模型37 圓-定弦定角模型-解析版

圓模型（三十七）——定弦定角模型定弦定角：線段定，角度大小定知識(shí)點(diǎn)一:解題步驟：尋找張角根據(jù)張角動(dòng)線段、確定隱形圓定角是圓周角，找圓心，定半徑◎結(jié)論1：解題步驟：尋找張角根據(jù)張角動(dòng)線段、確定隱形圓定角是圓周角，找圓心，定半徑◎結(jié)論2：90°，如圖AB定長(zhǎng)，P動(dòng)點(diǎn)，保持∠APB＝90o，則點(diǎn)P在以AB為直徑的圓弧上運(yùn)動(dòng)（不包含A、B兩點(diǎn)）知識(shí)點(diǎn)二：30o、150o◎結(jié)論3：如圖，AB定長(zhǎng)，P動(dòng)點(diǎn)，保持∠APB＝30o（或∠APB＝150o），則點(diǎn)P在以AB為邊構(gòu)造的等邊△ABC（或△ABC′）的頂點(diǎn)C（或C′）為圓心的圓弧上運(yùn)動(dòng)（不包含A、B兩點(diǎn)）P在圓上運(yùn)動(dòng)1.30°圓周角＝P在圓上運(yùn)動(dòng)1.30°圓周角＝60°圓心角，即∠AO1B＝60°。以AB作等邊三角形O1AB，以O(shè)1為圓心，OA為半徑畫圓，∠APB＝30°.等邊三角形AO2B也可向下作∠AP0B＝30°。點(diǎn)P在弧APB和弧AP0B（除端點(diǎn)）上運(yùn)動(dòng)。當(dāng)動(dòng)點(diǎn)處的角度為150°時(shí)，方法同上知識(shí)點(diǎn)三：45o、135o◎結(jié)論4：如圖，AB定長(zhǎng)，P動(dòng)點(diǎn)，保持∠APB＝45o（或∠APB＝135o），則點(diǎn)P在以AB為底，AB為腰構(gòu)造的等腰直角三角形△ABC（或△ABC′）的頂點(diǎn)C（或C′）為圓心的圓弧上運(yùn)動(dòng)（不包含A、B兩點(diǎn)）P在圓上運(yùn)動(dòng)1.45°圓周角＝P在圓上運(yùn)動(dòng)1.45°圓周角＝90°圓心角。2.以AB為斜邊作Rt△O1AB，O1A＝O1B,以O(shè)1為圓心，O1A為半徑畫圓，∠APB＝45°3.等腰直角三角形AO2B也可向下作∠AP0B＝45°點(diǎn)P在弧APB和弧AP0B（除端點(diǎn)）上運(yùn)動(dòng)。當(dāng)動(dòng)點(diǎn)處的角度為135°時(shí)，方法同上知識(shí)點(diǎn)四60o、120o◎結(jié)論5：如圖，AB定長(zhǎng)，P動(dòng)點(diǎn)，保持∠APB＝60o（或∠APB＝120o），則點(diǎn)P在以AB為底，AB為腰構(gòu)造的等腰直角三角形△ABC（或△ABC′）的頂點(diǎn)C（或C′）為圓心的圓弧上運(yùn)動(dòng)（不包含A、B兩點(diǎn)）P在圓上運(yùn)動(dòng)1.60°圓周角＝P在圓上運(yùn)動(dòng)1.60°圓周角＝120°圓心角.2以AB作等腰三角形的底邊AO1B，O1A＝O1B,∠AO1B＝120°以O(shè)1為圓心AO1為半徑作圓，∠APB＝60°.3.等腰直角三角形AO2B也可向下作∠AP0B＝60°點(diǎn)P在弧APB和弧AP0B（除端點(diǎn)）上運(yùn)動(dòng)。當(dāng)動(dòng)點(diǎn)處的角度為120°時(shí)，方法同上1．（2021·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，點(diǎn)在半圓上，半徑，，點(diǎn)在弧上移動(dòng)，連接，作，垂足為，連接，點(diǎn)在移動(dòng)的過程中，的最小值是______．【答案】【分析】先確定點(diǎn)H的運(yùn)動(dòng)軌跡，再根據(jù)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系可得取最小值時(shí)，點(diǎn)H的位置，然后利用圓周角定理、線段的和差即可得．【詳解】如圖，設(shè)AD的中點(diǎn)為點(diǎn)E，則由題意得，點(diǎn)H的運(yùn)動(dòng)軌跡在以點(diǎn)E為圓心，EA為半徑的圓上由點(diǎn)與圓的位置關(guān)系得：連接BE，與圓E交于點(diǎn)H，則此時(shí)取得最小值，連接BDAB為半圓O的直徑故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理、點(diǎn)與圓的位置關(guān)系、勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，依據(jù)題意，確定點(diǎn)H的運(yùn)動(dòng)軌跡，從而得出BH取最小值時(shí)，點(diǎn)H的位置是解題關(guān)鍵．