2022屆浙江省寧波十校高三下學(xué)期3月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題解析版

2022屆浙江省寧波“十?！备呷聦W(xué)期3月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、單選題1．己知，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】求得集合，根據(jù)集合交集的運(yùn)算，即可求解.【詳解】由題意，集合且，根據(jù)集合交集的運(yùn)算，可得.故選：A.2．已知實(shí)數(shù)滿足約束條件，則的最大值為（

）A． B． C． D．不存在【答案】C【分析】由滿足約束條件，畫(huà)出可行域,平移直線，由直線在y軸上的截距最小求解.【詳解】由滿足約束條件，畫(huà)出可行域如圖所示：由轉(zhuǎn)化為，平移直線，當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A時(shí)，直線在y軸上的截距最小，此時(shí)，目標(biāo)函數(shù)取得最大值，最大值為，故選：C3．設(shè)i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z滿足，則為（

）A． B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則可得，即得.【詳解】∵，∴，∴.故選：B.4．已知為兩個(gè)不同的平面，為兩條不同的直線，且平面平面，則是的（

）A．充要條件 B．充分不必要條件 C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件【答案】D【分析】利用充分條件和必要條件的定義判斷.【詳解】如圖所示：滿足，而相交，故不充分；滿足則，但異面，故不必要，故選：D5．函數(shù)（且）的圖象如圖所示，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用排除法，取特殊點(diǎn)的函數(shù)值及當(dāng)時(shí)，的圖象的變化進(jìn)行分析【詳解】因?yàn)椋蓤D得，所以，所以排除AB，因?yàn)橛蓤D象可知當(dāng)時(shí)，，所以，所以排除C，故選：D6．中國(guó)代表團(tuán)在2022年北京冬奧會(huì)獲得九枚金牌，其中雪上項(xiàng)目金牌為5枚，冰上項(xiàng)目金牌為4枚.現(xiàn)有6名同學(xué)要報(bào)名參加冰雪興趣小組，要求雪上項(xiàng)目和冰上項(xiàng)目都至少有2人參加，則不同的報(bào)名方案有（

）A．35 B．50 C．70 D．100【答案】B【分析】根據(jù)要求雪上項(xiàng)目和冰上項(xiàng)目都至少有2人參加，可將6名同學(xué)分為和兩類(lèi)，通過(guò)分步乘法計(jì)數(shù)原理，分別求出每一類(lèi)組合有多少種，再由分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理可得答案.【詳解】由題干可知，要求雪上項(xiàng)目和冰上項(xiàng)目都至少有2人參加，則組合為：和兩類(lèi)，（1）若為“”組合，將6名同學(xué)分為兩組，一組2人，另一組4人，有種分組方式；將分好的2組在雪上項(xiàng)目和冰上項(xiàng)目進(jìn)行全排列有種，由分步乘法計(jì)數(shù)原理，則該組合有種；（2）若為“”組合將6名同學(xué)分為兩組，一組3人，另一組也為3人，有種分組方式，將分好的2組在雪上項(xiàng)目和冰上項(xiàng)目進(jìn)行全排列有種，由分步乘法計(jì)數(shù)原理，則該組合有種；由分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理，則不同的報(bào)名方式有種；故選：B.7．將函數(shù)的圖象分別向左、向右各平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，所得的兩個(gè)圖象對(duì)稱(chēng)中心重合，則的最小值為（

）A． B．2 C．3 D．6【答案】A【分析】根據(jù)三角函數(shù)的圖象變換求得和，根據(jù)函數(shù)與的對(duì)稱(chēng)中心重合，得到，即可求解.【詳解】解：將函數(shù)的圖象分別向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，可得將函數(shù)的圖象分別向右各平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，可得，因?yàn)楹瘮?shù)與的對(duì)稱(chēng)中心重合，所以，即，解得，所以的最小值為.故選：A.8．已知牌堆中有5張撲克牌，其中2張“2”和3張“3”，從牌堆中任取兩張撲克牌（無(wú)放回且每張牌取到的機(jī)會(huì)相等），規(guī)定：（a）取出“2”得2分，取出“3”得3分，取出2張牌所得分?jǐn)?shù)和記為隨機(jī)變量（b）取出“2”得3分，取出“3”得2分，取出2張牌所得分?jǐn)?shù)和記為隨機(jī)變量則（

）A．， B．，C．， D．，【答案】C【分析】先寫(xiě)出，，再求出每種得分對(duì)應(yīng)的概率值，根據(jù)期望和方差公式計(jì)算即可求解【詳解】可將抽牌結(jié)果分為三種情況：兩張“2”，一張“2”和一張“3”，兩張“3”取出兩張“2”的概率為：；取出一張“2”，一張“3”的概率為：；取出兩張“3”的概率為：按（a）種規(guī)定的得分共有：4分，5分，6分三種情況，即；按（b）種規(guī)定的得分共有：6分，5分，4分三種情況，即；列出隨機(jī)變量與的分布列，如下表：456456則，故，故選：C【點(diǎn)睛】本題考查離散型隨機(jī)變量的期望與方差的求值，屬于中檔題9．已知點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程，則點(diǎn)P一定在（

