八年級(jí)上冊數(shù)學(xué)《全等三角形》知識(shí)歸納與題型突破含解析

第十二章全等三角形知識(shí)歸納與題型突破（題型清單）01思維導(dǎo)圖02知識(shí)速記一、全等圖形形狀、大小相同的圖形放在一起能夠完全重合.能夠完全重合的兩個(gè)圖形叫做全等形.要點(diǎn)詮釋：一個(gè)圖形經(jīng)過平移、翻折、旋轉(zhuǎn)后，位置變化了，但形狀、大小都沒有改變，即平移、翻折、旋轉(zhuǎn)前后的圖形全等.兩個(gè)全等形的周長相等，面積相等.二、全等三角形能夠完全重合的兩個(gè)三角形叫全等三角形.三、全等三角形的性質(zhì)全等三角形的對應(yīng)邊相等；全等三角形的對應(yīng)角相等.要點(diǎn)詮釋：全等三角形對應(yīng)邊上的高相等，對應(yīng)邊上的中線相等，周長相等，面積相等全等三角形的性質(zhì)是今后研究其它全等圖形的重要工具.四、全等三角形的判定五、全等三角形的證明思路→→→SSS→→→找夾邊的另一角→找邊的對角→→已知兩角→六、全等三角形證明方法全等三角形是平面幾何內(nèi)容的基礎(chǔ)，這是因?yàn)槿热切问茄芯刻厥馊切?、四邊形、相似圖形、圓等圖形性質(zhì)的有力工具，是解決與線段、角相關(guān)問題的一個(gè)出發(fā)點(diǎn).運(yùn)用全等三角形，可以證明線段相等、線段的和差倍分關(guān)系、角相等、兩直線位置關(guān)系等常見的幾何問題.可以適當(dāng)總結(jié)證明方法.1．證明線段相等的方法：(1)證明兩條線段所在的兩個(gè)三角形全等.(2)利用角平分線的性質(zhì)證明角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等3)等式性質(zhì).2．證明角相等的方法：(1)利用平行線的性質(zhì)進(jìn)行證明.(2)證明兩個(gè)角所在的兩個(gè)三角形全等.(3)利用角平分線的判定進(jìn)行證明4)同角（等角）的余角（補(bǔ)角）相等5)對頂角相等.3．證明兩條線段的位置關(guān)系（平行、垂直）的方法；可通過證明兩個(gè)三角形全等，得到對應(yīng)角相等，再利用平行線的判定或垂直定義證明.4．輔助線的添加:(1)作公共邊可構(gòu)造全等三角形；(2倍長中線法；()作以角平分線為對稱軸的翻折變換全等三角形；(4)利用截長(或補(bǔ)短)法作旋轉(zhuǎn)變換的全等三角形.5.證明三角形全等的思維方法:（1）直接利用全等三角形判定和證明兩條線段或兩個(gè)角相等，需要我們敏捷、快速地發(fā)現(xiàn)兩條線段和兩個(gè)角所在的兩個(gè)三角形及它們?nèi)鹊臈l件.（2）如果要證明相等的兩條線段或兩個(gè)角所在的三角形全等的條件不充分時(shí)，則應(yīng)根據(jù)圖形的其它性質(zhì)或先證明其他的兩個(gè)三角形全等以補(bǔ)足條件.（3）如果現(xiàn)有圖形中的任何兩個(gè)三角形之間不存在全等關(guān)系，此時(shí)應(yīng)添置輔助線，使之出現(xiàn)全等三角形，通過構(gòu)造出全等三角形來研究平面圖形的性質(zhì).七、角平分線概念：從一個(gè)角的頂點(diǎn)引出一條射線，把這個(gè)角分成完全相同的角，這條射線叫做這個(gè)角的角平分線。角平分線的性質(zhì)：角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等；數(shù)學(xué)語言：∵∠MOP=∠NOP，⊥OMPB⊥ON∴=PB判定定理：到角兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上．?dāng)?shù)學(xué)語言：∵PA⊥OMPB⊥ONPA=PB∴∠MOP=∠NOP八、角平分線?？妓姆N輔助線：1.圖中有角平分線，可向兩邊作垂線。2.角平分線加垂線，三線合一試試看。3.角平分線平行線，等腰三角形來添。4.也可將圖對折看，對稱以后關(guān)系出現(xiàn)。03題型歸納題型一全等圖形識(shí)別23-24七年級(jí)下·陜西寶雞期中）下列各組圖形中，屬于全等圖形的是（）A．B．C．D．【答案】C【分析】本題考查了全等圖形．根據(jù)全等圖形的定義（能夠完全重合的兩個(gè)圖形叫做全等形）逐項(xiàng)判斷即可得．【詳解】解：A、兩個(gè)圖形的大小不相同，不能夠完全重合，不是全等圖形，則此項(xiàng)不符合題意；B、兩個(gè)圖形的大小不相同，不能夠完全重合，不是全等圖形，則此項(xiàng)不符合題意；C、兩個(gè)圖形能夠完全重合，是全等圖形，則此項(xiàng)符合題意；D、兩個(gè)圖形的形狀不相同，不能夠完全重合，不是全等圖形，則此項(xiàng)不符合題意；故選：．鞏固訓(xùn)練123-24七年級(jí)下·全國課后作業(yè)）下列各選項(xiàng)中的兩個(gè)圖形屬于全等形的是（）A．B．D．