專題08 函數(shù)基礎(chǔ)及平面直角坐標系（講義）（解析版）

專題08函數(shù)基礎(chǔ)及平面直角坐標系核心知識點精講理解平面直角坐標系的概念、點的坐標的概念；掌握不同位置的點的坐標特征；掌握點的坐標規(guī)律并能進行運用；理解掌握變量和常量的關(guān)系；掌握函數(shù)解析式及表示方法；掌握函數(shù)圖象的畫法。考點1平面直角坐標系1.平面直角坐標系：在平面內(nèi)畫兩條互相垂直且有公共原點的數(shù)軸，就組成了平面直角坐標系。其中，水平的數(shù)軸叫做x軸或橫軸，取向右為正方向；鉛直的數(shù)軸叫做y軸或縱軸，取向上為正方向；兩軸的交點O（即公共的原點）叫做直角坐標系的原點；建立了直角坐標系的平面，叫做坐標平面。為了便于描述坐標平面內(nèi)點的位置，把坐標平面被x軸和y軸分割而成的四個部分，分別叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。2.點的坐標的概念點的坐標用（a，b）表示，其順序是橫坐標在前，縱坐標在后，中間有“，”分開，橫、縱坐標的位置不能顛倒。平面內(nèi)點的坐標是有序?qū)崝?shù)對，當(dāng)時，（a，b）和（b，a）是兩個不同點的坐標?？键c2不同位置的點的坐標的特征1.各象限內(nèi)點的坐標的特征點P(x,y)在第一象限點P(x,y)在第二象限點P(x,y)在第三象限點P(x,y)在第四象限2.坐標軸上的點的特征點P(x,y)在x軸上，x為任意實數(shù)點P(x,y)在y軸上，y為任意實數(shù)點P(x,y)既在x軸上，又在y軸上x，y同時為零，即點P坐標為（0，0）3.兩條坐標軸夾角平分線上點的坐標的特征點P(x,y)在第一、三象限夾角平分線上x與y相等點P(x,y)在第二、四象限夾角平分線上x與y互為相反數(shù)4.和坐標軸平行的直線上點的坐標的特征位于平行于x軸的直線上的各點的縱坐標相同。位于平行于y軸的直線上的各點的橫坐標相同。5.關(guān)于x軸、y軸或遠點對稱的點的坐標的特征點P與點p’關(guān)于x軸對稱橫坐標相等，縱坐標互為相反數(shù)點P與點p’關(guān)于y軸對稱縱坐標相等，橫坐標互為相反數(shù)點P與點p’關(guān)于原點對稱橫、縱坐標均互為相反數(shù)6.P(x,y)到坐標軸及原點的距離：（1）點P(x,y)到x軸的距離等于（2）點P(x,y)到y(tǒng)軸的距離等于（3）點P(x,y)到原點的距離等于考點3點的坐標規(guī)律（1）理解平面直角坐標系和點坐標的意義；（2）探索各個象限的點和坐標軸上的點其坐標符號規(guī)律；（3）探索關(guān)于平面直角坐標系中有關(guān)對稱，平移等變化的點的坐標變化規(guī)律．考點4變量與常量在某一變化過程中，可以取不同數(shù)值的量叫做變量，數(shù)值保持不變的量叫做常量。一般地，在某一變化過程中有兩個變量x與y，如果對于x的每一個值，y都有唯一確定的值與它對應(yīng)，那么就說x是自變量，y是x的函數(shù)?？键c5函數(shù)解析式及表示方法1.函數(shù)的解析式用來表示函數(shù)關(guān)系的數(shù)學(xué)式子叫做函數(shù)解析式或函數(shù)關(guān)系式。使函數(shù)有意義的自變量的取值的全體，叫做自變量的取值范圍。2..函數(shù)的三種表示法及其優(yōu)缺點（1）解析式法：兩個變量間的函數(shù)關(guān)系，有時可以用一個含有這兩個變量及數(shù)字運算符號的等式表示，這種表示法叫做解析法。（2）列表法：把自變量x的一系列值和函數(shù)y的對應(yīng)值列成一個表來表示函數(shù)關(guān)系，這種表示法叫做列表法。（3）圖象法：用圖象表示函數(shù)關(guān)系的方法叫做圖象法?？键c6由函數(shù)解析式畫其圖象的一般步驟：（1）列表：列表給出自變量與函數(shù)的一些對應(yīng)值（2）描點：以表中每對對應(yīng)值為坐標，在坐標平面內(nèi)描出相應(yīng)的點（3）連線：按照自變量由小到大的順序，把所描各點用平滑的曲線連接起來?！绢}型1：實數(shù)的有概念】【典例1】（2023?