1.6函數(shù)y=Asin(ωxφ)的性質(zhì)與圖象課件高一下學(xué)期數(shù)學(xué)北師大版

第一章三角函數(shù)6

函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的性質(zhì)與圖象北師大版

數(shù)學(xué)

必修第二冊目錄索引基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識一遍過重難探究·能力素養(yǎng)速提升成果驗(yàn)收·課堂達(dá)標(biāo)檢測課程標(biāo)準(zhǔn)1.掌握y=sinx與y=sinωx,y=sin(ωx+φ),y=Asin(ωx+φ)(A>0且A≠1,ω>0且ω≠1,φ≠0,x∈R)的圖象間的關(guān)系,會進(jìn)行函數(shù)圖象的變換.2.會用“五點(diǎn)法”作函數(shù)y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,x∈R)的圖象,明確A,ω,φ的物理意義.3.掌握研究函數(shù)y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,x∈R)的性質(zhì)的基本方法,會研究其性質(zhì).基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識全過關(guān)知識點(diǎn)一

三角函數(shù)的圖象變換1.左、右伸縮變換函數(shù)y=sinωx的圖象是將函數(shù)y=sinx圖象上所有的點(diǎn)的

縮短到原來的

(當(dāng)ω>1時(shí))或伸長(當(dāng)0<ω<1時(shí))到原來的

(縱坐標(biāo)不變)得到的,即橫坐標(biāo)

2.左、右平移變換函數(shù)y=sin(ωx+φ)的圖象,可以看作將函數(shù)y=sinωx圖象上的所有點(diǎn)向____

(φ>0)或向

(φ<0)平移

個(gè)單位長度得到的(可簡記為左“+”右“-”),即y=sinωx

y=sin(ωx+φ).

左

左

3.上、下伸縮變換函數(shù)y=Asin(ωx+φ)(A>0)的圖象是將函數(shù)y=sin(ωx+φ)圖象上的每個(gè)點(diǎn)的

伸長(當(dāng)A>1時(shí))或縮短(當(dāng)0<A<1時(shí))到原來的

倍(橫坐標(biāo)不變)得到的,即y=sin(ωx+φ)y=Asin(ωx+φ).縱坐標(biāo)

A4.上、下平移變換函數(shù)y=Asin(ωx+φ)+b的圖象,可以看作是把函數(shù)y=Asin(ωx+φ)圖象上的所有點(diǎn)向上(當(dāng)b>0時(shí))或向下(當(dāng)b<0時(shí))平移|b|個(gè)單位長度得到的(可簡記為上“+”下“-”),即y=Asin(ωx+φ)

y=Asin(ωx+φ)+b.名師點(diǎn)睛函數(shù)y=Asin(ωx+φ)+b(A>0,ω>0)中,參數(shù)A,ω,φ,b的變化引起圖象的變換:A的變化引起圖象中振幅的變換,即縱向伸縮變換;ω的變化引起周期的變換,即橫向伸縮變換;φ的變化引起左右平移變換;b的變化引起上下平移變換.圖象平移遵循的規(guī)律為“左加右減,上加下減”.過關(guān)自診判斷正誤.(正確的畫“√”,錯(cuò)誤的畫“×”)(1)由函數(shù)y=sin(x+)的圖象得到y(tǒng)=sinx的圖象,必須向左平移.(

)(2)把函數(shù)y=sinx的圖象上點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的3倍就得到函數(shù)y=sin3x的圖象.(

)(3)利用圖象變換作圖時(shí)“先平移,后伸縮”與“先伸縮,后平移”中平移的長度一致.(

)×××知識點(diǎn)二

A,ω,φ對函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的影響1.在函數(shù)y=sinωx(ω>0)中,ω決定了函數(shù)的周期,T=

是函數(shù)y=sinωx的最小正周期,通常稱周期的倒數(shù)

為

.

2.在函數(shù)y=sin(ωx+φ)中,φ決定了

時(shí)的函數(shù)值,通常稱φ為

,ωx+φ為

.

3.在函數(shù)y=Asin(ωx+φ)(A>0)中,A決定了函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的

以及函數(shù)的

和

,通常稱A為

.

頻率

x=0初相

相位

值域

最大值

最小值振幅名師點(diǎn)睛1.A,ω,φ對函數(shù)y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的圖象的影響.(1)A越大,函數(shù)圖象的最大值越大,最大值與A是正比例關(guān)系.(2)ω越大,函數(shù)圖象的周期越小,ω越小,函數(shù)圖象的周期越大,周期與ω為反比例關(guān)系.(3)φ大于0時(shí),函數(shù)圖象向左平移,φ小于0時(shí),函數(shù)圖象向右平移,即“左加右減”.過關(guān)自診1.判斷正誤.(正確的畫“√”,錯(cuò)誤的畫“×”)×√×2.根據(jù)函數(shù)y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的最大值是,如何確定函數(shù)解析式?知識點(diǎn)三

函數(shù)y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,x∈R)的性質(zhì)1.定義域:

.

2.值域:

.

3.周期:周期函數(shù),最小正周期T=

.

4.奇偶性:當(dāng)

時(shí),函數(shù)y=Asin(ωx+φ)是奇函數(shù);當(dāng)φ=_________

時(shí),

函數(shù)y=Asin(ωx+φ)是偶函數(shù);當(dāng)φ≠

時(shí),函數(shù)y=Asin(ωx+φ)既不是奇函數(shù),也不是偶函數(shù).