C．【答案】B【分析】本題考查圖形全等，涉及全等圖形的定義，根據(jù)能夠完全重合的兩個(gè)圖形是全等圖形，逐項(xiàng)驗(yàn)證即可得到答案，熟記全等圖形的定義是解決問題的關(guān)鍵．【詳解】解：根據(jù)全等圖形的定義可知，只有這兩個(gè)圖形能夠完全重合，故選：．223-24七年級(jí)下·四川成都·期中）下列各組圖形中，是全等圖形的是（）A．B．C．D．【答案】B【分析】本題考查全等圖形的概念，形狀和大小完全相同的圖形是全等圖形，據(jù)此即可求解．【詳解】解：根據(jù)全等圖形的概念，只有B選項(xiàng)中的兩個(gè)圖形形狀和大小完全相同，是全等圖形，故選：．32024七年級(jí)下·全國專題練習(xí)）下列各組的兩個(gè)圖形屬于全等圖形的是（）A．B．D．C．【答案】B【分析】本題主要考查了全等形的定義，掌握能夠完全重合的圖形是全等形成為解題的關(guān)鍵．運(yùn)用全等形的定義逐項(xiàng)判斷即可解答．【詳解】解：A、兩只眼睛下面的嘴巴不能完全重合，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、兩個(gè)圖形能夠完全重合，故本選項(xiàng)正確C、兩個(gè)正方形的邊長不相等，不能完全重合，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、圓內(nèi)兩條相交的線段不能完全重合，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選D．題型二全等三角形的概念23-24七年級(jí)下·陜西西安期中）下列判斷正確的個(gè)數(shù)是（（1）形狀相同的兩個(gè)三角形是全等形；）（2）全等圖形的周長都相等；（3）面積相等的兩個(gè)等腰三角形是全等形；（4）全等三角形對應(yīng)邊上的高、中線及對應(yīng)角平分線分別相等．A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D4個(gè)【答案】B【分析】本題考查了全等圖形的判定與性質(zhì)，利用全等圖形的判定與性質(zhì)即可確定正確的選項(xiàng)．）形狀相同的兩個(gè)三角形不一定是全等形，故錯(cuò)誤；（2）全等圖形的周長都相等，故正確；（3）面積相等的兩個(gè)等腰三角形不一定是全等形，故錯(cuò)誤；（4）全等三角形對應(yīng)邊上的高、中線及對應(yīng)角平分線分別相等，故正確；故選：B鞏固訓(xùn)練123-24七年級(jí)下·江蘇泰州·階段練習(xí)）下列說法中正確的是（）A．全等三角形是指形狀相同的兩個(gè)三角形C．全等三角形是指面積相等的兩個(gè)三角形B．全等三角形的面積相等D．等邊三角形都全等【答案】B據(jù)全等三角形的定義和性質(zhì)判斷即可．【詳解】解：A、全等三角形是指形狀和大小相同的兩個(gè)三角形，該選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、全等三角形的面積相等，該選項(xiàng)正確；C、面積相等的兩個(gè)三角形不一定都是全等三角形，該選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、等邊三角形不一定都是全等三角形，該選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選：．223-24八年級(jí)上·甘肅定西·階段練習(xí)）下列說法正確的是（）A．形狀相同的兩個(gè)三角形全等B．面積相等的兩個(gè)三角形全等D．所有的等邊三角形全等C．全等三角形的周長相等、面積相等【答案】C【分析】本題考查三角形全等的概念及性質(zhì)，根據(jù)三角形全等的概念和性質(zhì)逐一判斷即可.【詳解】A法錯(cuò)誤；B選項(xiàng)：全等的兩個(gè)三角形面積相等，但面積相等的兩個(gè)三角形不一定全等，故本選項(xiàng)說法錯(cuò)誤；C選項(xiàng)：全等三角形的周長相等，面積相等，本選項(xiàng)說法正確；D選項(xiàng)：等邊三角形的形狀相同，但大小不同，故本選項(xiàng)說法錯(cuò)誤.故選：C323-24八年級(jí)上·陜西安康·期中）下列說法正確的是（）A．全等三角形是指形狀、大小相同的三角形B．兩個(gè)全等三角形的面積不一定相等C．周長相等的兩個(gè)三角形是全等三角形D．所有的等邊三角形都是全等三角形【答案】A【分析】根據(jù)能夠完全重合的兩個(gè)三角形是全等三角形，對各選項(xiàng)分析判斷后利用排除法求解．