專題09 二模練習(xí)中有關(guān)圓的計算4種壓軸題型全攻略（解析版）

專題09有關(guān)圓的計算4種壓軸題型全攻略【考點導(dǎo)航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【考點一中點（直線）和圓的位置關(guān)系相關(guān)計算】 1【考點二中圓和圓的位置關(guān)系相關(guān)計算】 2【考點三中圓的其它計算】 2【考點四中有關(guān)線段取值范圍的計算】 3【過關(guān)檢測】 4【典型例題】【考點一中點（直線）和圓的位置關(guān)系相關(guān)計算】【例題1】如圖，已知及其所在平面內(nèi)的個點．如果半徑為，那么到圓心距離為的點可能是（

）A．點 B．點 C．點 D．點【答案】C【分析】根據(jù)點與圓的位置關(guān)系即可求解．【詳解】解：根據(jù)題意得，半徑為，如圖所示，連接，∴，∴到圓心距離為的點可能是點，故選：．【點睛】本題主要考查點與圓的位置關(guān)系，理解并掌握點到圓心的線段與圓的半徑的大小關(guān)系是解題的關(guān)鍵．【變式1】如圖，在矩形中，對角線與相交于點，，．分別以點、為圓心畫圓，如果與直線相交、與直線相離，且與內(nèi)切，那么的半徑長的取值范圍是（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】過點作，勾股定理求得，進而根據(jù)平行線分線段成比例得出，根據(jù)題意，畫出相應(yīng)的圖形，即可求解．【詳解】解：如圖所示，當圓O與相切時，過點作，∵矩形中，對角線與相交于點，，．∴，，，，∴∴，則；

當圓O與相切時，過點作于點，如圖所示，

則則∴與直線相交、與直線相離，且與內(nèi)切時，，故選：C．【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，勾股定理，平行線分線段成比例，直線與圓的位置關(guān)系，圓與圓的位置關(guān)系，根據(jù)題意畫出圖形是解題的關(guān)鍵．【變式2】如圖，矩形中，，，點在對角線上，圓經(jīng)過點．如果矩形有兩個頂點在圓O內(nèi)，那么圓O的半徑長r的取值范圍是（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】由勾股定理求出，連接，交于點F，作于點E，求得，再根據(jù)圓的運動過程，判斷出r的取值范圍即可．【詳解】解：∵四邊形是矩形，∴∵，∴∴由勾股定理得，，連接，交于點F，作于點E，

∵∴點O從點D開始向B移動，移到E時，的長度從1減到，再移到點F，此時，在這一范圍內(nèi)，，,∴當時，A，B都在圓外，不滿足條件；當點O從點F移到點B時，，此時，，，∴當時，滿足兩點在圓內(nèi)的條件；當，即，點O在點F的位置，，此時四點都在圓上，不滿足條件；當，即，點O在點B的位置，此時，，A和B在圓內(nèi)，點D在圓外，滿足條件，故r的取值范圍是：．故選：B．【點睛】本題主要考查了點與圓的位置關(guān)系，正確進行分類討論是解答本題的關(guān)鍵．【變式3】已知在中，，，如果以A為圓心r為半徑的和以為直徑的相交，那么r的取值范圍（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】首先利用勾股定理求得兩圓的圓心距，然后利用兩圓相交時兩圓的圓心距和兩圓的半徑之間的關(guān)系求解．【詳解】解：如圖，由題意得：，，由勾股定理得：，設(shè)的半徑為，根據(jù)兩圓相交得：，解答：，故選：C．【點睛】本題考查兩圓之間的位置關(guān)系．熟練掌握兩圓之間的位置關(guān)系的判定方法，是解題的關(guān)鍵．【考點二圓和圓的位置關(guān)系相關(guān)計算】【例題2】如圖，在梯形中，已知，，，，，分別以、為直徑作圓，這兩圓的位置關(guān)系是（

