備考2024屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)大題規(guī)范練1函數(shù)與導(dǎo)數(shù)

大題規(guī)范1函數(shù)與導(dǎo)數(shù)

考情綜述函數(shù)與導(dǎo)數(shù)解答題,琲度較大，從其在2023年新高考卷I中的位置來看，難度

有所下降，說明難度定位更靈活.

從近幾年的命題情況來看，常涉及的背景函數(shù)有：指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、分式函數(shù)、三次

函數(shù)、三角函數(shù).涉及的命題點(diǎn)有：求切線方程，判斷單調(diào)性，求單調(diào)區(qū)間、極值、最值、

參數(shù)范圍，零點(diǎn)問題，證明不等式問題，不等式恒成立問題等.常涉及的數(shù)學(xué)思想有：函數(shù)

與方程思想、分類討論思想、數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想等.

解題時(shí)，無論是單調(diào)性、極值、最值問題還是不等式問題，一般需要先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，

然后通過導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性來求解，因此掌握導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系尤為重要.求

解過程中，注意內(nèi)容書寫的規(guī)范性和完整性.

示例[2023新高考卷I/12分]已知函數(shù)/(x)=。(er+?)-x

(1)討論/(x)的單調(diào)性；

(2)證明：當(dāng)〃>0時(shí)，f{x)>21na+|.

規(guī)范答題

(I)因?yàn)閒(k)=a(e^+a)—x,所以/(A)=aet—1,(1分)-*正確求導(dǎo)是關(guān)鍵.

當(dāng)aWO時(shí)，f(x)<0,

所以函數(shù)/(X)在(-8,+8)上單調(diào)遞減：(2分)f注意單調(diào)區(qū)間的范圍.

當(dāng)〃>0時(shí)，令/(x)<0,得xV—Ina,令/(尤)>0,得x>—Ina,

所以函數(shù)/(x)在(-8,-ina)上單調(diào)遞減，在(一Ina,+~)上單調(diào)遞增.(4分)

一有一處不等式解錯(cuò)，但單調(diào)性判斷對，這一步只給1分.

綜上可得：當(dāng)aWO時(shí)，函數(shù)/(外在(-8,4-co)上單調(diào)遞減；

當(dāng)a>0時(shí)，函數(shù)/(x)在(-8,—ina)上單調(diào)遞減，在(一Ina,4-°°)上單調(diào)遞增.

(5分)f下結(jié)論不可少，否則，就會失去結(jié)論分.

（2）解法一（最值法）由（1）得，當(dāng)。>0時(shí)，函數(shù)/（x）=。（e*+a）一彳的最小值

為/'（—Ina）=a（廣加"+〃）+lna=1+/+lna,（6分）-第（1）問中沒有別的條

件，其結(jié)論可以在第（2）問中合理使用.

令g（a）=1+a2+lna~2\na~^=cr~\na￡（0,+?>）,（7分）一利用作差

法，構(gòu)造函數(shù)g（a）=l+/+]na—21na-注意自變量a的取值范圍.

所以g'（a）=2a—

令/（a）<0,得OVaV條令夕（。）>0,得心字（9分）一注意新構(gòu)造的函數(shù)中，a

是自變量，不要誤以為〃是常數(shù).

所以函數(shù)gG）在（0,爭上單調(diào)遞減，在喙+8）上單調(diào)遞增，（10分）一

根據(jù)函數(shù)g（a）的單調(diào)性可判斷g（a）的最小值.

所以函數(shù)gQ）的最小值為g（爭=（y）2-lny-i=lnV2>0,（11分）f注意求

最小值時(shí)，需代入函數(shù)gQ）中，不要誤代入函數(shù)g'（a）中.

所以當(dāng)〃>0時(shí)，/（x）>21na+'成立.（12分）

解法二（分析法）當(dāng)〃>0時(shí)，由（1）得，f（x）min=/（-Ina）=l+/+ina,（6

分）-第（I）問沒有別的條件，其結(jié)論可以在第（2）問中合理利用.

