第19講、原函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)混合還原（教師版）

[在此處鍵入][在此處鍵入]第19講原函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)混合還原知識(shí)梳理1、對(duì)于，構(gòu)造，2、對(duì)于，構(gòu)造3、對(duì)于，構(gòu)造，4、對(duì)于，構(gòu)造5、對(duì)于，構(gòu)造，6、對(duì)于，構(gòu)造7、對(duì)于，構(gòu)造，8、對(duì)于，構(gòu)造9、對(duì)于，構(gòu)造，10、對(duì)于，構(gòu)造11、對(duì)于，構(gòu)造，12、對(duì)于，構(gòu)造13、對(duì)于，構(gòu)造14、對(duì)于，構(gòu)造15、；；；16、；．必考題型全歸納題型一：利用構(gòu)造型例1．（安徽省馬鞍山第二中學(xué)2024學(xué)年高三上學(xué)期10月段考數(shù)學(xué)試題）已知的定義域?yàn)?，為的?dǎo)函數(shù)，且滿足，則不等式的解集是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】根據(jù)題意，構(gòu)造函數(shù)，，則，所以函數(shù)的圖象在上單調(diào)遞減.又因?yàn)椋?，所以，解得或（舍?所以不等式的解集是.故選：B.例2．（河南省溫縣第一高級(jí)中學(xué)2024學(xué)年高三上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)試題）已知函數(shù)的定義域?yàn)椋覞M足（是的導(dǎo)函數(shù)），則不等式的解集為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】令，則，即在上遞增，又，則等價(jià)于，即，所以，解得，原不等式解集為.故選：C例3．（黑龍江省大慶實(shí)驗(yàn)中學(xué)2024屆高三下學(xué)期5月考前得分訓(xùn)練（三）數(shù)學(xué)試題）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，為函?shù)的導(dǎo)函數(shù)，若，，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由題意得，，即，所以，即，又，所以，故，，可得，在上，，單調(diào)遞增；在上，，單調(diào)遞減，所以的極大值為.簡(jiǎn)圖如下：所以，，.故選：D.變式1．（2024屆高三第七次百校大聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（新高考））已知定義在上的偶函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，當(dāng)時(shí)，，且，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，，令，則當(dāng)時(shí)，，故在上單調(diào)遞增，又因?yàn)樵谏蠟榕己瘮?shù)，所以在上為奇函數(shù)，故在上單調(diào)遞增，因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，可變形為，即，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以，解得，故；當(dāng)時(shí)，可變形為，即，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以，解得，故無(wú)解.綜上不等式的解集為.故選：C.變式2．（四川省綿陽(yáng)市鹽亭中學(xué)2024屆高三第二次模擬考試數(shù)學(xué)試題）已知定義在上的函數(shù)滿足，，則關(guān)于的不等式的解集為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】令，則，所以在單調(diào)遞減，不等式可以轉(zhuǎn)化為，即，所以.故選：D.變式3．（河南省豫北重點(diǎn)高中2024學(xué)年高三下學(xué)期4月份模擬考試文科數(shù)學(xué)試題）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，其?dǎo)函數(shù)是，且．若，則不等式的解集是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】構(gòu)造函數(shù)，其中，則，故函數(shù)在上為增函數(shù)，且，因?yàn)?，由可得，即，解?故選：B.變式4．（廣西15所名校大聯(lián)考2024屆高三高考精準(zhǔn)備考原創(chuàng)模擬卷（一）數(shù)學(xué)試題）已知是定義在R上的偶函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，且，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】設(shè)，則在R上為奇函數(shù)，且.又，當(dāng)時(shí)，，所以在上為增函數(shù)，因此在R上為增函數(shù).又，當(dāng)時(shí)，不等式化為，即，所以；當(dāng)時(shí)，不等式化為，即，解得，故無(wú)解，故不等式的解集為.