模型21 勾股定理-直角三角形銳角平分線模型-解析版

勾股定理模型（二十一）——直角三角形銳角平分線模型◎結(jié)論：如圖，Rt△ABC，∠ACB=90°，AC＝6，BC＝8，AP是∠CAB的角平分線，求PC的長解：如圖，在Rt△ABC中，由勾股定理可知AB＝10，過P作PD⊥AB于D，可知△ACP與△ADP全等，得AC＝AD＝6，DB＝AB－AD＝4，在直角三角形PBD中，，設PC＝X,則PD＝X，PB＝8-X，由勾股定理得X＝3，所以PC＝4.角平分線的性質(zhì)：1.由角平分線可以得兩個相等的角。2.角平分線上的點到角兩邊的距離相等。3.三角形的三條角平分線交于一點，稱作三角形的內(nèi)心。三角形的內(nèi)心到三角形三邊的距離相等。4.三角形一個角的平分線分對邊所成的兩條線段與這個角的兩鄰邊對應成比例。1．（2021·河南·南陽市第九中學校八年級階段練習）如圖，中，，平分，把沿折疊使C點落在處，若，，求的長．【答案】【分析】利用勾股定理列式求出，根據(jù)翻折變換的性質(zhì)可得，，然后求出，設，表示出，然后利用勾股定理列方程求解即可求出．【詳解】解：∵，，，∴，由翻折變換的性質(zhì)得，，，∴，設，則，，在中，由勾股定理得，，即，解得，即，∴．【點睛】本題考查了翻折變換的性質(zhì)，勾股定理，此類題目熟記性質(zhì)并利用勾股定理列出方程是解題的關鍵．2．（2022·山東·寧津縣第四實驗中學八年級期中）如圖，折疊長方形紙片的一邊，使點落在邊的處，是折痕．已知，，求的長．【答案】【分析】根據(jù)矩形和折疊的性質(zhì)可知，，．由勾股定理可求出，從而可求出．設，則，在中，利用勾股定理可列出關于x的等式，解出x，即可求出結(jié)果．【詳解】解：四邊形為長方形，，，．又是由折疊得到，，，．在中，，．設，則，在中，，即，解得，即．【點睛】本題考查矩形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，勾股定理．利用數(shù)形結(jié)合的思想是解題關鍵．3．（2022·湖南湘潭·八年級期末）如圖，長方形，是一張放在平面直角坐標系中的長方形紙片，為原點，點在軸上，點在軸上，，在AB上取一點M使得△CBM沿CM翻折后，點B落在x軸上，記作B′點，(1)點的坐標；(2)求折痕所在直線的表達式；(3)求折痕上是否存在一點，使最小？若存在，請求出最小值，若不存在，請說出理由．【答案】(1)（8，0）；(2)(3)存在，最小值是【分析】（1）在Rt△OC中，求出O即可得答案；（2）在Rt△中，求出AM可得M坐標，從而可以求CM所在直線的解析式；（3）連接OB，OB與CM交點即為所求點P，連接PB'，根據(jù)△CBM沿CM翻折后，點B落在B'點，知PO+，，用股股定理即可求出的最小值為．（1）解：∵四邊形OABC是長方形，OA＝10，∴BC＝OA＝10，∵△CBM沿CM翻折，∴＝BC＝10，在Rt△B′OC中，B′C＝10，OC＝6，∴O＝，∴（8，0），故答案為：（8，0）；（2）解：設AM＝x，則BM＝AB﹣AM＝6﹣x，∵OA＝10，B′O＝8，∴A＝2，∵△CBM沿CM翻折，∴M＝BM＝6﹣x，在Rt△AM中，，∴，解得x＝，∴M（10，），設CM所在直線的解析式為y＝kx+b，將C（0，6）、M（10，）代入得：，解得k＝﹣，b＝6，∴CM所在直線的解析式為y＝﹣x+6；（3）解：折痕CM上存在一點P，使PO+PB'最小，連接OB，OB與CM交點即為所求點P，連接PB'，如下圖，∵△CBM沿CM翻折后，點B落在B'點，∴PB=PB'，∴PO+，當O、P、B共線時，PO+PB'最小，∵，∴PO+PB'的最小值為．【點睛】本題考查一次函數(shù)的綜合應用，涉及待定系數(shù)法、長方形中的折疊、最短距離等知識，掌握折疊的性質(zhì)以及熟練運用勾股定理是解題的關鍵．1．（2022·北京·首都師大二附八年級期中）如圖，在中，，現(xiàn)將它折疊，使點與重合，求折痕的長．【答案】【分析】由折疊的性質(zhì)，可得：，BD=CD，由勾股定理可求得AB=4，在Rt△DAC中，由勾股定理建立方程可求得CD，再由勾股定理即可求得DE的長．【詳解】解：由折疊的性質(zhì)可得：，BD=CD，，∵，∴，∴AD=AB－BD=4－CD；在Rt△DAC中，由勾股定理得：，解得：，在Rt△DEC中，由勾股定理得：．答：折痕的長為．【點睛】此題考查了折疊的性質(zhì)、勾股定理．注意掌握折疊前后圖形的對應關系，關鍵是通過勾股定理建立方程求得CD的長．2．（2022·山東省平邑賽博中學八年級期中）在中，，，，，分別是和上的點，把沿著直線折疊，頂點的對應點是點．