高中數(shù)學(xué) 2.2 第2課時(shí)演繹推理同步測試 新人教B版選修2-2

【成才之路】-學(xué)年高中數(shù)學(xué)2.2第2課時(shí)演繹推理同步測試新人教B版選修2-2一、選擇題1．設(shè)a、b、c都是正數(shù)，則三個(gè)數(shù)a＋eq\f(1,b)、b＋eq\f(1,c)、c＋eq\f(1,a)()A．都大于2 B．至少有一個(gè)大于2C．至少有一個(gè)不小于2 D．至少有一個(gè)不大于2[答案]C[解析]a＋eq\f(1,b)＋b＋eq\f(1,c)＋c＋eq\f(1,a)＝a＋eq\f(1,a)＋b＋eq\f(1,b)＋c＋eq\f(1,c)≥2＋2＋2＝6.故選C.2．異面直線在同一個(gè)平面的射影不可能是()A．兩條平行直線 B．兩條相交直線C．一點(diǎn)與一直線 D．同一條直線[答案]D[解析]舉反例的方法如圖正方體ABCD－A1B1C1D1A1A與B1C1是兩條異面直線，它們在平面ABCD內(nèi)的射影分別是點(diǎn)A和直線BA1與B1C1是兩條異面直線，它們在平面ABCD內(nèi)的射影分別是直線AB和BCBA1與C1D1是兩條異面直線，它們在平面ABCD內(nèi)的射影分別是直線AB和CD，故排除A.故選D.3．已知x、y∈R，且x2＋y2＝1，則(1－xy)(1＋xy)有()A．最小值eq\f(3,4)，而無最大值B．最小值1，而無最大值C．最小值eq\f(1,2)和最大值1D．最大值1和最小值eq\f(3,4)[答案]D[解析]設(shè)x＝cosα，y＝sinα，則(1－xy)(1＋xy)＝(1－sinαcosα)(1＋sinαcosα)＝1－sin2αcos2α＝1－eq\f(1,4)sin22α∈[eq\f(3,4)，1]．4．(·微山一中高二期中)用反證法證明命題“如果a>b>0，那么a2>b2”A．a(chǎn)2＝b2 B．a(chǎn)2<b2C．a(chǎn)2≤b2 D．a(chǎn)2<b2，且a2＝b2[答案]C5．(·浙江余姚中學(xué)高二期中)用反證法證明命題：“若整系數(shù)一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有有理根，那么a、b、c中至少有一個(gè)是偶數(shù)”時(shí)，下列假設(shè)中正確的是()A．假設(shè)a、b、c都是偶數(shù)B．假設(shè)a、b、c都不是偶數(shù)C．假設(shè)a、b、c至多有一個(gè)偶數(shù)D．假設(shè)a、b、c至多有兩個(gè)是偶數(shù)[答案]B[解析]“至少有一個(gè)”的對立面是“一個(gè)都沒有”．6．“M不是N的子集”的充分必要條件是()A．若x∈M則x?NB．若x∈N則x∈MC．存在x1∈M?x1∈N，又存在x2∈M?x2?ND．存在x0∈M?x0?N[答案]D[解析]按定義，若M是N的子集，則集合M的任一個(gè)元素都是集合N的元素．所以，要使M不是N的子集，只需存在x0∈M但x0?N.選D.7．設(shè)a、b、c∈R＋，P＝a＋b－c，Q＝b＋c－a，R＝c＋a－b，則“PQR>0”是“P、Q、R同時(shí)大于零”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件[答案]C[解析]首先若P、Q、R同時(shí)大于零，則必有PQR>0成立．其次，若PQR>0，且P、Q、R不都大于0，則必有兩個(gè)為負(fù)，不妨設(shè)P<0，Q<0，即a＋b－c<0，b＋c－a<0，∴b<0與b∈R＋矛盾，故P、Q、R都大于0.故選C.8．(·華池一中高二期中)用反證法證明某命題時(shí)，對其結(jié)論：“自然數(shù)a、b、c中恰有一個(gè)偶數(shù)”正確的反設(shè)為()A．a(chǎn)、b、c都是奇數(shù)B．a(chǎn)、b、c都是偶數(shù)C．a(chǎn)、b、c中至少有兩個(gè)偶數(shù)D．a(chǎn)、b、c中至少有兩個(gè)偶數(shù)或都是奇數(shù)[答案]D[解析]“自然數(shù)a、b、c中恰有一個(gè)偶數(shù)”即a、b、c中有兩奇一偶，故其反面應(yīng)為都是奇數(shù)或兩偶一奇或都是偶數(shù)，故選D.二、填空題9．設(shè)f(x)＝x2＋ax＋b，求證：|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|中至少有一個(gè)不小于eq\f(1,2).用反證法證明此題時(shí)應(yīng)假設(shè)____________________．[答案]|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|都小于eq\f(1,2)10．完成反證法證題的全過程．題目：設(shè)a1，a2，…，a7是1,2，…，7的一個(gè)排列．求證：乘積p＝(a1－1)(a2－2)…(a7－7)為偶數(shù)．證明：反設(shè)p為奇數(shù)，則________均為奇數(shù)． ①因奇數(shù)個(gè)奇數(shù)之和為奇數(shù)，故有奇數(shù)＝________________________________ ②＝________________________________ ③＝0.[答案]①a1－1，a2－2，…，a7－7②(a1－1)＋(a2－2)＋…＋(a7－7)③(a1＋a2＋…＋a7)－(1＋2＋3＋…＋7)11．