【詳解】A、形狀相同大小相等的三角形能夠完全重合，是全等三角形，故本選項(xiàng)正確；B、兩個(gè)全等三角形的面積一定相等，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、周長相等的三角形，形狀不一定相同，大小不一定相等，所以不一定是全等三角形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；D形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選：．題型三全等三角形的性質(zhì)△△DEB，23-24七年級(jí)下·四川資陽期末）如圖，已知點(diǎn)A在BE上，ABC(1)試說明：DE∥BC；(2)若BC=12，AE=7，求DE的長【答案】(1)見解析(2)DE=5【分析】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，平行線的判定，掌握全等三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)全等三角形的對應(yīng)角相等得到∠E=∠EBC，然后根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行得到結(jié)論即可；（2）根據(jù)全等三角形的對應(yīng)邊相等得到BEBC12，DEAB，然后利用線段的和差即可得到結(jié)果．===△△DEB，）證明：∵ABC∴∠E=∠EBC，∴DE∥BC；△△DEB，（2）解：∵ABC∴BEBC12，DEAB，===又∵AE7，=∴DEABBEAE12?7=5．==?=鞏固訓(xùn)練123-24七年級(jí)下·福建泉州·期末）如圖，△ABC△DEF，其中點(diǎn)、、D在一條直線上．(1)若FEAD,F58，求A的大??；⊥∠=°∠(2)若AD9cm,BE，求AE的長．==【答案】(1)32°(2)2cm【分析】此題考查了全等三角形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握全等三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）先根據(jù)垂直以及直角三角形兩銳角互余求出D90°?∠∠=F=32°，再利用全等三角形對應(yīng)角相等即可得到∠A的大小；（2）利用全等三角形的性質(zhì)得到AB=DE，則AB?BE=DE?BE，即可得到1AEBD==(AD?BE)=2(cm)．2FE⊥AD,）解：∵∴DEF90，∠=°∵F58，∠=°∴D90∠=°?∠F=32°，△△ABC≌DEF∵∴∠A=∠D=32°△△（2ABC≌DEF，∴AB=DE∴AB?BE=DE?BE，112∴AEBD==(AD?BE)=(95)2(cm)?=2223-24七年級(jí)下·陜西榆林·期末）如圖，已知ABCDBE，點(diǎn)D在邊AC上，BC與DE交于點(diǎn)P，∠ABE=162°∠CBD=36°，．(1)求∠CBE的度數(shù)；(2)若ADDC5，=8，求△CDP與△BEP的周長之和．【答案】(1)63°(2)31【分析】本題主要考查全等三角形的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊相等是解本題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到ABC∠=∠DBE，計(jì)算即可；（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)求出、、、BE，根據(jù)三角形的周長公式計(jì)算即可．）解：∵ABE162，∠=°∠CBD=36°，∴ABD∠+∠CBE126．=°∵ABCDBE，∴ABC∠=∠DBE，∴∠ABC?∠CBD=∠DBE?∠CBD，即ABD∠=∠CBE，1∴CBE∠=×126°=63．°2（2）解：∵ABCDBE，∴DEACADDC10，BE=BC=8，==+=∴△CDP與△BEP的周長和DCDPPCBPPEBE，=+++++=DC+DE+BC+BE=5+10+8+8=31．323-24七年級(jí)下·四川樂山·期末）如圖所示，ABCDEB，點(diǎn)E在AB邊上，DE與AC交于點(diǎn)F．(1)若AE=4，BC=6，求線段DE的長；(2)若∠A=25°，∠AFD=100°，求∠DBE的度數(shù)．【答案】(1)10(2)∠DBE=50°【分析】本題考查全等三角形的性質(zhì)，三角形的外角的性質(zhì)；BE=BC=DE=ABAB=AE+BE（1ABCDEB，得到（2）由ABCDEB，得到A進(jìn)而即可求解．，而，即可得到DE的長；∠=D=，由三角形外角的性質(zhì)得到°∠AFD=∠A+∠D+∠EBD=100°，△ABC≌△DEB∴DE=AB，BC=EB=6∴AB=AE+EB=4+6=10∴DEAB10.==（2△ABC≌△DEB∴∠D=∠A=25°∠AFD=∠A+∠AEF，∠AEF=∠D+∠EBD∴∠AFD=∠A+∠D+∠DBE=100°∴∠DBE=50°.題型四添加一個(gè)條件使兩三角形全等2023·浙江·D在AB上，E在AC∠B=∠C______后，可用“”判斷ACD．