）A．內(nèi)切 B．外切 C．相交 D．外離【答案】D【分析】先求出兩圓的圓心距，和的一半為兩圓的半徑，利用半徑之和和兩圓的圓心距的大小關(guān)系求解．【詳解】解：∵分別以、為直徑作圓，∴兩圓的圓心分別是、的中點，∴兩圓心的連線是梯形的中位線．∵，，∴兩圓的圓心距為，∵，，∴兩圓的半徑分別為3和2，∵，∴兩圓外離，故選：D．【點睛】本題考查了梯形的中位線，以及圓與圓的位置關(guān)系，解題的關(guān)鍵是分別求得兩圓的圓心距和兩圓的半徑．【變式1】知和，的半徑長為10厘米，當兩圓外切時，兩圓的圓心距為25厘米，如果兩圓的圓心距為15厘米時，那么此時這兩圓的位置關(guān)系是（

）A．內(nèi)含 B．內(nèi)切 C．相交 D．外離【答案】C【分析】根據(jù)圓心距在兩圓半徑差和兩圓半徑和之間，故判斷出兩圓相交．【詳解】解：的半徑長為10厘米，當兩圓外切時，兩圓的圓心距為25厘米，的半徑為15厘米，，兩圓的位置關(guān)系是相交.故選：C．【點睛】本題主要考查圓與圓的位置關(guān)系，熟練掌握兩圓的圓心距大小和兩圓的位置之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．【變式2】如圖，已知中，，．、分別是邊、上的點，，且．如果經(jīng)過點，且與外切，那么與直線的位置關(guān)系是（

）A．相離 B．相切 C．相交 D．不能確定【答案】B【分析】設(shè)圓E交DE于點F，則EF=AE，設(shè)CD=x，可得BD=2x，BC=3x，再由．可得AC=4x，AB=5x，然后根據(jù)，可得，EF=AE=，從而得到的半徑為x，即可求解．【詳解】解：如圖，設(shè)圓E交DE于點F，則EF=AE，設(shè)CD=x，∵．∴BD=2x，BC=3x，∵．∴AC=4x，∴AB=5x，∵，∴，．∴BE=2AE，，∴EF=AE=，∴，∴CD=DE，∵經(jīng)過點，且與外切，∴的半徑為x，∵，即AC⊥BC，∴與直線相切．故選：B【點睛】本題主要考查了解直角三角形，切線的判定，圓與圓的位置關(guān)系等知識，熟練掌握直角三角形的性質(zhì)，切線的判定，圓與圓的位置關(guān)系等知識是解題的關(guān)鍵．【變式3】在矩形中，，，點在邊上，，以點為圓心、為半徑作(如圖)，點在邊上，以點為圓心、為半徑作．如果與外切，那么的長是_______．

【答案】【分析】連接，作于，設(shè)的半徑是，得到，，，由勾股定理得到，求出，即可解決問題．【詳解】解：連接，作于，∵，，點在邊上，，

設(shè)的半徑是，兩圓外切，，四邊形是矩形，，，四邊形是矩形，，，，，，，的長是，故答案為：．【點睛】本題考查圓與圓的位置關(guān)系，矩形的性質(zhì)，勾股定理，關(guān)鍵是通過作輔助線，構(gòu)造直角三角形，應(yīng)用勾股定理列出關(guān)于半徑的方程．【考點三圓的其它計算】【例題3】把球放在長方體紙盒內(nèi)，球的一部分露出盒外，其截面如圖所示，已知，那么球的半徑長是(

)A．4 B．5 C．6 D．8【答案】B【分析】過點O作于點M，利用垂徑定理，勾股定理計算即可．【詳解】過點O作于點M，連接，∵，∴，∴，解得，故選B．【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，垂徑定理，勾股定理，熟練掌握垂徑定理，勾股定理是解題的關(guān)鍵．7．如圖，為直徑，內(nèi)接于，為內(nèi)心，交圓于D，且于I，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】連接、，求出，根據(jù)內(nèi)心求出，，求出，推出，求出，利用勾股定理得出，解直角三角形形可求出答案．【詳解】解：連接、，∵為直徑，∴，∵為內(nèi)心，∴，∵，∴，∴，∴，∵，過點，∴，∴，∴，∴，故選：B．【點睛】本題考查了三角形的內(nèi)切圓和內(nèi)心，三角形的外接圓和外心，垂徑定理，圓周角定理，三角形外角的性質(zhì)，等腰三角形的判定等知識點的應(yīng)用，正確作出輔助線后求出是解本題的關(guān)鍵，有一定難度．【變式2】水平放置的圓柱形油槽的圓形截面如圖2所示，如果該截面油的最大深度為分米，油面寬度為分米，那么該圓柱形油槽的內(nèi)半徑為________分米．

