高中數(shù)學(xué) 第二章 變化率與導(dǎo)數(shù)單元綜合測試 北師大版選修2-2

【成才之路】-學(xué)年高中數(shù)學(xué)第二章變化率與導(dǎo)數(shù)單元綜合測試北師大版選修2-2時間120分鐘，滿分150分。一、選擇題(本大題共10個小題，每小題5分，共50分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)1．曲線y＝ex在點A(0,1)處的切線斜率為()A．1 B.2C．e D.eq\f(1,e)[答案]A[解析]根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得，k＝y(tǒng)′|x＝0＝e0＝1.2．已知使函數(shù)y＝x3＋ax2－eq\f(4,3)a的導(dǎo)數(shù)為0的x值也使y值為0，則常數(shù)a的值為()A．0 B．±3C．0或±3 D．非以上答案[答案]C[解析]求出使y′＝0的值的集合，再逐一檢驗．y′＝3x2＋2ax.令y′＝0，得x＝0或x＝－eq\f(2,3)a.由題設(shè)x＝0時，y＝0，故－eq\f(4,3)a＝0，則a＝0.且知當(dāng)x＝2，a＝－3或x＝－2，a＝3時，也成立．故選C.3．設(shè)f(x)為可導(dǎo)函數(shù)，且滿足條件eq\o(lim,\s\do8(x→0))eq\f(f1－f1－x,2x)＝－1，則曲線y＝f(x)在點(1，f(1))處的切線的斜率為()A．－1 B．－2C．1 D．2[答案]B[解析]因為f(x)為可導(dǎo)函數(shù)，且eq\o(lim,\s\do8(x→0))eq\f(f1－f1－x,2x)＝－1，所以eq\f(1,2)eq\o(lim,\s\do8(x→0))eq\f(f1－f1－x,x)＝－1，所以eq\o(lim,\s\do8(x→0))eq\f(f1－f1－x,x)＝－2，即f′(1)＝－2，所以y＝f(x)在點(1，f(1))處的切線斜率為－2.4．(·河南開封二模，12)過點A(2,1)作曲線f(x)＝x3－3x的切線最多有()A．3條 B．2條C．1條 D．0條[答案]A[解析]由題意得，f′(x)＝3x2－3，設(shè)切點為(x0，xeq\o\al(3,0)－3x0)，那么切線的斜率為k＝3xeq\o\al(2,0)－3，利用點斜式方程可知切線方程為y－(xeq\o\al(3,0)－3x0)＝(3xeq\o\al(2,0)－3)(x－x0)，將點A(2,1)代入可得關(guān)于x0的一元三次方程，利用導(dǎo)數(shù)的思想可知方程有三個解，故過點A(2,1)作曲線f(x)＝x3－3x的切線最多有3條，故選A.5．若函數(shù)y＝eq\f(ex,x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)值與函數(shù)值互為相反數(shù)，則x0的值()A．等于0 B．等于1C．等于eq\f(1,2) D．不存在[答案]C[解析]y′＝eq\f(ex′x－ex·x′,x2)＝eq\f(exx－1,x2)，當(dāng)x＝x0時，y′＝eq\f(ex0x0－1,x\o\al(2,0))，y＝eq\f(ex0,x0).由題意，知y′＋y＝0，即ex0(x0－1)＋ex0·x0＝0，所以x0＝eq\f(1,2).6．(·鄒城一中月考，9)已知函數(shù)f(x)在R上滿足f(x)＝2f(2－x)－x2＋8x－8，則曲線y＝f(x)在點(1，fA．y＝2x－1 B．y＝xC．y＝3x－2 D．y＝－2x＋3[答案]A[解析]∵f(x)＝2f(2－x)－x2＋8x－8， ∴f(2－x)＝2f(x)－(2－x)2＋8(2－x＝2f(x)－x2－4x＋4. 將②代入①，得f(x)＝4f(x)－2x2－8x＋8－x2＋8x∴f(x)＝x2，y′＝2x.∴y＝f(x)在(1，f(1))處的切線斜率為y′|x＝1＝2.∴函數(shù)y＝f(x)在(1，f(1))處的切線方程為y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1.7．設(shè)函數(shù)f(x)＝eq\f(sinθ,3)x3＋eq\f(\r(3)cosθ,2)x2＋tanθ，其中θ∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(5π,12)))，則導(dǎo)數(shù)f′(1)的取值范圍是()A．[－2,2] B．[eq\r(2)，eq\r(3)]C．[eq\r(3)，2] D．[eq\r(2)，2][答案]D[解析]∵f′(x)＝x2sinθ＋eq\r(3)xcosθ，∴f′(1)＝sinθ＋eq\r(3)cosθ＝2sin(θ＋eq\f(π,3))，∵θ∈[0，eq\f(5π,12)]，∴sin(θ＋eq\f(π,3))∈[eq\f(\r(2),2)，1]，∴f′(1)∈[eq\r(2)，2]．故選D.[點評]本題考查導(dǎo)數(shù)的運算法則以及常用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式，應(yīng)熟練掌握常用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式以及四則運算法則．