【答案】BECD或AEAD==B∠=∠C，A∠=∠A【詳解】解：∵B∠=∠C，A∠=∠A，∴若用“”判斷ACD，可補(bǔ)充的條件是BECD或AEAD；==故答案為：BECD或AEAD．==【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定，熟知掌握判定三角形全等的條件是解題的關(guān)鍵．鞏固訓(xùn)練12023·黑龍江雞西校考三模）如圖，點(diǎn)B,F,C,E在一條直線上，已知BF=CEAC=DF，請你添加一,△△個(gè)適當(dāng)?shù)臈l件_________ABC≌DEF【答案】ACB∠=∠DFE（答案不唯一）【分析】由BFCE可得=BC=EF，再根據(jù)三角形全等的證明，可知可以添加條件為：兩邊及其夾角（ACB∠=∠DFEAB=DE）即可解答．【詳解】解：∵BFCE，=∴BCEF，=∵ACDF，=()或AB=DE可證明ABC?DEFSSS)．(∴可添加條件為：ACB∠=∠DFE可證明ABC?DEF故答案為：ACB∠=∠DFE【點(diǎn)睛】本題主要考查的是三角形全等判定，掌握證明全等三角形的方法有：SSS,SAS,AAS,ASA,特別是SSA不能判定三角形全等是解題的關(guān)鍵．22023·北京大興·統(tǒng)考二模）如圖，點(diǎn)B，E，C，F(xiàn)在一條直線上，AC∥DF，BE=CF，只需添加△△一個(gè)條件即可證明ABC≌DEF，這個(gè)條件可以是________【答案】ACDF或∠A=∠=D或∠ABC=∠DEF或ABDE【分析】根據(jù)SAS，AAS或ASA添加條件即可求解．ACDF【詳解】解：∵，∴ACB∠=∠DFE，∵BECF，=∴BEECCFEC，即+=+BC=EF，則有邊角AS兩個(gè)條件，要添加一個(gè)條件分三種情況，（1）根據(jù)“SAS”，則可添加：ACDF，=（2）根據(jù)“ASA”，則可添加：ABC∠=∠DEF或ABDE，（3）根據(jù)“AAS”，則可添加：∠A=∠D，∠ABC=∠DEF故答案為：ACDF或=或ABDE或∠A=∠D【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定，解此題的關(guān)鍵是熟練掌握全等三角形的幾種判斷方法．3（2023秋∠A=∠D=90°“HL”證明△ABCDCB_______________“”證明△ABCDCB，應(yīng)添加條件：_______________________．【答案】ABDC（或=AC=DB）∠ACB=∠DBC∠ABC=∠DCB（或）【分析】根據(jù)：斜邊與直角邊對應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等，使△ABCDCB，已知A∠=∠D=90°，BC=BC，添加的條件是直角邊相等即可；要使用“”，需要添加角相等即可．【詳解】解：已知∠A=∠D=90，BC=BC°，要使用“HL”，添加的條件是直角邊相等，AC=DB故答案為：ABDC（或=要使用“”，需要添加角相等，添加的條件為：∠ACB=∠DBC∠ABC=∠DCB（或∠ABC=∠DCB故答案為：ACB∠=∠DBC（或5取決于題目中的已知條件，若已知兩邊對應(yīng)相等，則找它們的夾角或第三邊；若已知兩角對應(yīng)相等，則必須再找一組對邊對應(yīng)相等，且要是兩角的夾邊，若已知一邊一角，則找另一組角，或找這個(gè)角的另一組對應(yīng)鄰邊．題型五用SAS證明兩三角形全等2023·廣東廣州·?？寄M預(yù)測）如圖，已知OAOC，=OB=OD∠AOB=∠COD，．求證：△AOBCOD．【答案】證明見解析．【分析】根據(jù)全等三角形的判定定理SAS推出即可．【詳解】證明：在和△COD中，OA=OC∠AOB=∠CODOB=OD，()∴△AOB≌△CODSAS．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定定理，能熟記全等三角形的判定定理是解此題的關(guān)鍵，注意：全等三角形的判定定理有AAS,SSS，兩直角三角形全等還有,,等．鞏固訓(xùn)練12023·吉林松原BFCE在同一直線上，ACDF相交于點(diǎn)GAB⊥BE，垂足為B，DE⊥BE，垂足為E，且AB=DE，BFCE．=△△求證：ABC≌DEF．【答案】見解析【分析】根據(jù)AB⊥BE，DE⊥BE∠B=∠E，根據(jù)BFCE△=BC=FE=，結(jié)合ABDE△ABC()DEF．根據(jù)判定【詳解】證明：AB⊥BE，DE⊥BE，∴∠B=∠E，BF=CE，BF+FC=FC+CE，∴BC=FE，在ABC和DEF中，BC=FE∠=∠BE，AB=DE∴△ABC△DEFSAS)．【點(diǎn)睛】本題考查三角形全等的判定，熟記三角形全等的判定定理是解題的關(guān)鍵．2（2023春·山東濟(jì)南·BEF在一條直線上，AC∥DFAC=DF，BE=CF．求證：△ABC△DEF．