江蘇省南通市如東縣栟茶中學(xué)2025屆高三數(shù)學(xué)下學(xué)期5月模擬考試試題含解析

PAGE21-江蘇省南通市如東縣栟茶中學(xué)2025屆高三數(shù)學(xué)下學(xué)期5月模擬考試試題（含解析）一、填空題：（本大題共14小題，每小題5分，共70分.請將答案填入答題紙?zhí)羁疹}的相應(yīng)答題線上.）1.已知集合則___________．【答案】【解析】【分析】求出集合B的等價條件，結(jié)合集合交集的定義進行求解即可．【詳解】＝{x|x}，又則A∩B＝{﹣1，1}，故答案為{﹣1，1}【點睛】本題主要考查集合的基本運算，求出集合的等價條件以及利用集合交集的定義是解決本題的關(guān)鍵．2.復(fù)數(shù)是純虛數(shù)（i是虛數(shù)單位），則實數(shù)a=_____________【答案】2【解析】【分析】化簡為復(fù)數(shù)的一般形態(tài)，然后依據(jù)復(fù)數(shù)的概念即可求解【詳解】因為復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，化簡，，則，則實數(shù)答案：2【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的概念，屬于簡潔題3.某算法的偽代碼如圖所示，假如輸入的值為，則輸出的值為__________．【答案】5【解析】【分析】依據(jù)偽代碼寫出分段函數(shù)，再依據(jù)自變量選擇相應(yīng)解析式，即可求出輸出值．【詳解】由偽代碼可得，當(dāng)時，．故答案為：【點睛】本題主要考查條件語句及分段函數(shù)，屬于基礎(chǔ)題．4.現(xiàn)有三張識字卡片，分別寫有“抗”、“疫”、“情”這三個字.將這三張卡片隨機排序，則能組成“抗疫情”的概率是_____________【答案】【解析】【分析】干脆利用古典概型的概率公式求解.【詳解】由題得“抗”、“疫”、“情”這三個字的排列有：抗疫情，抗情疫，疫抗情，疫情抗，情抗疫，情疫抗，共有6種，其中，組成“抗疫情”的只有1種.故能組成“抗疫情”的概率是.故答案為：【點睛】本題主要考查古典概型的概率的計算，意在考查學(xué)生對這些學(xué)問的理解駕馭水平，屬于基礎(chǔ)題.5.已知雙曲線的離心率，則其漸近線的方程為_________【答案】【解析】雙曲線的方程是，雙曲線漸近線為，又離心率為，可得，，即，可得，由此可得雙曲線漸近線為，故答案為.6.已知一組數(shù)據(jù)3，6，9，8，4，則該組數(shù)據(jù)的方差是_______．【答案】【解析】【分析】先計算出平均值，然后依據(jù)方差的計算公式，計算出數(shù)據(jù)的方差.【詳解】平均值為，所以方差為.【點睛】本小題主要考查樣本方差的運算，考查運算求解實力，屬于基礎(chǔ)題.7.公差不為的等差數(shù)列的前項和為，若、、成等比數(shù)列，，則______________【答案】【解析】【分析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，可得出，依據(jù)題意得出關(guān)于和的方程組，解出這兩個量的值，進而可求得的值.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，可得出，由題意得，即，解得，因此，.故答案為：.【點睛】本題考查等差數(shù)列基本量的計算，解答的關(guān)鍵就是得出關(guān)于首項和公差的方程組，考查計算實力，屬于中等題.8.將1個半徑為1的小鐵球與1個底面周長為，高為4的鐵制圓柱重新鍛造成一個大鐵球，則該大鐵球的表面積為_____________【答案】【解析】【分析】求出小鐵球與圓柱的體積和，可得大鐵球的體積，從而求得大球的半徑，進而求出大鐵球的表面積.【詳解】半徑為1的小鐵球的體積為，底面周長為，高為4的鐵制圓柱的底面半徑為1，體積為，鍛造成的大鐵球的體積為，可得，所以該大鐵球的表面積為，故答案為：.【點睛】本題主要考查球的體積與表面積公式，考查了柱體的體積公式，屬于基礎(chǔ)題.9.