2022-2023學年廣東省廣州市番禺區(qū)高一下學期期末數(shù)學試題（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1廣東省廣州市番禺區(qū)2022-2023學年高一下學期期末數(shù)學試題一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由得，即，.故選：B.2.復數(shù)，則在復平面內(nèi)z對應的點的坐標是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗，故復平面內(nèi)z對應的點的坐標為.故選：A.3.總體由編號為的個個體組成，利用下面的隨機數(shù)表選取個個體，選取方法是從隨機數(shù)表第行的第列和第列數(shù)字開始由左到右依次選取兩個數(shù)字（作為個體編號）．則選出來的第個個體的編號為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由題意知：選取的個個體編號依次為，，，，，，選出來的第個個體的編號為.故選：C.4.已知角α的終邊經(jīng)過點，則的值為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由題意可知：，所以.故選：C.5.“牟合方蓋”是我國古代數(shù)學家劉徽在研究球的體積過程中構(gòu)造的一個和諧優(yōu)美的幾何模型．如圖1，正方體的棱長為2，用一個底面直徑為2的圓柱面去截該正方體，沿著正方體的前后方向和左右方向各截一次，截得的公共部分即是一個“牟合方蓋”（如圖2）．已知這個“牟合方蓋”與正方體外接球的體積之比為，則這個“牟合方蓋”的體積為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因為正方體的棱長為2，所以正方體外接球半徑為，所以正方體外接球的體積為，又因為這個“牟合方蓋”與正方體外接球的體積之比為，所以這個“牟合方蓋”的體積為.故選：D.6.四位爸爸、、、相約各帶一名自己的小孩進行交際能力訓練，其中每位爸爸都與一個別人家的小孩進行交談，則的小孩與交談的概率是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗設、、、四位爸爸的小孩分別是、、、，則交談組合有種情況，分別為：，，，，，，，，，的小孩與交談包含的不同組合有種，分別為：，，，的小孩與交談的概率是．故選：A.7.嶺南古邑的番禺不僅擁有深厚的歷史文化底蘊，還聚焦生態(tài)的發(fā)展．下圖是番禺區(qū)某風景優(yōu)美的公園地圖，其形狀如一顆愛心．圖是由此抽象出來的一個“心形”圖形，這個圖形可看作由兩個函數(shù)的圖象構(gòu)成，則“心形”在軸上方的圖象對應的函數(shù)〖解析〗式可能為（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗對于A，，當且僅當，即時取等號，在上的最大值為，與圖象不符，A錯誤；對于B，當時，，與圖象不符，B錯誤；對于C，，當時，；又過點；由得，解得，即函數(shù)定義域為；又，為定義在上的偶函數(shù)，圖象關(guān)于軸對稱；當時，，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；綜上所述：與圖象相符，C正確；對于D，由得：，不存在部分的圖象，D錯誤.故選：C.8.將函數(shù)的圖象上所有點的橫坐標縮小到原來的倍，縱坐標保持不變，得到函數(shù)的圖象，若，則的最小值為()A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由題得，，，∵，∴＝1且＝－1或且＝1，作的圖象，∴的最小值為＝.故選：D．二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.已知直線l?m，平面，則下列說法中正確的是（）A.若，則必有 B.若，則必有C.若，則必有 D.若，則必有〖答案〗CD〖解析〗對于A，平面可能相交，所以選項A錯誤；對于B，平面可能平行或斜交，所以選項B錯誤；對于C，因為且，則必有，所以C正確；對于D，因，則必有，所以D正確.