【答案】見解析AC∥DF得到ACB∠=∠DFEBE=CFBC=EFAC=DFSAS即可證△ABC≌DEF．【詳解】證明：∵AC∥DF，△明∴ACB∠=∠DFE，∵BECF，=∴BEECCFEC，+=+∴BCEF，=∵ACDF，=△ABC≌DEF．SAS)△∴【點(diǎn)睛】此題考查了全等三角形的判定，根據(jù)題意找到證明全等需要的條件是解題的關(guān)鍵．題型六用ASA證明兩三角形全等2023春·廣東惠州八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，BC∥EFCF在AD上，AF=DC，∠A=∠D△△求證：ABC≌DEF．【答案】見解析【分析】首先根據(jù)平行線的性質(zhì)可得ACB∠=∠DFE，利用等式的性質(zhì)可得AC=DF，然后再利用ASA判△ABC≌DEF即可．△定【詳解】證明：∵BC∥EF，∴∠ACB=∠DFEAF=DC，，∴AF+CF=DC+CF，即ACDF，=∠A=∠DAC=DF∠ACB=∠DFE在ABC和DEF中，，△△()ABC≌DEF．∴【點(diǎn)睛】本題考查三角形全等的判定方法，判定兩個(gè)三角形全等時(shí)，必須有邊的參與，若有兩邊一角對應(yīng)相等時(shí)，角必須是兩邊的夾角．鞏固訓(xùn)練1（2023·、D、B、EAD=BE，∠A=∠EDF，∠E=∠ABC.求證：ACDF．=【答案】見解析AD=BE知AB=ED∠A=∠EDF，∠E=∠ABC“ASA”ABC≌DEF可判定據(jù)兩三角形全等對應(yīng)邊相等可得ACDF．=【詳解】證明：AD=BE，∴AD+BD=BE+BD，即AB=ED，在ABC和DEF中，∠ABC=∠EAB=ED∠A=∠EDF，∴△DEF(ASA)ABC≌△，∴AC=DF．【點(diǎn)睛】本題主要考查全等三角形的判定與性質(zhì)，掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2（浙江溫州·ABC和ECD中，∠ABC=EDC=90°B為CE中點(diǎn)，BC=CD．(1)求證：△ABC△ECD．(2)若CD=2，求AC的長．【答案】(1)見解析(2)4，見解析）根據(jù)ASA判定即可；△△()（2）根據(jù)ABC≌ECD和點(diǎn)B為CE中點(diǎn)即可求出．）證明：∵ABC∠=EDC90，=°BC=CD，∠C=∠C，△ABC≌ECD△()∴（2）解：∵CD=2，△△()ABC≌ECD，∴BCCD2，∵點(diǎn)B為CE中點(diǎn)，BE=BC=CD===AC=CE，∴2，∴CE4，=∴AC4；=【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握全等三角形的判定條件是解答本題的關(guān)鍵．題型七用AAS證明兩三角形全等2023·廣東汕頭·廣東省汕頭市聿懷初級(jí)中學(xué)?？既＃┤鐖D，點(diǎn)E在ABC邊AC上，AE=BC，BC∥AD，∠CED=∠BAD．求證：△【答案】證明見解析DAC∠=∠C∠D=∠BAC“AAS”證明ΑBCDEA．【詳解】證明：BC∥AD，∴∠DAC=∠C，∠CED=∠BAD，∠CED=∠D+∠DAC，∠BAD=∠DAC+∠BAC，∴∠D=∠BAC，在ABC和中，∠BAC=∠D∠C=∠DACBC=AE，．()【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定，平行線的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定定理是解題關(guān)鍵．鞏固訓(xùn)練12023·浙江溫州·統(tǒng)考二模）如圖，AB=BD，DE∥AB，∠C=∠E．(1)求證：ABC?BDE．(2)當(dāng)∠A=80°，∠ABE=120°時(shí)，求∠EDB的度數(shù)．【答案】(1)見解析(2)40°）根據(jù)平行線的性質(zhì)，利用三角形全等的判定定理即可證明；（2）根據(jù)三角形全等的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)即可求解）解：∵DE∥AB，∴BDE∠=∠ABC，又∵EC，BDAB，∠=∠=∴ABC?BDE．（2）解：∵∠A=80，ABC?BDE，°∴A∠=∠BDE80，=°∵ABE120，∠=°∴∠ABD=40°，∵DE∥AB，∴EDB40．∠=°【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，熟練掌握各知識(shí)點(diǎn)，利用好數(shù)形結(jié)合的思想是解本題的關(guān)鍵．22023秋·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，已知點(diǎn)C是線段AB上一點(diǎn)，∠DCE=∠A=∠B，CD=CE．(1)求證：△ACD≌△BEC；(2)求證：AB=AD+BE．