2．（2021·四川·成都嘉祥外國語學(xué)校九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，在中，，，，過點(diǎn)作的平行線，為直線上一動(dòng)點(diǎn)，為的外接圓，直線交于點(diǎn)，則的最小值為__________．【答案】2【分析】如圖，連接CE．首先證明∠BEC=120°，根據(jù)定弦定角，可得點(diǎn)E在以M為圓心，MB為半徑的上運(yùn)動(dòng)，連接MA交于E′，此時(shí)AE′的值最?。驹斀狻拷猓喝鐖D，連接CE．∵AP∥BC，∴∠PAC=∠ACB=60°，∴∠CEP=∠CAP=60°，∴∠BEC=120°，,為定值，則點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)軌跡為一段圓弧如圖，點(diǎn)E在以M為圓心，MB為半徑的上運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)作∴中優(yōu)弧度數(shù)為=240°，則劣弧度數(shù)為120°∴△BMC是等腰三角形，∠BMC=120°，∵∠BCM=30°，BC=，∴MB=MC=8，∴連接MA交于E′，此時(shí)AE′的值最?。摺螦CB=60°，∠BCO=30°，∴∠ACM=90°，∴MA==，∴AE的最小值為=．故答案為：2【點(diǎn)睛】本題考查三角形的外接圓與外心、平行線的性質(zhì)、圓周角定理、勾股定理，點(diǎn)與圓的位置關(guān)系等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是添加常用輔助線，構(gòu)造輔助圓解決問題．1．（2022·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）我們把一個(gè)半圓與拋物線的一部分合成的封閉圖形稱為“蛋圓”．如圖所示，點(diǎn)、、、分別是“蛋圓”與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，已知點(diǎn)的坐標(biāo)為，為半圓的直徑，半圓圓心的坐標(biāo)為，半圓半徑為．（1）求“蛋圓”拋物線部分的解析式及“蛋圓”的弦的長(zhǎng)；（2）已知點(diǎn)是“蛋圓”上的一點(diǎn)（不與點(diǎn)，點(diǎn)重合），點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)是點(diǎn)，若點(diǎn)也在“蛋圓”上，求點(diǎn)坐標(biāo)；（3）點(diǎn)是“蛋圓”外一點(diǎn)，滿足，當(dāng)最大時(shí)，直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】（1）“蛋圓”拋物線部分的解析式為，CD的長(zhǎng)；（2）E1(，1)，E2(，1)，E3(，?1)，E4(，?1)；（3）點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，）．【分析】（1）求出點(diǎn)A，B的坐標(biāo)，運(yùn)用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式；將x=0代入拋物線的解析式得y=-3，故此可得到DO的長(zhǎng)，可得到AB的長(zhǎng)，由M為圓心可得到MC和OM的長(zhǎng)，然后依據(jù)勾股定理可求得OC的長(zhǎng)，最后依據(jù)CD=OC+OD求解即可．（2）假設(shè)點(diǎn)E在x軸上方的“蛋圓”上，EF與x軸交于點(diǎn)H，連接EM．由HM2+EH2=EM2，點(diǎn)F在二次函數(shù)y=x2-2x-3的圖象上，可得方程組，以及對(duì)稱性求解；（3）根據(jù)∠BPC=60°保持不變，點(diǎn)P在一圓弧上運(yùn)動(dòng)和直徑是最大的弦進(jìn)行解答即可．【詳解】解：（1）∵圓心的坐標(biāo)為，半圓半徑為2．∴A（-1，0），B（3，0）設(shè)“蛋圓”拋物線部分的解析式為把A（-1，0），B（3，0），D（0，-3）代入解析式得，解得，∴“蛋圓”拋物線部分的解析式為連接AC，BC，MC∵點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，-3），∴OD的長(zhǎng)為3．∵A（-1，0），B（3，0）．∴AO=1，BO=3，AB=4，∵M(jìn)（1，0）．∴MC=2，OM=1．在Rt△COM中，OC=．∴CD=CO+OD=，即這個(gè)“蛋圓”被y軸截得的線段CD的長(zhǎng)．