蓬江區(qū)校級三模）若點A（n，n+2）在x軸上，則n的值為（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2【答案】A【分析】根據(jù)x軸上點的縱坐標為0列方程求出n的值即可．【解答】解：∵點A（n，n+2）在x軸上，∴n+2＝0，解得n＝﹣2．故選：A．1．（2023?韶關(guān)一模）在平面直角坐標系中，點P（﹣2，1）所在的象限是（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】B【分析】根據(jù)各象限內(nèi)點的坐標特征解答即可．【解答】解：點P坐標為（﹣2，1），即橫坐標為負數(shù)，縱坐標為正數(shù)，則它位于第二象限，故選：B．2．（2023?順德區(qū)校級一模）已知點Q（a﹣1，a+2）在x軸上，那么Q點的坐標為（）A．（﹣3，0） B．（3，0） C．（0，3） D．（0，﹣3）【答案】A【分析】根據(jù)x軸上點的縱坐標為0列方程求出a的值，再求解即可．【解答】解：∵點Q（a﹣1，a+2）在x軸上，∴a+2＝0，解得a＝﹣2，∴a﹣1＝﹣2﹣1＝﹣3，∴點A的坐標為（﹣3，0）．故選：A．3．（2023?金平區(qū)三模）已知點A（2，1），過點A作x軸的垂線，垂足為C，則點C的坐標為（）A．（1，0） B．（0，1） C．（2，0） D．（0，2）【答案】C【分析】先畫圖，過點A作x軸的垂線，結(jié)合圖形可得答案．【解答】解：如圖，點A（2，1），過點A作x軸的垂線，垂足為C，∴C（2，0）；故選：C．【題型2：不同位置的點的坐標的特征】【典例2】（2023?廣東模擬）已知點M（﹣2，3），點N（2，a），且MN∥x軸，則a的值為（）A．﹣2 B．2 C．﹣3 D．3【答案】D【分析】根據(jù)平行于x軸的直線縱坐標相等解答即可．【解答】解：∵點M（﹣2，3），點N（2，a），且MN∥x軸，∴a＝3，故選：D．1．（2022?濠江區(qū)一模）若點A（m+1，﹣2）、點B（3，m﹣1），且AB∥x軸，則AB的值為（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】根據(jù)AB∥x軸，得到點A，B縱坐標相等，求出m的值，得到A，B的坐標，進而得到AB的值．【解答】解：∵AB∥x軸，∴點A，B縱坐標相等，∴m﹣1＝﹣2，∴m＝﹣1，∴m+1＝0，∴A（0，﹣2），B（3，﹣2），∴AB＝3﹣0＝3．故選：B．2．（2022?香洲區(qū)校級一模）（?1A．﹣5 B．15 C．5 D．【答案】B【分析】根據(jù)x軸上兩點間的距離等于其橫坐標差的絕對值進行解答便可．【解答】解：∵（?15，0）在∴（?15，0）到坐標原點的距離是|?1故選：B．3．（2023?南沙區(qū)一模）如圖，在平面直角坐標系中，點A的坐標是A（﹣2，1），AB＝5，且∠AOB＝90°．那么點B到x軸的距離是（）A．2 B．4 C．25 D．【答案】B【分析】如圖，過點A作AC⊥x軸于C，過點B作BD⊥x軸于D根據(jù)勾股定理計算AO，OB的長，證明△ACO∽△ODB，可得結(jié)論．【解答】解：如圖，過點A作AC⊥x軸于C，過點B作BD⊥x軸于D，∵點A的坐標是A（﹣2，1），∴AC＝1，OC＝2，∴AO=1∵AB＝5，且∠AOB＝90°，∴OB=52?(∵∠AOB＝∠ACO＝90°，∴∠CAO+∠AOC＝∠AOC+∠BOD＝90°，∴∠CAO＝∠BOD，∵∠ACO＝∠BDO＝90°，∴△ACO∽△ODB，∴OCBD∴2BD∴BD＝4，即點B到x軸的距離是4．故選：B．【題型3：點的坐標規(guī)律應(yīng)用】【典例4】（2023?中山市校級一模）如圖，在平面直角坐標系中，點A（0，3），B（﹣1，0）．過點A作AB的垂線交x軸于點A1，過點A1作AA1的垂線交y軸于點A2，過點A2作A1A2的垂線交x軸于點A3…，按此規(guī)律繼續(xù)作下去，則點A2022的坐標為（0，?(3【答案】（0，?(【分析】分別寫出A1、A2、A3的坐標找到變化規(guī)律后寫出答案即可．