【答案】(1)見解析(2)見解析）由DCE∠=∠A得∠D+∠ACD=∠ACD+∠BCE∠D=∠BCE，即，從而即可證得△ACD≌△BEC；（2）由△ACD≌△BEC可得ADBC，=AC=BEAC+BC=AD+BE，即可得到，從而即可得證．）證明：∠DCE=∠A，∴∠D+∠ACD=∠ACD+∠BCE，∴∠D=∠BCE，在ACD和BEC中，∠A=∠B∠D=∠BCECD=EC，∴△()≌△BEC；（2）解：△，∴AD=BCAC=BE，，∴AC+BC=AD+BE∴AB=AD+BE．，【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．題型八用證明兩三角形全等例題（2023·云南玉溪統(tǒng)考三模）如圖，點(diǎn)，，，F(xiàn)在一條直線上，ABDFACDEBECF，=，=，=求證：△ABC≌△DFC．【答案】見解析【分析】根據(jù)題意，運(yùn)用邊邊邊”的方法證明三角形全等．【詳解】證明：∵BECF，=∴BECECFCE，即+=+BC=EF，在ABC和△DFE中AB=DFAC=DEBC=FE∴△ABC≌△DFE．【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形全等的判定，掌握全等三角形的判定方法解題的關(guān)鍵．鞏固訓(xùn)練12023·云南·統(tǒng)考中考真題）如圖，C是BD的中點(diǎn)，ABED,ACEC．求證：△ABC≌△EDC．==【答案】見解析【分析】根據(jù)C是BD的中點(diǎn)，得到BC=CD，再利用【詳解】證明：C是BD的中點(diǎn)，SSS證明兩個(gè)三角形全等．∴BC=CD，在ABC和△EDC中，BC=CDAB=ED，AC=ECABCEDCSSS()【點(diǎn)睛】本題考查了線段中點(diǎn)，三角形全等的判定，其中對三角形判定條件的確定是解決本題的關(guān)鍵．22023春·全國七年級(jí)專題練習(xí)）如圖，已知∠E=∠F=90°，點(diǎn)，C分別在，AF上，AB=AC，BD=CD．(1)求證：△ACD；(2)求證：=．【答案】(1)見解析(2)見解析）直接根據(jù)SSS證明即可．（2）根據(jù)（1）得∠EAD=∠FAD，然后證明AFD即可．）解：證明：在△ABD和ACD中，AB=ACAD=ADBD=CD△△ACD(SSS)∴．△△ACD(SSS)（2）解：由（）知∴∠EAD=∠FAD，，△AED和△AFD中，在∠E=∠F∠EAD=∠FADAD=AD∴△AED≌△AFD(AAS)，∴．=【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，熟記全等三角形的性質(zhì)與判定是解題關(guān)鍵．題型九用HL證明兩直角三角形全等⊥A⊥，，2023·全國ABC和△DCBBACA于CDBD于DAC=BDAC與BD相交于點(diǎn)O．求證：△ABCDCB．【答案】見解析【分析】由即可證明RtABC≌RtDCB．【詳解】證明：∵BACA，CDBD，⊥⊥∴A∠=∠D=90，Rt△△DCB中，°△△在RtABC和AC=DBBC=CB，△△()∴RtABC≌RtDCBHL．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定，熟練掌握直角三角形全等的判定是解題的關(guān)鍵．鞏固訓(xùn)練12023春·廣東河源·DE在同一直線上，ACEF,ADBE,C==∠=∠F=90°．(1)求證：ABC?EDF；(2)∠ABC=57°，求∠ADF的度數(shù)．【答案】(1)見解析(2)°）先說明AB=DE，再根據(jù)HL即可證明結(jié)論；（2）由（）可知FDE∠=ABC57，再利用平角的性質(zhì)即可解答．=°）解：∵AD=BE，∴AD+BD=BE+BD，∴AB=DE，在Rt△ABC和RtEDF中，AC=EF,AB=ED,∴ABC?EDFHL)．(（2）解：∵ABCEDF?，∴FDE∠=ABC57，=°∴ADF180∠=°?∠FDE18057123．=°?°=°【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、平角的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握全等三角形的判斷與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2（2023春·、BC相交于點(diǎn)O，AB=CD，AM⊥BC于點(diǎn)M，DN⊥BC于點(diǎn)，=．(1)求證：△ABM；(2)試猜想OA與的大小關(guān)系，并說明理由．【答案】(1)見解析(2)OA=OD，理由見解析）根據(jù)可證明△ABM；（2）根據(jù)證明△△≌DNO可得結(jié)論．）