高中數(shù)學(xué) 第三章 數(shù)系的擴充與復(fù)數(shù)的引入綜合檢測 新人教A版選修2-2

【成才之路】-學(xué)年高中數(shù)學(xué)第三章數(shù)系的擴充與復(fù)數(shù)的引入綜合檢測新人教A版選修2-2時間120分鐘，滿分150分。一、選擇題(本大題共12個小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中只有一個是符合題目要求的)1．(·浙江理，2)已知i是虛數(shù)單位，a、b∈R，則“a＝b＝1”是“(a＋bi)2＝2i”的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件[答案]A[解析]本題考查充分條件、必要條件及復(fù)數(shù)的運算，當(dāng)a＝b＝1時，(a＋bi)2＝(1＋i)2＝2i，反之，(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi＝2i，則a2－b2＝0,2ab＝1，解a＝1，b＝1或a＝－1，b＝－1，故a＝1，b＝1是(a＋bi)2＝2i的充分不必要條件，選A.2．已知復(fù)數(shù)z1＝3＋4i，z2＝t＋i，且z1·eq\o(z,\s\up6(－))2是實數(shù)，則實數(shù)t等于()A.eq\f(3,4) B．eq\f(4,3)C．－eq\f(4,3) D．－eq\f(3,4)[答案]A[解析]z1·eq\o(z,\s\up6(－))2＝(3＋4i)(t－i)＝(3t＋4)＋(4t－3)i.因為z1·eq\o(z,\s\up6(－))2是實數(shù)，所以4t－3＝0，所以t＝eq\f(3,4).因此選A.3．(·長安一中、高新一中、交大附中、師大附中、西安中學(xué)一模)已知復(fù)數(shù)z＝eq\f(i＋i2＋i3＋…＋i,1＋i)，則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限[答案]A[解析]∵in＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(in＝4k＋1，,－1n＝4k＋2，,－in＝4k＋3，,1n＝4k，))k∈Z，∴i＋i2＋i3＋…＋i＝503×(i＋i2＋i3＋i4)＋i＝503×0＋i＝i，∴z＝eq\f(i,1＋i)＝eq\f(i1－i,1＋i1－i)＝eq\f(1＋i,2)，在復(fù)平面內(nèi)的對應(yīng)點(eq\f(1,2)，eq\f(1,2))在第一象限．4．(·東北三省三校聯(lián)考)已知復(fù)數(shù)z＝－eq\f(1,2)＋eq\f(\r(3),2)i，則eq\x\to(z)＋|z|＝()A．－eq\f(1,2)－eq\f(\r(3),2)i B．－eq\f(1,2)＋eq\f(\r(3),2)iC.eq\f(1,2)＋eq\f(\r(3),2)i D．eq\f(1,2)－eq\f(\r(3),2)i[答案]D[解析]因為z＝－eq\f(1,2)＋eq\f(\r(3),2)i，所以eq\x\to(z)＋|z|＝－eq\f(1,2)－eq\f(\r(3),2)i＋eq\r(－\f(1,2)2＋\f(\r(3),2)2)＝eq\f(1,2)－eq\f(\r(3),2)i.5．若θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)，\f(5π,4)))，則復(fù)數(shù)(cosθ＋sinθ)＋(sinθ－cosθ)i在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點在()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限[答案]B[解析]θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)，\f(5π,4)))時，sinθ＋cosθ<0，sinθ－cosθ>0，故對應(yīng)點(cosθ＋sinθ，sinθ－cosθ)在第二象限．[點評]由于θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)，\f(5π,4)))時，據(jù)選項知，此復(fù)數(shù)對應(yīng)點只能在某一象限，∴取θ＝π檢驗知，對應(yīng)點在第二象限．6．已知復(fù)數(shù)z1＝m＋2i，z2＝3－4i，若eq\f(z1,z2)為實數(shù)，則實數(shù)m的值為()A.eq\f(8,3) B．eq\f(3,2)C．－eq\f(8,3) D．－eq\f(3,2)[答案]D[解析]eq\f(z1,z2)＝eq\f(m＋2i,3－4i)＝eq\f(m＋2i3＋4i,3－4i3＋4i)＝eq\f(3m－8＋6＋4mi,25)為實數(shù)，所以6＋4m＝0?m＝－eq\f(3,2)，故選D.7．若z＝cosθ＋isinθ(i為虛數(shù)單位)，則使z2＝－1的θ值可能是()A.eq\f(π,6) B．eq\f(π,4)C.eq\f(π,3) D．eq\f(π,2)[答案]D[解析]∵z2＝cos2θ＋isin2θ＝－1，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(cos2θ＝－1，,sin2θ＝0.))