故選：CD.10.某校采取分層抽樣的方法抽取了高一年級名學生的數(shù)學成績（滿分），并將他們的成績制成如下所示的表格．等級A組B組C組成績60657075808590人數(shù)3235421下列結(jié)論正確的是（）A.這人數(shù)學成績的眾數(shù) B.組位同學數(shù)學成績的方差為C.這人數(shù)學成績的平均數(shù)為 D.這人數(shù)學成績的分位數(shù)為〖答案〗AB〖解析〗對于A，人中，分出現(xiàn)的次數(shù)最多，這人數(shù)學成績的眾數(shù)為，A正確；對于B，組位同學數(shù)學成績的平均數(shù)為，方差，B正確；對于C，這人數(shù)學成績的平均數(shù)，C錯誤；對于D，，這人數(shù)學成績的分位數(shù)為，D錯誤.故選：AB.11.若點D，E，F(xiàn)分別為的邊BC，CA，AB的中點，且，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.C. D.〖答案〗ABC〖解析〗，，，故選項A正確；，故選項B正確；，，故選項C正確；，故選項D錯誤．故選：．12.如圖，在正方體中，，分別是的中點，則（）A.平面B.直線與所成的角是C.點到平面的距離是D.存在過點且與平面平行的平面，平面截該正方體得到的截面面積為〖答案〗ACD〖解析〗對于A，取中點，連接，分別為中點，，，又，，平面，平面，平面；分別為中點，，，，平面，平面，平面；，平面，平面平面，平面，平面，A正確；對于B，取中點，連接，由A知：，直線與所成的角即為直線與所成角，即（或其補角），，，，，即直線與所成的角為，B錯誤；對于C，連接，，，；，，設點到平面的距離為，則，解得：，C正確；對于D，取中點，由A知：平面平面，則平面即為平面，可作出截面如下圖陰影部分所示，其中點分別為中點，，，六邊形是邊長為的正六邊形，又，六邊形的面積，即平面截該正方體得到的截面面積為，D正確.故選：ACD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.若，則__________．〖答案〗〖解析〗.故〖答案〗：.14.已知函數(shù)，則_____________．〖答案〗〖解析〗，.故〖答案〗為：.15.若向量，，則在上的投影向量為_____________．〖答案〗〖解析〗因為，，所以，在上的投影向量為.故〖答案〗為：.16.英國數(shù)學家泰勒發(fā)現(xiàn)了如下公式：，，，其中．可以看出這些公式右邊的項用得越多，計算出、和的值也就越精確，則的近似值為_________（精確到0.01）；運用上述思想，可得到函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有______個零點．〖答案〗0.540〖解析〗，由于函數(shù)在單調(diào)遞增，所以在單調(diào)遞增，由于，所以在恒成立，故在區(qū)間內(nèi)無零點.故〖答案〗為：0.540.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知下列三個條件：①函數(shù)為奇函數(shù)；②當時，；③是函數(shù)的一個零點．從這三個條件中任選一個填在下面的橫線處，并解答下列問題．已知函數(shù)，．（1）求函數(shù)〖解析〗式；（2）求函數(shù)在上的單調(diào)遞增區(qū)間．解：（1）若選①：因為所以，又函數(shù)為奇函數(shù)，則，結(jié)合，則有，所以.若選②：則則又，則時，；所以.若選③：，，又，則時，，所以.（2）令得所以的單調(diào)遞增區(qū)間為又時，令得令得所以函數(shù)在上的單調(diào)遞增區(qū)間為和.18.在中，，，．（1）求；（2）若角為鈍角，求的周長．解：（1），，，由正弦定理得：.（2）為鈍角，，由余弦定理得：，即，解得：（舍）或，的周長為.19.如圖，在三棱柱中，平面，，M是AB的中點，．（1）證明：直線CM⊥平面；（2）求直線與平面所成角的大?。猓海?）因為平面，平面，所以，因為M是AB的中點，，所以，又因為平面，，所以直線CM⊥平面.