）上.A．直線 B．拋物線 C．橢圓 D．雙曲線【答案】B【分析】由，可得，令，則函數(shù)為增函數(shù)且是奇函數(shù)，則有，即可得，即可得出答案.【詳解】解：因?yàn)椋?，即，令，因?yàn)楹瘮?shù)和都是增函數(shù)，所以函數(shù)是增函數(shù)，因?yàn)?，所以函?shù)為奇函數(shù)，則，因?yàn)椋裕裕?，所以點(diǎn)P一定在拋物線上，故選：B.10．已知數(shù)列滿足，記表示數(shù)列的前n項(xiàng)乘積.則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先用數(shù)學(xué)歸納法證明.構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)證明出.記，證明出得到，即，用累加法得：，即可求出.記，證明出.得到，求出，即可得到.【詳解】因?yàn)?，所?下面用數(shù)學(xué)歸納法證明.當(dāng)n=1時(shí)，符合.假設(shè)時(shí)，結(jié)論成立，即.當(dāng)時(shí)，，所以顯然成立；因?yàn)椋?，所以，即，所以結(jié)論成立.綜上所述：對(duì)任意的均成立.記函數(shù)..因?yàn)?，所以（x=1取等號(hào)），所以在單調(diào)遞增，所以，即，所以，即，所以數(shù)列為單調(diào)遞增函數(shù)，所以.記，則（x=1取等號(hào)），所以在上單調(diào)遞增，所以，即.所以，所以，所以，累加得：.因?yàn)?，所以，即，所以，所以，?記，則，所以在上單調(diào)遞減，所以，即.所以，所以，所以，所以，因?yàn)?，所以，所以?綜上所述：.故選：C【點(diǎn)睛】（1）數(shù)學(xué)歸納法可以用來(lái)證明與自然數(shù)n有關(guān)的問(wèn)題；（2）利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，常用的思路層次有三個(gè):其一直接構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)證明；其二直接做差構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)證明；其三先做適當(dāng)?shù)淖儞Q后再做差構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)證明.二、填空題11．在中，點(diǎn)O、點(diǎn)H分別為的外心和垂心，，則________.【答案】8【分析】根據(jù)H為垂心，得到，設(shè)，外接圓的半徑為，再分別利用余弦定理得到，然后由求解.【詳解】解：，，因?yàn)镠為垂心，所以，，設(shè)，外接圓的半徑為，由余弦定理得，，，同理，，，所以，，，，，，所以8，故答案為：812．不等式的解集非空，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)_______.【答案】【分析】根據(jù)題意，結(jié)合絕對(duì)值的定義，分類(lèi)討論去掉絕對(duì)值號(hào)，轉(zhuǎn)化為的不等式，即可求解.【詳解】由題意當(dāng)即時(shí)，時(shí)取得最小值，此時(shí)所以，所以當(dāng)即時(shí)，時(shí)取得最小值，此時(shí)所以，所以當(dāng)即時(shí)，時(shí)取得最小值，此時(shí)所以，所以所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.故答案為：.13．已知函數(shù)滿足，且方程有2個(gè)實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為_(kāi)_______.【答案】【分析】先對(duì)分類(lèi)討論，作出函數(shù)的圖象，等價(jià)于函數(shù)與直線有兩個(gè)交點(diǎn)，再通過(guò)數(shù)形結(jié)合分析求解.【詳解】解：當(dāng)時(shí)，，它表示橢圓在第一象限且包含端點(diǎn)的曲線；當(dāng)時(shí)，，它表示雙曲線在第二象限且包含端點(diǎn)的曲線；當(dāng)時(shí)，，不表示任何曲線；當(dāng)時(shí)，，它表示雙曲線在第四象限且包含端點(diǎn)的曲線.如圖所示，因?yàn)?，所以，所以函?shù)與直線有兩個(gè)交點(diǎn).函數(shù)在第二象限和第四象限的漸近線為.直線和函數(shù)有三個(gè)交點(diǎn).當(dāng)直線和函數(shù)第一象限的圖象相切時(shí)，聯(lián)立得，所以.所以實(shí)數(shù)m的取值范圍為.故答案為：三、雙空題14．某幾何體的三視圖如圖所示（單位：），則該幾何體的表面積是________，體積是______.【答案】

【分析】由幾何體的三視圖得到該幾何體的直觀圖是三棱錐，從而利用三棱錐的表面積和體積公式即可求解.【詳解】由幾何體的三視圖得到該幾何體的直觀圖如圖所示，其中，，所以該幾何體的表面積，體積.故答案為：，15．已知，則________.已知，則b的取值范圍是_______.【答案】

或4

【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則和對(duì)數(shù)的換底公式，列出方程，即可求解.【詳解】由，可得，即，解得或，所以或.又由，可得，解得.故答案為：或；.16．已知的展開(kāi)式的第3項(xiàng)與第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，則_______；此時(shí)，展開(kāi)式中的系數(shù)為_(kāi)______.【答案】