故選：C【解題方法總結(jié)】1、對(duì)于，構(gòu)造，2、對(duì)于，構(gòu)造題型二：利用構(gòu)造型例4．（河南省信陽(yáng)市息縣第一高級(jí)中學(xué)2024學(xué)年高三上學(xué)期9月月考數(shù)學(xué)試題）已知定義在的函數(shù)滿足：，其中為的導(dǎo)函數(shù)，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】設(shè)，因?yàn)?，所以在上，所以在上單調(diào)遞增，由已知，的定義域?yàn)椋?，所以等價(jià)于，即，所以，解得，所以原不等式的解集是.故選：A.例5．已知定義域?yàn)閧x|x≠0}的偶函數(shù)f(x)，其導(dǎo)函數(shù)為f′(x)，對(duì)任意正實(shí)數(shù)x滿足xf′(x)>2f(x)，若g(x)＝，則不等式g(x)<g(1)的解集是（

）A．(－∞，1) B．(－1,1)C．(－∞，0)∪(0,1) D．(－1,0)∪(0,1)【答案】D【解析】因?yàn)閒(x)是定義域?yàn)閧x|x≠0}的偶函數(shù)，所以f(－x)＝f(x).對(duì)任意正實(shí)數(shù)x滿足，所以,因?yàn)?，所以g(x)也是偶函數(shù).當(dāng)x∈(0，＋∞)時(shí)，,所以g(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，在(－∞，0)單調(diào)遞減，若g(x)<g(1)，則|x|<1(x≠0)，解得0<x<1或－1<x<0，故g(x)<g(1)的解集是(－1,0)∪(0,1),故選：D例6．（江蘇省蘇州市2024屆高三下學(xué)期3月模擬數(shù)學(xué)試題）已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，，當(dāng)時(shí)，有成立，則不等式的解集是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】成立設(shè)，則，即時(shí)是增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)；時(shí)，，此時(shí)．又是奇函數(shù)，所以時(shí)，；時(shí)則不等式等價(jià)為或，可得或，則不等式的解集是，故選：．變式5．（西藏昌都市第四高級(jí)中學(xué)2024屆高三一模數(shù)學(xué)試題）已知函數(shù)是定義在的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】令，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減；又為的奇函數(shù)，，即為偶函數(shù)，在上單調(diào)遞增；又由不等式得，當(dāng)，即時(shí)，不等式可化為，即，由在上單調(diào)遞減得，解得，故；當(dāng)，即時(shí)，不等式可化為，即，由在上單調(diào)遞增得，解得，故；綜上所述，不等式的解集為：．故選：D．【解題方法總結(jié)】1、對(duì)于，構(gòu)造，2、對(duì)于，構(gòu)造題型三：利用構(gòu)造型例7．（河南省2024學(xué)年高三上學(xué)期第五次聯(lián)考文科數(shù)學(xué)試題）已知定義在R上的函數(shù)滿足，且有，則的解集為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】設(shè)，則，∴在R上單調(diào)遞增.又，則.∵等價(jià)于，即，∴，即所求不等式的解集為.故選：A.例8．（河南省2024學(xué)年高三上學(xué)期第五次聯(lián)考數(shù)學(xué)試題）已知定義在上的函數(shù)滿足，且有，則的解集為（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】設(shè)，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，又，所以．又等價(jià)于，即，所以，即所求不等式的解集為．故選：B例9．（廣東省佛山市順德區(qū)北滘鎮(zhèn)莘村中學(xué)2024屆高三模擬仿真數(shù)學(xué)試題）已知是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，對(duì)于任意的都有，且，則不等式的解集是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】法一：構(gòu)造特殊函數(shù).令，則滿足題目條件，把代入得解得，故選：.法二：構(gòu)造輔助函數(shù).令，則，所以在上單調(diào)遞增，又因?yàn)?，所以，所以，故選：D.變式6．（寧夏吳忠市2024屆高三一輪聯(lián)考數(shù)學(xué)試題）函數(shù)的定義域是，，對(duì)任意，，則不等式：的解集為（