【答案】【分析】根據(jù)垂徑定理得到分米，再利用勾股定理即可解答．【詳解】解：過點作于點，∵分米，分米，∴分米，∴設(shè)分米，∴分米，∴在中，，∴，∴，∴該圓柱形油槽的內(nèi)半徑為分米，故答案為．

【點睛】本題考查了垂徑定理，勾股定理，掌握垂徑定理是解題的關(guān)鍵．【變式3】如圖，已知的內(nèi)接正方形，點是的中點，與邊交于點，那么______．【答案】【分析】連接，交于點，連接，根據(jù)題意得出，設(shè)，則，證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求解．【詳解】解：如圖所示，連接，交于點，連接，∵的內(nèi)接正方形，∴經(jīng)過點，∵點是的中點，∴，∴設(shè)，則∴∵,∴∵，∴∴，故答案為：．【點睛】本題考查了正多邊形與圓，垂徑定理，正方形的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)，證明是解題的關(guān)鍵．【考點四有關(guān)線段取值范圍的計算】【例題4】如圖，在直角坐標系中，已知點、點，的半徑為5，點C是上的動點，點P是線段的中點，那么長的取值范圍是______．【答案】【分析】如圖，在y軸上取一點，連接，，由勾股定理求出，由三角形中位線定理求，當C在線段上時，的長度最小值，當C在線段延長線上時，的長度最大值，即可求解．【詳解】解：如圖，在y軸上取一點，連接，，∵，，∴，，∴，∵點P是的中點，∴，∵，，∴是的中位線，∴，當C在線段上時，的長度最小值為：，當C在線段延長線上時，的長度最大值為：，∴，∴，故答案為：．【點睛】本題考查的是圓外一點到圓上點距離的最值，三角形中位線定理，勾股定理等知識，添加恰當?shù)妮o助線是解答本題的關(guān)鍵．【變式1】如圖，在中，，，，以點C為圓心，R為半徑作圓，使A、B兩點一點在圓內(nèi)，一點在圓外，那么R的取值范圍是_______．【答案】/【分析】求出線段、，再根據(jù)點與圓得位置關(guān)系判斷即可．【詳解】解：∵在中，，，，∴，∴，∵以點C為圓心，R為半徑作圓，使A、B兩點一點在圓內(nèi)，一點在圓外，∴．故答案為：．【點睛】本題主要考查了點與圓的位置關(guān)系，解直角三角形，勾股定理，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意求出，．【變式2】如圖，在矩形中，，，點E是的中點，連接，點O是線段上一點，的半徑為1，如果與矩形的各邊都沒有公共點，那么線段長的取值范圍是_______．【答案】【分析】根據(jù)題意，需要分分別與邊相切兩種情況下，計算出長度即可解答．【詳解】解：設(shè)與相切于點F，連接，，∵，，∴，中，∵，∴∵，∴，∴，∵，，∴，∴，即，∵，∴若與相切時，和一定相交；若與相切時，和一定相離．同理當與相切于點M時，連接，，計算得，∴此時，∴當時，與矩形的各邊都沒有公共點，故答案為：．【點睛】本題考查了切線的性質(zhì)、勾股定理、相似三角形的判定與性質(zhì)，解題關(guān)鍵是分兩種情況計算．【變式3】如圖，在直角梯形中，，E是上一定點，．點P是BC上一個動點，以P為圓心，PC為半徑作⊙P．若⊙P與以E為圓心，1為半徑的⊙E有公共點，且⊙P與線段AD只有一個交點，則PC長度的取值范圍是________．【答案】或【分析】根據(jù)題意可得的最小值為圓P與相切，切點為M；最大值為圓與圓E內(nèi)切，切點為Q，由直線與圓的位置關(guān)系，圓與圓的位置關(guān)系即可解決問題．【詳解】解：根據(jù)題意可知：的最小值為圓P與相切，切點為M，如圖所示：∴，在直角梯形中，∵，∴，∴四邊形是矩形，∴，最大值為圓與圓E內(nèi)切，切點為Q，∴，當時，此時圓P與線段開始有2個交點，不符合題意，設(shè)，則，∴，∴，則長度的取值范圍是或．故答案為：或．