高中數學 本冊綜合測試1 北師大版必修3

【成才之路】-學年高中數學本冊綜合測試1北師大版必修3本試卷分第Ⅰ卷(選擇題)和第Ⅱ卷(非選擇題)兩部分。時間120分鐘，滿分150分。第Ⅰ卷(選擇題共50分)一、選擇題(本大題共10個小題，每小題5分，共50分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)1．為了了解高一1500名新生的年齡情況，從中抽取100名新生．就這個問題，有下列說法：①1500名新生是總體；②每個新生是個體；③所抽取的100名新生是一個樣本；④樣本容量為100；⑤每個新生被抽到的概率相等．其中正確的個數為()A．1 B．2C．3 D．4[答案]B[解析]1500名新生的年齡情況是總體；每個新生的年齡是個體；因而④、⑤正確，其它錯誤．解決本題的前提是正確理解總體、個體、樣本、樣本容量的概念．2．一個年級有12個班，每個班有50名同學，隨機編號1,2，…，50，為了了解他們在課外的興趣，要求每班第40號同學留下來進行問卷調查，這里運用的抽樣方法是()A．抽簽法 B．有放回抽樣C．隨機數表法 D．系統抽樣[答案]D[解析]因為抽取樣本時間隔的距離相等，所以是系統抽樣．3．(·湖南文，5)在區(qū)間[－2,3]上隨機選取一個數X，則X≤1的概率為()A.eq\f(4,5) B．eq\f(3,5)C.eq\f(2,5) D．eq\f(1,5)[答案]B[解析]利用幾何概型公式求解，在區(qū)間為[－2,3]上隨機選取一個數x，則x≤1，即－2≤x≤1的概率為P＝eq\f(3,5).4．甲，乙兩名運動員練習罰球，每人練習10組，每組罰球40個，命中個數的莖葉圖如圖，則甲，乙兩命中個數的中位數分別為()甲乙809321134876542020011373A.22,20 B．24,18C．23,19 D．23,20[答案]C[解析]甲命中個數：8、12、13、20、22、24、25、26、27、37，中位數為eq\f(1,2)(22＋24)＝23，同理乙的中位數為eq\f(1,2)(18＋20)＝19.5．甲、乙、丙、丁4人分乘兩輛車，每輛車乘兩人，則甲、乙同車的概率是()A.eq\f(1,2) B．eq\f(1,3)C.eq\f(1,4) D．eq\f(2,3)[答案]B[解析]乘車的所有可能情況是甲、乙→丙、??；甲、丙→乙、丁；甲、丁→乙、丙，所以甲、乙同車的概率為eq\f(1,3).6．(·福建理，5)閱讀如圖所示的程序框圖，運行相應的程序，輸出的S的值等于()A．18 B．20C．21 D．40[答案]B[解析]本題考查程序框圖，當n＝1時，S＝3，當n＝2時，S＝3＋22＋2＝9，當n＝3時，S＝9＋23＋3＝10>15，故輸出S＝20.對于較為簡單的循環(huán)結構的框圖問題，可直接令n＝1,2,3……進行求解．7．某中學高一、高二、高三三個年級共有學生3000人，采用分層抽樣的方法從全體學生中抽取一個容量為60的樣本，已知高一年級學生為1200人，則該年級抽取的學生數為()A．20 B．30C．24 D．25[答案]C[解析]抽樣比：eq\f(60,3000)＝eq\f(1,50)，∴高一抽?。?200×eq\f(1,50)＝24.8．在箱子中裝有10張卡片，分別寫有1～10的10個整數，從箱子中任取一張卡片，記下它的讀數x，然后再放回箱子中；第二次再從箱子中任取一張卡片，記下它的讀數y，則x＋y是10的倍數的概率為()A.eq\f(1,2) B．eq\f(1,4)C.eq\f(1,5) D．eq\f(1,10)[答案]D[解析]先后兩次抽取卡片，形成的有序數對有(1,1)，(1,2)，…，(1,10)，…，(10,10)，共計100個，因為x＋y是10的倍數，這些數對應該是(1,9)，(2,8)，(3,7)，(4,6)，(5,5)，(6,4)，(7,3)，(8,2)，(9,1)，(10,10)，共10對數，故x＋y是10的倍數的概率P＝eq\f(10,100)＝eq\f(1,10).9．(·湖北文，6)根據如下樣本數據x345678y4.02.5－0.50.5－2.0－3.0得到的回歸方程為y＝bx＋a，則()A．a>0，b<0 B．a>0，b>0C．a<0，b<0 D．a<0，b>0[答案]A[解析]本題考查散點圖的應用．作出散點圖如下：由圖像不難得出：回歸直線y＝bx＋a的斜率b<0，截距a>0.所以a>0，b<0.解答本題若沒有想到畫出散點圖，直觀通過數據來判斷系數b，a與0的大小好像無頭緒，容易造成錯解．10．