）A． B．C．或 D．或【答案】A【解析】構(gòu)造函數(shù)，則，，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，由可得，可得，因此，不等式的解集為.故選：A.【解題方法總結(jié)】1、對(duì)于，構(gòu)造，2、對(duì)于，構(gòu)造題型四：用構(gòu)造型例10．（安徽省六安市第一中學(xué)2024學(xué)年高二下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）定義在上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，滿足：，，且當(dāng)時(shí)，，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】令，則可得所以是上的奇函數(shù)，，當(dāng)時(shí)，，所以，是上單調(diào)遞增，所以是上單調(diào)遞增，因?yàn)椋煽傻眉?，由是上單調(diào)遞增，可得解得：，所以不等式的解集為，故選：A.例11．（廣東省汕頭市2024屆高三三模數(shù)學(xué)試題）已知定義在R上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且滿足，，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】令，則，所以不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化為不等式，即構(gòu)造函數(shù)，則，由題意，，所以為R上的增函數(shù)，又，所以，所以，解得，即，所以，故選：D.例12．（陜西省安康市2024屆高三下學(xué)期4月三模數(shù)學(xué)試題）已知函數(shù)的定義域?yàn)椋覍?duì)任意，恒成立，則的解集是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】設(shè)，該函數(shù)的定義域?yàn)?，則，所以在上單調(diào)遞增．由可得，即，又在上單調(diào)遞增，所以，解得，所以原不等式的解集是，故選：D．變式7．（新疆克拉瑪依市2024屆高三三模數(shù)學(xué)試題）定義在R上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，，對(duì)于任意的實(shí)數(shù)均有成立，且的圖像關(guān)于點(diǎn)（，1）對(duì)稱，則不等式的解集為（

）A．（1，+∞） B．（1，+∞） C．（∞，1） D．（∞，1）【答案】A【解析】因?yàn)榈膱D像關(guān)于點(diǎn)（，1）對(duì)稱，所以是奇函數(shù)，因?yàn)閷?duì)任意的實(shí)數(shù)均有成立，所以對(duì)任意的實(shí)數(shù)均有成立，令，則，所以在上遞增，因?yàn)?，又，所以，故選：A變式8．（浙江省紹興市新昌中學(xué)2024屆高三下學(xué)期5月適應(yīng)性考試數(shù)學(xué)試題）若定義在R上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且滿足，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】由題可設(shè)，因?yàn)?，則，所以函數(shù)在R上單調(diào)遞增，又，不等式可轉(zhuǎn)化為，∴，所以，解得，所以不等式的解集為．故選：A.變式9．（吉林省長(zhǎng)春市吉大附中實(shí)驗(yàn)學(xué)校2024學(xué)年高三上學(xué)期第四次摸底考試數(shù)學(xué)試題）設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，且，（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），則不等式的解集為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】令，則，因?yàn)?，所以，所以函?shù)在上為增函數(shù)，不等式即不等式，又，，所以不等式即為，即，解得，所以不等式的解集為.故選：C.變式10．（四川省綿陽(yáng)市南山中學(xué)2024學(xué)年高三二診熱身考試數(shù)學(xué)試題）已知定義在上的可導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，滿足，且，，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因?yàn)椋缘膱D像關(guān)于直線對(duì)稱，所以，設(shè)，則，因?yàn)椋?所以在上為減函數(shù)，又，因?yàn)?，所以，所?故選：.變式11．（山東省煙臺(tái)市2024屆高三二模數(shù)學(xué)試題）已知函數(shù)的定義域?yàn)镽，其導(dǎo)函數(shù)為，且滿足，，則不等式的解集為（

）．A． B．C． D．【答案】C【解析】由得，即，可設(shè)，當(dāng)時(shí)，因得，所以，可化為，即，設(shè)，因，故為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，因，，故，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，因，所以當(dāng)時(shí)的解集為，又因?yàn)榕己瘮?shù)，故的解集為.故選：C變式12．（江西省九江十校2024屆高三第二次聯(lián)考數(shù)學(xué)試題）設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)椋鋵?dǎo)函數(shù)為，且滿足，，則不等式（其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）的解集是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】設(shè)，，即，，在上單調(diào)遞減，又，不等式，即，，原不等式的解集為.