【解答】解：∵A（0，3）、B（﹣1，0），∴AB⊥AA1，∴A1的坐標為：（3，0），同理可得：A2的坐標為：（0，﹣33），A3的坐標為：（﹣9，0），A4的坐標為（0，93），A5的坐標為（27，0），由此可發(fā)現(xiàn)規(guī)律，這些點的坐標的為位置都在坐標軸上，經(jīng)過4次一循環(huán)后又回到相應(yīng)的坐標軸上，∴點A4n+1在x軸正半軸上，點A4n+2在y軸負半軸上，點A4n+3在x軸負半軸上，點A4n在y軸正半軸上，且對應(yīng)點的縱、橫坐標值一個為0，一個的絕對值為(?3…∵2022÷4＝505…2，∴點A2022在y軸負半軸上，∴點A2022橫坐標為(?3)2023故答案為：（0，?(1．（2023?東莞市校級二模）如圖，在平面直角坐標系中，A（1，1），B（﹣1，1），C（﹣1，﹣2），D（1，﹣2），把一條長為2023個單位長度且沒有彈性的細線（線的粗細忽略不計）的一端固定在點A處，并按A﹣B﹣C﹣D﹣A……的規(guī)律繞在四邊形ABCD的邊上，則細線另一端所在位置的點的坐標是（）A．（﹣1，0） B．（0，2） C．（﹣1，﹣2） D．（0，1）【答案】A【分析】由點A、B、C的坐標可得出AB、BC的長度，從而可得四邊形ABCD的周長，再根據(jù)12＝1×10+2即可得出細線另一端所在位置的點的坐標．【解答】解：∵A點坐標為（1，1），B點坐標為（﹣1，1），C點坐標為（﹣1，﹣2），∴AB＝1﹣（﹣1）＝2，BC＝2﹣（﹣1）＝3，∴從A→B→C→D→A一圈的長度為2（AB+BC）＝10．2023÷10＝202…3，∴細線另一端在繞四邊形第202圈的第3個單位長度的位置，即細線另一端所在位置的點的坐標是（﹣1，0）．故選：A．2．（2023?東莞市一模）如圖，直線l為y=3x，過點作A1B1⊥x軸，與直線l交于點B1，以原點O為圓心．OB1長為半徑畫弧交x軸于點A2；再作A2B2⊥x軸．交直線l于點B2，以原點O為圓心，OB2長為半徑畫弧交x軸于點A3；……按此作法進行下去，點An坐標為（2n﹣1【答案】（2n﹣1，0）．【分析】依據(jù)直線l為y=3x，點A1（1，0），A1B1⊥x軸，可得A2（2，0），同理可得，A3（4，0），A4（8，0），…依據(jù)規(guī)律可得點An的坐標為（2n﹣1【解答】解：∵直線l為y=3x，點A1（1，0），A1B1⊥x∴當(dāng)x＝1時，y=3即B1（1，3），∴tan∠A1OB1=3∴∠A1OB1＝60°，∠A1B1O＝30°，∴OB1＝2OA1＝2，∵以原點O為圓心，OB1長為半徑畫圓弧交x軸于點A2，∴A2（2，0），同理可得，A3（4，0），A4（8，0），…∴點An的坐標為（2n﹣1，0），故答案為：（2n﹣1，0）．3．（2023?惠東縣二模）如圖，點O（0，0），A（0，1）是正方形的兩個頂點，以對角線為邊作正方形，再以正方形的對角線作正方形，…，依此規(guī)律，則點A8的坐標是（0，16）．【答案】（0，16）．【分析】根據(jù)題意和圖形可看出每經(jīng)過一次變化，都順時針旋轉(zhuǎn)45°，邊長都乘以2，所以可求出從A到A3的后變化的坐標，再求出A1、A2、A3、A4、A5，得出A8即可．【解答】解：由圖知，點A（0，1），根據(jù)題意和圖形可看出每經(jīng)過一次變化，都順時針旋轉(zhuǎn)45°，邊長都乘以2，∵從A到A3經(jīng)過了3次變化，∵45°×3＝135°，1×（2）3＝22．∴點A1（1，1），A2（2，0），∴點A3所在的正方形的對角線長為22，點A3位置在第四象限．∴點A3的坐標是（2，﹣2）；可得出：A1點坐標為（1，1），A2點坐標為（2，0），A3點坐標為（2，﹣2），A4點坐標為（0，﹣4），A5點坐標為（﹣4，﹣4），A6（﹣8，0），A7（﹣8，8），A8（0，16）．故答案為：（0，16）．【題型4：常量與變量】【典例4】（2023?惠來縣模擬）某人要在規(guī)定的時間內(nèi)加工100個零件，如果用n表示工作效率，用t表示規(guī)定的時間，下列說法正確的是（）A．?dāng)?shù)100和n，t都是常量 B．?dāng)?shù)100和n都是變量 C．n和t都是變量 D．?dāng)?shù)100和t都是變量【答案】C【分析】利用效率等于工作量除以工作時間得到n=100【解答】解：n=100t，其中n、故選：C．1．（2023?英德市三模）球的體積是V，球的半徑為R，則V=43πRA．變量是V，R；常量是43，πB．變量是R，π；常量是43C．變量是V，R，π；常量是43D．變量是V，R3；常量是π【答案】A【分析】根據(jù)常量和變量的概念解答即可．