（2）假設(shè)點(diǎn)E在x軸上方的“蛋圓”上，設(shè)E（m，n），則點(diǎn)F的坐標(biāo)為（m，-n）．EF與x軸交于點(diǎn)H，連接EM．∴HM2+EH2=EM2，∴（m-1）2+n2=4，…①；∵點(diǎn)F在二次函數(shù)y=x2-2x-3的圖象上，∴m2-2m-3=-n，…②解由①②組成的方程組得：；．（n=0舍去）由對(duì)稱性可得：；．∴E1(，1)，E2(，1)，E3(，?1)，E4(，?1)．（3）如圖，∵∠BPC=60°保持不變，因此點(diǎn)P在一圓弧上運(yùn)動(dòng)．此圓是以K為圓心（K在BC的垂直平分線上，且∠BKC=120°），BK為半徑．當(dāng)BP為直徑時(shí)，BP最大．在中，∴，∴∴∵∴在中，∴∴在Rt△PCR中，∴∴∴∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，）．【點(diǎn)睛】本題考查的是圓與二次函數(shù)知識(shí)的綜合運(yùn)用，正確理解“蛋圓”的概念、掌握?qǐng)A周角定理、二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)、靈活運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想是解題的關(guān)鍵，解答時(shí)，注意輔助線的作法要正確．1．（2021·遼寧鞍山·中考真題）如圖，拋物線交x軸于點(diǎn)，，D是拋物線的頂點(diǎn)，P是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為，交直線l：于點(diǎn)E，AP交DE于點(diǎn)F，交y軸于點(diǎn)Q．（1）求拋物線的表達(dá)式；（2）設(shè)的面積為，的面積為，當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）連接BQ，點(diǎn)M在拋物線的對(duì)稱軸上（位于第一象限內(nèi)），且，在點(diǎn)P從點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C的過程中，點(diǎn)M也隨之運(yùn)動(dòng)，直接寫出點(diǎn)M的縱坐標(biāo)t的取值范圍．【答案】（1）；（2）；（3）．【分析】（1）運(yùn)用待定系數(shù)法將，代入，即可求得答案；（2）利用配方法可求得拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)，由得，再根據(jù)與的面積相等，可得，故點(diǎn)F分別是AP、ED的中點(diǎn)，設(shè)，，結(jié)合中點(diǎn)坐標(biāo)公式建立方程求解即可；（3）根據(jù)題意，分別求出t的最大值和最小值：①當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)B重合時(shí)，點(diǎn)Q與點(diǎn)O重合，此時(shí)t的值最大，如圖2，以O(shè)B為斜邊在第一象限內(nèi)作等腰直角，以為圓心，為半徑作，交拋物線對(duì)稱軸于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)H，運(yùn)用勾股定理即可求得答案，②當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)C重合時(shí)，點(diǎn)Q與點(diǎn)C重合，此時(shí)t的值最小，如圖3，連接BC，以O(shè)為圓心，OB為半徑作交拋物線對(duì)稱軸于點(diǎn)M，連接OM，設(shè)拋物線對(duì)稱軸交x軸于點(diǎn)E，運(yùn)用勾股定理即可求得答案．【詳解】解：（1）拋物線交x軸于點(diǎn)，，將A、B坐標(biāo)分別代入拋物線解析式得：，解得：，拋物線的表達(dá)式為：；（2）如圖，D是拋物線的頂點(diǎn)，拋物線的表達(dá)式為：，，交直線l：于點(diǎn)E，P是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為，，設(shè)，，又的面積為，的面積為，，，，，即點(diǎn)F分別是AP、ED的中點(diǎn)，又，，，，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得：，解得：（與“”不符，應(yīng)舍去），，，，；（3）①當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)B重合時(shí)，點(diǎn)Q與點(diǎn)O重合，此時(shí)t的值最大，如圖2，以O(shè)B為斜邊在第一象限內(nèi)作等腰直角，則