高中數(shù)學 3.3 第2課時 函數(shù)的極值與導數(shù)練習 新人教A版選修1-1

【成才之路】-學年高中數(shù)學3.3第2課時函數(shù)的極值與導數(shù)練習新人教A版選修1-1一、選擇題1．(·新課標Ⅱ文，3)函數(shù)f(x)在x＝x0處導數(shù)存在，若p：f′(x0)＝0；q：x＝x0是f(x)的極值點，則()A．p是q的充分必要條件B．p是q的充分條件，但不是q的必要條件C．p是q的必要條件，但不是q的充分條件D．p既不是q的充分條件，也不是q的必要條件[答案]C[解析]∵x＝x0是f(x)的極值點，∴f′(x)＝0，即q?p，而由f′(x0)＝0，不一定得到x0是極值點，故p?/q，故選C.2．函數(shù)f(x)＝x3－3x的極大值與極小值的和為()A．0 B．－2C．2 D．－1[答案]A[解析]f′(x)＝3x2－3，令f′(x)>0，得x>1或x<－1，令f′(x)<0，得－1<x<1，∴函數(shù)f(x)在(－∞，－1)，(1，＋∞)上遞增，在(－1,1)上遞減，∴當x＝－1時，f(x)取極大值f(－1)＝2，當x＝1時，f(x)取極小值f(1)＝－2，∴極大值與極小值的和為0.3．函數(shù)f(x)的定義域為開區(qū)間(a，b)，導函數(shù)f′(x)在(a，b)內的圖象如圖所示，則函數(shù)f(x)在開區(qū)間(a，b)內有極小值點()A．1個 B．2個C．3個 D．4個[答案]A[解析]由f′(x)的圖象可知，函數(shù)f(x)在區(qū)間(a，b)內，先增、再減、再增、最后再減，故函數(shù)f(x)在區(qū)間(a，b)內只有一個極小值點．4．設函數(shù)f(x)＝xex，則()A．x＝1為f(x)的極大值點 B．x＝1為f(x)的極小值點C．x＝－1為f(x)的極大值點 D．x＝－1為f(x)的極小值點[答案]D[解析]f′(x)＝ex＋xex＝ex(1＋x)，令f′(x)>0，得x>－1，令f′(x)<0，得x<－1，∴函數(shù)f(x)在(－∞，－1)上遞減，在(－1，＋∞)上遞增，∴當x＝－1時，f(x)取得極小值．5．函數(shù)y＝ax3＋bx2取得極大值或極小值時的x的值分別為0和eq\f(1,3)，則()A．a(chǎn)－2b＝0 B．2a－bC．2a＋b＝0 D．a(chǎn)＋2b[答案]D[解析]y′＝3ax2＋2bx由題設0和eq\f(1,3)是方程3ax2＋2bx＝0的兩根，∴a＋2b＝0.6．(·陜西文，9)設函數(shù)f(x)＝eq\f(2,x)＋lnx，則()A．x＝eq\f(1,2)為f(x)的極大值點 B．x＝eq\f(1,2)為f(x)的極小值點C．x＝2為f(x)的極大值點 D．x＝2為f(x)的極小值點[答案]D[解析]本節(jié)考查了利用導數(shù)工具來探索其極值點問題．f′(x)＝－eq\f(2,x2)＋eq\f(1,x)＝eq\f(1,x)(1－eq\f(2,x))，由f′(x)＝0可得x＝2.當0<x<2時，f′(x)<0，f(x)遞減，當x>2時，f′(x)>0，∴f(x)單調遞增．所以x＝2為極小值點．對于含有對數(shù)形式的函數(shù)在求導時，不要忽視定義域．二、填空題7．函數(shù)f(x)＝－eq\f(1,3)x3＋eq\f(1,2)x2＋2x取得極小值時，x的值是________．[答案]－1[解析]f′(x)＝－x2＋x＋2＝－(x－2)(x＋1)，令f′(x)>0得－1<x<2，令f′(x)<0，得x<－1或x>2，∴函數(shù)f(x)在(－∞，－1)，(2，＋∞)上遞減，在(－1,2)上遞增，∴當x＝－1時，函數(shù)f(x)取得極小值．8．已知函數(shù)f(x)＝x(x－c)2在x＝2處取極大值，則常數(shù)c的值為________．[答案]6[解析]f(x)＝x(x－c)2＝x3－2cx2＋c2x，f′(x)＝3x2－4cx＋c2，令f′(2)＝0解得c＝2或6.當c＝2時，f′(x)＝3x2－8x＋4＝(3x－2)(x－2)，故f(x)在x＝2處取得極小值，不合題意舍去；當c＝6時，f′(x)＝3x2－24x＋36＝3(x2－8x＋12)＝3(x－2)(x－6)，故f(x)在x＝2處取得極大值．9．函數(shù)y＝eq\f(2x,x2＋1)的極大值為________，極小值為________．[答案]1，－1[解析]y′＝eq\f(21＋x1－x,x2＋12)，令y′>0得－1<x<1，令y′<0得x>1或x<－1，∴當x＝－1時，取極小值－1，當x＝1時，取極大值1.三、解答題10．設y＝f(x)為三次函數(shù)，且圖象關于原點對稱，當x＝eq\f(1,2)時，f(x)的極小值為－1，求出函數(shù)f(x)的解析式．