【解答】解：球的體積是V，球的半徑為R，則V=34πR其中變量是V，R；常量是43，故選：A．2．（2023?蓬江區(qū)校級三模）如圖，把兩根木條AB和AC的一端A用螺栓固定在一起，木條AB自由轉(zhuǎn)動至AB′位置．在轉(zhuǎn)動過程中，下面的量是常量的為（）A．∠BAC的度數(shù) B．AB的長度 C．BC的長度 D．△ABC的面積【答案】B【分析】根據(jù)常量和變量的定義進行判斷．【解答】解：木條AB繞點A自由轉(zhuǎn)動至AB′過程中，AB的長度始終不變，故AB的長度是常量；而∠BAC的度數(shù)、BC的長度、△ABC的面積一直在變化，均是變量．故選：B．【題型5：函數(shù)的解析式及表示方法】【典例5】（2023?花都區(qū)一模）下表反映的是某地區(qū)電的使用量x（千瓦時）與應(yīng)繳電費y（元）之間的關(guān)系：用電量x（千瓦時）12345…應(yīng)繳電費y（元）0.551.11.652.22.75…以下說法錯誤的是（）A．x與y都是變量，且x是自變量，y是因變量 B．用電量每增加1千瓦時，電費增加0.55元 C．若用電量為8千瓦時，則應(yīng)繳電費4.4元 D．若所繳電費為3.75元，則用電量為7千瓦時【答案】D【分析】根據(jù)圖表，先寫出函數(shù)關(guān)系，再逐個判斷各個選擇支．【解答】解：由圖表可知：應(yīng)交電費與用電量間的關(guān)系為y＝0.55x，對于這個函數(shù)關(guān)系，x、y都是變量，x是自變量，y是x的函數(shù)．所以選項A正確；根據(jù)圖表可知，用電量每增加1千瓦時，電費增加0.55元，選項B正確；當(dāng)x＝8千瓦時，y＝0.55×8＝4.4（元），故選項C正確．當(dāng)y＝3.75元時，x=3.750.55≈故選：D．1．（2022?河源一模）已知兩個變量x和y，它們之間的3組對應(yīng)值如下表所示：x﹣101y321則y與x之間的關(guān)系式可能是（）A．y＝x B．y=3x C．y＝x2+x+1 D．y＝﹣【答案】D【分析】根據(jù)變化規(guī)律，自變量加1，因變量就減少1，自變量增加a個1，因變量就從3到少a個1，求解即可．【解答】解：由題意知，有兩個變量，x和y，其中x為自變量，y為因變量，當(dāng)自變量x增加1時，因變量y減少1，所以當(dāng)自變量為x時，即增加了[x﹣（﹣1）]個1，則因變量應(yīng)減少了[x﹣（﹣1）]，即3﹣[x﹣（﹣1）]＝﹣x+2，即y＝﹣x+2，故選：D．2．（2021?佛山校級三模）已知y是x的函數(shù)，用列表法給出部分x與y的值．表中“▲”處的數(shù)可以是1.5（答案不唯一）．（填一個符合題意的答案）x﹣2134y﹣362▲【答案】1.5（答案不唯一）．【分析】觀察表格發(fā)現(xiàn)：xy＝6，所以y=6x，當(dāng)x＝4時，代入表達式，即可得出【解答】解：觀察表格發(fā)現(xiàn)：xy＝6，∴y=6當(dāng)x＝4時，y=6故答案為：1.5（答案不唯一）．3．（2022?廣東）物理實驗證實：在彈性限度內(nèi)，某彈簧長度y（cm）與所掛物體質(zhì)量x（kg）滿足函數(shù)關(guān)系y＝kx+15．下表是測量物體質(zhì)量時，該彈簧長度與所掛物體質(zhì)量的數(shù)量關(guān)系．x025y151925（1）求y與x的函數(shù)關(guān)系式；（2）當(dāng)彈簧長度為20cm時，求所掛物體的質(zhì)量．【答案】（1）y與x的函數(shù)關(guān)系式為y＝2x+15（x≥0）；（2）所掛物體的質(zhì)量為2.5kg．【分析】（1）把x＝2，y＝19代入y＝kx+15中，即可算出k的值，即可得出答案；（2）把y＝20代入y＝2x+15中，計算即可得出答案．【解答】解：（1）把x＝2，y＝19代入y＝kx+15中，得19＝2k+15，解得：k＝2，所以y與x的函數(shù)關(guān)系式為y＝2x+15（x≥0）；（2）把y＝20代入y＝2x+15中，得20＝2x+15，解得：x＝2.5．所掛物體的質(zhì)量為2.5kg．【題型6：平方根、算術(shù)平方根和立方根】【典例6】（2023?