【點睛】本題考查了直線與圓的位置關(guān)系，圓與圓的位置關(guān)系，直角梯形，解決本題的關(guān)鍵是掌握直線與圓的位置關(guān)系，圓與圓的位置關(guān)系．【過關(guān)檢測】一、填空題1．已知矩形，，，以點為圓心，為半徑畫圓，那么點的位置是在_____．【答案】外【分析】由矩形的性質(zhì)得，根據(jù)勾股定理得，可知點到圓心的距離大于的半徑，則點在外，于是得到問題的答案．【詳解】解：四邊形是矩形，，，，，的半徑為，且，點到圓心的距離大于的半徑，點在外，故答案為：外．【點睛】此題重點考查矩形的性質(zhì)、勾股定理、點與圓的位置關(guān)系等知識，根據(jù)勾股定理求出的長是解題的關(guān)鍵．2．在平面直角坐標系中，我們定義點的“關(guān)聯(lián)點”為．如果已知點在直線上，點在的內(nèi)部，的半徑長為（如圖所示），那么點的橫坐標的取值范圍是_____．【答案】【分析】根據(jù)點在直線上，可求得點的“關(guān)聯(lián)點”為，根據(jù)點與圓的位置關(guān)系可得，根據(jù)勾股定理即可得答案．【詳解】解：∵點A在直線上，∴，∴，，∴點的“關(guān)聯(lián)點”為，當時，，此時點在上，整理得，解得：，∵點在的內(nèi)部，，∴，故答案為：．【點睛】本題考查了坐標與圖形，點與圓的位置關(guān)系及解一元二次方程，點在圓內(nèi)，；點在圓上，，點在圓外，，正確得出點坐標，熟練掌握點與圓點位置關(guān)系是解題關(guān)鍵．3．如圖，已知在扇形中，，半徑，點在弧上，過點作于點，于點，那么線段的長為________．【答案】【分析】連接，取中點E，連接，由直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，可得，進而可知點，，，四點均在同一個圓，即上，由圓周角定理可知，可知，過點作，垂足為點，由垂徑定理得，，在中，，，可得．【詳解】如圖，連接，取的中點，連接，，在和中，點是斜邊的中點，，根據(jù)圓的定義可知，點，，，四點均在同一個圓，即上，又，，，過點作，垂足為點，由垂徑定理得，，在中，，，．故答案為：．【點睛】本題考查直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)，圓的定義，圓周角定理，垂徑定理，含的直角三角形，根據(jù)相關(guān)性質(zhì)定理得到點，，，四點均在同一個圓是解決問題的關(guān)鍵．二、解答題4．如圖，已知中，，．(1)求邊的長；(2)以點為圓心的圓與邊相切時，求的半徑長．【答案】(1)(2)【分析】（1）過作于點，在直角三角形中，利用銳角三角函數(shù)定義求出的長即可；（2）設(shè)切點為，連接，由即可求解．【詳解】（1）解：過作于點，在中，，，設(shè)，則，，，解得：，，，，在中，根據(jù)勾股定理得：；（2）解：設(shè)切點為，連接，則，，，的半徑為．【點睛】此題考查了勾股定理，三角函數(shù)，切線的性質(zhì)，掌握勾股定理及切線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．5．如圖，已知在中，，，經(jīng)過的頂點A、C，交邊于點D，，點C是的中點．(1)求的半徑長；(2)聯(lián)結(jié)，求．【答案】(1)(2)【分析】（1）聯(lián)結(jié)，易得，為等腰三角形，利用三線合一，以及垂徑定理，進行求解即可；（2）過點作，勾股定理求出的長，進而得到的長，等積法求出的長，利用正弦的定義，進行求解即可．【詳解】（1）解：聯(lián)結(jié)，則：，∵點C是的中點，∴，，∴，∴，∴，設(shè)圓的半徑為，則：，∴，在中，，即：，解得：，∴的半徑長為．（2）解：由（1）知：，∴，∴，過點作于點，則，即：，∴，由（1）知：，∴．