（2）連接，由（1）知，直線CM⊥平面，所以即直線與平面所成角，因為平面，平面，所以，又因為，所以在正方形中，，因為，M是AB的中點，，所以，，所以，因為CM⊥平面，平面，所以，在直角三角形中，，又因為，所以，即直線與平面所成角的大小為.20.某省實行“”高考模式，為讓學生適應新高考的賦分模式，某校在一次?？贾惺褂觅x分制給高三年級學生的生物成績進行賦分，具體賦分方案如下：先按照考生原始分從高到低按比例劃定共五個等級，然后在相應賦分區(qū)間內(nèi)利用轉(zhuǎn)換公式進行賦分．其中，等級排名占比，賦分分數(shù)區(qū)間是；等級排名占比，賦分分數(shù)區(qū)間是；等級排名占比，賦分分數(shù)區(qū)間是；等級排名占比，賦分分數(shù)區(qū)間是；等級排名占比，賦分分數(shù)區(qū)間是；現(xiàn)從全年級的生物成績中隨機抽取名學生的原始成績（未賦分）進行分析，其頻率分布直方圖如下圖：（1）求圖中的值；（2）從生物原始成績?yōu)榈膶W生中用分層抽樣的方法抽取人，從這人中任意抽取人，求人均在的概率；（3）用樣本估計總體的方法，估計該校本次生物成績原始分不少于多少分才能達到賦分后的等級及以上（含等級）？（結(jié)果保留整數(shù)）解：（1），.（2）原始分在和的頻率之比為，抽取的人中，原始分在的人數(shù)為，記為；原始分在的人數(shù)為，記為；則從人中抽取人所有可能的結(jié)果有：，，，，，，，，，，，，，，，共個基本事件；其中抽取的人原始分均在的結(jié)果有：，，，，，，共個基本事件；人均在的概率.（3）由題意知：等級排名占比為，則原始分不少于總體的中位數(shù)才能達到賦分后的等級及以上（含等級）；，，中位數(shù)位于之間，設中位數(shù)為，則，解得：，原始分不少于分才能達到賦分后的等級及以上（含等級）.21.如圖，在四棱錐中，底面是正方形，，．（1）若平面平面，證明：；（2）若面⊥面，求四棱錐的側(cè)面積．解：（1）因為底面是正方形，所以，因為平面，平面，所以平面，因為平面，平面平面，所以.（2）因為平面⊥平面，交線為，，平面，所以⊥平面，同理可得⊥平面，因為平面，所以⊥，同理可得，因為，所以，又，由勾股定理逆定理得，故，由勾股定理得，又，取中點，連接，則⊥，故，所以，四棱錐的側(cè)面積為.22.已知函數(shù)的圖象關(guān)于點成中心對稱圖形的充要條件是．給定函數(shù)及其圖象的對稱中心為．（1）求c的值；（2）判斷在區(qū)間上的單調(diào)性并用定義法證明；（3）已知函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱，且當時，．若對任意，總存在，使得，求實數(shù)m的取值范圍．解：（1）由于的圖象的對稱中心為，則，即，整理得，解得：，故的對稱中心為.（2）函數(shù)在遞增；設，則，由于，所以，所以，故函數(shù)在遞增.（3）由已知，的值域為值域的子集，由（2）知在，上遞增，且，故的值域為，，于是原問題轉(zhuǎn)化為在，上的值域，，當即時，在，遞增，注意到的圖象恒過對稱中心，可知在，上亦單調(diào)遞增，故在，遞增，又，，故，，所以，，，且，解得，當即時，在遞減，在，遞增，又過對稱中心，故在遞增，在，遞減，故此時，，，，欲使，，只需且，解不等式得：，又，此時，當即時，在，遞減，在，上亦遞減，由對稱性知在，上遞減，于是，，則，，，故，解得：，綜上：實數(shù)的取值范圍是，．廣東省廣州市番禺區(qū)2022-2023學年高一下學期期末數(shù)學試題一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由得，即，.故選：B.2.復數(shù)，則在復平面內(nèi)z對應的點的坐標是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗，故復平面內(nèi)z對應的點的坐標為.故選：A.3.總體由編號為的個個體組成，利用下面的隨機數(shù)表選取個個體，選取方法是從隨機數(shù)表第行的第列和第列數(shù)字開始由左到右依次選取兩個數(shù)字（作為個體編號）．則選出來的第個個體的編號為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由題意知：選取的個個體編號依次為，，，，，，選出來的第個個體的編號為.