2023-2024學(xué)年河北省邯鄲市高一下學(xué)期期末質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1河北省邯鄲市2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期期末質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.有三組數(shù)據(jù)（1）5，5，5，6，6，6，7，7，7；（2）4，4，5，5，6，7，7，8，8；（3）3，3，3，3，6，9，9，9，9.設(shè)它們的方差依次為，則（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗數(shù)據(jù)（1）5，5，5，6，6，6，7，7，7的平均數(shù)和方差分別為；（2）4，4，5，5，6，7，7，8，8的平均數(shù)和方差分別為；（3）3，3，3，3，6，9，9，9，9的平均數(shù)和方差分別為，所以.故選：D.2.在復(fù)平面內(nèi)，非零復(fù)數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)對應(yīng)的點在（）A.一?三象限 B.二?四象限C.實軸上（除原點外） D.坐標(biāo)軸上（除原點外）〖答案〗A〖解析〗設(shè)，由已知得，即，，故復(fù)數(shù)對應(yīng)的點在一?三象限角平分線（除原點）上.故選：A.3.已知向量，且，則向量與向量的夾角為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由，得，解得，由，，因此，而，所以.故選：C.4.已知的頂點坐標(biāo)分別是，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗方法一：由，知，由余弦定理知，所以.方法二：如圖，由，知，.故選：A.5.設(shè)是兩個平面，是兩條直線，則下列命題為假命題的是（）A.若，則B.若，則C.若，則D.若，則〖答案〗C〖解析〗對于選項A，由可得，又，所以，故A正確；對于選項B，由可得或，由線面平行性質(zhì)知，存在直線滿足，又，所以，即平面經(jīng)過平面的垂線，所以，故B正確；對于選項，由可得，當(dāng)且滿足時，不滿足，故錯誤；對于選項D，由，可得，又，則β內(nèi)一定存在直線和l平行，設(shè)為b，則，所以，故D正確.故選：C.6.在中，，平面內(nèi)一點滿足，則向量在向量上的投影向量為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗在中，由余弦定理知為直角三角形，又，故是的外心且是斜邊的中點，為正三角形，由投影向量的幾何意義，向量在向量上的投影向量即為向量=.故選：C.7.在三棱錐中，平面，若該三棱錐的體積為，則其外接球的表面積為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗如圖，將三棱錐補成三棱柱，則三棱錐和三棱柱的外接球相同，設(shè)分別為和的外心，則三棱柱的外接球球心為的中點，連接并延長交于點，則為的中點，連接，因為，所以，由正弦定理可得，所以，由，即，可得，則，則外接球的表面積.故選：B.8.甲?乙兩人各有一枚質(zhì)地均勻的硬幣，甲拋擲2次，乙拋擲3次，事件“甲拋擲的兩次中第一次正面朝上”，事件“甲拋擲的兩次硬幣朝上的面相同”，事件“甲得到的正面數(shù)比乙得到的正面數(shù)少”，則下列說法正確的是（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗用表示甲第次拋擲的結(jié)果，那么甲拋擲兩次的結(jié)果可以用表示，用1表示正面向上，0表示反面向上，則樣本空間，所以不是的子集，，所以AB錯誤，對于事件，方法一：借助表格列舉如下，√√√√√√√√√√√√√√√√，又，所以C錯誤，D正確.方法二：設(shè)事件“甲得到的反面數(shù)比乙得到的反面數(shù)少”，則，下證事件與事件對立，若事件與事件同時發(fā)生，那么甲的正面數(shù)和反面數(shù)都比乙的少，那么甲拋的次數(shù)至少比乙少兩次，與題目矛盾；若事件與事件都不發(fā)生，那么甲的正面數(shù)和反面數(shù)都不比乙的少，那么甲拋的次數(shù)不比乙少，與題目矛盾；故事件與事件對立，所以，因為，所以C錯誤，D正確.