故選：D【解題方法總結(jié)】1、對(duì)于，構(gòu)造，2、對(duì)于，構(gòu)造題型五：利用、與構(gòu)造型例13．（江西省2024屆高三教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測(cè)數(shù)學(xué)試題）定義在區(qū)間上的可導(dǎo)函數(shù)關(guān)于軸對(duì)稱，當(dāng)時(shí)，恒成立，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因?yàn)椋?jiǎn)得，構(gòu)造函數(shù)，即當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，所以由，則，即.因?yàn)闉榕己瘮?shù)且在上單調(diào)遞增，所以，解得.故選：C.例14．（天津市南開(kāi)中學(xué)2024屆高三下學(xué)期統(tǒng)練二數(shù)學(xué)試題）已知可導(dǎo)函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)．當(dāng)時(shí)，，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】當(dāng)時(shí)，，則則函數(shù)在上單調(diào)遞增，又可導(dǎo)函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)則是上的偶函數(shù)，且在單調(diào)遞減，由，可得，則，則時(shí)，不等式可化為又由函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，，則有，解之得故選：D例15．函數(shù)對(duì)任意的滿足(其中是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù))，則下列不等式成立的是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】令，又由已知可得，，所以，所以在上單調(diào)遞增因?yàn)?，所以，故，D正確，故選：D變式13．已知可導(dǎo)函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)．當(dāng)時(shí)，，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】當(dāng)時(shí)，，則則函數(shù)在上單調(diào)遞增，又可導(dǎo)函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)則是上的偶函數(shù)，且在單調(diào)遞減，由，可得，則，則時(shí)，不等式可化為又由函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，，則有，解之得故選：D【解題方法總結(jié)】1、對(duì)于，構(gòu)造，2、對(duì)于，構(gòu)造3、對(duì)于正切型，可以通分（或者去分母）構(gòu)造正弦或者余弦積商型題型六：利用與構(gòu)造型例16．（重慶市九龍坡區(qū)2024屆高三二模數(shù)學(xué)試題）已知偶函數(shù)的定義域?yàn)?，其?dǎo)函數(shù)為，當(dāng)時(shí)，有成立，則關(guān)于x的不等式的解集為（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】構(gòu)造函數(shù)，，所以函數(shù)在單調(diào)遞增，因?yàn)楹瘮?shù)為偶函數(shù)，所以函數(shù)也為偶函數(shù)，且函數(shù)在單調(diào)遞增，所以函數(shù)在單調(diào)遞減，因?yàn)?，所以，關(guān)于x的不等式可變?yōu)?，也即，所以，則解得或，故選:C.例17．已知偶函數(shù)的定義域?yàn)?，其?dǎo)函數(shù)為，當(dāng)時(shí)，有成立，則關(guān)于x的不等式的解集為（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由題意，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，則有，所以在上單調(diào)遞減，又因?yàn)樵谏鲜桥己瘮?shù)，可得，所以是偶函數(shù)，由，可得，即，即又由為偶函數(shù)，且在上為減函數(shù)，且定義域?yàn)?，則有，解得或，即不等式的解集為，故選：B.例18．設(shè)函數(shù)在上存在導(dǎo)數(shù)，對(duì)任意的，有，且在上有，則不等式的解集是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】設(shè)，∵，即，即，故是奇函數(shù)，由于函數(shù)在上存在導(dǎo)函數(shù)，所以，函數(shù)在上連續(xù)，則函數(shù)在上連續(xù).∵在上有，∴，故在單調(diào)遞增，又∵是奇函數(shù)，且在上連續(xù)，∴在上單調(diào)遞增，∵，∴，即，∴，故，故選：B．【解題方法總結(jié)】1、對(duì)于，構(gòu)造，2、對(duì)于，構(gòu)造3、對(duì)于正切型，可以通分（或者去分母）構(gòu)造正弦或者余弦積商型題型七：復(fù)雜型：與等構(gòu)造型例19．