空間中點、直線和平面的向量表示高二上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）選擇性必修第一冊

1.4空間向量的應(yīng)用1.4.1.1空間中點、直線和平面的向量表示平面向量空間向量代數(shù)運算推廣建系思考1：空間向量解決了哪些幾何問題？距離問題夾角問題平行、垂直問題利用空間向量解決立體幾何問題關(guān)鍵是建立空間向量與幾何要素的對應(yīng)關(guān)系.本節(jié)我們進一步運用空間向量研究立體幾何中有關(guān)直線、平面的位置關(guān)系和度量問題.問題引入點線面關(guān)系平行垂直距離兩線夾角空間向量點、直線和平面是空間的基本圖形，點、線段和平面圖形等是組成空間幾何體的基本元素.因此，為了用空間向量解決立體幾何問題，首先要用向量表示空間中的點、直線和平面.新知探究立體幾何點線面空間向量？？？新知探究

平面空間

1.空間中點、直線和平面的向量表示

定原點（參照物）

回顧：直線的方向向量：換句話說，直線上的非零向量叫做直線的方向向量.

lA

新知探究點動成線?AP?lB

O

①式和②式都稱為空間直線的向量表示式.由此可知，空間任意直線由直線上一點及直線的方向向量唯一確定.新知探究

新知探究思考4：一個定點和兩個定方向能否確定一個平面?如何用向量表示這個平面?（1）不共線的三點確定一個平面.（2）直線和直線外一點確定一個平面.（3）兩條相交直線確定一個平面.（4）兩條平行直線確定一個平面.立體幾何

α?A?P

?推論

新知探究

進一步地,如右圖示,取定空間任意一點O,可以得到,空間一點P位于平面ABC內(nèi)的充要條件是存在實數(shù)x,y,使我們把③式稱為空間平面ABC的向量表示式.由此可知，空間中任意平面由空間一點及兩個不共線向量唯一確定.αPCOAB新知探究即一個定點和兩個定方向能確定一個平面.αA?由此得到啟發(fā)，我們可以利用點A和直線l的方向向量來確定平面.思考5：一個定點和一個定方向能否確定一個平面？l新知探究

αAl?mP?新知探究2.平面的法向量思考6：一個定點和一個定方向能確定一個平面，如何用向量表示這個平面？用向量表示平面上的任意一點.

一個平面的法向量有無數(shù)個，與平面垂直的非零向量都叫做平面的法向量.它們是共線向量，且均垂直于該平面內(nèi)的任意一個向量.

(0,0,2)(0,0,1)(0,2,2)(0,1,1)C(2,2,0)D1(0,2,2)(-2,0,2)

D

練習(xí)鞏固題型一：求直線的方向向量

ACDBC1D1B1A1M練習(xí)鞏固題型二：求平面的法向量

直接法

ACDBC1D1B1A1M練習(xí)鞏固題型二：求平面的法向量

待定系數(shù)法設(shè)法向量建系寫點坐標寫平面內(nèi)兩向量坐標列方程組賦非零值下結(jié)論

利用待定系數(shù)法求法向量的步驟設(shè)向量設(shè)平面法向量n=(x,y,z)列方程組選向量在平面內(nèi)選取兩個不共線向量AB,AC取x,y,z中一個為非零值(常取±1)賦值結(jié)論得到平面的一個法向量n·AB=0n·AC=0列出等式方法總結(jié)賦的值不同,所求平面的法向量就不同,但它們是共線向量.向量名稱圖示求法直線的方向向量平面的法向量直線的方向向量和平面的法向量的求法例題小結(jié)①設(shè)平面α的法向量；③列方程組；④解方程組，得出結(jié)論.①找到l⊥α；②l的方向向量即為平面的法向量.①取兩點；②定向量.②求平面α內(nèi)的不共線向量；方法總結(jié)

√×√練習(xí)鞏固

xyz練習(xí)鞏固

ACDBC1D1B1A1練習(xí)鞏固1.空間中點、直