【點睛】本題考查弧，弦，圓心角的關(guān)系，等腰三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，解直角三角形．熟練掌握等弧對等弦對等角，是解題的關(guān)鍵．6．如圖，在矩形中，點是邊的中點，是的外接圓，交邊于點．(1)求證：；(2)當是以點為中心的正六邊形的一邊時，求證：．【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析．【分析】（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)及線段中點的定義得到三角形全等的條件，則，根據(jù)“全等三角形的對應(yīng)邊相等”得到（2）連接，并延長PO交AD于點M，先證明，再根據(jù)“有一個角是的等腰三角形是等邊三角形”得到為等邊三角形，然后根據(jù)“兩直線平行，內(nèi)錯角相等”得到，則，最后根據(jù)“在同圓中，相等的圓心角所對的弧相等”得到．【詳解】（1）四邊形是矩形，且點是邊的中點，在和中，，∴；（2）證明：如圖，連接，并延長交于點，四邊形是矩形，∴∵，，∴點、都在線段的垂直平分線上，∴垂直平分，∴，，是以點為中心的正六邊形的一邊，由正六邊形性質(zhì)可得∶，∵，是等邊三角形，又，，．【點睛】本題主要考查了全等三角形的判定及性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，等邊三角形的判定及性質(zhì)，線段垂直平分線的判定以及正多邊形的性質(zhì)，熟練掌握線段垂直平分線的判定及性質(zhì)以及等邊三角形的判定及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．7．如圖，在中，，，圓O經(jīng)過A、B兩點，圓心O在線段上，點C在圓O內(nèi)，且．(1)求圓O的半徑長；(2)求的長．【答案】(1)(2)【分析】（1）延長交圓O于點D，連接，設(shè)圓O的半徑長為r，則，利用正弦函數(shù)列式計算即可求解；（2）先求得，在，利用三角函數(shù)的定義求得和的長，再利用勾股定理求解．【詳解】（1）解：設(shè)圓O的半徑長為r，延長交圓O于點D，連接，則，又，∴，設(shè)，則有，因為，所以，解得，經(jīng)檢驗，是方程的解；∴圓的半徑長為5；（2）解：過點B作的垂線垂足為E，由（1）得，則，解得，，解得，所以，所以【點睛】本題考查了圓內(nèi)接三角形，經(jīng)過圓的直徑構(gòu)造的三角形為直角三角形，添加輔助線再利用三角函數(shù)求解．8．如圖，已知是的外接圓，連接并延長交邊于點D，連接，且．(1)求證：；(2)當時，過點A作邊的平行線，交于點E，連接交于點F．請畫出相應(yīng)的圖形，并證明：．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）先證明，再證明，如圖，延長交于，結(jié)合垂徑定理與等腰三角形的判定可得結(jié)論；（2）如圖，補全圖形如下：結(jié)合（1）設(shè)，再證明，，，可得，結(jié)合相似三角形的性質(zhì)可得結(jié)論．【詳解】（1）證明：∵，∴，∵，∴，∴，，∵，，∴，∴，如圖，延長交于，∴，∴，∴結(jié)合三角形的內(nèi)角和定理可得：，∴．（2）如圖，補全圖形如下：結(jié)合（1）設(shè)，∵，∴，，∵，，∴，∵，∴，∴，而，∴，∴，而，∴．【點睛】本題考查的是相似三角形的判定與性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理的應(yīng)用，等腰三角形的判定與性質(zhì)，垂徑定理的應(yīng)用，熟練的證明三角形相似是解本題的關(guān)鍵．9．如圖，半圓的直徑，點是上一點（不與點、重合），點是的中點，分別連接、．