（廣西柳州市2024屆高三11月第一次模擬考試數(shù)學(xué)試題）已知可導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，若對(duì)任意的，都有．且為奇函數(shù)，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】根據(jù)題意，構(gòu)造，則，且，故在上單調(diào)遞減；又為上的奇函數(shù)，故可得，即，則.則不等式等價(jià)于，又因?yàn)槭巧系膯握{(diào)減函數(shù)，故解得.故選：A.例20．（河南省多校聯(lián)盟2024屆高考終極押題（C卷）數(shù)學(xué)試題）已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，若對(duì)任意的，都有，且，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】設(shè)函數(shù)，所以，因?yàn)?，所以，即，所以在上單調(diào)遞減，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，整理得，所以，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，所以.故選：C.例21．（2024屆高三沖刺卷（一）全國(guó)卷文科數(shù)學(xué)試題）已知函數(shù)與定義域都為，滿足，且有，，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由可得.而，∴，∴在上單調(diào)遞減，又，則，所以，則，故不等式的解集為．故選：D．變式14．（陜西省渭南市華州區(qū)咸林中學(xué)2024學(xué)年高三上學(xué)期開(kāi)學(xué)摸底考試數(shù)學(xué)試題）已知定義在上的函數(shù)滿足為的導(dǎo)函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】令，所以，因?yàn)?，所以，化?jiǎn)得，所以是上的奇函數(shù)；，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，，從而在上單調(diào)遞增，又是上的奇函數(shù)，所以在上單調(diào)遞增；考慮到，由，得，即，由在上單調(diào)遞增，得解得，所以不等式的解集為，故選：B.變式15．（黑龍江省哈爾濱市第三中學(xué)2024學(xué)年高三上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題）設(shè)函數(shù)在上的導(dǎo)函數(shù)為，若，，，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】令，可得，因?yàn)?，可得，所以，所以函?shù)為上的單調(diào)遞增函數(shù)，由不等式，可得，所以，即因?yàn)?，令，可得，又因?yàn)?，可得，所以所以不等式等價(jià)于，由函數(shù)為上的單調(diào)遞增函數(shù)，所以，即不等式的解集為.故選：A.變式16．（新疆新源縣第二中學(xué)2024學(xué)年高二下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題）定義在R上的函數(shù)滿足：，，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】將左右兩邊同乘得：，令，則，所以在R上單調(diào)遞增，且；不等式等價(jià)于，即，所以故選：A變式17．（陜西省西安市西北工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)2024屆高三下學(xué)期第十二次適應(yīng)性考試數(shù)學(xué)試題）定義在上的函數(shù)滿足，且，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】構(gòu)造函數(shù)，則，所以，函數(shù)為上的增函數(shù)，，由可得，所以，.故選：B.【解題方法總結(jié)】對(duì)于，構(gòu)造題型八：復(fù)雜型：與型例22．（專題32盤點(diǎn)構(gòu)造法在研究函數(shù)問(wèn)題中的應(yīng)用—備戰(zhàn)2022年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)?？键c(diǎn)專題突破）已知定義在上的函數(shù)滿足，且當(dāng)時(shí)，有，則不等式的解集是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】根據(jù)題意，設(shè)，則，則有，，即有，故函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱，則有，當(dāng)時(shí)，，，又由當(dāng)時(shí)，，即當(dāng)時(shí)，，即函數(shù)在區(qū)間為增函數(shù)，由可得，即，，函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱，函數(shù)在區(qū)間為增函數(shù)，且在上恒成立，由可得，即，此時(shí)不存在.綜上：不等式解集為.故選：A例23．