)列且當(dāng)時(shí)，，此時(shí)無(wú)最大項(xiàng)，C選項(xiàng)不滿足條件；對(duì)于D選項(xiàng)，由，可得，故數(shù)列中最大，D選項(xiàng)滿足條件.故選：D.變式34．（2024·山西朔州·高二?？茧A段練習(xí)）設(shè)函數(shù)，數(shù)列滿足，且數(shù)列是遞增數(shù)列，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因?yàn)?，，所以，因?yàn)閿?shù)列是遞增數(shù)列，所以，解得，即.故選：C.【解題方法總結(jié)】（1）在處理數(shù)列的單調(diào)性問(wèn)題時(shí)應(yīng)利用數(shù)列的單調(diào)性定義，即“若數(shù)列是遞增數(shù)列，恒成立”．（2）數(shù)列的單調(diào)性與，的單調(diào)性不完全一致．一般情況下我們不應(yīng)把數(shù)列的單調(diào)性轉(zhuǎn)化為相應(yīng)連續(xù)函數(shù)的單調(diào)性來(lái)處理．但若數(shù)列對(duì)應(yīng)的連續(xù)函數(shù)是單調(diào)函數(shù)，則可以借助其單調(diào)性來(lái)求解數(shù)列的單調(diào)性問(wèn)題．即“離散函數(shù)有單調(diào)性連續(xù)函