故選：D.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知非零向量，下列說法錯誤的是（）A.若，則B.若，則C.若，且∥，則D.若，則與垂直的單位向量的坐標(biāo)為〖答案〗ACD〖解析〗因為均為非零向量，對于選項A：若，即，可知，無法得出，例如，滿足，但不成立，故錯誤；對于選項B：由知同向共線，則，故B正確；對于選項C：因為且∥，設(shè)，又因為，則，解得所以或，故C錯誤；對于選項D：設(shè)與垂直單位向量的坐標(biāo)為，由題意可得，解得或，所以與垂直的單位向量的坐標(biāo)為或，故D錯誤.故選：ACD.10.已知復(fù)數(shù)均不為0，則下列式子正確的是（）A. B.C. D.〖答案〗BD〖解析〗設(shè)，則，故A錯誤；由復(fù)數(shù)的模的性質(zhì)，故B正確；設(shè)，則，而，故C錯誤；，又，所以，故D正確.故選：BD.11.在中，內(nèi)角所對的邊分別為，已知為線段上一點，則下列判斷正確的是（）A.為鈍角三角形B.的最大內(nèi)角是最小內(nèi)角的2倍C.若為中點，則D.若，則〖答案〗BCD〖解析〗由題知內(nèi)角所對的邊分別為，由正弦定理可知，不妨設(shè)，則，對于A，由上知為最大邊，故為最大角，由余弦定理知，故為銳角，所以為銳角三角形，故錯誤；對于，由上知為最小角，且，又，知，且均為銳角，則，故B正確；對于，平方得，又，故，故C正確；對于D，由，得，又，所以，由，即，故，故D正確.故選：BCD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.某校高一年級有1250人，全年級學(xué)生的近視率為，男生中有390人近視.學(xué)校醫(yī)務(wù)室計劃通過抽樣的方法估計高一年級所有近視學(xué)生的平均度數(shù).現(xiàn)從近視的學(xué)生中通過按比例分配的分層隨機抽樣的方法得到容量為100的樣本，樣本中男生的平均度數(shù)為300度，女生的平均度數(shù)為350度，則估計高一年級近視學(xué)生的平均度數(shù)為___________度.〖答案〗〖解析〗依題意高一年級女生近視人數(shù)為，則高一年級近視學(xué)生的平均度數(shù)為.故〖答案〗為：.13.在如圖所示的圓錐中，為底面圓的直徑，為的中點，，則異面直線與所成角的余弦值為___________.〖答案〗〖解析〗如圖，連接，分別取的中點，連接，則，則或其補角為異面直線與所成角，作于點，連接，由為中點可得，且，而，則，由余弦定理可得，則，則異面直線與所成角的余弦值為.故〖答案〗為：.14.已知是同一平面內(nèi)一組不共線的向量，對于平面內(nèi)任意向量，有且只有一對實數(shù)使，且當(dāng)共線時，有.同樣，在空間中若三個向量不共面，那么對任意一個空間向量，存在唯一的在度實數(shù)組，使得，目當(dāng)共面時，有.如圖，在四棱錐中，，點是棱的中點?與平面交于點，設(shè)，則___________；___________.〖答案〗〖解析〗方法一：，，又三點共線，即存在實數(shù)，使得，故，又，所以，所以，故，.方法二：過作，延長交于點，，連接，與的交點即為，由三角形相似可得，，故，.故〖答案〗為：2.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.為響應(yīng)“強化學(xué)校體育工作，推動學(xué)生文化學(xué)習(xí)和體育鍛煉協(xié)調(diào)發(fā)展”的號召，現(xiàn)從某學(xué)校隨機抽取了100名學(xué)生，獲得了他們一周體育運動的時間（單位：），將數(shù)據(jù)繪制成如圖所示的頻率分布直方圖.（1）求頻率分布直方圖中的，并估計該校學(xué)生一周體育運動時間的平均數(shù)；（2）為鼓勵同學(xué)們積極參加體育運動，學(xué)校計劃對一周運動時間較長的前同學(xué)給予獎勵，若小華一周體育運動時間為9.4小時，他能否獲得獎勵？請說明理由.