（遼寧省實(shí)驗(yàn)中學(xué)2024屆高三第四次模擬考試數(shù)學(xué)試卷）已知函數(shù)是定義在上的可導(dǎo)函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，若對(duì)任意有，，且，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】設(shè)，則恒成立，故函數(shù)在上單調(diào)遞增.，則，即，故.，即，即，故，解得.故選：B.例24．（山東省泰安肥城市2024屆高三下學(xué)期5月高考適應(yīng)性訓(xùn)練數(shù)學(xué)試題（三））定義在上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且對(duì)任意恒成立.若，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由，即，即，即對(duì)恒成立，令，則在上單調(diào)遞增，∵，∴，由即，即，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，∴故選：B.【解題方法總結(jié)】寫出與的加、減、乘、除各種形式題型九：復(fù)雜型：與結(jié)合型例25．（2024屆高三數(shù)學(xué)臨考沖刺原創(chuàng)卷（四））已知函數(shù)的定義域?yàn)?，?dǎo)函數(shù)為，且滿足，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】根據(jù)，得．設(shè)（），則，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，則不等式，可化為，則，解得.故選：C．例26．（華大新高考聯(lián)盟2024屆高三3月教學(xué)質(zhì)量測(cè)評(píng)文科數(shù)學(xué)試題）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，其導(dǎo)函數(shù)為，若當(dāng)時(shí)，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】構(gòu)造函數(shù)，其中，則，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞減，易知，當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)，因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)?，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，即函數(shù)為奇函數(shù)，若或時(shí)，，且，由可得，當(dāng)時(shí)，即，可得或，此時(shí)，可得；當(dāng)時(shí)，即，可得，此時(shí)，可得.因此，不等式的解集為.故選：C.例27．（2024屆高三數(shù)學(xué)新高考信息檢測(cè)原創(chuàng)卷（四））已知是定義在上的奇函數(shù)，是的導(dǎo)函數(shù)，，且，則不等式的解集是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】設(shè)，則的定義域?yàn)榍?，所以在上單調(diào)遞減.因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.又當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，恒有.因?yàn)槭巧系钠婧瘮?shù)，所以當(dāng)時(shí)，，所以等價(jià)于或解得或，所以不等式的解集是.故選：D.變式18．（廣東省梅州市2024屆高三二模數(shù)學(xué)試題）已知是定義在上的奇函數(shù)，是的導(dǎo)函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，且，則不等式的解集是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】令，則，所以函數(shù)在上遞增，又因，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，又因當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，又因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，因?yàn)槭嵌x在上的奇函數(shù)，所以，當(dāng)時(shí)，，由不等式，得或，解得，所以不等式的解集是.故選：B.變式19．定義在上的函數(shù)滿足，則不等式的解集為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】令，則，由于,故,故在單調(diào)遞增，而，由，得，∴，即,∴不等式的解集為,故選：D．【解題方法總結(jié)】1、對(duì)于，構(gòu)造2、寫出與的加、減、乘、除各種結(jié)果題型十：復(fù)雜型：基礎(chǔ)型添加因式型例28．（遼寧省名校聯(lián)盟2024屆高考模擬調(diào)研卷數(shù)學(xué)（三））已知函數(shù)f（x）為定義在R上的偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】因?yàn)?