若函數(shù)的圖象過點，則函數(shù)在上的單調(diào)減區(qū)間是____．【答案】(或)【解析】函數(shù)的圖象過點，則，，，.,,,有于在為減函數(shù)，所以，解得.【點睛】依據(jù)函數(shù)圖象過已知點，求出，借助的范圍求出的值.求三角函數(shù)在某一區(qū)間上的最值及單調(diào)區(qū)間時，務(wù)必要留意“范圍優(yōu)先原則”，依據(jù)的范圍探討的范圍，有時還要關(guān)注的符號，因此當(dāng)自變量有范圍限制時，解題更要當(dāng)心失誤.10.若正實數(shù)滿意，則的最小值為______．【答案】【解析】令，則，，即，，且，，即的最小值為．點睛：基本不等式的考察的一個主要考察方法就是判別式法，可以應(yīng)用判別式法的題型基本特點：（1）題干條件是二次式；（2）問題是一次式（或可以化簡為一次式）．熟識判別式法的應(yīng)用，可以提升考試中遇到不等式題型的精確率．11.如圖，在由5個邊長為1，一個頂角為60°的菱形組成的圖形中，_____________【答案】【解析】【分析】利用平面對量的線性運算可得，再由平面數(shù)量積的運算法則化簡即可．【詳解】如圖，由已知可得所以故答案為：.【點睛】向量數(shù)量積的運算主要駕馭兩點：一是數(shù)量積的基本公式；二是向量的平方等于向量模的平方.12.若對于隨意的都有則實數(shù)a的取值范圍是______．【答案】(或)【解析】【詳解】利用一元二次方程根的分布去解決，設(shè)，當(dāng)時，即時，對恒成立；當(dāng)時，，不合題意；當(dāng)時，符合題意；當(dāng)時，，即，即：綜上所述：實數(shù)的取值范圍是.【點睛】有關(guān)一元二次方程的根的分布問題，要結(jié)合一元二次方程和二次函數(shù)的圖象去作，要求函數(shù)值在某區(qū)間為正，須要分別對判別式大于零、等于零和小于零進行分類探討，留意限制判別式、對稱軸及特別點的函數(shù)值的大小，列不等式組解題.13.在平面直角坐標(biāo)系中，圓，若圓上存在以為中點的弦，且，則實數(shù)的取值范圍為_________．【答案】(或)【解析】【詳解】【分析】由于圓存在以為中點的弦，且，所以,如圖，過點作圓的兩條切線，切點分別為，圓上要存在滿意題意的點，只需，即，連接，，由于，，，解得.【點睛】已知圓的圓心在直線上，半徑為，若圓存在以為中點的弦，且，說明，就是說圓上存在兩點，使得.過點作圓的兩條切線，切點分別為，圓上要存在滿意題意的點，只需，即，則只需，列出不等式解出的范圍.14.在中，若，，，則實數(shù)__________．【答案】【解析】【分析】在中，利用余弦定理可得，然后將進行切化弦，再利用正、余弦定理將角化為邊可得，從而可得，解得的值，由正弦定理即可求出結(jié)果．【詳解】在中，，由余弦定理得，①因為，即，所以，由正弦定理得，所以，整理得，②由①②可得，所以，解得，所以，又，所以．故答案為：【點睛】本題主要考查正、余弦定理的應(yīng)用，同時考查同角三角函數(shù)關(guān)系，屬于中檔題．二、解答題：（本大題共6小題，共90分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.）15.如圖，在中，已知點在邊上，，，，．（1）求的值；（2）求的長.【答案】（1）（2）【解析】試題分析：依據(jù)平方關(guān)系由求出，利用求出，依據(jù)三角形內(nèi)角和關(guān)系利用和角公式求出，利用正弦定理求出，依據(jù)，計算，最終利用余弦定理求出.試題解析：（1）在中，，，所以．同理可得，．所以．（2）在中，由正弦定理得，．又，所以．在中，由余弦定理得，．【點睛】湊角求值是高考常見題型，湊角求知要“先備料”后代入求值，其次步利用正弦定理和余弦定理解三角形問題，要敏捷運用正、余弦定理，有時還要用到面積公式，留意邊角互化.16.如圖，在四棱錐中，平面，，，過的平面分別與交于點．（1）求證：平面；（2）求證：．【答案】（1）見解析；（2）見解析【解析】【詳解】分析：（1）由平面可得，結(jié)合可證平面.