(1)當是圓的內(nèi)接正六邊形的一邊時，求的長；(2)設(shè)，，求與之間的函數(shù)解析式，并寫出x的取值范圍；(3)定義：三角形一邊上的中線把這個三角形分成兩個小三角形，如果其中有一個小三角形是等腰三角形，且這條中線是這個小三角形的腰，那么這條中線就稱為這個三角形的中腰線．分別延長、相交于點，連接．是的中腰線，求的長．【答案】(1)(2)(3)的長為或【分析】（1）連接，，是圓的內(nèi)接正六邊形的一邊時，進而判斷是等邊三角形，即可求解；（2）根據(jù)題意證明，得出則,，在，中，勾股定理即可求解；（3）分情況討論，①當時，如圖所示，過點作于點，則，②當時，分別畫出圖形，根據(jù)，解方程即可求解．【詳解】（1）解：如圖所示，連接，，

∵半圓的直徑，∴，∵是圓的內(nèi)接正六邊形的一邊時，∴,∴，∵是的中點，∴，∵，∴是等邊三角形，∴；（2）解：如圖所示，連接交于點，

∵是的中點，∴，∵是直徑，∴，∴，∴，∴，∵，，∴,∴，在中，，∴，在中，，∴，∴，∵，∴，∴；（3）解：①當時，如圖所示，過點作于點，則，

設(shè)，由（2）可得，，∵，為的中點，∴，∴，在中，，∴，在中，，又∵∴，解得：，∴；②如圖所示，當時，

同理可得，則，,∴，解得：，∴，綜上所述，的長為或．【點睛】本題考查了正多邊形與圓，垂徑定理，函數(shù)關(guān)系式，等邊三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握是解題的關(guān)鍵．10．如圖，半圓O的直徑，點C在半圓O上，，垂足為點H，點D是弧AC上一點．(1)若點D是弧的中點，求的值；(2)連接交半徑于點E，交于點F，設(shè)．①用含m的代數(shù)式表示線段的長；②分別以點O為圓心為半徑、點C為圓心為半徑作圓，當這兩個圓相交時，求m取值范圍．【答案】(1)(2)①；②【分析】（1）連接，過點作，垂足為點M．由垂徑定理，，再利用直角三角形即可得結(jié)論．（2）①作交于點G，再利用平行線分線段成比例定理解決問題即可，②利用圓的位置關(guān)系即可得出結(jié)論．【詳解】（1）連接，∵點D是弧的中點，是直徑，∴

∴，∴，∴．

過點作，垂足為點M．由垂徑定理，．在中，，，．在中，．

．

∴．（2）①作交于點G.∴∴

∴，∴．

又∵∴∴

∴，∴．

∴．

②設(shè)，，．當兩圓內(nèi)切時，．

由于，，所以兩圓不可能內(nèi)切．

當兩圓外切時，．解得．

所以當兩圓相交時，．【點睛】本題屬于圓綜合題，考查了圓與圓的位置關(guān)系，相似三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找相似三角形解決問題，需要利用參數(shù)解決問題，屬于中考壓軸題．11．如圖1，點E、F分別在正方形的邊、上，與交于點G．已知．

(1)求證：；(2)以點G為圓心，為半徑的圓與線段交于點H，點P為線段的中點，聯(lián)結(jié)，如圖2所示，求證：．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）先根據(jù)正方形的性質(zhì)證明，再證明，再根據(jù)等角的余角相等即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)圓的知識證明垂直平分，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)與判定即可得出結(jié)論．【詳解】（1）證明：∵四邊形是正方形，，，∵，，∴，故，∴，∵，∴，即∴；（2）由題意可知：，且（1）有：，∴垂直平分，故，在中，，，∴，在中，，P為線段的中點，，故，∴．【點睛】本題考查的是圓的知識、正方形的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)與判定，等腰三角形的性質(zhì)與判定，掌握等腰三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．12．如圖1，在菱形中，，點在對角線上，，是的外接圓，點與點之間的距離記為．(1)如圖2，當時，聯(lián)結(jié)，求證：；(2)延長交射線于點，如果是直角三角形，求的長；(3)當圓心在菱形外部時，用含的代數(shù)式表示的半徑，并直接寫出的取值范圍．【答案】(1)見解析(2)或；(3)【分析】（1）聯(lián)結(jié)、，交于，由，得出，根據(jù)垂徑定理得出，，則．由，得出．根據(jù)菱形的性質(zhì)得出，則，（2）分當時，當時，如圖所示，設(shè)交于點，分別畫出圖形，解直角三角形，即可求解；（3）分點在，上，以及與點重合時，與點重合時，分別求得的值，結(jié)合圖形即可求解．【詳解】（1）解：聯(lián)結(jié)、，交于，如圖，，，，，．，，．四邊形為菱形，，，；（2）解：當時，如圖所示，∵∴是的直徑，∵菱形中，，∴，，∴，∵，則，∴，∴，設(shè)，則，，在中，，∴，解得：或（舍去），∴，∴，∴，∴，當時，如圖所示，設(shè)交于點∵，，∴，又∵，則∴綜上所述，或；（3）解：由（2）可知，當時，此時點在上，則當在上時，如圖所示，過點作于點，∵，∴,∵設(shè)則∴∴,∴，當與重合時，如圖所示，∵∴∴∴即∴∴，當點與點重合時，同理可得，則時，圓心在菱形外部時，綜上所述，當時或時，即圓心在菱形外部．【點睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，解直角三角形，垂徑定理，圓周角定理，熟練掌握解直角三角形，與圓的相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．13．如圖，扇形的半徑為，圓心角，點是上的動點（點不與點、重合），點、分別在半徑、上，四邊形為矩形，點在線段上，且．(1)求證：；(2)如圖，以為頂點、為一邊，作，射線交射線于點，連接，