∴2θ＝2kπ＋π(k∈Z)，∴θ＝kπ＋eq\f(π,2).令k＝0知，D正確．8．若關(guān)于x的方程x2＋(1＋2i)x＋3m＋i＝0有實根，則實數(shù)mA.eq\f(1,12) B．eq\f(1,12)iC．－eq\f(1,12) D．－eq\f(1,12)i[答案]A[解析]設(shè)方程的實數(shù)根為x＝a(a為實數(shù))，則a2＋(1＋2i)·a＋3m∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＋a＋3m＝0，,2a＋1＝0，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－\f(1,2)，,m＝\f(1,12).))故選A.9．已知復(fù)數(shù)z＝(x－2)＋yi(x、y∈R)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的向量的模為eq\r(3)，則eq\f(y,x)的最大值是()A.eq\f(\r(3),2) B．eq\f(\r(3),3)C.eq\f(1,2) D．eq\r(3)[答案]D[解析]因為|(x－2)＋yi|＝eq\r(3)，所以(x－2)2＋y2＝3，所以點(x，y)在以C(2,0)為圓心，以eq\r(3)為半徑的圓上，如圖，由平面幾何知識知－eq\r(3)≤eq\f(y,x)≤eq\r(3).10．(·河北衡水中學(xué)模擬)設(shè)a∈R，i是虛數(shù)單位，則“a＝1”是“eq\f(a＋i,a－i)為純虛數(shù)”的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分又不必要條件[答案]A[解析]當(dāng)a＝1時，eq\f(1＋i,1－i)＝eq\f(1＋i2,2)＝i為純虛數(shù)．當(dāng)eq\f(a＋i,a－i)＝eq\f(a＋i2,a2＋1)＝eq\f(a2－1＋2ai,a2＋1)為純虛數(shù)時，a2＝1即a＝±1，故選A.11．已知復(fù)數(shù)a＝3＋2i，b＝4＋xi(其中i為虛數(shù)單位，x∈R)，若復(fù)數(shù)eq\f(a,b)∈R，則實數(shù)x的值為()A．－6 B．6C.eq\f(8,3) D．－eq\f(8,3)[答案]C[解析]eq\f(a,b)＝eq\f(3＋2i,4＋xi)＝eq\f(3＋2i4－xi,16＋x2)＝eq\f(12＋2x,16＋x2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8－3x,16＋x2)))·i∈R，∴eq\f(8－3x,16＋x2)＝0，∴x＝eq\f(8,3).12．設(shè)z＝(2t2＋5t－3)＋(t2＋2t＋2)i，t∈R，則以下結(jié)論正確的是()A．z對應(yīng)的點在第一象限 B．z一定不為純虛數(shù)C.eq\x\to(z)對應(yīng)的點在實軸的下方 D．z一定為實數(shù)[答案]C[解析]∵t2＋2t＋2＝(t＋1)2＋1>0，∴z對應(yīng)的點在實軸的上方．又∵z與eq\x\to(z)對應(yīng)的點關(guān)于實軸對稱．∴C項正確．二、填空題(本大題共4個小題，每小題4分，共16分，把正確答案填在題中橫線上)13．已知x＋eq\f(1,x)＝－1，則x＋eq\f(1,x)的值為________．[答案]－1[解析]∵x＋eq\f(1,x)＝－1，∴x2＋x＋1＝0.∴x＝－eq\f(1,2)±eq\f(\r(3),2)i，∴x3＝1.∵＝3×671＋1，∴x＝x，∴x＋eq\f(1,x)＝x＋eq\f(1,x)＝－1.14．已知復(fù)數(shù)z1＝cosα＋isinα，z2＝cosβ＋isinβ，則復(fù)數(shù)z1·z2的實部是________[答案]cos(α＋β)[解析]z1·z2＝(cosα＋isinα)(cosβ＋isinβ)cosαcosβ－sinαsinβ＋(cosαsinβ＋sinαcosβ)i＝cos(α＋β)＋sin(α＋β)i故z1·z2的實部為cos(α＋β)．15．若(3－10i)y＋(－2＋i)x＝1－9i，則實數(shù)x、y的值分別為________．[答案]x＝1，y＝1[解析]原式可以化為(3y－2x)＋(x－10y)i＝1－9i，根據(jù)復(fù)數(shù)相等的充要條件，有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3y－2x＝1，,x－10y＝－9.))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝1.))16．設(shè)θ∈[0,2π]，當(dāng)θ＝________時，z＝1＋sinθ＋i(cosθ－sinθ)是實數(shù)．[答案]eq\f(π,4)或eq\f(5,4)π[解析]本題主要考查復(fù)數(shù)的概念．z為實數(shù)，則cosθ＝sinθ，即tanθ＝1.因為θ∈[0,2π]，所以θ＝eq\f(π,4)或eq\f(5,4)π.三、解答題(本大題共6個大題，共74分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟)17．