（2）先由證明平面，從而得到，故.詳解：（1）證明:∵在四棱錐中，平面，平面，∴，∵，，∴平面.（2）∵，過的平面分別與交于點，故平面平面又平面，平面，∴平面，而平面，∴∴點睛：（1）線面垂直的判定可由線線垂直得到，留意線線是相交的，也可由面面垂直得到，留意線在面內(nèi)且線垂直于兩個平面的交線.（2）線線平行的判定可以由線面平行得到，留意其中一條線是過另一條線的平面與已知平面的交線，也可以由面面平行得到，留意兩條線是第三個平面與已知的兩個平行平面的交線.17.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓的左、右頂點分別為，，過右焦點的直線與橢圓交于，兩點(點在軸上方)．（1）若，求直線的方程；（2）設(shè)直線，的斜率分別為，．是否存在常數(shù)，使得？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．【答案】（1）（2）【解析】試題分析：設(shè)直線的方程，聯(lián)立方程組，利用向量關(guān)系找出兩交點的縱坐標(biāo)關(guān)系，解方程求出直線方程；利用第一步的根與系數(shù)關(guān)系，借助已知的斜率關(guān)系求出的值.試題解析：（1）因為，，所以，所以的坐標(biāo)為，設(shè)，，直線的方程為，代入橢圓方程，得，則，．若，則，解得，故直線的方程為．（2）由（1）知，，，所以，所以，故存在常數(shù)，使得．【點睛】求直線方程首先要設(shè)出方程，依據(jù)題目所供應(yīng)的坐標(biāo)關(guān)系，求出直線方程中的待定系數(shù)，得出直線方程；其次步存在性問題解題思路是首先假設(shè)存在，利用所求的，，結(jié)合已知條件，得出坐標(biāo)關(guān)系，再把，代入求出符合題意，則存在，否則不存在.18.某景區(qū)修建一棟復(fù)古建筑，其窗戶設(shè)計如圖所示.圓的圓心與矩形對角線的交點重合，且圓與矩形上下兩邊相切（為上切點），與左右兩邊相交（，為其中兩個交點），圖中陰影部分為不透光區(qū)域，其余部分為透光區(qū)域.已知圓的半徑為1，且，設(shè)，透光區(qū)域的面積為.（1）求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，并求出定義域；（2）依據(jù)設(shè)計要求，透光區(qū)域與矩形窗面的面積比值越大越好.當(dāng)該比值最大時，求邊的長度.【答案】（1）關(guān)于函數(shù)關(guān)系式為，定義域為；（2）透光區(qū)域與矩形窗面的面積比值最大時，的長度為1．【解析】試題分析：(1)過點作于點，可得關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式為，定義域為；(2)由原函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)的關(guān)系可得當(dāng)時，有最大值，此時試題解析：解:(1)過點作于點，則，所以，．所以，因為，所以，所以定義域為．（2）矩形窗面的面積為．則透光區(qū)域與矩形窗面面積比值為．設(shè)，．則，因為，所以，所以，故，所以函數(shù)在上單調(diào)減．所以當(dāng)時，有最大值，此時答：（1）關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式為，定義域為；（2）透光區(qū)域與矩形窗面的面積比值最大時，的長度為1．19.已知函數(shù).（1）當(dāng)時，求的圖象在處的切線方程；（2）若函數(shù)在上有兩個零點，求實數(shù)m的取值范圍；（3）若對區(qū)間內(nèi)隨意兩個不等的實數(shù)，，不等式恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.