一組數據的方差是s2，將這組數據中的每一個數都乘以2，得到一組新數據，其方差是()A.eq\f(1,2)s2 B．2s2C．4s2 D．s2[答案]C[解析]設一組數據x1，x2，…，xn，則s2＝eq\f(x2－\x\to(x)2＋x2－\x\to(x)2＋…＋xn－\x\to(x)2,n)，將每一個數乘以2，則eq\x\to(x′)＝2eq\x\to(x).所以s′2＝eq\f(2x1－2\x\to(x)2＋2x2－2\x\to(x)2＋…＋2xn－2\x\to(x)2,n)＝eq\f(4,n)[(x1－eq\x\to(x))2＋(x2－eq\x\to(x))2＋…＋(xn－eq\x\to(x))2]＝4s2.第Ⅱ卷(非選擇題共100分)二、填空題(本大題共5個小題，每小題5分，共25分，將正確答案填在題中橫線上)11．某個年級有男生560人，女生420人，用分層抽樣的方法從該年級全體學生中抽取一個容量為280的樣本，則此樣本中男生人數為________．[答案]160[解析]本題考查了分層抽樣的特點，因抽樣比為eq\f(280,560＋420)＝eq\f(2,7)，所以男生數應為560×eq\f(2,7)＝160.分層抽樣是按比例抽取，一定要先找出抽樣比．12．在五個數字1,2,3,4,5中，若隨機取出三個數字，則剩下兩個數字都是奇數的概率是________．(結果用數值表示)[答案]0.3[解析]在五個數字1,2,3,4,5中，隨機取出三個數字，剩下兩個數字，基本事件空間Ω＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)}，其中事件“兩個數字都是奇數”＝{(1,3)，(1,5)，(3,5)}，故概率為0.3.13．(·遼寧文，13)執(zhí)行下面的程序框圖，若輸入n＝3，則輸出T＝________.[答案]20[解析]考查程序框圖的循環(huán)結構．i＝1時，S＝1，T＝1；i＝2時，S＝3，T＝4；i＝3時，S＝6，T＝10；i＝4時，S＝10，T＝20，i＝4>3，∴輸出T＝20.注意：找準i與n的關系．14．下圖是根據部分城市某年6月份的平均氣溫(單位：℃)數據得到的樣本頻率分布直方圖，其中平均氣溫的范圍是[20.5,26.5]，樣本數據的分組為[20.5,21.5)，[21.5,22.5)，[22.5,23.5)，[23.5,24.5)，[24.5,25.5)，[25.5，26.5]．已知樣本中平均氣溫低于22.5℃的城市個數為11，則樣本中平均氣溫不低于25.5℃的城市個數為________．[答案]9[解析]本題考查頻率分布直方圖，考查閱讀圖表的能力．平均氣溫不低于25.5℃的城市T數設為x，則eq\f(0.12＋0.10,11)＝eq\f(0.18,x).∴x＝9.本題也可以利用矩形面積求解．15．某種電子元件在某一時刻是否接通的可能性是相同的，有3個這樣的電子元件，則出現至少有一個接通的概率為________．[答案]eq\f(7,8)[解析]設電子元件接通記為1，不通記為0.設A表示“3個電子元件至少有一個接通”，顯然eq\x\to(A)表示“3個電子元件都沒有接通”，Ω表示“3個電子元件的狀態(tài)”，則Ω＝{(1,0,0)，(0,1,0)，(0,0,1)，(1,1,0)，(1,0,1)，(0,1,1)，(1,1,1)，(0,0,0)}．Ω中由8個基本事件組成，而且這些基本事件的出現是等可能的.eq\x\to(A)＝{(0,0,0)}．事件eq\x\to(A)由一個事件組成，因此P(eq\x\to(A))＝eq\f(1,8)，又因為P(A)＋P(eq\x\to(A))＝1，所以P(A)＝1－P(eq\x\to(A))＝1－eq\f(1,8)＝eq\f(7,8).三、解答題(本大題共6個小題，共75分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟)16．(本小題滿分12分)某公司在過去幾年使用了某種型號的燈管1000支，該公司對這些燈管的使用壽命(單位：小時)進行了統計，統計結果如下表所示：分組頻數頻數[700,900)48[900,1100)121[1100,1300)208[1300,1500)223[1500,1700)193[1700,1900)165[1900，＋∞)42(1)將各組的頻率填入表中；(2)根據上述統計結果，計算燈管使用壽命不足1500小時的概率．[解析](1)頻率依次是0.048,0.121,0.208,0.223,0.193,0.165,0.042.