[解析]設f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)，因為其圖象關于原點對稱，∴f(－x)＝－f(x)恒成立，得ax3＋bx2＋cx＋d＝ax3－bx2＋cx－d，∴b＝0，d＝0，即f(x)＝ax3＋cx.由f′(x)＝3ax2＋c，依題意，f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝eq\f(3,4)a＋c＝0，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝eq\f(1,8)a＋eq\f(c,2)＝－1，解之，得a＝4，c＝－3.故所求函數(shù)的解析式為f(x)＝4x3－3x.一、選擇題11．函數(shù)y＝x3－3x2－9x(－2<x<2)有()A．極大值5，極小值－27 B．極大值5，極小值－11C．極大值5，無極小值 D．極小值－27，無極大值[答案]C[解析]y′＝3x2－6x－9＝3(x－3)(x＋1)，∵－2<x<2，∴令y′>0得－2<x<－1，令y′<0得－1<x<2，∴函數(shù)在(－2，－1)上遞增，在(－1,2)上遞減，∴當x＝－1時，f(x)取極大值f(－1)＝－1－3＋9＝5，f(x)無極小值．12．設函數(shù)f(x)＝x3＋bx2＋cx＋a在x＝±1處均有極值，且f(－1)＝－1，則a、b、c的值為()A．a(chǎn)＝－1，b＝0，c＝－1 B．a(chǎn)＝eq\f(1,2)，b＝0，c＝－eq\f(3,2)C．a(chǎn)＝－3，b＝0，c＝－3 D．a(chǎn)＝3，b＝0，c＝3[答案]C[解析]∵f′(x)＝3x2＋2bx＋c，∴由題意得，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f′1＝0,f′－1＝0,f－1＝－1))，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3＋2b＋c＝0,3－2b＋c＝0,－1＋b－c＋a＝－1))，解得a＝－3，b＝0，c＝－3.13．已知函數(shù)f(x)＝x3－px2－qx的圖象與x軸切于(1,0)點，則f(x)的極大值、極小值分別為()A．eq\f(4,27)，0 B．0，eq\f(4,27)C．－eq\f(4,27)，0 D．0，－eq\f(4,27)[答案]A[解析]f′(x)＝3x2－2px－q，由f′(1)＝0，f(1)＝0得，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3－2p－q＝0,1－p－q＝0))，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(p＝2,q＝－1))，∴f(x)＝x3－2x2＋x.由f′(x)＝3x2－4x＋1＝0得x＝eq\f(1,3)或x＝1，易得當x＝eq\f(1,3)時f(x)取極大值eq\f(4,27).當x＝1時f(x)取極小值0.14．已知f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有極大值和極小值，則a的取值范圍是()A．－1<a<2 B．－3<a<6C．a(chǎn)<－1或a>2 D．a(chǎn)<－3或a>6[答案]D[解析]f′(x)＝3x2＋2ax＋a＋6，∵f(x)有極大值與極小值，∴f′(x)＝0有兩不等實根，∴Δ＝4a2－12(a＋6)>0，∴a<－3或a二、填空題15．設x＝1與x＝2是函數(shù)f(x)＝alnx＋bx2＋x的兩個極值點，則常數(shù)a＝________.[答案]－eq\f(2,3)[解析]f′(x)＝eq\f(a,x)＋2bx＋1，由題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋2b＋1＝0,\f(a,2)＋4b＋1＝0))，∴a＝－eq\f(2,3).16．直線y＝a與函數(shù)f(x)＝x3－3x的圖象有相異的三個公共點，則a的取值范圍是________．[答案](－2,2)[解析]f′(x)＝3x2－3，由3x2－3＝0得x＝1或－1，當x<－1，或x>1時，f′(x)>0，f(x)單調增；當－1<x<1時，f′(x)<0，f(x)單調減．∴x＝－1時，f(x)取到極大值f(－1)＝2，x＝1時，f(x)取到極小值f(1)＝－2，∴欲使直線y＝a與函數(shù)f(x)的圖象有相異的三個公共點，應有－2<a<2.三、解答題17．已知函數(shù)f(x)＝x3－3x2－9x＋11.(1)寫出函數(shù)的遞減區(qū)間；(2)求函數(shù)的極值．[解析]f′(x)＝3x2－6x－9＝3