故選：C.4.已知角α的終邊經(jīng)過點，則的值為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由題意可知：，所以.故選：C.5.“牟合方蓋”是我國古代數(shù)學家劉徽在研究球的體積過程中構(gòu)造的一個和諧優(yōu)美的幾何模型．如圖1，正方體的棱長為2，用一個底面直徑為2的圓柱面去截該正方體，沿著正方體的前后方向和左右方向各截一次，截得的公共部分即是一個“牟合方蓋”（如圖2）．已知這個“牟合方蓋”與正方體外接球的體積之比為，則這個“牟合方蓋”的體積為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因為正方體的棱長為2，所以正方體外接球半徑為，所以正方體外接球的體積為，又因為這個“牟合方蓋”與正方體外接球的體積之比為，所以這個“牟合方蓋”的體積為.故選：D.6.四位爸爸、、、相約各帶一名自己的小孩進行交際能力訓練，其中每位爸爸都與一個別人家的小孩進行交談，則的小孩與交談的概率是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗設、、、四位爸爸的小孩分別是、、、，則交談組合有種情況，分別為：，，，，，，，，，的小孩與交談包含的不同組合有種，分別為：，，，的小孩與交談的概率是．故選：A.7.嶺南古邑的番禺不僅擁有深厚的歷史文化底蘊，還聚焦生態(tài)的發(fā)展．下圖是番禺區(qū)某風景優(yōu)美的公園地圖，其形狀如一顆愛心．圖是由此抽象出來的一個“心形”圖形，這個圖形可看作由兩個函數(shù)的圖象構(gòu)成，則“心形”在軸上方的圖象對應的函數(shù)〖解析〗式可能為（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗對于A，，當且僅當，即時取等號，在上的最大值為，與圖象不符，A錯誤；對于B，當時，，與圖象不符，B錯誤；對于C，，當時，；又過點；由得，解得，即函數(shù)定義域為；又，為定義在上的偶函數(shù)，圖象關(guān)于軸對稱；當時，，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；綜上所述：與圖象相符，C正確；對于D，由得：，不存在部分的圖象，D錯誤.故選：C.8.將函數(shù)的圖象上所有點的橫坐標縮小到原來的倍，縱坐標保持不變，得到函數(shù)的圖象，若，則的最小值為()A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由題得，，，∵，∴＝1且＝－1或且＝1，作的圖象，∴的最小值為＝.故選：D．二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.已知直線l?m，平面，則下列說法中正確的是（）A.若，則必有 B.若，則必有C.若，則必有 D.若，則必有〖答案〗CD〖解析〗對于A，平面可能相交，所以選項A錯誤；對于B，平面可能平行或斜交，所以選項B錯誤；對于C，因為且，則必有，所以C正確；對于D，因，則必有，所以D正確.故選：CD.10.某校采取分層抽樣的方法抽取了高一年級名學生的數(shù)學成績（滿分），并將他們的成績制成如下所示的表格．等級A組B組C組成績60657075808590人數(shù)3235421下列結(jié)論正確的是（）A.這人數(shù)學成績的眾數(shù) B.組位同學數(shù)學成績的方差為C.這人數(shù)學成績的平均數(shù)為 D.這人數(shù)學成績的分位數(shù)為〖答案〗AB〖解析〗對于A，人中，分出現(xiàn)的次數(shù)最多，這人數(shù)學成績的眾數(shù)為，A正確；對于B，組位同學數(shù)學成績的平均數(shù)為，方差，B正確；對于C，這人數(shù)學成績的平均數(shù)，C錯誤；對于D，，這人數(shù)學成績的分位數(shù)為，D錯誤.故選：AB.11.若點D，E，F(xiàn)分別為的邊BC，CA，AB的中點，且，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.C. D.