設(shè)實(shí)數(shù)a、b、c滿足a＋b＋c＝1，則a、b、c中至少有一個(gè)數(shù)不小于________．[答案]eq\f(1,3)[解析]假設(shè)a、b、c都小于eq\f(1,3)，則a＋b＋c<1.故a、b、c中至少有一個(gè)數(shù)不小于eq\f(1,3).三、解答題12．設(shè)a，b，c均為奇數(shù)，求證：方程ax2＋bx＋c＝0無整數(shù)根．[證明]假設(shè)方程有整數(shù)根x＝x0，x0∈Z，則axeq\o\al(2,0)＋bx0＋c＝0，c＝－(axeq\o\al(2,0)＋bx0)．①若x0為偶數(shù)，則axeq\o\al(2,0)與bx0均為偶數(shù)，所以axeq\o\al(2,0)＋bx0為偶數(shù)，從而c為偶數(shù)，與題設(shè)矛盾．②若x0為奇數(shù)，則axeq\o\al(2,0)、bx0均為奇數(shù)，所以axeq\o\al(2,0)＋bx0為偶數(shù)，從而c為偶數(shù)，與題設(shè)矛盾．綜上所述，方程ax2＋bx＋c＝0沒有整數(shù)根.一、選擇題1．實(shí)數(shù)a，b，c不全為0的含義是()A．a(chǎn)，b，c均不為0B．a(chǎn)，b，c中至多有一個(gè)為0C．a(chǎn)，b，c中至少有一個(gè)為0D．a(chǎn)，b，c中至少有一個(gè)不為0[答案]D[解析]“不全為0”即“至少有一個(gè)不為0”．2．(·山東理，4)用反證法證明命題“設(shè)a，b為實(shí)數(shù)，則方程x3＋ax＋b＝0至少有一個(gè)實(shí)根”時(shí)，要做的假設(shè)是()A．方程x3＋ax＋b＝0沒有實(shí)根B．方程x3＋ax＋b＝0至多有一個(gè)實(shí)根C．方程x3＋ax＋b＝0至多有兩個(gè)實(shí)根D．方程x3＋ax＋b＝0恰好有兩個(gè)實(shí)根[答案]A[解析]本題考查命題的非的寫法．至少有一個(gè)實(shí)根的否定為：沒有實(shí)根．反證法的假設(shè)為原命題的否定．3．已知x>0，y>0，x＋y≤4，則有()A.eq\f(1,x＋y)≤eq\f(1,4) B．eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)≥1C.eq\r(xy)≥2 D．eq\f(1,xy)≥1[答案]B[解析]由x>0，y>0，x＋y≤4得eq\f(1,x＋y)≥eq\f(1,4)，A錯；x＋y≥2eq\r(xy)，∴eq\r(xy)≤2，C錯；xy≤4，∴eq\f(1,xy)≥eq\f(1,4)，D錯．4．已知數(shù)列{an}，{bn}的通項(xiàng)公式分別為：an＝an＋2，bn＝bn＋1(a，b是常數(shù))，且a>b，那么兩個(gè)數(shù)列中序號與數(shù)值均相同的項(xiàng)的個(gè)數(shù)是()A．0個(gè) B．1個(gè)C．2個(gè) D．無窮多個(gè)[答案]A[解析]假設(shè)存在序號和數(shù)值均相等的兩項(xiàng)，即存在n∈N*，使得an＝bn，但若a>b，n∈N*，恒有a·n>b·n，從而an＋2>bn＋1恒成立．∴不存在n∈N*，使得an＝bn.故應(yīng)選A.二、填空題5．“任何三角形的外角都至少有兩個(gè)鈍角”的否定應(yīng)是________．[答案]存在一個(gè)三角形，其外角至多有一個(gè)鈍角6．用反證法證明命題“如果AB∥CD，AB∥EF，那么CD∥EF”，證明的第一個(gè)步驟是________．[答案]假設(shè)CD與EF不平行7．用反證法證明命題：“a，b∈N，ab可被5整除，那么a、b中至少有一個(gè)能被5整除”時(shí)，假設(shè)的內(nèi)容應(yīng)為__________________．[答案]假設(shè)a、b都不能被5整除三、解答題8．若x>0，y>0，且x＋y>2，求證eq\f(1＋x,y)<2和eq\f(1＋y,x)<2中至少有一個(gè)成立．[解析]假設(shè)都不成立，即有eq\f(1＋x,y)≥2且eq\f(1＋y,x)≥2.∵x>0，y>0，∴1＋x≥2y且1＋y≥2x，∴2＋(x＋y)≥2(x＋y)，∴x＋y≤2，這與已知條件x＋y>2矛盾．∴假設(shè)不成立，原命題成立，即eq\f(1＋x,y)<2和eq\f(1＋y,x)<2中至少有一個(gè)成立．9．求證：當(dāng)x2＋bx＋c2＝0有兩個(gè)不相等的非零實(shí)數(shù)根時(shí)，bc≠0.[證明]假設(shè)bc＝0.(1)若b＝0，c＝0，方程變?yōu)閤2＝0；則x1＝x2＝0是方程x2＋bx＋c2＝0的兩根，這與方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根矛盾．(2)若b＝0，c≠0，方程變?yōu)閤2＋c2＝0；但c≠0，此時(shí)方程無解，與x2＋bx＋c2＝0有兩個(gè)不相等的非零實(shí)數(shù)根矛盾．(3)若b≠0，c＝0，方程變?yōu)閤2＋bx＝0，方程的根為x1＝0，x2＝－b，這與方程有兩個(gè)非零實(shí)根矛盾．綜上所述，可知bc≠0.10．已知：非零實(shí)數(shù)a，b，c構(gòu)成公差不為0的等差數(shù)列，求證：eq\f(1,a)、eq\f(1,b)、eq\f(1,c)不可能成等差數(shù)列．[解析]假設(shè)eq\f(1,a)，eq\f(1,b)，eq\f(1,c)成等差數(shù)列．則eq\f(2,b)＝e