(1)如圖1，如果點恰好與頂點重合，求的長；(2)如圖2，如果點恰好落在直角邊的中點上，求的長．【答案】(1)；(2)．【分析】（1）利用勾股定理求出AB的長，再利用翻折得到AE=BE，在中利用勾股定理即可求出的長；（2）點是直角邊的中點，可以得到的長度，再利用翻折得到=BE，在中利用勾股定理即可求出的長．（1）解：在中，，，∴根據(jù)折疊的性質(zhì)，∴∴AE=BE設為x，則：AE=BE=8-x在中：解得：x=即的長為：．（2）解：∵點是直角邊的中點∴=根據(jù)折疊的性質(zhì)，∴∴=BE設為x，則：=BE=8-x在中：解得：x=即的長為：．【點睛】本題考查勾股定理以及圖形的變換中的折疊問題．在折疊過程中，對應角和對應邊相等是解題的關鍵；在直角三角形中，知道一條邊長以及另外兩條邊的關系時，通常采用方程思想來解題．3．（2022·湖北·來鳳縣實驗中學八年級期中）如圖，為矩形紙片的邊上一點，將紙片沿向上折疊，使點落在邊上的點處．若，，求的長．【答案】【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)可以得到EF＝BE，AF＝AB＝10，根據(jù)勾股定理可得DF＝8，求得CF＝2，再在Rt△CEF中，根據(jù)勾股定理建立方程即可求解．【詳解】解：∵將矩形ABCD沿AE向上折疊，使點B落在DC邊上的F點處，AB＝10，∴EF＝BE，AF＝AB＝10，在矩形ABCD中，CD＝AB＝10，BC＝AD＝6，∠D＝∠C＝90°，∴在Rt△ADF中，DF＝，∴CF＝2，在Rt△CEF中，，∵EF＝BE＝6－CE，∴，解得：．【點睛】本題考查的是矩形的性質(zhì)，勾股定理，翻折變換，熟知折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應邊和對應角相等是解答此題的關鍵．4．（2022·河南·延津縣清華園學校八年級階段練習）如圖，在長方形紙片ABCD中，AB=3，AD=9，將其折疊，使點D與點B重合，折痕為EF，(1)求證：BE=BF；(2)求BE的長．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)以及折疊的性質(zhì)可得，根據(jù)等角對等邊即可得出結(jié)論；（2）在Rt△BAE中，，根據(jù)勾股定理列出方程，解方程即可求解．（1）在長方形ABCD中，，∴，由折疊可知，，∴，∴；（2）在長方形ABCD中，，由折疊知，設，那么，在Rt△BAE中，，即．解得，即，∴．【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，等角對等邊，勾股定理，掌握以上知識是解題的關鍵．1．（2022·浙江麗水·中考真題）如圖，將矩形紙片折疊，使點B與點D重合，點A落在點P處，折痕為．(1)求證：；(2)若，求的長．【答案】(1)證明見解析(2)cm【分析】（1）利用ASA證明即可；（2）過點E作EG⊥BC交于點G，求出FG的長，設AE=xcm，用x表示出DE的長，在Rt△PED中，由勾股定理求得答案．（1）∵四邊形ABCD是矩形，∴AB=CD，∠A=∠B=∠ADC=∠C=90°，由折疊知，AB=PD，∠A=∠P，∠B=∠PDF=90°，∴PD=CD，∠P=∠C，∠PDF=∠ADC，∴∠PDF-∠EDF=∠ADC-∠EDF,∴∠PDE=∠CDF，在△PDE和△CDF中，,∴（ASA）；（2）如圖，過點E作EG⊥BC交于點G，∵四邊形ABCD是矩形,∴AB=CD=EG=4cm，又∵EF=5cm，∴cm,設AE=xcm，∴EP=xcm，由知，EP=CF=xcm，∴DE=GC=GF+FC=3+x，在Rt△PED中，,即，解得，，∴BC=BG+GC=(cm）．【點睛】本題考查了翻折變換，矩形的性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，根據(jù)翻折變換的性質(zhì)將問題轉(zhuǎn)化到直角三角形中利用勾股定理是解題的關鍵．2．（2015·湖南湘潭·中考真題）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，△ACD沿AD折疊，使得點C落在斜邊AB上的點E處．（1）求證：△BDE∽△BAC；（2）已知AC=6，BC=8，求線段AD的長度．【答案】（1）證明見試題解析；（2）．【分析】（1）由折疊的性質(zhì)可知∠C=∠AED=90°，因為∠DEB=∠C，∠B=∠B證明三角形相似即可；（2）由折疊的性質(zhì)知CD=DE，AC=AE．在Rt△BDE中運用勾股定理求DE，進而得出AD即可．【詳解】（1）∵∠C=90°，△ACD沿AD折疊，∴∠C=∠AED=90°，∴∠D