故要證/（X）>21na+,成立，

只需證1+a2+lna>21na+g,

印證/一；〉[]]〃.一（7分）用分析法轉(zhuǎn)化待證的不等式時(shí)，注意書寫的格式“要證……，

只需證……，即證……

構(gòu)造函數(shù)〃（a）=lna~（a-1）（t?>0）,

則〃'（a）aa,所以當(dāng)a>l時(shí)，/（a）<0;當(dāng)OVaVl時(shí)，/Q）>0.（8

分）一構(gòu)造函數(shù)，注意自變量的取值范圍.

所以函數(shù)〃Q）在（1,+oo）上單調(diào)遞減，在（0,]）上單調(diào)遞增，

所以〃（a）（1）=0,即InaW。-1,（9分）-根據(jù)函數(shù)"（a）的單調(diào)性，可得

出U（。）的最大值.

故只需證a2—^>a~1,

即證/一〃+：>（）,（10分）一“只需證、即證”的字眼不能漏，否則，就會失分.

因?yàn)?—。+3=（67_1）2+；>。恒成立，（11分）

所以當(dāng)a>0時(shí)，/（x）>21na+^成立.（12分）

感悟升華

函數(shù)與導(dǎo)數(shù)問題的答題策略

1.定義域優(yōu)先.在利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性時(shí)，要先確定函數(shù)的定義域，求單調(diào)區(qū)間必須

在定義域內(nèi)進(jìn)行.

2.正確運(yùn)用公式與法則.熟練利用基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式與法則，正確求導(dǎo)是解題的關(guān)鍵.

注意對復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則的運(yùn)用.

3.分類討論做到不重不漏.分類討論是難點(diǎn)，需明晰分類的標(biāo)準(zhǔn)，要做到合理分類，不重不

漏.

4.會構(gòu)造函數(shù).正確構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷新構(gòu)造函數(shù)的單調(diào)性，利用函數(shù)的性質(zhì)求解.

5.會轉(zhuǎn)化.會把不等式問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題，會分離參數(shù)或用分析法轉(zhuǎn)化，簡化后求

解.

訓(xùn)練［12分］已知函數(shù)f(x)(lnx-a).

(1)討論/(x)的單調(diào)性；

(2)證明：當(dāng)〃>0時(shí)，f(x)2/+2。一〃］《一e?.

解析(1)易知函數(shù)/(x)的定義成為(0,4-co),(討論函數(shù)的單調(diào)性或求函數(shù)的單

調(diào)區(qū)間時(shí)要有定義域優(yōu)先的意識)

f(x)=2r--=^^.(1分)

XX

當(dāng)aWO時(shí)，f(x)>0,所以/(力在(0,+8)上單調(diào)遞增.(2分)

當(dāng)〃>0時(shí)，若(0,J|),則/(x)<0,若(J|,+8),則/G)>0,

所以/(x)在(0,J1)上單調(diào)遞減，在(Jj,+8)上單調(diào)遞增.(4分)

綜上，當(dāng)aWO時(shí)，/G)在(0,+8)上單調(diào)遞增：當(dāng)〃>0時(shí)，/u)在(0,J1)上單

調(diào)遞減，在(J|,+8)上單調(diào)遞增.(分類討論后要記得總結(jié)結(jié)論，否則容易失分)

(5分)

(2)由⑴可知，當(dāng)心0時(shí)，/(x)min=/(J|)=甘〃2_泉吟(6分)

要證/(x)2/+2〃一H成一e?,

只需證/(x)min》/+2a一川吟一e2,

即證勺/一些+e220.(7分)

222

令，=今則/>0,要證］嗚一4+e220,即證八n/-3z+e220.(通過換元簡化不等式的形

式，換元后要注意新元的范圍)(8分)

令g(r)=t\nr―3r+e2,則g'(f)=lnt—2,

22

當(dāng)ze(o,e)時(shí)，g'(r)<0,當(dāng)re(e,+~)時(shí)，g'⑺>0,

所以g(/)