東莞市校級一模）如圖，將一圓柱形水杯杯底固定在大圓柱形容器底面中央，現(xiàn)用一個注水管沿大容器內(nèi)壁勻速注水，則水杯內(nèi)水面的高度h（單位：cm）與注水時間t（單位：s）的函數(shù)圖象大致為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)將一盛有部分水的圓柱形小玻璃杯放入事先沒有水的大圓柱形容器內(nèi)，現(xiàn)用一注水管沿大容器內(nèi)壁勻速注水，即可求出小水杯內(nèi)水面的高度h（cm）與注水時間t（s）的函數(shù)圖象．【解答】解：當(dāng)注入大圓柱形容器的水面高度到達小水杯的高度前，水杯內(nèi)水面的高度為0，故選項A、C不合題意；當(dāng)注入大圓柱形容器的水面高度到達小水杯的高后，水杯內(nèi)水面的高度逐漸增大，當(dāng)水杯內(nèi)水面的高度達到水杯高度時，水杯內(nèi)水面的高度不再增加，故選項B符合題意，選項D不合題意．故選：B．.1.（2023?香洲區(qū)二模）一個小球沿一個斜坡上下滾動，其速度v（單位：m/s）與時間t（單位：s）的圖象如圖所示．下列說法錯誤的是（）A．小球的初始速度為6m/s B．小球先沿斜坡向上滾動，再沿斜坡向下滾動 C．當(dāng)3≤t≤6時，小球的速度每秒增加2m/s D．小球在整個滾動過程中，當(dāng)t＝3時，到達斜坡的最低處【答案】D【分析】根據(jù)函數(shù)圖象結(jié)合圖形分析即可．【解答】解：t＝0時速度為6m/s，故A選項不符合題意；由函數(shù)圖象可得速度先減小后增加，所以小球先沿斜坡向上滾動，再沿斜坡向下滾動，故B選項不符合題意；當(dāng)3≤t≤6時，小球的速度每秒增加2m/s，故C選項不符合題意；當(dāng)t＝3時，到達斜坡的最高處，故D選項符合題意；故選：D．2．（2023?龍華區(qū)二模）如圖是小杰同學(xué)家中的一個30min沙漏計時器，相關(guān)實驗結(jié)果表明，沙漏中的沙下落的速度可以近似看成勻速，從計時器開始計時到計時30min止，上面玻璃球內(nèi)的含沙量Q（cm3）與時間t（min）之間的函數(shù)關(guān)系圖象大致為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)一個30min沙漏計時器，沙漏中的沙下落的速度可以近似看成勻速，即上面玻璃球中含沙量會勻速地減少，在t＝30時，含沙量減少到0，以此即可選擇．【解答】解：沙漏中的沙下落的速度可以近似看成勻速，則相同時間內(nèi)，玻璃球內(nèi)的含沙量Q的減少量相同，從計時器開始計時到計時30min止，上面玻璃球內(nèi)的含沙量Q（cm3）與時間t（min）之間的函數(shù)關(guān)系圖象大致為一條直線．故選：D．3．（2022?赤坎區(qū)二模）工程隊鋪設(shè)某段公路效率是v（單位：km/天）和鋪設(shè)時間t（單位：天）之間函數(shù)圖象是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)實際意義，寫出函數(shù)的解析式，根據(jù)函數(shù)的類型，以及自變量的取值范圍即可進行判斷．【解答】解：設(shè)鋪設(shè)公路的長度為skm，根據(jù)題意有：s＝v?t，故v與t之間是反比例函數(shù)，其圖象在第一象限．故選：D．一．選擇題（共5小題）1．（2023?高要區(qū)二模）如圖，這是一個利用平面直角坐標系畫出的某學(xué)校的示意圖，如果這個坐標系分別以正東、正北方向為x軸、y軸的正方向，并且綜合樓和食堂的坐標分別是（4，1）和（5，4），則教學(xué)樓的坐標是（）A．（1，1） B．（1，2） C．（2，1） D．（2，2）【答案】D【分析】根據(jù)綜合樓和食堂的坐標分別是（4，1）和（5，4），建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼?，即可解答．【解答】解：建立如圖所示的平面直角坐標系：∴教學(xué)樓的坐標是（2，2），故選：D．2．（2022?東莞市校級一模）點C在x軸的下方，y軸的右側(cè)，距離x軸3個單位長度，距離y軸5個單位長度，則點C的坐標為（）A．（﹣3，5） B．（3，﹣5） C．（5，﹣3） D．