證明：∵=，∴BNMNMNCM，+=+即CN=BM，∵AM⊥BC，DNBC，⊥∴AMB∠=∠DNC90，=°在RtABM和DCN中，AB=CD，BM=CN△△()∴RtABM≌RtDCNHL；（2解：OAOD，理由如下：=∵△ABM，∴AMDN，=∠AOM=∠DNO∠AMO=∠DNOAM=DN在AMO和DNO中，，△△()≌DNO，∴∴OAOD．=【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，熟練掌握全等三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．題型十三角形全等的判定與性質(zhì)∠A=∠D,∠B=∠E,AF=CD2024上浙江麗水八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，．(1)求證：△ABC△DEF；(2)若∠A=20°，∠E=75°，求∠BCF的度數(shù)．【答案】(1)見解析(2)∠BCF=95°【分析】此題主要考查了三角形全等的判定，三角形外角的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形全等的判定定理．（1）根據(jù)判定△△ABC≌DEF即可；（2）根據(jù)題意可得∠B=∠=E75，在°ABC∠BCF中根據(jù)外角的性質(zhì)即可求出．）證明：∵AFCD，=∴AFCFCDCF，?=?∴ACDF，=∴在ABC和DEF中，∠A=∠D∠B=∠EAC=DF，()∴ABCDEF．（2）解：∵∠E=75，°∴∠B=∠=E75，°∵∠A=20，°∠BCFABC是的外角，∴∠BCF=∠A+∠B=95°．鞏固訓(xùn)練1（2023上甘肅武威ABC中，D是BC邊上的一點(diǎn)，AB=DBBE平分∠ABC，交AC邊于點(diǎn)E，連接DE．(1)求證：△ABE≌△DBE；(2)若∠A=100°，∠C=50°，求的度數(shù)．【答案】(1)見解析(2)50°【分析】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)、角平分線的定義，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用全等三角形的判定和性質(zhì)解答．（BE平分∠ABCABE=DBEABE和DBE全等，從而可以得到結(jié)論成立；（2）根據(jù)三角形內(nèi)角和和角平分線的定義可以得到∠AEB的度數(shù)，進(jìn)而求解的度數(shù)．∠∠∠）證明：BE平分∠∴∠ABE=∠DBE，ABC，在ABE和DBE中，AB=DB∠ABE=∠DBEBE=BE∴DBE；（2）解：∠A=100°，C50，∠=°∴∠ABC=30°，BE平分∠ABC，1∴∠ABE=∠DBE=∠ABC=15°，2∴∠AEB=180°?∠A?∠ABE=180°?100°?15°=65°ABEDBE，，∴∠AEB=∠DEB，∴∠DEC=180°?65°?65°=50°．22024上·四川宜賓八年級(jí)統(tǒng)考期末）小明和小亮準(zhǔn)備用所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)測一池塘的長度，經(jīng)過實(shí)地測量，繪制如下圖，點(diǎn)、F、、E在直線l上（點(diǎn)CAD在直線l的異側(cè)，且AB∥DE，∠A=∠D，測得AB=DE．(1)求證：△ABC△DEF；(2)若BE=120m，BF=38m，求池塘FC的長度．【答案】(1)證明詳見解析；(2)44m．【分析】本題考查全等三角形判定及性質(zhì)，平行線的性質(zhì)等．（1）根據(jù)題意利用平行線的性質(zhì)，全等三角形判定即可得到本題答案；（2）根據(jù)題意利用第（）問結(jié)論由全等三角形性質(zhì)即可得到本題答案．）解：∵AB∥DE，∴ABC∠=∠FED，∵在ABC和DEF中，∠ABC=∠FEDAB=DE∠A=∠D，△△ABC≌DEF；∴△△（2）解：由（）可知：ABC≌DEF，∴BCEF，=∴BCFCEFFC，?=?∴BFCE，=又∵BF38m，=∴BFCE38m，=＝又∵BE120m，=∴FCBEBFCE44m，=??=∴池塘FC的長為44m．32023上·廣西來賓八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在四邊形ABCD中，CB⊥AB，CD⊥AD于點(diǎn)D，點(diǎn)F分別在AB，AD上，AE=AF，CE=CF．(1)求證：CB=CD；(2)若AE=8，CD=6，求四邊形AECF的面積；(3)猜想∠DAB，∠ECF，∠DFC三者之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想．【答案】(1)證明見解析(2)48(3)猜想∠DAB+∠ECF=2∠DFC，證明見解析【分析】本題考查的是全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形的外角的性質(zhì)，熟練的確定全等三角形是解本題的關(guān)鍵．