22.2.1直接開平方法和因式分解法課件華東師大版數(shù)學九年級上冊

22.2一元二次方程的解法情境導入知識講解隨堂小測當堂檢測課堂小結(jié)1.直接開平方法和因式分解法學習目標1.會用直接開平方法解形如x2=p或（x+n）2=p的方程.（重點）2.靈活運用因式分解法解簡單的一元二次方程.（難點）3.了解轉(zhuǎn)化、降次思想在解方程中的應用.情境導入復習回顧1.平方根的概念.2.（1）什么是因式分解？如果一個數(shù)x的平方等于a，那么這個數(shù)x叫做a的平方根，即x2=a，x叫做a的平方根.把一個多項式分解成幾個整式乘積的形式叫做因式分解.情境導入復習回顧（2）因式分解有哪些方法？3.說出方程(x+1)(x-2)=0的解.①提公因式法x1=-1，x2=2ma+mb+mc=m(a+b+c)②公式法a2-b2=(a+b)(a-b)平方差公式完全平方差公式a2-b2=(a+b)(a-b)知識講解知識點1直接開平方法和因式分解法的概念解下列方程：（1）x2=4；

（2）x2-1=0.試一試你是怎樣解的？對于題（1），有這樣的解法：概括方程

x2=4意味著x是4的平方根，所以x=±即

x=±2.這里得到了方程的兩個根，通常也表示成x1=2，x2=-2.這種解一元二次方程的方法叫做直接開平方法.對于題（2），有這樣的解法：概括將方程左邊用平方差公式分解因式，得(x-1)(x+1)=0，必有

x-1=0或x+1=0.這種解一元二次方程的方法叫做因式分解法.分別解這兩個一元一次方程，得x1=1，x2=-1.知識講解知識點2解形如x2=p或x2-p=0（p≥0）的方程（1）方程x2=4能否用因式分解法來解？要用因式分解法解，首先應將方程化成什么形式？可以，應將方程化成x2-4=0的形式.（2）方程x2-1=0能否用直接開平方法來解？要用直接開平方法解，首先應將方程化成什么形式？可以，應將方程化成x2=1的形式.思考試用兩種方法解方程：

x2-900=0.直接開平方法：移項，得x2=900.直接開平方，得x=±30.即x1=30，x2=-30.做一做因式分解法：方程左邊分解因式，得(x+30)(x-30)=0.所以x-30=0或x+30=0.得x1=30，x2=-30.例1

解下列方程：（1）x2-2=0；

（2）16x2-25=0.解：（1）移項，得x2=2.直接開平方，得x=±2.即x1=2，x2=-2.（2）移項，得16x2=25.方程方程兩邊都除以16，得x2=.直接開平方，得x=±.得x1=，x2=-.2516545454還有其他解法嗎？知識點3用提公因式法解一元二次方程例2

解下列方程：（1）3x2+2x=0；

（2）x2=3x.（2）移項，得x2-3x=0.方程左邊分解因式，得x(x-3)=0.所以x=0或x-3=0.得x1=0，x2=3.解：（1）方程左邊分解因式，得x(3x+2)=0.所以x=0或3x+2=0.得x1=0，x2=-.23方法x2+bx=0x(x+b)=0想一想：因式分解法解方程的依據(jù)是什么？(x-1)(x+1)=0x-1=0或x+1=0由乘積等于零，得到兩個因式中至少有一個等于零，從而將一元二次方程“降次”，轉(zhuǎn)化為兩個一元一次方程求解.依據(jù)如果ab=0，那么必有a=0或b=0.隨堂小測解下列方程：（1）x2=169；