（﹣5，3）【答案】C【分析】點C在x軸的下方，y軸的右側(cè)，易得此點在第四象限，根據(jù)距離x軸3個單位長度，可得點的縱坐標，根據(jù)距離y軸5個單位長度可得點的橫坐標．【解答】解：∵點C在x軸的下方，y軸的右側(cè)，∴點C在第四象限；∵點C距離x軸3個單位長度，距離y軸5個單位長度，∴點C的坐標為（5，﹣3），故選C．3．（2023?鶴山市模擬）如圖甲，A、B是半徑為1的⊙O上兩點，且OA⊥OB．點P從A出發(fā)，在⊙O上以每秒一個單位的速度勻速運動，回到點A運動結(jié)束．設(shè)運動時間為x，弦BP的長度為y，那么如圖乙圖象中可能表示y與x的函數(shù)關(guān)系的是（）A．① B．④ C．①或③ D．②或④【答案】C【分析】分兩種情形討論當(dāng)點P順時針旋轉(zhuǎn)時，圖象是③，當(dāng)點P逆時針旋轉(zhuǎn)時，圖象是①，由此即可解決問題．【解答】解：當(dāng)點P順時針旋轉(zhuǎn)時，圖象是③，當(dāng)點P逆時針旋轉(zhuǎn)時，圖象是①，故答案為①③，故選：C．4．（2023?南海區(qū)校級三模）如表中列出的是一個二次函數(shù)的自變量x與函數(shù)y的幾組對應(yīng)值．下列各選項中，正確的是（）x…﹣2013…y…﹣6464…A．函數(shù)的圖象開口向上 B．函數(shù)的圖象與x軸無交點 C．函數(shù)的最大值大于6 D．當(dāng)﹣1≤x≤2時，對應(yīng)函數(shù)y的取值范圍是3≤y≤6【答案】C【分析】由表格中的幾組數(shù)求得二次函數(shù)的解析式，然后通過函數(shù)的性質(zhì)得到結(jié)果．【解答】解：設(shè)二次函數(shù)的解析式為y＝ax2+bx+c，由題意知?6=(?2)解得a=?1b=3∴二次函數(shù)的解析式為y＝﹣x2+3x+4＝﹣（x﹣4）（x+1）＝﹣（x?32）2A．函數(shù)的圖象開口向下，故本選項不合題意；B．函數(shù)的與x軸的交點為（4，0）和（﹣1，0），故本選項不合題意；C．當(dāng)x=32時，函數(shù)的最大值為D．當(dāng)﹣1≤x≤2時，對應(yīng)函數(shù)y的取值范圍是0≤y≤6，故D選項不合題意．故選：C．5．（2023?福田區(qū)模擬）函數(shù)y=1x?1中自變量A．x≥0 B．x＞1 C．x≥1 D．x≠0【答案】B【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)和分式的意義，被開方數(shù)大于或等于0，分母不等于0，可以求出x的范圍．【解答】解：根據(jù)題意得：x﹣1＞0，解得：x＞1．故選：B．二．填空題（共4小題）6．（2023?惠陽區(qū)二模）在平面直角坐標系中，若P（2x+6，4﹣x）在第二象限，則x的取值范圍是x＜﹣3．【答案】x＜﹣3．【分析】由P（2x+6，4﹣x）在第二象限得到2x+6＜04?x＞0【解答】解：∵P（2x+6，4﹣x）在第二象限，∴2x+6＜04?x＞0解得x＜﹣3，故答案為：x＜﹣3．7．（2022?越秀區(qū)校級二模）若P（a+2，a﹣1）在y軸上，則點P的坐標是（0，﹣3）．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】讓橫坐標為0可得a的值，進而可得P的坐標．【解答】解：∵P（a+2，a﹣1）在y軸上，∴a+2＝0，解得a＝﹣2，∴點P的坐標是（0，﹣3），故答案為（0，﹣3）．8．（2023?金平區(qū)二模）函數(shù)y=1x+1的自變量x的取值范圍是x【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】根據(jù)分母不為0可得：x+1≠0，然后進行計算即可解答．【解答】解：由題意得：x+1≠0，解得：x≠﹣1，故答案為：x≠﹣1．9．（2023?越秀區(qū)校級二模）在函數(shù)y=2x+9x?5中，自變量x的取值范圍是x【答案】x≠5．【分析】根據(jù)分母不為0可得：x﹣5≠0，然后進行計算即可解答．【解答】解：由題意得：x﹣5≠0，解得：x≠5，故答案為：x≠5．一．選擇題（共8小題）1．