(本題滿分12分)(·鄭州網(wǎng)校期中聯(lián)考)已知復(fù)數(shù)z＝(2m2－3m－2)＋(m2(1)當(dāng)實數(shù)m取什么值時，復(fù)數(shù)z是：①實數(shù)；②純虛數(shù)；(2)當(dāng)m＝0時，化簡eq\f(z2,z＋5＋2i).[解析](1)①當(dāng)m2－3m＋2＝0時，即m＝1或m＝2時，復(fù)數(shù)z②若z為純虛數(shù)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2m2－3m－2＝0，,m2－3m＋2＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝－\f(1,2)或m＝2，,m≠1且m≠2，))∴m＝－eq\f(1,2).即m＝－eq\f(1,2)時，復(fù)數(shù)z為純虛數(shù)．(2)當(dāng)m＝0時，z＝－2＋2i，eq\f(z2,z＋5＋2i)＝eq\f(－8i,3＋4i)＝eq\f(－8i3－4i,25)＝－eq\f(32,25)－eq\f(24,25)i.18．(本題滿分12分)已知復(fù)數(shù)x2＋x－2＋(x2－3x＋2)i(x∈R)是復(fù)數(shù)4－20i的共軛復(fù)數(shù)，求實數(shù)x的值．[解析]因為復(fù)數(shù)4－20i的共軛復(fù)數(shù)為4＋20i，由題意得x2＋x－2＋(x2－3x＋2)i＝4＋20i，根據(jù)復(fù)數(shù)相等的充要條件，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋x－2＝4，①,x2－3x＋2＝20.②))方程①的解為x＝－3或x＝2.方程②的解為x＝－3或x＝6.所以實數(shù)x的值為－3.19．(本題滿分12分)(·洛陽市高二期中)(1)已知復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第四象限，|z|＝1，且z＋eq\o(z,\s\up6(－))＝1，求z；(2)已知復(fù)數(shù)z＝eq\f(5m2,1－2i)－(1＋5i)m－3(2＋i)為純虛數(shù)，求實數(shù)m的值．[解析](1)設(shè)z＝a＋bi(a、b∈R)，由題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＋b2＝1，,2a＝1.))解得a＝eq\f(1,2)，b＝±eq\f(\r(3),2).∵復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第四象限，∴b＝－eq\f(\r(3),2).∴z＝eq\f(1,2)－eq\f(\r(3),2)i.(2)z＝eq\f(5m2,1－2i)－(1＋5i)m－3(2＋i)＝(m2－m－6)＋(2m2－5m－3)i，依題意，m2－m－6＝0，解得m＝3或－2.∵2m2－5m－3≠0.∴m＝－2.20．(本題滿分12分)虛數(shù)z滿足|z|＝1，z2＋2z＋eq\f(1,z)＜0，求z.[解析]設(shè)z＝x＋yi(x、y∈R，y≠0)，∴x2＋y2＝1.則z2＋2z＋eq\f(1,z)＝(x＋yi)2＋2(x＋yi)＋eq\f(1,x＋yi)＝(x2－y2＋3x)＋y(2x＋1)i.∵y≠0，z2＋2z＋eq\f(1,z)<0，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋1＝0，①,x2－y2＋3x＜0，②))又x2＋y2＝1.③由①②③得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－\f(1,2)，,y＝±\f(\r(3),2).))∴z＝－eq\f(1,2)±eq\f(\r(3),2)i.21．(本題滿分12分)滿足z＋eq\f(5,z)是實數(shù)，且z＋3的實部與虛部是相反數(shù)的虛數(shù)z是否存在？若存在，求出虛數(shù)z，若不存在，請說明理由．[解析]存在．設(shè)虛數(shù)z＝x＋yi(x、y∈R，且y≠0)．z＋eq\f(5,z)＝x＋yi＋eq\f(5,x＋yi)＝x＋eq\f(5x,x2＋y2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(5y,x2＋y2)))i.由已知得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y－\f(5y,x2＋y2)＝0，,x＋3＝－y.))∵y≠0，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋y2＝5，,x＋y＝－3.))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－1，,y＝－2，))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－2，,y＝－1.))∴存在虛數(shù)z＝－1－2i或z＝－2－i滿足以上條件．22．(本題滿分14分)將一顆質(zhì)地均勻的正方體骰子(六個面的點數(shù)分別為1、2、3、4、5、6)先后拋擲兩次，記第一次出現(xiàn)的點數(shù)為a，第二次出現(xiàn)的點數(shù)為b.