①當時，求與的面積之比；②把沿直線翻折后記作，當時，求的正切值．【答案】(1)見解析；(2)①；②【分析】（1）連接，由四邊形為矩形得到，由得到即可得到；（2）①連接，證明，再證，則，，再求得，再證，得到，求出，，即可得到與的面積之比；②延長交于點Q，設(shè)，利用勾股定理得到，利用等積法求出，勾股定理得到，即可得到，證明，則，可證得，則，，由求得，即可得到，由，，根據(jù)正切的定義得到的正切值．【詳解】（1）證明：連接，∵四邊形為矩形，∴，∵，∴；（2）①如圖，連接，∵四邊形為矩形，∴，，∵，∴，∴，即，∴，∵，，∴，∵，∴，∴，，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，∴，∴，∴；②如圖，延長交于點Q，設(shè)，則，∵，∴，∴，∴，∴，由翻折可知，∵，∴，∵，∴，∴，∴，在和中，，∴，∴，，∵，∴，解得，∴，∵，，∴，即的正切值為．【點睛】此題考查了圓的基本知識、相似三角形的判定和性質(zhì)、銳角三角函數(shù)、矩形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、圖形的旋轉(zhuǎn)、無理方程等知識，綜合性非常強，難度較大，數(shù)形結(jié)合和準確計算是解題的關(guān)鍵．14．如圖，已知半圓O的直徑，C是圓外一點，的平分線交半圓O于點D，且，聯(lián)結(jié)交于點E．(1)當時，求的長；(2)當時，求的值；(3)當為直角三角形時，求的值．【答案】(1)；(2)；(3)的值為或．【分析】（1）作于M，聯(lián)結(jié)，證明四邊形是矩形，求得，推出是等腰直角三角形，求得，再利用勾股定理即可求解；（2）同（1）作于M，聯(lián)結(jié)，可得四邊形是矩形，求得，由，求得，再求得，根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)即可求解；（3）分兩種情況討論，當時，同（1）可得四邊形是矩形，再證明，利用相似三角形的性質(zhì)求得的長，即可求解；當時，求得，即可求解．【詳解】（1）解：作于M，聯(lián)結(jié)，∵，∴，∵是的平分線，∴，∵，∴，∴，∴，∴四邊形是平行四邊形，又，∴四邊形是矩形，∴，∵，∴是等腰直角三角形，∴，∴；（2）解：作于M，聯(lián)結(jié)，同理四邊形是矩形，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴；（3）解：作于M，聯(lián)結(jié)，同理四邊形是矩形，∴，當時，∵，，∴，又，∴，∴，即，解得(負值已舍)，∴，∴；當時，由垂徑定理得，∴是線段的垂直平分線，∴，∴，∴；綜上，的值為或．【點睛】本題考查了垂徑定理，解直角三角形，相似三角形的判定和性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件．15．已知：的直徑，C是的中點，D是上的一個動點（不與點A、B、C重合），射線交射線于點E．(1)如圖1，當，求線段的長；(2)如圖2，當點D在上運動時，連接中是否存在度數(shù)保持不變的角？如果存在，請指出這個角并求其度數(shù)；如果不存在，請說明理由；(3)連接，當是以為腰的等腰三角形時，求與面積的比值．