8．若曲線xy＝a(a≠0)，則過曲線上任意一點的切線與兩坐標軸所圍成的三角形的面積是()A．2a2 B．a(chǎn)C．2|a| D．|a|[答案]C[解析]設(shè)切點的坐標為(x0，y0)，曲線的方程即為y＝eq\f(a,x)，y′＝－eq\f(a,x2)，故切線斜率為－eq\f(a,x\o\al(2,0))，切線方程為y－eq\f(a,x0)＝－eq\f(a,x\o\al(2,0))(x－x0)．令y＝0得x＝2x0，即切線與x軸的交點坐標為(2x0,0)；令x＝0得y＝eq\f(2a,x0)，即切線與y軸的交點坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(2a,x0))).故切線與兩坐標軸所圍成的三角形的面積為eq\f(1,2)×|2x0|×eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(2a,x0)))＝2|a|.9．已知函數(shù)f(x)＝x2＋bx的圖像在點A(1，f(1))處的切線l與直線3x－y＋2＝0平行，若數(shù)列{eq\f(1,fn)}的前n項和為Sn，則S2012的值為()A.eq\f(2009,2010) B.eq\f(2010,2011)C.eq\f(2011,2012) D.eq\f(2012,2013)[答案]D[解析]f′(x)＝2x＋b，由f′(1)＝2＋b＝3，得b＝1.則f(x)＝x2＋x.于是eq\f(1,fn)＝eq\f(1,n2＋n)＝eq\f(1,nn＋1)＝eq\f(1,n)－eq\f(1,n＋1)，S2012＝eq\f(1,f1)＋eq\f(1,f2)＋…＋eq\f(1,f2012)＝1－eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)－eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,2012)－eq\f(1,2013)＝eq\f(2012,2013).10．若存在過點(1,0)的直線與曲線y＝x3和y＝ax2＋eq\f(15,4)x－9都相切，則a等于()A．－1或－eq\f(25,64) B．－1或eq\f(21,4)C．－eq\f(7,4)或－eq\f(25,64) D．－eq\f(7,4)或7[答案]A[解析]考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，求曲線的切線方程問題．設(shè)過(1,0)的直線與y＝x3相切于點(x0，xeq\o\al(3,0))，所以切線方程為y－xeq\o\al(3,0)＝3xeq\o\al(2,0)(x－x0)，即y＝3xeq\o\al(2,0)x－2xeq\o\al(3,0)，又(1,0)在切線上，則x0＝0或x0＝eq\f(3,2).x0＝0時，由y＝0與y＝ax2＋eq\f(15,4)x－9相切得a＝－eq\f(25,64)當(dāng)x0＝eq\f(3,2)時，由y＝eq\f(27,4)x－eq\f(27,4)與y＝ax2＋eq\f(15,4)x－9相切得a＝－1，所以選A.二、填空題(本大題共5小題，每小題5分，共25分)11．球的半徑從1增加到2時，球的體積平均膨脹率為____________．[答案]eq\f(28,3)π[解析]∵Δy＝eq\f(4,3)π×23－eq\f(4,3)π×13＝eq\f(28π,3)，∴eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(\f(28π,3),2－1)＝eq\f(28,3)π.12．設(shè)f(x)是偶函數(shù)，若曲線y＝f(x)在點(1，f(1))處的切線的斜率為1，則該曲線在點(－1，f(－1))處的切線的斜率為________．[答案]－1[解析]考查偶函數(shù)性質(zhì)．偶函數(shù)圖像關(guān)于y軸對稱，則曲線上關(guān)于y軸對稱的兩點的切線也關(guān)于y軸對稱，斜率互為相反數(shù)．∴斜率為－1.13．已知0<x<eq\f(1,4)，f(x)＝x2，g(x)＝eq\r(x)，則f′(x)與g′(x)的大小關(guān)系是________．[答案]f′(x)<g′(x)[解析]由題意，得f′(x)＝2x，g′(x)＝eq\f(1,2\r(x)).由0<x<eq\f(1,4)，知0<f′(x)<eq\f(1,2)，g′(x)>1，故f′(x)<g′(x)．14．函數(shù)y＝cosx·cos2x·cos4x的導(dǎo)數(shù)為________．[答案]y′＝eq\f(cosxsin8x,sin2x)[解析]∵y＝cosx·cos2x·cos4x＝eq\f(sinx·cosx·cos2x·cos4x,sinx)＝eq\f(1,8)·eq\f(sin8x,sinx)，∴y′＝eq\f(1,8)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(sin8x,sinx)))′＝eq\f(1,8)·eq\f(8sinx·cos8x－cosx·sin8x,sin2x)＝eq\f(cos8x,sinx)－eq\f(cosx·sin8x,8sin2x).15．