（2）45-x2=0；

（3）12y2-25=0；解:（1）直接開平方，得

x=±13.即

x1=13，x2=-13.（2）移項，得x2=45.直接開平方，得

x=±35.即

x1=5，x2=-5.（2）移項，得

12y2=25.方程兩邊都除以12，得

y2=.直接開平方，得

x=±.即

x1=，x2=-.2512536536536解下列方程：（3）x2-2x=0；

（4）(t-2)(t+1)=0；

（5）x(x+1)-5x=0.（3）方程左邊因式分解，得

x(x-2)=0.所以

x=0或x-2=0.得

x1=0，x2=2.（4）t-2=0或t+1=0.得

t1=2，t2=-1.（2）方程左邊分解因式，得

x[(x+1)-5]=0.即

x(x-4)=0.所以

x=0或x-4=0.得

x1=0，x2=4.知識講解知識點4解形如q（mx+n）2=p（m≠0，p≥0）的方程例3

解下列方程：（1）(x+1)2-4=0；

（2）12(2-x)2-9=0.(

)2=a(a≥0)解：（1）原方程可以變形為(x+1)2=4.直接開平方，得

x+1=±2.所以

x1=1，x2=-3.（2）原方程可以變形為

(x-2)2=.直接開平方，得

x-2=±.所以

x1=2+，x2=2-.912323232你是這樣解的嗎？還有其他解法嗎？q（mx+n）2=p（pq≥0，q≠0，m≠0）歸納方程兩邊都除以系數(shù)后開方降次mx+n=小張和小林一起解方程x(3x+2)-6(3x+2)=0.你知道嗎？小林的解法是這樣的：移項，得

x(3x+2)=6(3x+2)，方程兩邊都除以(3x+2)，得

x=6.小張將方程左邊分解因式，得(3x+2)(x-6)=0.所以3x+2=0或x-6=0.得

x1=，x2=6.我的方法多簡便！可另一個根x=哪里去了？小林的解法對嗎？小林的解法不對，方程兩邊都除以(3x+2)要在3x+2≠0的情況下，如果不能確定3x+2是否等于零，便不能輕易都除以(3x+2).所以，在解方程時應注意，方程兩邊都約去含未知數(shù)的代數(shù)式易丟根.拓展

適合用因式分解法求解的一元二次方程的形式（1）提取公因式法：x2+bx=0x(x+b)=0提取公因式x（2）公式法：x2-k2=0(x+k)(x-k)=0平方差公式x2±2ax+a2=0(x±a)2=0完全平方公式（3）十字相乘法：x2-(p+q)x+pq=0(x-p)(x-q)=0十字相乘因式分解隨堂小測解下列方程：（1）(x+2)2-16=0；

（2）3(2x-1)2-27=0；（3）(x+1)2=5x+5；

（4）(x-2)(2x-3)=6.解:（1）原方程可以變形為(x+2)2=16.直接開平方，得x+2=±4.所以x1=2，x2=-6.（2）原方程可以變形為(2x-1)2=9.直接開平方，得2x-1=±3.所以x1=2，x2=-1.（3）原方程可以變形為(x+1)2-5(x+1)=0.方程左邊因式分解，得(x+1)(x+1-5)=0.所以x1=-1，x2=4.隨堂小測解下列方程：（1）(x+2)2-16=0；

（2）3(2x-1)2-27=0；（3）(x+1)2=5x+5；

（4）(x-2)(2x-3)=6.（4）原方程可以變形為2x2-7x=0.方程左邊因式分解，得x(2x-7)=0.所以x1=0，x2=3.5.當堂檢測D.(2x

+

3)2

=

25，解方程，得

2x

+

3

=±5，x1=1，x2=?41.下列解方程的過程中，正確的是

（

）A.x2

=

?2，解方程，得

x

=±B.(x

?

2)2

=

4，解方程，得

x

?

2

=

2，x

=

4

DC.4(x

?

1)2

=

9，解方程，得

4(x

?

1)

=±3，x1=

，x2=

2.(x-2)(x+3)=0的解是

（

）A.x=2 B.x=-3

C.x1=-2，x2=3 D.x1=2，x2=-3D3．解方程9(x+1)2-4(x-1)2=0的正確解法是

（

）A.直接開平方得3(x+1)=2(x-1)B.化為一般形式為13x2+5=0C.分解因式得[3(x+1)+2(x-1)][3(x+1)-2(x-1)]=0D.直接得x+1=0或x-1=0C4.對于方程x2=m-1.（1）若方程有兩個不相等的實數(shù)根，則m______；（2）若方程有兩個相等的實數(shù)根，則m_____；（3）若方程無實數(shù)根，則m_____．>1=1<15.用適當?shù)姆椒ń庀铝蟹匠蹋海?）(x-3)2-25=0；

（2）x(x-2)+x-2=0；（3）3x2-12x=-12；

（4）(5x+1)2=1.解:（1）原方程可以變形為(x-3)2=25.直接開平方，得x-3=±5.所以x1=8，x2=-2.（2）方程左邊因式分解，得(x-2)(x+1)=0.所以x-2=0或x+1=0.得x1=2，x2=-1.（3）原方程整理，得x2