【分析】根據(jù)題意，結(jié)合二項(xiàng)展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)列出方程，求得的值，再結(jié)合二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)，即可求解.【詳解】由的展開(kāi)式的第3項(xiàng)與第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，可得，解得；又由展開(kāi)式中的系數(shù)為.故答案為：；.17．在中，角所對(duì)的邊分別為，為的外接圓半徑，則______，_______.【答案】

【分析】利用正弦定理化角為邊結(jié)合余弦定理即可求得，再利用正弦定理即可求得外接圓半徑.【詳解】解：因?yàn)?，所以，即，所以，又因，所以，所以，所?故答案為：；.四、解答題18．己知.(1)求的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；(2)已知，求在上的值域.【答案】(1)，(2)【分析】（1）化簡(jiǎn)函數(shù)，結(jié)合三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，即可求解；（2）求得向量，得到，根據(jù)，得到，進(jìn)而求得函數(shù)的最值，即可得到函數(shù)的值域.【詳解】(1)解：由所以函數(shù)最小正周期，令，解得，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為.(2)解：由題意，向量，可得，因?yàn)椋傻?，?dāng)時(shí)，即時(shí)，函數(shù)取得最大值，最大值為；當(dāng)時(shí)，即時(shí)，函數(shù)取得最小值，最小值為；所以函數(shù)在上的值域?yàn)?19．如圖，在直四棱柱中，底面為菱形，.(1)點(diǎn)P為直線上的動(dòng)點(diǎn)，求證：；(2)點(diǎn)P為直線上的動(dòng)點(diǎn)，求直線與平面所成角正弦值的最大值.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）通過(guò)線面垂直的性質(zhì)定理證明線線垂直；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，求出點(diǎn)P坐標(biāo)，進(jìn)而求出平面法向量和，設(shè)與平面所成角為，則求出，令，，通過(guò)二次函數(shù)求最值，即可求出直線與平面所成角正弦值的最大值.【詳解】(1)證明：連接交于點(diǎn)O，由題意知平面，又因?yàn)槠矫?，所以，因?yàn)榈酌鏋榱庑危?，又因?yàn)椋云矫?，又因?yàn)槠矫妫?(2)以為x軸，為y軸，過(guò)O且垂直平面向上方向?yàn)閦軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則，，因?yàn)辄c(diǎn)P為直線上的動(dòng)點(diǎn)，所以可設(shè)，所以，即點(diǎn)P坐標(biāo)為.，設(shè)平面法向量為，則，取.……分，設(shè)與平面所成角為，則，設(shè)，則，令，，則所以直線與平面所成角正弦值的最大值為.20．己知數(shù)列滿足，且.(1)求出的值，猜想數(shù)列的通項(xiàng)公式，并給出證明；(2)設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.【答案】(1)，，證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）根據(jù)數(shù)列的遞推公式，求出，猜想出數(shù)列的通項(xiàng)公式，再用數(shù)學(xué)歸納法證明即可求解.（2）由（1）知，利用等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式得出數(shù)列的前n項(xiàng)和為，進(jìn)而可以求出，再利用分組求和法和裂項(xiàng)相消法求出數(shù)列的前n項(xiàng)和即可.【詳解】(1)，猜想.下用數(shù)學(xué)歸納法證明當(dāng)時(shí)，成立假設(shè)當(dāng)時(shí)，成立，當(dāng)時(shí)，所以當(dāng)時(shí)成立.由，得對(duì)任意成立.(2)由（1）知，所以數(shù)列是以，公差為的等差數(shù)列，則，，則，所以所以數(shù)列的前n項(xiàng)和為.21．已知直線與拋物線交于兩點(diǎn)，點(diǎn)C為拋物線上一點(diǎn)，且的重心為拋物線焦點(diǎn)F.(1)求m與t的關(guān)系式；(2)求面積的取值范圍.【答案】(1)且(2)【分析】（1）設(shè)，聯(lián)立方程，利用韋達(dá)定理可得，再根據(jù)的重心為拋物線的焦點(diǎn)，可得，求得代入拋物線方程，即可得解；（2）結(jié)合（1）利用弦長(zhǎng)公式求得，再利用點(diǎn)到直線的距離公式求得點(diǎn)C到的距離，再利用導(dǎo)數(shù)求得范圍即可.【詳解】(1)解：設(shè)，由得，，，所以，因?yàn)榈闹匦臑閽佄锞€的焦點(diǎn)，所以，解得，又因點(diǎn)C為拋物線上一點(diǎn)，所以，即，所以求m與t的關(guān)系式為且；(2)解：由（1）得，結(jié)合判別式得，因?yàn)椴唤?jīng)過(guò)點(diǎn)F（否則三點(diǎn)共線，不能構(gòu)成三角形），所以，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為，，點(diǎn)C到的距離，所以，設(shè)，則，當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在和上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，，所以，所以面積的取值范圍為.22．己知函數(shù).(1)設(shè)，證明：；(2)己知，其中為偶函數(shù)，為奇函數(shù).若有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，證明：