設(shè)f(x)＝x(x＋1)(x＋2)·…·(x＋n)，則f′(0)＝____________.[答案]1×2×……×n[解析]令g(x)＝(x＋1)(x＋2)……(x＋n)，則f(x)＝x·g(x)．求導(dǎo)數(shù)得f′(x)＝x′g(x)＋x·g′(x)＝g(x)＋x·g′(x)．所以f′(0)＝g(0)＋0·g′(0)＝g(0)＝1×2×…×n三、解答題(本大題共6小題，共75分，前4題每題12分，20題13分，21題14分)16．路燈距地平面為8m，一個身高為1.6m的人以84m/min的速率在地面上行走，從路燈在地平面上射影點C，沿某直線離開路燈，求人影長度的變化率．[解析]如圖，路燈距地平面的距離為DC，人的身高為EB.設(shè)人從C點運動到B處路程為xm，時間為t(單位：s)，AB為人影長度，設(shè)為y，則∵BE∥CD，∴eq\f(AB,AC)＝eq\f(BE,CD)，∴eq\f(y,y＋x)＝eq\f(1.6,8)，又84m/min＝1.4m/s，∴y＝eq\f(1,4)x＝eq\f(7,20)t(x＝1.4t)．∴y′＝eq\f(7,20).[點評]人影長度的變化率即人影長度關(guān)系時間t的導(dǎo)數(shù)．17．求曲線y＝eq\f(1,3)x3＋x2＋4上斜率最小的切線的傾斜角及切線方程．[分析]斜率最小即函數(shù)的導(dǎo)數(shù)值最?。甗解析]由于y′＝x2＋2x，當(dāng)x＝－1時，(y′)min＝－1，即切點為(－1，eq\f(14,3))時，切線斜率最小為－1，此時切線傾斜角為eq\f(3π,4)，切線方程為y－eq\f(14,3)＝－1(x＋1)，即3x＋3y－11＝0，18．已知曲線C1：y＝x2與C2：y＝－(x－2)2，直線l與C1、C2都相切．求直線l的方程．[解析]設(shè)l與C1相切于點P(x1，xeq\o\al(2,1))，與C2相切于點Q(x2，－(x2－2)2)．對于C1，y′＝2x，則與C1相切于點P的切線方程為y－xeq\o\al(2,1)＝2x1(x－x1)，即y＝2x1x－xeq\o\al(2,1) ①.對于C2，y′＝－2(x－2)，則與C2相切于點Q的切線方程為y＋(x2－2)2＝－2(x2－2)(x－x2)，即y＝－2(x2－2)x＋xeq\o\al(2,2)－4 ②.∵兩切線重合，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x1＝－2x2－2,－x\o\al(2,1)＝x\o\al(2,2)－4))，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＝0,x2＝2))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＝2,x2＝0))，∴直線l的方程為y＝0或y＝4x－4.19．(1)求曲線y＝f(x)＝x3－2x在點(1，－1)處的切線方程；(2)過曲線y＝f(x)＝x3－2x上的點(1，－1)的切線方程．[分析]要注意(1)(2)中的不同之處，在點(1，－1)處的切線方程即(1，－1)為切點，而過點(1，－1)的切線方程中切點需設(shè)出后，再利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義(可利用斜率相等)，求出切點坐標后再求切線方程．[解析](1)由題意f′(x)＝3x2－2，f′(1)＝1，∴點(1，－1)處的切線的斜率k＝1，其方程為y＋1＝x－1，即x－y－2＝0.(2)設(shè)切點為(x0，y0)，則y0＝xeq\o\al(3,0)－2x0，則切點處的導(dǎo)數(shù)值f′(x0)＝3xeq\o\al(2,0)－2；若點(1，－1)為切點，由(1)知切線方程為x－y－2＝0；若點(1，－1)不為切點，則3xeq\o\al(2,0)－2＝eq\f(y0＋1,x0－1)(x0≠1)，即3xeq\o\al(2,0)－2＝eq\f(x\o\al(3,0)－2x0＋1,x0－1)，∴3xeq\o\al(3,0)－2x0－3xeq\o\al(2,0)＋1＝xeq\o\al(3,0)－2x0.∴2xeq\o\al(3,0)－3xeq\o\al(2,0)＋1＝0，即(x0－1)(2xeq\o\al(2,0)－x0－1)＝0.∴x0＝1或x0＝－eq\f(1,2)，其中x0＝1舍去．則切點坐標為(－eq\f(1,2)，eq\f(7,8))，∴斜率為f′(－eq\f(1,2))＝3×(－eq\f(1,2))2－2＝－eq\f(5,4).∴切線方程為5x＋4y－1＝0.∴過點(1，－1)的切線方程為x－y－2＝0或5x＋4y－1＝0.[點評]利用導(dǎo)數(shù)求切線方程時要注意：求在點P(x0，y0)處的切線方程，與經(jīng)過點P(x0，y0)的切線方程求法不同，后者需要先把切點設(shè)出來．20．設(shè)f(x)是定義在R