，所以，?gòu)造函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，且，又是定義在R上的偶函數(shù)，所以是定義在R上的偶函數(shù)，所以在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，且．不等式整理可得：，即，當(dāng)時(shí)，，則，解得；當(dāng)時(shí)，，則，解得，又，所以．綜上，不等式的解集為．故選：A．例29．定義在上的函數(shù)滿足（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），其中為的導(dǎo)函數(shù)，若，則的解集為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】設(shè)，則，所以等價(jià)于，由，可得則，所以在上單調(diào)遞增，所以由，得．故選：D例30．定義在上的函數(shù)滿足，且，則滿足不等式的的取值有（

）A． B．0 C．1 D．2【答案】D【解析】構(gòu)造函數(shù)，則，因?yàn)椋?，所以單調(diào)遞減，又，所以，不等式變形為，即，由函數(shù)單調(diào)性可得：故選：D變式20．已知在定義在上的函數(shù)滿足，且時(shí)，恒成立，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題意，當(dāng)時(shí)，恒成立，即恒成立，又由，可得，令，可得，則函數(shù)為偶函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，結(jié)合偶函數(shù)的對(duì)稱性可得在上單調(diào)遞減，由，化簡(jiǎn)得到，即，所以，解得，即不等式的解集為.故選：B.【解題方法總結(jié)】在本題型一、二、三、四等基礎(chǔ)上，變形或者添加因式，增加復(fù)雜度題型十一：復(fù)雜型：二次構(gòu)造例31．（福建省福州第一中學(xué)2024學(xué)年高二下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題）函數(shù)滿足：，，則當(dāng)時(shí)，（

）A．有極大值，無(wú)極小值 B．有極小值，無(wú)極大值C．既有極大值，又有極小值 D．既無(wú)極大值，也無(wú)極小值【答案】D【解析】因?yàn)?，所以，令，則，且，所以，令，則，令，解得：，當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，取得最大值，則，故在上恒成立，所以在上單調(diào)遞減，則當(dāng)時(shí)，既無(wú)極大值，也無(wú)極小值.故選：D例32．（江西省百所名校2024學(xué)年高三第四次聯(lián)考數(shù)學(xué)試題）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，其?dǎo)函數(shù)為，對(duì)恒成立，且，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】根據(jù)已知條件構(gòu)造一個(gè)函數(shù)，再利用的單調(diào)性求解不等式即可.由，可得，即，令，則.令，，所以在上是單調(diào)遞減函數(shù).不等式，等價(jià)于，即，，所求不等式即，由于在上是單調(diào)遞減函數(shù)，所以，解得，且，即，故不等式的解集為.故選：D例33．（河南省濮陽(yáng)市2024屆高三下學(xué)期第一次模擬考試數(shù)學(xué)試題）已知函數(shù)為定義域在R上的偶函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，函數(shù)滿足，，則的解集是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】由題可知，當(dāng)時(shí)，．令，則，，令，，令，解得．可知函數(shù)在上單調(diào)遞減﹐在上單調(diào)遞增．又，所以，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，，可化為，又函數(shù)關(guān)于對(duì)稱，故或，所以不等式的解集為．故選：A變式21．（寧夏平羅中學(xué)2024屆高三上學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)試題）已知定義在上的連續(xù)偶函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，當(dāng)時(shí)，，且，則不等式的解集為（）A． B．C． D．【答案】A【解析】當(dāng)時(shí)，，∴，令，∴在上單調(diào)遞減，又是定義在上的連續(xù)偶函數(shù)，∴是上的奇函數(shù)，即在上單調(diào)遞減，∵，∴，當(dāng)，即時(shí)，，∴；當(dāng)，即時(shí)，，∴，則.故不等式的解集為.故選：A.變式22．（江西省九江市2024屆高三三模數(shù)學(xué)（理）試題）已知是定義在上的可導(dǎo)函數(shù)，是的導(dǎo)函數(shù)，若，，則在上（

）A．單調(diào)遞增 B．單調(diào)遞減 C．有極大值 D．有極小值【答案】A【解析】構(gòu)造函數(shù)，則，所以，，則，設(shè)，則，，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增.所以，，對(duì)任意的恒成立，因此，函數(shù)在上單調(diào)遞增.故選：A.變式23．（湖北省鄂東南省級(jí)示范高中教育教學(xué)改革聯(lián)盟學(xué)校2024學(xué)年高二下學(xué)期期中理科數(shù)學(xué)試題）定義在上的函數(shù)滿足，且，則（