如圖，在平面直角坐標系中，點A1的坐標為（﹣1，0），以O(shè)A1為直角邊作等腰Rt△OA1A2，再以O(shè)A2為直角邊作等腰Rt△OA2A3，再以O(shè)A3為直角邊作等腰Rt△OA3A4，…，按此規(guī)律進行下去，則點A2020的橫坐標為（）A．﹣21009 B．21009 C．﹣21010 D．21010【答案】B【分析】根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到OA1＝1，OA2=2，OA3＝（2）2，…，OA2020＝（2）2019，再利用A1、A2、A3、…，每8個一循環(huán)，再回到x軸的負半軸的特點可得到點A2020在第一象限，即可確定點A2020【解答】解：∵等腰直角三角形OA1A2的直角邊OA1在x軸的負半軸上，且OA1＝A1A2＝1，以O(shè)A2為直角邊作第二個等腰直角三角形OA2A3，以O(shè)A3為直角邊作第三個等腰直角三角形OA3A4，…，∴OA1＝1，OA2=2，OA3＝（2）2，…，OA2020＝（2）2019∵A1、A2、A3、…，每8個一循環(huán)，再回到x軸的負半軸，2020＝8×252+4，∴點A2020在第一象限，∵OA2020＝（2）2019，∴點A2020的坐標為：22×（2）2019＝2故選：B．2．如圖，在平面直角坐標系中，正方形ABCD的頂點A的坐標為（55，0），頂點D的坐標為（0，255），延長CB交x軸于點A1，作正方形A1B1C1C，延長C1B1交x軸于點A?，作正方形A2B2C2A．（32）2020 B．（32）C．4×（32）2020 D．4×（32【答案】C【分析】根據(jù)相似三角形的判定定理，得出△AA1B∽△A1A2B1，繼而得知∠BAA1＝∠B1A1A2；利用勾股定理計算出正方形的邊長；最后利用正方形的周長公式計算三個正方形的周長，從中找出規(guī)律，問題也就迎刃而解了．【解答】解：設(shè)正方形的周長分別為C1，C2…C2021，根據(jù)題意，得：AD∥BC∥C1A2∥C2B2，∴∠BAA1＝∠B1A1A2＝∠B2A2x（兩直線平行，同位角相等）．∵∠ABA1＝∠A1B1A2＝90°，∴△BAA1∽△B1A1A2，∵頂點A的坐標為（55，0），頂點D的坐標為（0，2∴OA=55，OD在直角△ADO中，根據(jù)勾股定理，得：AD=O∴AD＝AB＝1，∵tan∠DAO=OD∵tan∠BAA1=A∴BA1=12AB∴CA1＝1+1同理，得：C1A2=32+34由正方形的周長公式，得：C1＝4×（32）C2＝4×（32）1C3＝4×（32）2…由此，可得?n＝4×（32）n﹣1∴C2021＝4×（32）2020故選：C．3．若點N的坐標為（a，2a﹣1），則點N一定不在的象限是（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】B【分析】根據(jù)點在各個象限的坐標符號可建立不等式組，求出無解的不等式組即可．【解答】解：由題意可得：a＞02a?1＞0，a＜02a?1＞0，a＜02a?1＜0解這四組不等式組可知a＜02a?1＞0∴點N的橫坐標是負數(shù)，縱坐標是正數(shù)，不能同時成立，即點N一定不在第二象限．故選：B．4．如圖，正方形ABCD的邊長為1，E、F、G、H分別為各邊上的點，且AE＝BF＝CG＝DH，設(shè)小正方形EFGH的面積為y，AE為x，則y關(guān)于x的函數(shù)圖象大致是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】由已知得BE＝CF＝DG＝AH＝1﹣x，根據(jù)y＝S正方形ABCD﹣S△AEH﹣S△BFE﹣S△CGF﹣S△DHG，求函數(shù)關(guān)系式，判斷函數(shù)圖象即可．【解答】解：根據(jù)題意，正方形ABCD的邊長為1，AE＝BF＝CG＝DH＝x，∴BE＝CF＝DG＝AH＝1﹣x，∴y＝S正方形ABCD﹣S△AEH﹣S△BFE﹣S△CGF﹣S△DHG=1×1?4×1＝2x2﹣2x+1（0≤x≤1），該函數(shù)圖象開口向上，對稱軸為x=1所以，四個選項中B符合題意，A、C、D不符合題意．故選：B．5．如圖是底部放有一個實心鐵球的長方體水槽軸截面示意圖，現(xiàn)向水槽勻速注水，下列圖象中能大致反映水槽中水的深度（y）與注水時間（x）關(guān)系的是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意可分兩段進行分析：當(dāng)水的深度未超過球頂時；當(dāng)水的深度超過球頂時．