山東省臨沂市2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題

PAGEPAGE10山東省臨沂市2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題留意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)等填寫在答題卡和試卷指定位置上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無(wú)效。一、選擇題：本題共8小題。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（）A．（±1，0） B．（0，±1） C．（，0） D．（0，）2．過(guò)點(diǎn)（2，－1）且方向向量為（1，2）的直線的方程為（）A． B．C． D．3．如圖，在正方體中，（）A． B． C． D．4．若直線平分圓的周長(zhǎng)，則的值為（）A．2 B．－2 C．－3 D．35．如圖為某種禮物著陸傘的示意圖，其中有8根繩子和傘面連接，每根繩子和水平面的法向量的夾角均為60°．已知禮物的質(zhì)量為，每根繩子的拉力大小相同．若重力加速度取，則著陸傘在勻速下落的過(guò)程中每根繩子拉力的大小為（）A． B． C． D．6．已知兩點(diǎn)，，直線過(guò)點(diǎn)且與線段有交點(diǎn)，則直線的傾斜角的取值范圍為（）A． B．C． D．7．設(shè)是圓：上的一動(dòng)點(diǎn)，定點(diǎn)，線段的垂直平分線交線段于點(diǎn)，則點(diǎn)的軌跡方程為（）A． B． C． D．8．在一個(gè)平面上，機(jī)器人從與點(diǎn)的距離為5的地方繞點(diǎn)順時(shí)針而行，在行進(jìn)過(guò)程中保持與點(diǎn)的距離不變．它在行進(jìn)過(guò)程中到過(guò)點(diǎn)與的直線的最近距離為（）A．3 B．4 C．5 D．6二、選擇題：本題共4小題。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9．下列說(shuō)法正確的是（）A．直線必過(guò)定點(diǎn)（2，1）B．直線在軸上的截距為－2C．直線的傾斜角為120°D．若直線沿軸向左平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，再沿軸向上平移2個(gè)單位長(zhǎng)度后，回到原來(lái)的位置，則該直線的斜率為10．如圖，在長(zhǎng)方體中，，，，以直線，，分別為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系，則（）A．點(diǎn)的坐標(biāo)為（5，4，3）B．點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)為（8，5，－3）C．點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)為（0，5，3）D．點(diǎn)關(guān)于平面對(duì)稱的點(diǎn)為（8，－5，0）11．若圓：與圓：的交點(diǎn)為，，則（）A．公共弦所在直線方程為B．線段中垂線方程為C．公共弦的長(zhǎng)為D．在過(guò)，兩點(diǎn)的全部圓中，面積最小的圓是圓12．如圖所示，某探月衛(wèi)星沿地月轉(zhuǎn)移軌道飛向月球，在月球旁邊一點(diǎn)處變軌進(jìn)入以月球球心為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓軌道Ⅰ繞月飛行，之后衛(wèi)星在點(diǎn)處其次次變軌進(jìn)入仍以為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓軌道Ⅱ繞月飛行，且軌道Ⅱ的右頂點(diǎn)為軌道Ⅰ的中心．設(shè)橢圓Ⅰ與Ⅱ的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)分別為和，半焦距分別為和，離心率分別為，，則下列結(jié)論正確的是（）A． B．C． D．橢圓Ⅱ比橢圓Ⅰ更扁三、填空題：本題共4小題。13．向量，，若與共線，則______．14．若中心在原點(diǎn)，對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸的橢圓過(guò)點(diǎn)，且長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的倍，則其標(biāo)準(zhǔn)方程為______．15．已知圓：，從點(diǎn)發(fā)出的光線，經(jīng)直線反射后，恰好經(jīng)過(guò)圓心，則入射光線的斜率為______．16．某圓拱橋的水面跨度為，拱高，此拱橋所在圓的半徑為______；現(xiàn)有一船，寬，載貨后寬度與船的寬度相同，若這條船能從橋下通過(guò)，則此船水面以上最高不能超過(guò)______．四、解答題：本題共6小題。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．已知直線過(guò)定點(diǎn)．（1）若直線與直線垂直，求直線的方程；（2）若直線在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，求直線的方程．18．如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體中，為線段的中點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)．