【答案】（1）；（2）；（3）【解析】【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求出函數(shù)在處的切線方程（2）先通過求導(dǎo),探討函數(shù)的單調(diào)性,然后利用函數(shù)在上有兩個零點可得直線與的圖像有兩個交點，從而得到，求解即可（3）不妨設(shè)，恒成立等價于，化簡為，然后，令，然后推斷的單調(diào)性即可求解【詳解】（1）當(dāng)時，，，切點坐標(biāo)為，切線的斜率，則切線方程為，即.（2），則，，故時，.當(dāng)時，；當(dāng)時，.故在處取得極大值.又，，，則，在上的最小值是.在上有兩個零點的條件是解得實數(shù)m的取值范圍是（3）不妨設(shè)，恒成立等價于，即.令，由，具有隨意性知，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，恒成立，即恒成立，，在上恒成立.令，則在上單調(diào)遞增，則，實數(shù)a的取值范圍是【點睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義和函數(shù)的極值和最值、以及考查函數(shù)的恒成立問題和轉(zhuǎn)化思想，屬于難題20.已知數(shù)列的前項和為，且滿意；數(shù)列的前項和為，且滿意，，.（1）求數(shù)列、的通項公式；（2）是否存在正整數(shù)，使得恰為數(shù)列中的一項？若存在，求全部滿意要求的；若不存在，說明理由.【答案】（1），（2）存在滿意要求的為，.【解析】【詳解】試題分析：（1）由和項與通項關(guān)系得,依據(jù)等比數(shù)列定義及通項公式可得,由疊乘法可得,再由和項與通項關(guān)系得,依據(jù)等差數(shù)列定義及通項公式可得（2）先探討數(shù)列增減性:,再探討確定可能狀況:2,3,7,即得滿意要求的.試題解析：解：（1）因為，所以當(dāng)時，，兩式相減得，即，又，則，所以數(shù)列是以為首項，2為公比的等比數(shù)列，故.由得，，，…，，以上個式子相乘得，即①，當(dāng)時，②，兩式相減得，即（），所以數(shù)列的奇數(shù)項、偶數(shù)項分別成等差數(shù)列，,,因此數(shù)列的通項公式為.（2）當(dāng)時，無意義，設(shè)（，），明顯.則，即.明顯，所以，所以存在，使得，，下面證明不存在，否則，即，此式右邊為3倍數(shù)，而不行能是3的倍數(shù)，故該式不成立.綜上，滿意要求的為，.點睛：給出與的遞推關(guān)系求，常用思路是：一是利用轉(zhuǎn)化為的遞推關(guān)系，再求其通項公式；二是轉(zhuǎn)化為的遞推關(guān)系，先求出與之間的關(guān)系，再求.應(yīng)用關(guān)系式時，肯定要留意分兩種狀況，在求出結(jié)果后，看看這兩種狀況能否整合在一起.21.已知矩陣，若求矩陣A的特征值.【答案】或—1【解析】【分析】由矩陣的乘法首先求得實數(shù)，的值，然后求解矩陣的特征值即可．【詳解】因為，所以，解得，，所以矩陣的特征多項式為，令解得矩陣的特征值為或．故答案為：或—1【點睛】本題考查矩陣的乘法運算，矩陣的特征值的求解等，重點考查學(xué)生對基礎(chǔ)概念的理解和計算實力．22.在極坐標(biāo)系中，已知點，點B在直線上.當(dāng)線段最短時，求點B的極坐標(biāo)..【答案】【解析】【分析】點的直角坐標(biāo)為，直線的直角坐標(biāo)方程為:,線段最短時,點B為直線與的交點,求出交點,進而得出結(jié)果.【詳解】∵點A的極坐標(biāo)為，∴點A的直角坐標(biāo)為.∵點B在直線上運動，∴點B在直線上運動.要使線段最短時,點B為直線與的交點,解，得即B點的坐標(biāo)為,化為極坐標(biāo)是.【點睛】本題考查極坐標(biāo),解題關(guān)鍵是駕馭極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化．23.在平面直角坐標(biāo)系中，點，直線與動直線的交點為，線段的中垂線與動直線的交點為．（1）求動點的軌跡的方程；（2）過動點作曲線的兩條切線，切點分別為，，求證：的大小為定值．【答案】（1）曲線的方程為．（2）