R[-A,A]φ=kπ,k∈Z名師點(diǎn)睛1.一般情況下,ω的值是唯一確定的,但φ的值是不確定的,它有無數(shù)個(gè).如果求出的φ值不在指定范圍內(nèi),可以通過加減

的整數(shù)倍達(dá)到目的.2.正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的兩個(gè)相鄰的對稱中心、兩條相鄰的對稱軸之間的距離并不是函數(shù)的一個(gè)周期,而是半個(gè)周期.過關(guān)自診1.判斷正誤.(正確的畫“√”,錯(cuò)誤的畫“×”)√√××知識點(diǎn)四

函數(shù)y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,x∈R)的圖象用五點(diǎn)法作函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象(1)確定函數(shù)的最小正周期T=.(2)令ωx+φ分別等于

,

,

,

,

,確定該函數(shù)的五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn).

列表如下:0π2π(3)描點(diǎn)連線,作出函數(shù)在一個(gè)周期上的圖象,再向左、右無限擴(kuò)展,得到y(tǒng)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,x∈R)的圖象.名師點(diǎn)睛由y=sin

x變換得到y(tǒng)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,x∈R)的方法(1)先平移后伸縮:(2)先伸縮后平移:過關(guān)自診

[人教A版教材例題]畫出函數(shù)y=2sin(3x-)的簡圖.重難探究·能力素養(yǎng)全提升探究點(diǎn)一正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象變換角度1.伸縮變換

變式探究若將本例中“橫坐標(biāo)縮短為原來的”改為“縱坐標(biāo)伸長為原來的5倍”,其他條件不變,則得到的函數(shù)解析式為

.

規(guī)律方法

對于函數(shù)y=sin

x,若橫坐標(biāo)伸長為原來的ω(ω>1)倍,則得到函數(shù)

,若縱坐標(biāo)伸長為原來的A(A>1)倍,則得到函數(shù)y=Asin

x,兩者可理解為橫向伸縮是反比例伸縮變換,縱向伸縮是正比例伸縮變換.角度2.平移變換【例2】

函數(shù)y=sin(x-)的圖象可以看作是由y=sinx的圖象經(jīng)過怎樣的變換而得到的?規(guī)律方法

對平移變換應(yīng)先觀察函數(shù)名是否相同,若函數(shù)名不同,則先化為同名函數(shù),再觀察x前的系數(shù),當(dāng)x前的系數(shù)不為1時(shí),應(yīng)提取系數(shù)確定平移的單位和方向,方向遵循左加右減,且從ωx→ωx+φ的平移量為

個(gè)單位長度.角度3.圖象變換的綜合應(yīng)用

規(guī)律方法

1.已知變換途徑及變換后的函數(shù)解析式,求變換前函數(shù)圖象的解析式,宜采用逆變換的方法.2.已知函數(shù)f(x)圖象的伸縮變換情況,求變換前后圖象的解析式,要明確伸縮的方向及量,然后確定出A或ω即可.變式訓(xùn)練1將y=sinx的圖象怎樣變換可得到函數(shù)y=2sin(2x+)+1的圖象?解

(方法一)①把y=sin

x的圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長到原來的2倍,得到y(tǒng)=2sin

x的圖象;探究點(diǎn)二

用“五點(diǎn)法”作函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象

解

列表.規(guī)律方法

“五點(diǎn)法”作函數(shù)y=Asin(ωx+φ)圖象的實(shí)質(zhì)和步驟(1)實(shí)質(zhì):利用“五點(diǎn)法”作函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象,實(shí)質(zhì)是利用函數(shù)的三個(gè)零點(diǎn)、兩個(gè)最值點(diǎn)畫出函數(shù)在一個(gè)周期內(nèi)的圖象.(2)步驟:第一步,列表.第二步,在同一坐標(biāo)系中描出各點(diǎn).第三步,用光滑曲線順次連接這些點(diǎn),得到圖象.變式訓(xùn)練2用“五點(diǎn)法”作函數(shù)y=2sin(x-)+3的圖象,并寫出函數(shù)的定義域、值域、周期、頻率、初相、最值、單調(diào)區(qū)間.解

列表.探究點(diǎn)三

函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的性質(zhì)的應(yīng)用

【例5】

已知函數(shù)f(x)=Asin(3x+φ)(A>0,x∈R,0<φ<π)在x=時(shí)取得最大值4.(1)求f(x)的最小正周期;(2)求f(x)的單調(diào)區(qū)間.規(guī)律方法

研究函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的性質(zhì),主要運(yùn)用整體代換的思想,將(ωx+φ)視為一個(gè)整體來研究,但首先要掌握和熟記y=sin

x的性質(zhì).本節(jié)要點(diǎn)歸納1.知識清單:(1)伸縮變換;(2)平移變換;(3)五點(diǎn)(畫圖)法;(4)三角函數(shù)的性質(zhì)的綜合應(yīng)用.2.方法歸納:特殊點(diǎn)法、數(shù)形結(jié)合法.3.常見誤區(qū):先平移和先伸縮再平移的量不一樣;求φ值時(shí)容易區(qū)分不清單調(diào)遞增區(qū)間上的零點(diǎn)和單調(diào)遞減區(qū)間上的零點(diǎn).成果驗(yàn)收·課堂達(dá)標(biāo)檢測1234567891011121314A級必備知識基礎(chǔ)練A.1 B.2 C.3 D.4C1234567891011121314B12345678910111213143.將函數(shù)y=sin2x的圖象向右平移

個(gè)單位長度,所得圖象對應(yīng)的函數(shù)是(

)A.奇函數(shù)B.偶函數(shù)C.既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)D.既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)A12345678910111213144.下列函數(shù)中,圖象的一部分如圖所示的是(

)D1234567891011121314A12345678910111213142123456789101112131468π1234567891011121314y=sinx

12345678910111213141234567891011121314B級關(guān)鍵能力提升練D1234567891011121314AB12345678910111213141234567891011121314