=∠EACACD(AAS)（1AC證明ACE≌ACFFAC∠可得到結(jié)論；12==AE?CB=24，從而可得四邊形的面積；（2ACE≌ACF，可得SSACEACF（EAC∠=∠FAC，∠ACE=∠ACF∠DAB+∠ECF=2(FAC+∠ACF)角的性質(zhì)可得結(jié)論．）解：如圖，連接AC，在△ACE和△ACF中，AE=AFCE=CF，AC=AC()ACEACFSSS，∴∴FAC∠=∠EAC，∵CBAB，⊥CD⊥AD，∴∠B=∠D=90°，∵ACAC，=()∴ACD，∴CBCD，=（2）由（）得ACE≌ACF，CB=CD，∵AE8，CD6，==121SACF=SACE=AE?CB=×8×6=24，2S=SACF+SACE=24+24=48；∴四邊形AECF（3）猜想DAB∠+∠ECF=2∠DFC，證明：∵ACE≌ACF，∴EAC∠=∠FAC，∠ACE=∠ACF，∵DAB∠=∠FAC+∠EAC，∠ECF=∠ACF+∠ACE，∴DAB∠+∠ECF2FAC2ACF=∠+∠=2(∠FAC+∠ACF)，∵DFC∠=∠FAC+∠ACF，∴DAB∠+∠ECF2DFC．=∠題型十一角平分線的性質(zhì)定理23-24七年級(jí)下·寧夏銀川P是AOB平分線OC∠PD⊥OBD上一點(diǎn)，PD=5，則點(diǎn)P到邊OA的距離是．【答案】5PEOAPEPD即可得出答案．⊥=【詳解】解：過P作PEOA于點(diǎn)，⊥E∵點(diǎn)P是AOB平分線∠OCPD⊥OB上一點(diǎn)，，∴PE=PD，∵PD5，=∴PE5，=∴點(diǎn)P到邊OA的距離是．故答案為：5．鞏固訓(xùn)練1（23-24七年級(jí)下·河南周口·ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥ABAC=6，DE=3，則SACD=．【答案】9【分析】本題考查了角平分線的性質(zhì)定理，過D作DFAC于，利用角平分線的性質(zhì)定理求出DF，然⊥F后利用三角形面積公式求解即可．【詳解】解∶過D作DFAC于，⊥F∵AD平分BAC，DEAB，DE3，∠⊥=∴DFDE3，==又AC6，=1∴SACD=×6×3=9，2故答案為∶9．223-24八年級(jí)上·安徽阜陽·期中）如圖，兩兩相交的三條公路中央有一深水湖泊，要在陸地建一個(gè)加油站P到三條公路距離相等，這樣的位置有【答案】三【分析】此題考查了三角形角平分線的性質(zhì)，分別作ABC外角的角平分線，交點(diǎn)分別為、P、P，即為123所求的點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形角平分線的性質(zhì)及其應(yīng)用．【詳解】解：如圖所示，、P、P，即為所求的點(diǎn)，123故答案為：三．323-24八年級(jí)下陜西西安·期末）如圖，ABC中，∠ABC和∠ACB的平分線交于點(diǎn)D，DE⊥BC于點(diǎn)E，已知DE=1，ABC的面積是5ABC周長是．【答案】10【分析】本題主要考查角平分線的性質(zhì)，掌握角平分線上的點(diǎn)到兩邊的距離相等以及面積的計(jì)算方法是解=DGDE=ABCS++=即可解答．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)D作DF⊥AB于點(diǎn)F，DGAC于點(diǎn)，連接AD．⊥GBD∠ABCDE⊥BC，DF⊥AB，，平分∴DF=DE=1．CD平分∠ACB，DE⊥BC，DG⊥AC，∴DG=DE=1．++=，1211∴?+?+?=5，221211即×1+×1+×1=5，221∴(ABBCAC)=5++2∴AB+BC+AC=10，即ABC的周長為10，故答案為：10．題型十二角平分線的判定定理23-24七年級(jí)下·湖南衡陽期末）如圖，E是中點(diǎn)，BE平分ABC．∠(1)若∠A=∠D=90°，求證：CE平分∠DCB．(2)若⊥，求證：AB+CD=BC．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】本題主要考查三角形全等的判定與性質(zhì)，靈活做輔助線是解題的關(guān)鍵．（1）過點(diǎn)E作EH⊥BC，垂足為H，根據(jù)角平分線性質(zhì)可得EA=ED=EH，再由角平分線判定即可得出結(jié)論；（2BC上截取BF=BA，連接EF．先證明△BAE≌△BFE可得EF=AE，再證CEF可得CD=CF即可證明結(jié)論．）證明：過點(diǎn)E作EH⊥BC，垂足為H，∵BE平分ABC，∠∠A=90°，∴EA=EH，又∵E是AB中點(diǎn)，即EA=ED，∴EH=ED，∵∠A=∠D=90，EH⊥BC°，∴：CE平分DCB．∠（2）解：如圖：在BC上截取BF=BA，連接EF．BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠FBE．在BAE和△BFE中，AB=BF∠ABE=∠FBEBE=BE，BFE()∴EF