解：（1），該校學(xué)生一周體育運動時間的平均數(shù)的估計值為.（2）不能，理由如下：因為的頻率為，的頻率為，設(shè)前位數(shù)為，則，所以，解得，故小華不能獲得獎勵.16.如圖，在直三棱柱中，為的中點.（1）證明：平面；（2）若三棱柱的體積為，且，求直線與平面所成角的正弦值.解：（1）證明：如圖，連接交于點，連接，因為四邊形為矩形，所以為的中點，因為為的中點，所以，因為平面平面，所以平面.（2）因為，所以，所以，得，因為為的中點，所以，因為平面，平面，所以，因為，平面，所以平面，所以直線與平面所成角，因為在中，，，所以.17.如圖，在平面四邊形中，設(shè).（1）求，（2）若，求為何值時，平面四邊形的面積最大？解：（1）由已知及正弦定理知，因為，故，又，所以，所以.（2）由（1）知，又，故為等邊三角形，設(shè)，，在中，由余弦定理知，所以，又，所以當(dāng)，即時，平面四邊形面積最大，最大值為.18.龍年春晚精彩的魔術(shù)表演激發(fā)了人們探秘魔術(shù)的熱情，小明從一幅撲克牌中挑出10和共8張牌（每個數(shù)字四個花色：紅桃（紅色）?方塊（紅色）?黑桃（黑色）?梅花（黑色））.現(xiàn)從8張牌中依次取出2張，抽到一張紅10和一張紅即為成功.現(xiàn)有三種抽取方式，如下表：方式①方式②方式③抽取規(guī)則有放回依次抽取不放回依次抽取按數(shù)字等比例分層抽取成功概率（1）分別求出在三種不同抽取方式下的成功概率；（2）若三種抽取方式小明各進行一次，（i）求這三次抽取中至少有一次成功的概率；（ii）設(shè)在三種方式中僅連續(xù)兩次成功的概率為，那么此概率與三種方式的先后順序是否有關(guān)？如果有關(guān)，什么樣的順序使概率最大？如果無關(guān)，請給出簡要說明.解：（1）設(shè)方式①的樣本空間為，方式②的樣本空間為，方式③的樣本空間為，則，設(shè)事件“抽到一張紅10和一張紅”，（紅桃10，紅桃），（紅桃10，方塊），（方塊10，紅桃），（方塊10，方塊），（紅桃，紅桃10），（方塊，紅桃10），（紅桃，方塊10），（方塊，方塊10），故.（2）（i）記三次抽取至少有一次成功為事件，則.（ii）有關(guān)，按方式②③①或①③②抽取概率最大，方法一：設(shè)三次抽取成功的概率分別為（即為不同順序的一個排列），則，又，故此概率與三種方式的先后順序有關(guān)，按方式②③①或①③②抽取概率最大.方法二：若按①②③的順序，，同理①③②、②①③?②③①?③①②、③②①順序下的概率分別為，故此概率與三種方式的先后順序有關(guān)，按方式②③①或①③②抽取概率最大.19.如圖，在四棱錐中，底面是正方形，側(cè)棱底面，點在棱上.（1）證明：平面平面；（2）當(dāng)時，求二面角的正切值；（3）過且與都平行的平面分別交于，若，當(dāng)在線段的兩個三等分點之間運動時（含三等分點），求四邊形面積的取值范圍.解：（1）平面平面，因為是正方形，所以且平面，平面，所以平面，平面，平面平面.（2）如圖，在平面內(nèi)過點作于點，則，又平面平面，過作于點，連接，平面，平面，，可得平面，平面，，則為二面角的平面角，連接交于點，則有，設(shè)，易得，則，.（3）如圖，延長交于點，連接，平面，平面，平面平面，所以，由（1）得平面平面，，所以四邊形是平行四邊形，，設(shè)，又則，又，，則，，，又.河北省邯鄲市2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期期末質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.有三組數(shù)據(jù)（1）5，5，5，6，6，6，7，7，7；（2）4，4，5，5，6，7，7，8，8；（3）3，3，3，3，6，9，9，9，9.設(shè)它們的方差依次為，則（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗數(shù)據(jù)（1）5，5，5，6，6，6，7，7，7的平均數(shù)和方差分別為；（2）4，4，5，5，6，7，7，8，8的平均數(shù)和方差分別為；（3）3，3，3，3，6，9，9，9，9的平均數(shù)和方差分別為，所以.故選：D.2.