〖答案〗ABC〖解析〗，，，故選項A正確；，故選項B正確；，，故選項C正確；，故選項D錯誤．故選：．12.如圖，在正方體中，，分別是的中點，則（）A.平面B.直線與所成的角是C.點到平面的距離是D.存在過點且與平面平行的平面，平面截該正方體得到的截面面積為〖答案〗ACD〖解析〗對于A，取中點，連接，分別為中點，，，又，，平面，平面，平面；分別為中點，，，，平面，平面，平面；，平面，平面平面，平面，平面，A正確；對于B，取中點，連接，由A知：，直線與所成的角即為直線與所成角，即（或其補角），，，，，即直線與所成的角為，B錯誤；對于C，連接，，，；，，設點到平面的距離為，則，解得：，C正確；對于D，取中點，由A知：平面平面，則平面即為平面，可作出截面如下圖陰影部分所示，其中點分別為中點，，，六邊形是邊長為的正六邊形，又，六邊形的面積，即平面截該正方體得到的截面面積為，D正確.故選：ACD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.若，則__________．〖答案〗〖解析〗.故〖答案〗：.14.已知函數(shù)，則_____________．〖答案〗〖解析〗，.故〖答案〗為：.15.若向量，，則在上的投影向量為_____________．〖答案〗〖解析〗因為，，所以，在上的投影向量為.故〖答案〗為：.16.英國數(shù)學家泰勒發(fā)現(xiàn)了如下公式：，，，其中．可以看出這些公式右邊的項用得越多，計算出、和的值也就越精確，則的近似值為_________（精確到0.01）；運用上述思想，可得到函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有______個零點．〖答案〗0.540〖解析〗，由于函數(shù)在單調(diào)遞增，所以在單調(diào)遞增，由于，所以在恒成立，故在區(qū)間內(nèi)無零點.故〖答案〗為：0.540.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知下列三個條件：①函數(shù)為奇函數(shù)；②當時，；③是函數(shù)的一個零點．從這三個條件中任選一個填在下面的橫線處，并解答下列問題．已知函數(shù)，．（1）求函數(shù)〖解析〗式；（2）求函數(shù)在上的單調(diào)遞增區(qū)間．解：（1）若選①：因為所以，又函數(shù)為奇函數(shù)，則，結(jié)合，則有，所以.若選②：則則又，則時，；所以.若選③：，，又，則時，，所以.（2）令得所以的單調(diào)遞增區(qū)間為又時，令得令得所以函數(shù)在上的單調(diào)遞增區(qū)間為和.18.在中，，，．（1）求；（2）若角為鈍角，求的周長．解：（1），，，由正弦定理得：.（2）為鈍角，，由余弦定理得：，即，解得：（舍）或，的周長為.19.如圖，在三棱柱中，平面，，M是AB的中點，．（1）證明：直線CM⊥平面；（2）求直線與平面所成角的大?。猓海?）因為平面，平面，所以，因為M是AB的中點，，所以，又因為平面，，所以直線CM⊥平面.（2）連接，由（1）知，直線CM⊥平面，所以即直線與平面所成角，因為平面，平面，所以，又因為，所以在正方形中，，因為，M是AB的中點，，所以，，所以，因為CM⊥平面，平面，所以，在直角三角形中，，又因為，所以，即直線與平面所成角的大小為.20.某省實行“”高考模式，為讓學生適應新高考的賦分模式，某校在一次校考中使用賦分制給高三年級學生的生物成績進行賦分，具體賦分方案如下：先按照考生原始分從高到低按比例劃定共五個等級，然后在相應賦分區(qū)間內(nèi)利用轉(zhuǎn)換公式進行賦分．其中，等級排名占比，賦分分數(shù)區(qū)間是；等級排名占比，賦分分數(shù)區(qū)間是；等級排名占比，賦分分數(shù)區(qū)間是；等級排名占比，賦分分數(shù)區(qū)間是；等級排名占比，賦分分數(shù)區(qū)間是；現(xiàn)從全年級的生物成績中隨機抽取名學生的原始成績（未賦分）進行分析，其頻率分布直方圖如下圖：（1）求圖中的值；（2）從生物原始成績?yōu)榈膶W生中用分層抽樣的方法抽取人，從這人中任意抽取人，求人均在的概率；（3）用樣本