(2)樣本中燈管使用壽命不足1500小時的頻數是48＋121＋208＋223＝600，所以燈管使用壽命不足1500小時的概率是0.6.17．(本小題滿分12分)袋子中裝有大小和形狀相同的小球，其中紅球與黑球各1個，白球n個．從袋子中隨機取出1個小球，取到白球的概率是eq\f(1,2).(1)求n的值；(2)記從袋中隨機取出一個小球為白球得二分，為黑球得一分，為紅球不得分．現從袋子中取出1個小球，求總得分為二分的概率．[解析](1)由題意可知eq\f(n,1＋1＋n)＝eq\f(1,2)，解得n＝2.(2)設紅球為a，黑球為b，白球為c1，c2，從袋中取出2個小球的所有等可能基本事件為(a，b)，(a，c1)，(a，c2)，(b，c1)，(b，c2)，(c1，c2)，共6個，記事件A為“總得分為二分”，包含的基本事件為(a，c1)，(a，c2)，共2個．∴P(A)＝eq\f(2,6)＝eq\f(1,3).18．(本小題滿分12分)已知算法如下所示：(這里S1，S2，…分別代表第一步，第二步，…)S1輸入x；S2若x<－2，執(zhí)行S3；否則，執(zhí)行S6；S3y＝2x＋1；S4輸出y；S5執(zhí)行S12；S6若－2≤x<2，執(zhí)行S7；否則執(zhí)行S10；S7y＝x；S8輸出y；S9執(zhí)行S12；S10y＝2x－1；S11輸出y；S12結束．(1)指出其功能(用數學式子表達)；(2)畫出該算法的算法框圖．[解析](1)該算法的功能是：x已知時，求函數y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋1，x<－2，,x，－2≤x<2，,2x－1，x≥2))的值．(2)算法程序圖如下．19．(本小題滿分12分)從某企業(yè)生產的某種產品中抽取100件，測量這些產品的一項質量指標值，由測量表得如下頻數分布表：質量指標值分組[75,85)[85,95)[95,105)[105,115)[115,125)頻數62638228(1)在答題卡上作出這些數據的頻率分布直方圖；(2)估計這種產品質量指標值的平均數及方差(同一組中的數據用該組區(qū)間的中點值作代表)；(3)根據以上抽樣調查數據，能否認為該企業(yè)生產的這種產品符合“質量指標值不低于95的產品至少要占全部產品的80%”的規(guī)定？[分析](1)根據條件可畫出圖；(2)用求平均數與方差的公式可求；(3)算出不低于95的頻率可求得本題．[解析](1)(2)質量指標值的樣本平均數為eq\x\to(x)＝80×0.06×＋90×0.26＋100×0.38＋110×0.22＋120×0.08＝100.質量指標值的樣本方差為s2＝(－20)2×0.06＋(－10)2×0.26＋0×0.38＋102×0.22＋202×0.08＝104.所以這種產品質量指標值的平均數的估計值為100，方差的估計值為104.(3)質量指標值不低于95的產品所占比例的估計值為0．38＋0.22＋0.08＝0.68.由于該估計值小于0.8，故不能認為該企業(yè)生產的這種產品符合“質量指標值不低于95的產品至少要占全部產品80%”的規(guī)定．20．(本小題滿分13分)某園林局對1000株樹木的生長情況進行調查，其中槐樹600株，銀杏樹400株．現用分層抽樣的方法從這1000株樹木中隨機抽取100株，其中銀杏樹樹干周長(單位：cm)的抽查結果如下表：樹干周長(單位：cm)[30,40)[40,50)[50,60)[60,70)株數418x6(1)求x的值；(2)若已知樹干周長在30cm至40cm之間的4株銀杏樹中有1株患有蟲害，現要對這4株樹逐一進行排查直至找出患蟲害的樹木為止．求排查的樹木恰好為2株的概率．[解析](1)因為用分層抽樣方法從這1000株樹木中隨機抽取100株，所以應該抽取銀杏樹100×eq\f(400,1000)＝40株．所以在4＋18＋x＋6＝40，所以x＝12.(2)記這4株樹分別為樹1，樹2，樹3，樹4，且不妨設樹4為患蟲害的樹，記“恰好在排查到第二株時發(fā)現患蟲害樹”為事件A，則A是指第二次排查到的是樹4，因為求恰好在排查到第二株時發(fā)現患蟲害樹的概率，所以基本事件空間為：Ω＝{(樹1，樹2)，(樹1，樹3)，(樹1，樹4)，(樹2，樹1)，(樹2，樹3)，(樹2，樹4)，(樹3，樹1)(樹3，樹2)，(樹3，樹4)，(樹4，樹1)，(樹4，樹2)，(樹4，樹3)}，共12個基本事件．又事件A中包含的基本事件有3個，所以恰好在排查到第二株時發(fā)現患蟲害樹的概率P(A)＝eq\f(3,12)＝eq\f(1,4).21．(本小題滿分14分