在復(fù)平面內(nèi)，非零復(fù)數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)對應(yīng)的點在（）A.一?三象限 B.二?四象限C.實軸上（除原點外） D.坐標(biāo)軸上（除原點外）〖答案〗A〖解析〗設(shè)，由已知得，即，，故復(fù)數(shù)對應(yīng)的點在一?三象限角平分線（除原點）上.故選：A.3.已知向量，且，則向量與向量的夾角為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由，得，解得，由，，因此，而，所以.故選：C.4.已知的頂點坐標(biāo)分別是，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗方法一：由，知，由余弦定理知，所以.方法二：如圖，由，知，.故選：A.5.設(shè)是兩個平面，是兩條直線，則下列命題為假命題的是（）A.若，則B.若，則C.若，則D.若，則〖答案〗C〖解析〗對于選項A，由可得，又，所以，故A正確；對于選項B，由可得或，由線面平行性質(zhì)知，存在直線滿足，又，所以，即平面經(jīng)過平面的垂線，所以，故B正確；對于選項，由可得，當(dāng)且滿足時，不滿足，故錯誤；對于選項D，由，可得，又，則β內(nèi)一定存在直線和l平行，設(shè)為b，則，所以，故D正確.故選：C.6.在中，，平面內(nèi)一點滿足，則向量在向量上的投影向量為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗在中，由余弦定理知為直角三角形，又，故是的外心且是斜邊的中點，為正三角形，由投影向量的幾何意義，向量在向量上的投影向量即為向量=.故選：C.7.在三棱錐中，平面，若該三棱錐的體積為，則其外接球的表面積為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗如圖，將三棱錐補成三棱柱，則三棱錐和三棱柱的外接球相同，設(shè)分別為和的外心，則三棱柱的外接球球心為的中點，連接并延長交于點，則為的中點，連接，因為，所以，由正弦定理可得，所以，由，即，可得，則，則外接球的表面積.故選：B.8.甲?乙兩人各有一枚質(zhì)地均勻的硬幣，甲拋擲2次，乙拋擲3次，事件“甲拋擲的兩次中第一次正面朝上”，事件“甲拋擲的兩次硬幣朝上的面相同”，事件“甲得到的正面數(shù)比乙得到的正面數(shù)少”，則下列說法正確的是（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗用表示甲第次拋擲的結(jié)果，那么甲拋擲兩次的結(jié)果可以用表示，用1表示正面向上，0表示反面向上，則樣本空間，所以不是的子集，，所以AB錯誤，對于事件，方法一：借助表格列舉如下，√√√√√√√√√√√√√√√√，又，所以C錯誤，D正確.方法二：設(shè)事件“甲得到的反面數(shù)比乙得到的反面數(shù)少”，則，下證事件與事件對立，若事件與事件同時發(fā)生，那么甲的正面數(shù)和反面數(shù)都比乙的少，那么甲拋的次數(shù)至少比乙少兩次，與題目矛盾；若事件與事件都不發(fā)生，那么甲的正面數(shù)和反面數(shù)都不比乙的少，那么甲拋的次數(shù)不比乙少，與題目矛盾；故事件與事件對立，所以，因為，所以C錯誤，D正確.故選：D.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知非零向量，下列說法錯誤的是（）A.若，則B.若，則C.若，且∥，則D.若，則與垂直的單位向量的坐標(biāo)為〖答案〗ACD〖解析〗因為均為非零向量，對于選項A：若，即，可知，無法得出，例如，滿足，但不成立，故錯誤；對于選項B：由知同向共線，則，故B正確；對于選項C：因為且∥，設(shè)，又因為，則，解得所以或，故C錯誤；對于選項D：設(shè)與垂直單位向量的坐標(biāo)為，由題意可得，解得或，所以與垂直的單位向量的坐標(biāo)為或，故D錯誤.故選：ACD.10.已知復(fù)數(shù)均不為0，則下列式子正確的是（）A. B.C. D.〖答案〗BD〖解析〗設(shè)，則，故A錯誤；由復(fù)數(shù)的模的性質(zhì)，故B正確；設(shè)，則，而，故C錯誤；，又，所以，故D正確.