【答案】(1)，詳見解析(2)存在，，詳見解析(3)與面積的比值為或或，詳見解析【分析】（1）連，構(gòu)造直角三角形利用勾股定理求出的長，再利用，求出的長，即可得解；（2）由C為的中點，為直徑得出的度數(shù)為，再利用圓周角定理即可得出答案；（3）分類討論，分點在線段的延長線上和點在線段上，利用勾股定理和面積公式分別求出它們的面積，然后求出比值即可得出答案．【詳解】（1）連，如圖1∵∴，∵C為的中點，為直徑∴在中∴∵∴∴即∴∴∴（2）當D在上運動時，如圖2，在中，為度數(shù)不變的角，理由如下：∵C為的中點，為直徑，∴的度數(shù)∴的度數(shù)為∴所對的圓心角為，圓周角為∴（3）如圖，當點在線段的延長線上，是以為腰的等腰三角形時，當時，連，∵∴由知∴∴∴又∵∴∴為等邊三角形∴∴∴∵為中點∴又∵∴∴，當時∴∵∴∴與，，三點共線矛盾，所以此情況不存在；當點在線段上，且小于或等腰時，過點作交于點，過點作于點，，由點在線段上可知，是以為腰的等腰三角形時，不等于，只能有，∴，∵，∴，，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵由知，∴，∴，∴，∵，，∴，，∴，∴，∴；當點在線段上，且大于時，過點作交于點，過點作于點，同可得，，，∴∴；綜上所述：與面積的比值為或或．【點睛】本題考查了三角形相似，圓周角定理，圓心角定理，勾股定理，等腰三角形等知識的綜合應(yīng)用，熟練掌握其性質(zhì)，合理作出輔助線是解決此題的關(guān)鍵．16．已知：如圖，是的外接圓，平分的外角，，，垂足分別是點M，N，且．(1)求的度數(shù)；(2)如果，，求的半徑長．【答案】(1)；(2)；【分析】（1）先證明平分，然后由角平分線的定義，即可求出的度數(shù)；（2）由弦心距和弦的關(guān)系，得到，延長交于點，連接，由等腰三角形的性質(zhì)，垂徑定理，以及勾股定理，即可求出的半徑．【詳解】（1）解：∵平分的外角，∴，∵，，．∴平分，∴，∵，∴，∴；（2）解：∵，∴，∴是等腰三角形，延長交于點，連接，如圖：∵平分，∴，，∵，∴，∴，設(shè)，則，∵，∴，∴；【點睛】本題考查了垂徑定理，角平分線的性質(zhì)定理，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握所學(xué)的知識，正確的進行解題．17．如圖，是半圓O的直徑，C是半圓O上一點，點與點O關(guān)于直線對稱，射線交半圓O于點D，弦AC交于點E、交于點F．(1)如圖，如果點恰好落在半圓O上，求證：；(2)如果，求的值；(3)如果，求的長．【答案】(1)見解析(2)(3)或．【分析】（1）如圖：連接，先根據(jù)圓的性質(zhì)和對稱的性質(zhì)說明是等邊三角形，，然后再說明即可證明結(jié)論；（2）設(shè)圓的半徑為，則，如圖：作于N；先根據(jù)對稱的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)可得，然后解直角三角形可得、，最后代入計算即可；（3）分在半圓O內(nèi)和圓外兩種情況，分別利用面積法解答即可．【詳解】（1）解：如圖：連接，∵點恰好落在半圓O上，∴，∵點與點O關(guān)于直線對稱∴,，∴是等邊三角形，，∴，∴，∴，∴．（2）解：設(shè)圓的半徑為，則，如圖：作于N∵，∴，在中，,，∵，∴，又∵，∴，∴，在中，，由軸對稱可得：，,,，∴為等腰直角三角形∴，

∴．（3）解：當在半圓O內(nèi)時，則，由對稱性可得：，如圖：過F作于N，于M，∴∴，又∵，，即，又∵，∴；當在半圓O外時，由對稱性可得：，如圖：作于M，于N，∴，∴，又∵，，又∵，∴,即，又∵，∴．綜上，或