分別分析出水槽中裝水部分的寬度變化情況，進而判斷出水的深度變化快慢，以此得出答案．【解答】解：當(dāng)水的深度未超過球頂時，水槽中能裝水的部分的寬度由下到上由寬逐漸變窄，再變寬，所以在勻速注水過程中，水的深度變化先從上升較慢變?yōu)檩^快，再變?yōu)檩^慢；當(dāng)水的深度超過球頂時，水槽中能裝水的部分寬度不再變化，所以在勻速注水過程中，水的深度的上升速度不會發(fā)生變化．綜上，水的深度先上升較慢，再變快，然后變慢，最后勻速上升．故選：D．6．如圖是邊長為2的菱形ABCD，∠DAB＝60°，過點A作直線l⊥AB，將直線l沿線段AB方向勻速向右平移，直至l經(jīng)過點C時停止，在平移的過程中，若菱形在直線l左邊的部分面積為y，則y與直線l平移的距離x之間的函數(shù)圖象大致為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用面積公式，分別計算出三個距離段的面積對應(yīng)的解析式，根據(jù)相應(yīng)圖象即可解答．【解答】解：∵四邊形ABCD是菱形，∠DAB＝60°，∴AB＝AD＝DC＝BC＝2，∠C＝60°，①當(dāng)0≤x≤1時，y=12x（xtan60°）=3②當(dāng)1＜x≤2時，y=12×1××3+3（③當(dāng)2≤x＜3時，y＝2×3?32（3﹣x）2=?32x綜上所述，y與x之間的函數(shù)圖象大致如選項A所示．故選：A．7．如圖1，正方形ABCD的邊長為4，E為CD邊的中點．動點P從點A出發(fā)沿AB→BC勻速運動，運動到點C時停止．設(shè)點P的運動路程為x，線段PE的長為y，y與x的函數(shù)圖象如圖2所示，則點M的坐標為（）A．（4，23） B．（4，4） C．（4，25） D．（4，5）【答案】C【分析】根據(jù)圖2確定M點的橫坐標為AB的長度，縱坐標為BE的長度，然后求值即可．【解答】解：由題意可知，當(dāng)點P在邊AB上時，y的值先減小后增大，當(dāng)點P在邊BC上時，y的值逐漸減小，∴M點的橫坐標為AB的長度，縱坐標為BE的長度，∵AB＝4，EC＝ED=12AB∴BE=BC2∴M（4，25），故選：C．8．如圖1，在Rt△ABC中，動點P從A點運動到B點再到C點后停止，速度為2單位/s，其中BP長與運動時間t（單位：s）的關(guān)系如圖2，則AC的長為（）A．1552 B．427 C．17 【答案】C【分析】根據(jù)圖象可知t＝0時，點P與點A重合，得到AB＝15，進而求出點P從點A運動到點所需的時間，進而得到點P從點B運動到點C的時間，求出BC的長，再利用勾股定理求出AC即可．【解答】解：由圖象可知：t＝0時，點P與點A重合，∴AB＝15，∴點P從點A運動到點B所需的時間為15÷2＝7.5（s）；∴點P從點B運動到點C的時間為11.5﹣7.5＝4（s），∴BC＝2×4＝8；在Rt△ABC中，由勾股定理可得AC＝17；故選C．二．填空題（共1小題）9．如圖，邊長為4的等邊△ABC，AC邊在x軸上，點B在y軸的正半軸上，以O(shè)B為邊作等邊△OBA1，邊OA1與AB交于點O1，以O(shè)1B為邊作等邊△O1BA2，邊O1A2與A1B交于點O2，以O(shè)2B為邊作等邊△O2BA3，邊O2A3與A2B交于點O3，…，依此規(guī)律繼續(xù)作等邊△On﹣1BAn，則A2021的橫坐標0．【答案】0．【分析】由題意：△OO1A∽△O1O2A1∽△O2O3A2∽…∽△On﹣1OnAn﹣1，相似比=O1A【解答】解：∵邊長為4的等邊△ABC，AC邊在x軸上，點B在y軸的正半軸上，OB⊥AC，∴∠BAC＝∠ABC＝60°，∠ABO=12∠∴AO=12AB＝2，OB=3AO∵以O(shè)B為邊作等邊△OBA1，邊OA1與AB交于點O1，以O(shè)1B為邊作等邊△O1BA2，邊O1A2與A1B交于點O2，∴∠BA1O＝∠A1OB＝∠A2O1B＝60°，∠A1BO1＝∠OBO1=12∠A1∴∠AOO1＝∠A1O1O2＝90°﹣60°＝30°，∴△OO1A∽△O1O2A1，同理，可得△OO1A∽△O1O2A1∽△O2O3A2∽…∽△O