故選：BD.11.在中，內(nèi)角所對的邊分別為，已知為線段上一點，則下列判斷正確的是（）A.為鈍角三角形B.的最大內(nèi)角是最小內(nèi)角的2倍C.若為中點，則D.若，則〖答案〗BCD〖解析〗由題知內(nèi)角所對的邊分別為，由正弦定理可知，不妨設(shè)，則，對于A，由上知為最大邊，故為最大角，由余弦定理知，故為銳角，所以為銳角三角形，故錯誤；對于，由上知為最小角，且，又，知，且均為銳角，則，故B正確；對于，平方得，又，故，故C正確；對于D，由，得，又，所以，由，即，故，故D正確.故選：BCD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.某校高一年級有1250人，全年級學(xué)生的近視率為，男生中有390人近視.學(xué)校醫(yī)務(wù)室計劃通過抽樣的方法估計高一年級所有近視學(xué)生的平均度數(shù).現(xiàn)從近視的學(xué)生中通過按比例分配的分層隨機抽樣的方法得到容量為100的樣本，樣本中男生的平均度數(shù)為300度，女生的平均度數(shù)為350度，則估計高一年級近視學(xué)生的平均度數(shù)為___________度.〖答案〗〖解析〗依題意高一年級女生近視人數(shù)為，則高一年級近視學(xué)生的平均度數(shù)為.故〖答案〗為：.13.在如圖所示的圓錐中，為底面圓的直徑，為的中點，，則異面直線與所成角的余弦值為___________.〖答案〗〖解析〗如圖，連接，分別取的中點，連接，則，則或其補角為異面直線與所成角，作于點，連接，由為中點可得，且，而，則，由余弦定理可得，則，則異面直線與所成角的余弦值為.故〖答案〗為：.14.已知是同一平面內(nèi)一組不共線的向量，對于平面內(nèi)任意向量，有且只有一對實數(shù)使，且當(dāng)共線時，有.同樣，在空間中若三個向量不共面，那么對任意一個空間向量，存在唯一的在度實數(shù)組，使得，目當(dāng)共面時，有.如圖，在四棱錐中，，點是棱的中點?與平面交于點，設(shè)，則___________；___________.〖答案〗〖解析〗方法一：，，又三點共線，即存在實數(shù)，使得，故，又，所以，所以，故，.方法二：過作，延長交于點，，連接，與的交點即為，由三角形相似可得，，故，.故〖答案〗為：2.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.為響應(yīng)“強化學(xué)校體育工作，推動學(xué)生文化學(xué)習(xí)和體育鍛煉協(xié)調(diào)發(fā)展”的號召，現(xiàn)從某學(xué)校隨機抽取了100名學(xué)生，獲得了他們一周體育運動的時間（單位：），將數(shù)據(jù)繪制成如圖所示的頻率分布直方圖.（1）求頻率分布直方圖中的，并估計該校學(xué)生一周體育運動時間的平均數(shù)；（2）為鼓勵同學(xué)們積極參加體育運動，學(xué)校計劃對一周運動時間較長的前同學(xué)給予獎勵，若小華一周體育運動時間為9.4小時，他能否獲得獎勵？請說明理由.解：（1），該校學(xué)生一周體育運動時間的平均數(shù)的估計值為.（2）不能，理由如下：因為的頻率為，的頻率為，設(shè)前位數(shù)為，則，所以，解得，故小華不能獲得獎勵.16.如圖，在直三棱柱中，為的中點.（1）證明：平面；（2）若三棱柱的體積為，且，求直線與平面所成角的正弦值.解：（1）證明：如圖，連接交于點，連接，因為四邊形為矩形，所以為的中點，因為為的中點，所以，因為平面平面，所以平面.（2）因為，所以，所以，得，因為為的中點，所以，因為平面，平面，所以，因為，平面，所以平面，所以直線與平面所成角，因為在中，，，所以.17.如圖，在平面四邊形中，設(shè).（1）求，（2）若，求為何值時，平面四邊形的面積最大？解：（1）由已知及正弦定理知，因為，故，又，所以，所以.（2）由（1）知，又，故為等邊三角形，設(shè)，，在中，由余弦定理知，所以，又，所以當(dāng)，即時，平面四邊形面積最大，最大值為.18.龍年春晚精彩的魔術(shù)表演激發(fā)了人們探秘魔術(shù)的熱情，小明從一幅撲克牌中挑出10和共8張牌（每個數(shù)字四個花色：