）A．有極大值，無(wú)極小值 B．有極小值，無(wú)極大值C．既有極大值又有極小值 D．既無(wú)極大值也無(wú)極小值【答案】D【解析】因?yàn)?，且，所以，①令，則，又，記，所以.當(dāng)時(shí)，，遞減；當(dāng)時(shí)，，遞增.結(jié)合①當(dāng)時(shí)，，所以的最小值為0，即，因?yàn)?，則，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)），所以既沒(méi)有最大值，也沒(méi)有最小值.故選：D.變式24．（福建省泉州市2024學(xué)年高二下學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量跟蹤監(jiān)測(cè)數(shù)學(xué)（理）試題）設(shè)函數(shù)滿足：，，則時(shí)，（

）A．有極大值，無(wú)極小值 B．有極小值，無(wú)極大值C．既有極大值，又有極小值 D．既無(wú)極大值，又無(wú)極小值【答案】B【解析】，令，則，所以，令，則，即，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，而，所以當(dāng)時(shí)，，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，，單調(diào)遞增；故有極小值，無(wú)極大值，故選B.變式25．（遼寧省大連市中山區(qū)第二十四中學(xué)2024學(xué)年高三上學(xué)期11月月考數(shù)學(xué)試題）函數(shù)滿足：，．則時(shí)，A．有極大值，無(wú)極小值 B．有極小值，無(wú)極大值C．既有極大值，又有極小值 D．既無(wú)極大值，也無(wú)極小值【答案】D【解析】因?yàn)?，所?令，則，所以，令，則，則當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，即函數(shù)在為增函數(shù)，在為減函數(shù)，所以，即，即函數(shù)在為減函數(shù)，即時(shí)，既無(wú)極大值，也無(wú)極小值，故選D.變式26．設(shè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，且，，，則當(dāng)時(shí)，A．有極大值，無(wú)極小值 B．無(wú)極大值，有極小值C．既有極大值又有極小值 D．既無(wú)極大值又無(wú)極小值【答案】B【解析】由題設(shè)，所以，，所以存在使得，又，所以在上單調(diào)遞增.所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增.因此，當(dāng)時(shí)，取極小值，但無(wú)極大值，故選B.【解題方法總結(jié)】二次構(gòu)造：，其中等題型十二：綜合構(gòu)造例34．（福建省泉州市泉港區(qū)第一中學(xué)、廈門外國(guó)語(yǔ)學(xué)校石獅分校2024學(xué)年高二下學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題）已知函數(shù)在上可導(dǎo)，其導(dǎo)函數(shù)為，若滿足，關(guān)于直線對(duì)稱，則不等式的解集是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】令，，，當(dāng)時(shí)，，則，在上單增；當(dāng)時(shí)，，則，在上單減；，不等式即為不等式，關(guān)于直線對(duì)稱，，解得或，故選：．例35．（貴州省銅仁市2024屆高三適應(yīng)性考試數(shù)學(xué)試題（—））已知定義在上的函數(shù)，為其導(dǎo)函數(shù)，滿足①，②當(dāng)時(shí)，.若不等式有實(shí)數(shù)解，則其解集為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】構(gòu)造函數(shù)，當(dāng)時(shí)，遞增，由于，所以，即，所以是偶函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，遞減.不等式等價(jià)于：，即，所以，兩邊平方并化簡(jiǎn)得，解得或，所以不等式的解集為.故選：D例36．（黑龍江省哈爾濱市第三中學(xué)2024學(xué)年高三第一次模擬數(shù)學(xué)（文科）試題）已知是定義在R上的偶函數(shù)，是的導(dǎo)函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，且，則的解集是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】令，因?yàn)槭嵌x在R上的偶函數(shù)，所以，則，所以函數(shù)也是偶函數(shù)，，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上遞增，不等式即為不等式，由，得，所以，所以，解得或，所以的解集是.故選：B.變式27．（貴州省綏陽(yáng)縣育才中學(xué)2024屆高三信息壓軸卷數(shù)學(xué)試題）已知函數(shù)的定義域?yàn)镽，其導(dǎo)函數(shù)為