(1)設(shè)復(fù)數(shù)z＝a＋bi(i為虛數(shù)單位)，求事件“z－3i為實數(shù)”的概率；(2)求點P(a，b)落在不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－b＋2≥0，,0≤a≤4，,b≥0.))表示的平面區(qū)域內(nèi)(含邊界)的概率．[解析](1)z＝a＋bi(i為虛數(shù)單位)，z－3i為實數(shù)，則a＋bi－3i＝a＋(b－3)i為實數(shù)，則b＝3.依題意得b的可能取值為1、2、3、4、5、6，故b＝3的概率為eq\f(1,6).即事件“z－3i為實數(shù)”的概率為eq\f(1,6).(2)連續(xù)拋擲兩次骰子所得結(jié)果如下表：1234561(1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)(1,6)2(2,1)(2,2)(2,3)(2,4)(2,5)(2,6)3(3,1)(3,2)(3,3)(3,4)(3,5)(3,6)4(4,1)(4,2)(4,3)(4,4)(4,5)(4,6)5(5,1)(5,2)(5,3)(5,4)(5,5)(5,6)6(6,1)(6,2)(6,3)(6,4)(6,5)(6,6)由上表知，連續(xù)拋擲兩次骰子共有36種不同的結(jié)果．不等式組所表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示(含邊界)．由圖知，點P(a，b)落在四邊形ABCD內(nèi)的結(jié)果有：(1,1)、(1,2)、(1,3)、(2,1)、(2,2)、(2,3)、(2,4)、(3,1)、(3,2)、(3,3)、(3,4)、(3,5)、(4,1)、(4,2)、(4,3)、(4,4)、(4,5)、(4,6)，共18種．所以點P(a，b)落在四邊形ABCD內(nèi)(含邊界)的概率為P＝eq\f(18,36)＝eq\f(1,2).1．設(shè)z的共軛復(fù)數(shù)為eq\o(z,\s\up6(－))，若z＋eq\o(z,\s\up6(－))＝4，z·eq\o(z,\s\up6(－))＝8，則eq\f(\o(z,\s\up6(－)),z)等于()A．i B．－iC．±1 D．±i[答案]D[解析]設(shè)z＝a＋bi(a，b∈R)，則eq\o(z,\s\up6(－))＝a－bi，由條件可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a＝4，,a2＋b2＝8.))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝±2.))因此eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(z＝2＋2i，,\o(z,\s\up6(－))＝2－2i，))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(z＝2－2i，,\o(z,\s\up6(－))＝2＋2i.))所以eq\f(\o(z,\s\up6(－)),z)＝eq\f(2－2i,2＋2i)＝eq\f(1－i,1＋i)＝eq\f(1－i2,1＋i1－i)＝eq\f(－2i,2)＝－i，或eq\f(\o(z,\s\up6(－)),z)＝eq\f(2＋2i,2－2i)＝eq\f(1＋i,1－i)＝eq\f(1＋i2,1－i1＋i)＝eq\f(2i,2)＝i，所以eq\f(\o(z,\s\up6(－)),z)＝±i.2．復(fù)數(shù)z＝eq\f(m－2i,1＋2i)(m∈R，i為虛數(shù)單位)在復(fù)平面上對應(yīng)的點不可能位于()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限[答案]A[解析]z＝eq\f(m－2i,1＋2i)＝eq\f(m－2i1－2i,1＋2i1－2i)＝eq\f(1,5)[(m－4)－2(m＋1)i]，其實部為eq\f(1,5)(m－4)，虛部為－eq\f(2,5)(m＋1)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m－4>0，,－2m＋1>0.))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m>4，,m<－1.))此時無解．故復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對應(yīng)的點不可能位于第一象限．3．已知i為虛數(shù)單位，a為實數(shù)，復(fù)數(shù)z＝(1－2i)(a＋i)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為M，則“a>eq\f(1,2)”是“點M在第四象限”的()A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件[答案]C[解析]z＝(1－2i)(a＋i)＝a＋2＋(1－2a)i，所以復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點M的坐標(biāo)為(a＋2,1－2a)，所以點M在第四象限的充要條件是a＋2>0且1－2a<0，解得a>eq