（1）求直線到平面的距離；（2）求平面與平面所成銳二面角的余弦值．19．已知直線：和圓：．（1）若直線交圓于，兩點(diǎn)，求弦的長(zhǎng)；（2）求過(guò)點(diǎn)（4，－1）且與圓相切的直線方程．20．如圖，一種電影放映燈的反射鏡面是旋轉(zhuǎn)橢圓面（橢圓繞其對(duì)稱軸旋轉(zhuǎn)一周形成的曲面）的一部分．過(guò)對(duì)稱軸的截口是橢圓的一部分，燈絲位于橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)上，片門位于另一個(gè)焦點(diǎn)上．由橢圓一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光線，經(jīng)過(guò)旋轉(zhuǎn)橢圓面反射后集中到另一個(gè)焦點(diǎn)．已知，，．（1）試建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求截口所在的橢圓的方程；（2）如圖，若透亮窗所在的直線與截口所在的橢圓交于一點(diǎn)，且，求的面積．21．如圖，在四棱錐中，平面，，，，為的中點(diǎn)．（1）求異面直線與所成角的余弦值；（2）點(diǎn)在線段上，當(dāng)為何值時(shí)，直線與平面所成角的正弦值為？22．已知橢圓：的左、右焦點(diǎn)分別為，，過(guò)點(diǎn)且不平行于坐標(biāo)軸的直線交橢圓于，兩點(diǎn)．（1）求的周長(zhǎng)；（2）橢圓上是否存在點(diǎn)，使得點(diǎn)到直線：的距離最大？若存在，求出最大距離；若不存在，說(shuō)明理由．?dāng)?shù)學(xué)試題參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)2024．11一、選擇題：本題共8小題。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．A 2．C 3．B 4．D 5．B 6．C 7．B 8．A二、選擇題：本題共4小題。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9．ACD 10．BC 11．AD 12．ABC三、填空題：本題共4小題。13．414．或15．－216．13；7四、解答題：本題共6小題。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．解：（1）直線的斜率為，∵直線與直線垂直，∴直線的斜率為2，又直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，∴直線的方程為，即．（2）當(dāng)直線過(guò)原點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線的方程為，∵直線過(guò)定點(diǎn)，∴，∴直線方程為，即．當(dāng)直線不過(guò)原點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線的方程為，即，∵直線過(guò)定點(diǎn)，∴，∴直線方程為，即，綜上，直線方程為或．18．解：（1）以為原點(diǎn)，，，所在的直線分別為軸、軸、軸，建立如圖所示的空間坐標(biāo)系，則，，，，．∴，，，，．∵．∴，∴平面，∴點(diǎn)到平面的距離即為直線到平面的距離，設(shè)平面的法向量為，則，∴，∴，取，則，，∴，又，∴點(diǎn)到平面的距離為．（2）設(shè)平面的法向量為，則，∴，∴，取，則，∴，∴，∴平面與平面所成銳二面角的余弦值．19．解：（1）將圓：化成標(biāo)準(zhǔn)方程：，∴圓的圓心為，半徑．∴圓心到直線：的距離，∴．（2）①當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，過(guò)點(diǎn)（4，－1）的直線為，是圓的一條切線；②當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)圓的切線方程為，即．∴圓心到直線的距離為，即，解之得．∴此時(shí)切線方程為，化簡(jiǎn)得．綜上所述，所求的直線方程為：或．20．解：建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)截口所在橢圓的方程為：，因?yàn)?，，，所以在直角中，，故，，又，，所以，所以，所求的橢圓方程為．（2）∵點(diǎn)在橢圓上，，又，即為直角三角形，∴，∴有，得：，故的面積為：．21．解：（1）∵平面，且，平面，∴，，又∵，∴,，兩兩相互垂直．以，，分別為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖：則由，，可得，，，，，又∵為的中點(diǎn)，∴．∴，，所以，所以異面直線，所成角的余弦值為．（2）設(shè)，則，∴，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，即，令，解得，，∴是平面的一個(gè)法向量．∵直線與平面所成角的正弦值為，∴，解得，所以當(dāng)為時(shí)，直線與平面所成角的正弦值為．22．解：（1）由橢圓：可知，橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)，由橢圓的定義可知，，，又∵直線過(guò)焦點(diǎn)交橢圓與，兩點(diǎn)．∴的周長(zhǎng)為：．（2）假設(shè)橢圓上存在點(diǎn)，使得點(diǎn)到直